新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-双曲线的简单几何性质

第三章圆锥曲线的方程3.2 双曲线3.2.2 双曲线的简单几何性质教学设计一、教学目标1. 理解双曲线的简单几何性质；2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.二、教学重难点1. 教学重点双曲线的几何性质.2. 教学难点双曲线几何性质的应用.三、教学过程（一）新课导入思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？答：范围、对称性、顶点、离心率.类比椭圆的几何性质，来研究双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的几何性质.（二）探索新知1. 范围如图，双曲线上点的横坐标的范围是x a≤-，或x a≥，纵坐标的范围是y∈R.下面利用双曲线的方程求出它的范围.由方程22221(00)x ya ba b-=>>，可得222211x ya b=+≥，于是，双曲线上点的坐标()x y ，都适合不等式221x y a≥∈R ，，即22x a y ≥∈R ，. 所以x a ≤-，或x a ≥；y ∈R .这说明双曲线位于直线x a =-及其左侧和直线x a =及其右侧的区域.2. 对称性双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，关于x 轴、y 轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3. 顶点在方程22221(00)x y a b a b -=>>，中，令0y =，得x a =±，因此双曲线和x 轴有两个交点12(0)(0)A a A a -，，，.因为x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.令0x =，得22y b =-，这个方程没有实数解，说明双曲线和y 轴没有公共点，但也把12(0)(0)B b B b -，，，两点画在y 轴上（如图）.线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.4. 渐近线实际上，经过两点12A A ，作y 轴的平行线3x =±，经过两点12B B ，作x 轴的平行线2y =±，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是032x y±=.可以发现，双曲线22194x y -=的两支向外延伸时，与两条直线032x y±=逐渐接近，但永远不相交.一般地，双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的两支向外延伸时，与两条直线0x y a b±=逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.在双曲线方程22221(00)x y a b a b-=>>，中，如果a b =，那么方程变为222x y a -=，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a . 这时，四条直线x a y a =±=±，围成正方形，渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.5. 离心率双曲线的焦距和实轴长的比ca，叫做双曲线的离心率.因为0c a >>，所以双曲线的离心率1ce a=>. 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.例1 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把双曲线的方程22916144y x -=化为标准方程2222143y x -=.由此可知，实半轴长4a =，虚半轴长3b =；2222435c a b =++，焦点坐标是(05)(05)-，，，；离心率54c e a ==；渐近线方程为43y x =±. 例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图（1））.它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m ）.解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系Oxy ，使小圆的直径AA '在x 轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径CC '，BB '都平行于x 轴，且||132||252CC BB ='⨯='⨯，.设双曲线的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，点C 的坐标为(13)y ，，则点B 的坐标为(2555)y -，.因为直径AA '是实轴，所以12a =. 又B ，C 两点都在双曲线上，所以2222222225(55)11213 1.12y b y b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①② 由方程②，得512b y =（负值舍去）.代入方程①，得22225552512112b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=. 化简得219275181500b b +-=.③ 解方程③，得25b ≈（负值舍去）.因此所求双曲线的方程为221144625x y -=.例3 动点()M x y ，与定点(40)F ，的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹.解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，动点M 的轨迹就是点的集合||4{|}3MF P M d ==22(4)4934x y x -+=-. 将上式两边平方，并化简，得227963x y -=，即22197x y -=.所以，点M 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为6、虚轴长为27.例4 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于A ，B 两点，求||AB .解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(30)(30)F F -，，，. 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为33)y x =-.①由2233)136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得12935x x =-=，. 将12x x ，的值分别代入①，得122323y y =-=. 于是，A ，B 两点的坐标分别为923(323)5⎛--- ⎝⎭，，，. 所以()()22221212923163||32355AB x x y y ⎛⎫⎛⎫=-+---+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（三）课堂练习1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A.14-B.4-C.4D.14答案：A解析：双曲线方程化为标准形式：2211x y m-=-，则有21a =，21b m =-.由题设知2=解得14m =-.故选A.2.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案：A解析：因为09k <<，所以方程221259x y k -=-与221259x y k -=-均表示焦点在x 轴上的双曲线.双曲线221259x y k -=-中，实轴长为10，虚轴长为=双曲线221259x y k -=-中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为因此两曲线的焦距相等，故选A.3.已知双曲线2221(0)4y x b b -=>的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是( )A.12y x =±B.y =C.y =D.2y x =±答案：D解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线2221(0)4y x b b -=>的一个焦点坐标为()0,c ，一条渐近线方程为20x by -=.1=，而c =1b =，因此双曲线的渐近线方程为2y x =±.故选D.4.设12F F ，分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交双曲线C左支于A B ，两点，且226,10,8AF BF AB ===，则双曲线C 的离心率为____________.解析：结合双曲线的定义，得2121AF AF BF BF -=-，又11AF BF AB +=，所以112,6AF BF ==，即6222a -==.又226,10,8AF BF AB ===，故A ∠为直角，所以12F F =c =C. 5.已知双曲线的方程为224936x y -=.（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设1F 和2F 是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且1216PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小.答案：（1）由双曲线方程224936x y -=得2213294x y a b c -=∴===∴，，，焦点坐标分别为(0)0)，离心率e =，渐近线方程为23y x =±. （2）由双曲线的定义可知12||||||6PF PF -=， 22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==⋅()2212121212236325212322PFPF PF PF F F PF PF -+⋅-+-==⋅，则1260F PF ∠=︒. （四）小结作业 小结：双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 作业： 四、板书设计3.2.2 双曲线的简单几何性质1. 范围2. 对称性3. 顶点4. 渐近线5. 离心率。

3.2.2函数的奇偶性教学设计一、教材分析本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础。

更能使学生理解、体会解析儿何这门学科的研究方法，培养学生的解析儿何观念，提高学生的数学素质。

教学重点与难点的确定及依据对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难。

因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单儿何性质。

这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点。

根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点。

二、学情分析学生学习了椭圆的相关知识，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已经基本具备了由方程研究曲线性质的能力。

高二学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高。

高二学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

三、教学目标【知识与技能】1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.(数学抽象)2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.(数学运算)【过程与方法】通过对问题的类比探究活动，让学生类比已有的知识，通过观察推导形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究出现的性质的一般方法，领悟其中所蕴含的数学思想。

【情感、态度与价值观】通过类比探究体现挫折的艰辛和成功的快乐，激发学习热情逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神。

四、教学重点和难点重点：双曲线的几何性质。

教学设计在教师的组织引导下，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。

使学生真正成为学习的主体。

通过阅读教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，让学生在参与中获得知识，发展思维，感悟数学。

七、教学过程：一欣赏美图，引出课题提问：在以上图片中，有没有我们所熟悉的数学图形？要想运用双曲线的知识做出精美的物品或建造如此宏伟的建筑物，光掌握双曲线的定义和标准方程是远远不够的，我们还有了解更多双曲线的知识，这节课我们就一起来学习《双曲线的简单几何性质》。

（板书课题）（二）复习旧知，设疑引路1、复习（1）双曲线的定义和标准方程？（2）椭圆有哪些简单几何性质？（填表）2、引入类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？（三）类比探究 ，研究性质以方程12222=-by a x 为例研究双曲线的简单几何性质1、范围：提问：类比椭圆如何研究其范围？（幻灯片）2、对称性：提问：看图可知其有怎样的对称性？（幻灯片）对称性：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的 轴、轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心.-所表示的区域内与范围：双曲线在不等式a x a x ≥≤3、顶点：提问：类比椭圆，哪些点是双曲线的顶点，顶点坐标分别是什么 （幻灯片）顶点：双曲线与对称轴的交点，顶点坐标12(,0),(,0)A a A a - 双曲线的实轴：，长为,实半轴长为 双曲线的虚轴: ，长为，虚半轴长为 4、离心率：ace =提问：（1）双曲线的离心率范围是什么？（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？ 《几何画板》演示 5、渐近线：x aby ±= 从学生曾经学习过的反比例函数入手，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与、轴无限接近，此时、轴是xy 1=的渐近线。

提问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线？渐近线方程是什么？《几何画板》演示类比12222=-b y a x 几何性质的研究方法，让学生得出 的几何性质（四）练习研究，运用性质),b (a bx a y 00 1 >>=-2222双曲线的简单几何性质范围例1对称性顶点标准方程离心率例2渐近线。

双曲线的简单几何性质(第二课时)教学设计（一）教学内容：通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

（二）教学目标1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．（三）教学重点和难点重点：运用双曲线的方程获得几何性质难点：双曲线的渐近线及离心率的意义（四）教学过程设计引入：观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？【师生活动】观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？【设计意图】让学生通过观察生活中的实例，以建立新知识之间的联系。

（二）双曲线的简单几何性质知识点一双曲线的几何性质问题1．类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？【设计意图】引导学生从范围、对称性、顶点、离心率、渐近线理解双曲线性质。

追问2，只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？学生回答：不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值．追问3，椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？学生回答：双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大．◆双曲线的几何性质【点睛】1．渐近线是标志双曲线位置的一个量，它确定着双曲线张口的大小．随着x 越来越大或x越来越小，双曲线与渐近线的距离越来越小，趋近于0，但是永远不会相交．2．双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．问题2 如图所示，已知定点B(a,−ℎ)，BC ⊥x 于点C , M 是线段OB 上任意一点，MD ⊥x 轴于点D ，ME ⊥BC 于点E , OE 与MD 相交于点P , 求点P 的轨迹方程. 【师生活动】【做一做1】(教材P124例3改编)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．22C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4. 答案：C【做一做2】双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x . 答案：A【做一做3】若双曲线y 216－x 2m ＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.解析：由题知a 2＝16，即a ＝4，又e ＝2，所以c ＝2a ＝8，则m ＝c 2－a 2＝48. 答案：48【设计意图】通过问题设计，加强学生对双曲线性质的理解 知识点二 等轴双曲线问题2．实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？ 学生回答： 实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，离心率是 2. ◆等轴双曲线(1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为_x 2－y 2＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e ＝ 2.（三）典型例题1.利用双曲线的性质求标准方程例1.(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________. [分析] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b .(2)法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解．法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以ba ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为： x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12. ①因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1. ② 联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12. ③因为点A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4b 2＝1. ④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.故所求双曲线的标准方程为y 28－x232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)． 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. [答案] (1)D (2)y 28－x 232＝1【类题通法】1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解． 2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1 (λ≠0，－b 2<λ<a 2)．【巩固练习1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)； (3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等．[解析] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)， 将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)． 由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1； 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 2.双曲线的离心率与渐近线例 2. (1)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞ 2 )的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为________；(2)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．[分析]要求双曲线的离心率需找出a与c的关系．第(1)题主要是利用双曲线的定义，寻求a、c的关系．第(2)题要利用余弦定理．[解析](1)∵a＞2，∴2a＜1，∴y＝2a x的倾斜角小于45°，∴2a＝tanπ6＝33，∴a＝6，c＝a2＋b2＝22，∴e＝ca＝226＝233.(如图所示)(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2(4a)(2c)cos 30°，整理得(e－3)2＝0，所以e＝ 3.[答案] (1)233 (2)3【类题通法】求双曲线离心率的方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2得解． (3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解．【巩固练习2】(1) (2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．22(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，则该双曲线的离心率为________．[解析] (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，∴b 2a 2＝1，∴b a ＝1，∴渐近线方程为x ±y ＝0，则点(4,0)到渐近线的距离d ＝|4±0|2＝2 2.(2)当焦点在x 轴上时，b a ＝23，即c 2－a 2a 2＝49，所以e 2＝139，解得e ＝133； 当焦点在y 轴上时，b a ＝32，即c 2－a 2a 2＝94，所以e 2＝134，解得e ＝132，即双曲线的离心率为132或133.[答案](1)D (2)132或1333.直线与双曲线的位置关系例3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点P (6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．[解析] (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1. 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4(1－3k 2)×(－9)＞0，1－3k 2≠0， 解得－1＜k ＜1且k ≠±33，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 【变式探究】将本题(2)中改为直线l 1与双曲线C 有且只有一个公共点，k 的取值范围又如何？[解析] 联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0， 消去y 得：(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.当1－3k 2＝0，即k ＝±33时，直线l 1与双曲线C 只有一个公共点；当1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36－36k 2，由Δ＝0，即36－36k 2＝0，所以k ＝±1时，直线l 1与双曲线C 只有一个公共点．所以当k ＝±33或k ＝±1时，直线l 1与双曲线C 只有一个公共点．例4. 经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB中点．(1)求直线l 的方程；(2)求线段AB 的长．[分析] 可用点差法求l 的斜率，再用弦长公式求|AB |.[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1， 两式相减得x 21－x 22－(y 214－y 224)＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－14(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵M 为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，∴4(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4， 经检验k ＝4符合题意．∴l 的方程为y －2＝4(x －2)，即y ＝4x －6.(2)将y ＝4x －6代入到x 2－y 24＝1中得3x 2－12x ＋10＝0，故x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝23102. 【类题通法】1.直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．2.求弦长的两种方法(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|.【巩固练习3】已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程．[解析] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎨⎧ y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k (3k ＋1)4k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k (3k ＋1)2(4k 2－1)＝3，解得k ＝－34. 当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1). ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.（五）目标检测设计1.双曲线y 225－x 29＝1的渐进线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±35xD ．y ＝±53x2.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．13.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．42 4.已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：1.D 2.D 3.C 4. B【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

3.2.2双曲线的简单几何性质一、内容和内容解析 1.内容双曲线的简单几何性质. 2.内容解析本节课要学的内容是双曲线的一些基本性质，其核心内容是双曲线的离心率及渐近线，理解它关键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出双曲线的性质.学生已经学过双曲线概念和标准方程，本节课的内容双曲线的简单几何性质就是在其基础上的发展.由于它还与椭圆、抛物线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用，所以是双曲线的核心内容.结合以上分析，确定本节课的教学重点：双曲线的简单几何性质，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到双曲线性质的准确刻画.二、目标和目标解析 1.目标（1）了解双曲线的简单几何性质；（2）会用双曲线的几何性质解决相应的问题； （3）培养学生的类比的数学思想和逻辑思维能力； （4）培养学生的方法归纳能力和应用意识. 2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）双曲线的范围及概念，对称性，离心率，渐近线表示.（2）能够根据双曲线中c b a ..三条线段之间的关系能求出双曲线的标准方程及离心率. 三、教学问题诊断分析在本节双曲线性质的教学中，学生可能遇到的问题是双曲线的一些基本概念会与椭圆的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清.要解决这一问题，就要类比着椭圆的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比.本节课的教学难点是渐近线的发现和离心率. 四、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题问题1：前面已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？问题2：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 我们应该明确，要研究双曲线的几何性质，然后，在观察双曲线图形的基础上，明确应该研究双曲线的范围、对称性、顶点等.研究的基本思路与方法是先“行”后“数”,即在观察图形形状与特征的基础上先提出猜想,再通过双曲线的标准方程进行计算和推理.设计意图：让学生在明确的研究问题、研究方法的指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性．（二）各个击破，解决问题 1.范围问题3：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？你能利用它的方程给出证明吗？ 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是a x -≤，或a x ≥，纵坐标的范围是R y ∈.明确曲线的范围即方程中两个变量y x ,的取值范围，然后在观察、猜想的基础上通过方程给出证明. 设计意图：明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎么样通过方程研究. 2. 对称性问题4：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？类比研究椭圆的对称性的方法，在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的. 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎么样通过方程判断曲线是否关于坐标轴或原点对称. 3. 顶点问题5：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？何为特殊的点，即双曲线与坐标轴的交点.在问题解决后，给出双曲线的顶点、实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长等概念.在标准方程12222=-by a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解.这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -.如图，对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴，其长度为a2.尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上的两个特殊的点),(),,0(21b B b B -.我们称线段21B B 为双曲线的虚轴，其长度为b 2.设计意图：明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路与方法.4. 渐近线问题6：利用信息技术画出双曲线14922=-y x 和两条直线023=±y x .在双曲线的右支上取一点M ,测量点M 的横坐标M x 以及它到直线023=-yx 的距离d .沿曲线向右上方拖动点M ，观察M x 与d 的大小关系，你发现了什么？归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．（几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系）结论：①直线0=±b y a x 叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． ③b a =时，双曲线为等轴双曲线.设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线x aby =”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．5. 离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比ac，叫做双曲线的离心率。

3.2 双曲线-人教A版高中数学选择性必修第一册（2019版）教案教学目标1.了解双曲线的基本概念、性质和相关公式；2.掌握双曲线的图像、渐近线及其方程的解法；3.能运用双曲线的知识解决相关的数学问题。

教学内容本课程主要包括以下内容： 1. 双曲线的定义和基本性质； 2. 双曲线的标准方程； 3. 双曲线的图像； 4. 双曲线的渐近线； 5. 双曲线相关问题的解法。

教学步骤步骤一：引入双曲线1.教师介绍双曲线的起源和定义，并与椭圆进行比较；2.鼓励学生思考，探索双曲线的特点和性质。

步骤二：双曲线的标准方程1.教师讲解双曲线的标准方程的概念和相关公式；2.以例题的形式演示双曲线标准方程的推导思路；3.鼓励学生自主思考，掌握双曲线的标准方程的求法。

步骤三：双曲线的图像及渐近线1.教师介绍双曲线的图像和性质；2.以实例的形式，以及应用软件模拟的方法辅助，让学生掌握双曲线的图像；3.着重讲解双曲线的渐近线的概念和解法；步骤四：典型问题的解法1.教师介绍一些与双曲线相关的典型问题；2.以例题的形式演示问题的解法；3.鼓励学生通过思考与实践，独立解决问题。

教学重点与难点教学重点1.双曲线的定义、性质和基本公式；2.双曲线的标准方程及其解法；3.双曲线的图像和渐近线的掌握；4.双曲线与二次函数的关联。

教学难点1.双曲线标准方程的推导和原理；2.双曲线渐近线的解法和实际应用。

教学评估本课程的评估采用多种方式，如小测验、作业、期中测试和期末考试等。

其中，小测验和作业可进行及时互评和自评，鼓励学生保存好题目和答案，并注明解题思路。

期中测试和期末考试的试题准备要求学生对所学知识点全面掌握，并能较好地解决与双曲线相关的实际问题。

教学拓展为了更好地理解和掌握双曲线的知识，教师可结合实际生活、社会和科技的实例，拓展双曲线的应用和意义。

例如： 1. 利用双曲线的概念与测量学、天文学相关联，探讨双曲线在航海、导弹制导、天体运动等科技领域的应用； 2. 利用双曲线的图像，与其他数学知识和技巧进行联结，探讨双曲线与其他数学领域的交互影响。

2.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)-或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y ±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=．综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b ±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b ±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由c e a =得，1e x=．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ① 222244x y -= ② ①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=． ∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ② ①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=> 渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b-=，即a y x b =±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为n y x m =的双曲线方程可设为：2222(0);x y m nλλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,O F c F D b O D a O F D Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故. （三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D.22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（. 12. 设双曲线C ：2221x y a -=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________． 答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】（1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ② 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪∙=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。

第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。

所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。