人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质》参考教案

双曲线的简单几何性质在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学.一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质.（二）教学重点与难点的确定及依据对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点.教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.解决办法：1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣；2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力.教学难点:双曲线渐近线概念与性质.解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明.二、学情分析与学法指导学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.学法指导:根据本书的教学内容及教学目标，以及学生的认识规律，这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生自己进行探究,性质类比，找出相同点与不同点，得到类似的结论.在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力.渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法的接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性.例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力.三、教学目标分析平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质.教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤.根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标.(一)知识与技能：通过类比探究，掌握双曲线的几何性质，进一步完善对双曲线的认知结构，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流能力.①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明，能a,b运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.③使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解.(二)过程与方法：通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推导、形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想.(三)情感态度与价值观：通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神.四、教学方法与教学手段（一）教学方法1.以类比思维作为教学的主线.2.以自主探究作为学生的学习方式.我采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生边观察，边类比，边比较，总结双曲线的五个性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点.在解决相关问题时，作出草图能帮助学生提高解决问题的准确性.（二）教学手段本节课使用多媒体，借助“几何画板”利用描点法较为精确地画出双曲线，便于学生观察几何性质，使观察出的结论让学生信服.动画演示、动手实验，“几何画板”有效运用,多媒体课件.五、教学程序设计设计思路：类比特有的几何性质（从特殊到一般的规律探索）加强应用教学过程：（一）情境设置1.椭圆的简单几何性质有哪些 ？研究方法是什么？ （范围、对称性、顶点、离心率）研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质.2.你能说出椭圆12222=+by a x 的几何性质吗？（学生回答）教师用投影显示右表.3.双曲线是否具有类似的性质? 由此引出课题. （二）探索研究1.让学生探讨双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．学生：自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论（“几何画板”演示探究与大家交流）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善. 并将性质列表如下：（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）． 2.渐近线的发现与论证: 我们能较为准确地画xy 1=出曲线 ，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与 x 轴、 y 轴无限接近）此时，x 轴、 y 轴叫做曲线的渐近线．问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出：22221x a x a b a x a b y -±=-±=.当无限增大时， 22xa 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线221x a x ab y -±=与直线 x aby ±=无限接近．（引导学生分析、猜想） 这使我们有理由猜想直线x aby ±=为双曲线的渐近线．直线 恰好是过实轴端点1A 、2A ，虚轴端点1B 、2B ，作平行于坐标轴的直线a x ±=，b y ±=，所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法（“几何画板”演示推理过程）实际证法：如图，设N 为渐近线上与 ),(00y x M 有相同横坐标的点，于是0x aby N =..点M 沿曲线向远处运动，0x 随着增大，MP 逐渐减小，于是MN 也逐渐减小．解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画191622=-y x ，先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线． 3.离心率的几何意义：问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢？ 由ac e =,222,1,b a c e a c =->∴>由等式 ， 可得1122222-=-=-=e ac a a c a b . e 越小（接近于1）ab⇔ 越接近于 ⇔0双曲线开口越小（扁狭）. e 越大 ab⇔越大（即渐近线的斜率的绝对值就大）⇔双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.4.说出双曲线12222=-bx a y 的几何性质.（幻灯片演示）（三）讲解范例例1.求双曲线9x 2－16y 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.变式：求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25m ，高55 m ，选择Ox yAA ' C C ' BB '适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m ）.解：如图，建立坐标系xOy ，使小圆的直径AA '在x 轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径,CC BB ''平行于x 轴，且||132()CC m '=⨯，||252()BB m '=⨯；设曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>.令点C 的坐标为(13,)y ，则点B 的坐标为(25,55)y -，因为点,B C 在双曲线上，所以2222222225(55)1(1)12131(2)12y b y b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，， 化简，得219275181500b b +-=,解得25(m)b ≈. ∴所求双曲线的方程为221144625x y -=. （四）随堂练习 基础练习：1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.1916).2(,154).1(2222=-=-x y y x .2.求顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8,离心率e =45的双曲线的标准方程. 3.双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点坐标为 (0, 2), 则双曲线的标准方程为 .4.双曲线的一条渐近线方程为x y 21-=, 且过点 P (3,21-),则它的标准方程是 . 历年高考：1.（20XX 年高考题）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为 x y 21±=，则该双曲线的离心率是 .2.（20XX 年高考题）若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是 )0,10(, 则双曲线的方程是 . （五）总结提炼（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳).双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：、 、、，短轴长、（六）布置作业课本P.61习题.3，4，巩固并掌握课上所学的知识.。

2.3 双曲线的简单几何性质一、教学目标知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。

2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。

过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。

情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。

二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线。

三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？(二)讲授新课下面我们研究双曲线的几何性质：1、运用几何画板演示得到双曲线221169x y-=的范围：44,x x y R ≤-≥∈或进一步归纳出22221x y a b-=的范围。

2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。

4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。

5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1）双曲线焦距与实轴的比ce a =叫做双曲线的离心率，且1c e a=>。

2） 222222221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。

例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．解：把方程化为标准方程 2222143x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c=。

第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程； 2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1.所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线． 点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理．解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝1653.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633.提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝1 3．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明 本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)，所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。

教学设计2．3.2 双曲线的简单几何性质整体设计教材分析学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．第1课时教学目标知识与技能1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e 的关系及其几何意义．过程与方法通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．情感、态度与价值观使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美．重点难点教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．教学难点：渐近线的性质．教学过程引入新课提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？－a≤x≤a －b≤y≤b x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)，(0，±b)设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知探究1.类比椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：(1)先通过焦点在x 轴上的标准方程来研究．(2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲．设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评．活动成果： 1.－a≤x≤a －b≤y≤b x≥a 或x≤－ax 轴、y 轴、原点对称轴、y 轴、原点对称2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)．3．线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的．从对称性看，都关于x 轴、y 轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2∈(0,1)，双曲线e ＝c a＝1＋b2a2∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力．探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线x 29－y24＝1：①在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线 x 3－y2＝0的距离d 有什么关系？(几何画板演示，学生回答)②d 能否为0?若d ＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x 0，y 0)， 则x 03－y 02＝0，又x 209－y 204 ＝ (x 0 3 ＋ y 0 2)(x 03－y 02) ＝ 0≠1， ∴点M 不在双曲线上．∴d≠0.归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系)结论：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x a ±yb＝0.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y ＝ba x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．探究4.离心率的几何意义：思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识：e 越大，开口就越大．理解新知学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格：x≥a 或x≤－a x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)运用新知1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 解：把方程化为标准方程y 242－x232＝1.可得实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3; 半焦距c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5. 焦点坐标是(0，－5)，(0,5); 离心率：e ＝c a ＝54；渐近线方程：y ＝±43x.2求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程x 2a 2－y2a2＝1.可得实半轴长为a ，虚半轴长为a; 实轴长为2a ，虚轴长为2a. 半焦距c ＝a 2＋a 2＝2a ; 离心率：e ＝c a ＝2；渐近线方程：y ＝±x.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．变练演编提出问题：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，____________，求双曲线的标准方程．(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果．然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同．设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维．达标检测课堂小结1．知识点x2 a2－y2b2＝1(a>b>0) －x2b2＝1(a>0，b>0)x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈x轴、y轴、原点对称2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．作业布置课本习题2.3 A组第3、4题．补充练习基础练习1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 2．双曲线与椭圆x 216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 3．双曲线x 25－y24＝1的( )A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255xB ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±55x C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x 4．曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 答案：1.B 2.D 3.A 4.B 拓展练习求以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程．解：椭圆x 28＋y25＝1的焦点坐标为(±3，0)，长轴上的顶点为(±22，0),由题可知焦点在x 轴上，所以方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．∵a＝3，c ＝22， ∴b 2＝8－3＝5.∴所求双曲线方程为x 23－y25＝1.点评：有些学生会考虑过多，认为椭圆长轴和短轴上的顶点都可以作为双曲线的焦点，却忽略了“以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点”这句话所隐含的内容，因为双曲线的顶点与焦点在一条直线上，所以这句话实质已经交代了焦点位置，不必再分类讨论了．设计说明本节为双曲线性质的第一节，内容在设计上以基础为主．从椭圆的简单几何性质类比过度，让学生学得更为轻松，且较容易体会到成就感，但在双曲线的渐近线这一性质的讲解中，我们要从特殊到一般，充分借助几何画板这一有利工具，让学生更充分、更直观地体会渐近线这一性质，让它在今后的解题、绘图上发挥更大的作用．备课资料备选例题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P ( 1, －3 ) 且离心率为2的双曲线标准方程．分析：此题仅是知道“对称轴为坐标轴”，所以在解答的过程中首先对双曲线“定位”．但从离心率马上可以发现，此双曲线为等轴双曲线，所以方程简单地设为x 2m －y 2m ＝1(m≠0)，再代入点P 的坐标进行计算，非常简单，且将两种标准方程合二为一． 解：∵c a ＝2，∴c＝2a.∴c 2＝2a 2.则b 2＝c 2－a 2＝2a 2－a 2＝a 2.∴双曲线方程可设为x 2m －y2m ＝1(m≠0)．又∵双曲线经过点P( 1, －3 )， ∴1m －9m ＝1，解得m ＝－8. ∴所求双曲线方程为y 28－x28＝1.点评：对于双曲线方程，我们一定要注意先“定位”再“定量”．(设计者：刘薇)第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理． 解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝165 3.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置 课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)， 所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。

2.3.2 双曲线的简单几何性质●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2. 课堂探究例题1 求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a 2＋b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 变式训练求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程得y 242－x 232＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．渐近线方程为：y ＝±43x .双曲线的方程例题2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.例题3 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3(b 2a 2)2－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .∴|PF 1|＝b 2a.由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°. 知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.忽略点在双曲线上的位置致误典例 已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－12.课堂小结1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±ab x .(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.课后习题一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2ba ＝1，又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5，故双曲线的方程为x 220－y 25＝1.【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 又其一条渐近线过点(4，－2)，∴b a ＝24，∴a ＝2b . 因此c ＝a 2＋b 2＝5b .∴离心率e ＝c a ＝52. 【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴ －1m＝2， ∴m ＝－14.【答案】 －147．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，离心率e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2 3. ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.令x 24－y 212＝0，得渐近线方程为3x ±y ＝0. 【答案】 (±4,0) 3x ±y ＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 容易知道|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即103a ≥2c ，∴e ≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53] 三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 【解】 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 则由题意可知－29－3216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1. (2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴2216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)．∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率的取值范围． 【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2， 点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2.s ＝d 1＋d 2＝2ab c ≥45c . 即5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2， ∴4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)知b ＝1. 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3.故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).(教师用书独具)备选例题已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．【解】 由⎩⎨⎧ x 2－y 2＝4y ＝k x －消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*) (1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点． 综上所述：当－233＜k ＜233，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞233时，直线l 与双曲线没有公共点．备选变式已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1， 则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72＜0， ∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝2·－2－－72＝6. 因此弦AB 的长为6.。

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.2 双曲线的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
(1)给定双曲线方程,能正确写出有关几何元素,包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等,认识相关元素的内在联系.
(2)给定相关几何元素,正确得出相应的双曲线方程.
(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响,能正确说出其中的规律.
2.过程与方法
(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中,提高学生的观察猜想和验证能力.
(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中,提高学生的归纳能力.
(3)在几何性质探求过程中,培养学生曲线方程思想和意识.
3.情感、态度与价值观
培养学生主动探求知识、合作交流的意识,改变学习方式,改善数学学习信念.
2学情分析
由曲线方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何所研究的主要问题之一,本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想,归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质,(这样,学生会感到容易接受).
3重点难点
双曲线的离心率对双曲线的刻画,渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】1.创设情境，引入课题
师问1:首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的?。

一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。

（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。

（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。

（2）练习双曲线的性质分析。

二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。

三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。

（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

《双曲线的简单几何性质》◆教材分析本课教学双曲线的简单几何性质。

学生之前已经学过双曲线及其标准方程，本课则是在双曲线基本定义的基础上引入双曲线的几何性质。

全课的内容分成两大部分：先介绍双曲线的简单的几何性质，再用性质解决相关问题。

◆教学目标【知识与能力目标】1、通过对双曲线的图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线的形状的影响，进一步加强数形结合的思想。

2、熟练掌握双曲线的几何性质，会用双曲线的几何性质解决相应的问题3、理解等轴双曲线的特点和性质【过程与方法目标】通过讲解双曲线的相关性质，理解并会用双曲线的相关性质解决问题。

【情感态度价值观目标】1、学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学科产生兴趣。

◆教学重难点◆【教学重点】双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质【教学难点】数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质◆课前准备◆多媒体课件◆教学过程一、复习（课件2-3页）1、双曲线的标准方程谈话：前面我们学习了双曲线的标准方程，首项让我们一起回顾下双曲线的标准方程。

（显示课件第2页）谈话：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点；实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。

（显示课件第3页）二、新课讲授（课件4-7页）（1）范围（课件第4页）。