《双曲线的简单几何性质》省优质课比赛一等奖教案

21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。

追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。

双曲线的简单几何性质在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学.一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质.（二）教学重点与难点的确定及依据对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点.教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.解决办法：1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣；2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力.教学难点:双曲线渐近线概念与性质.解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明.二、学情分析与学法指导学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.学法指导:根据本书的教学内容及教学目标，以及学生的认识规律，这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生自己进行探究,性质类比，找出相同点与不同点，得到类似的结论.在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力.渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法的接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性.例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力.三、教学目标分析平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质.教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤.根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标.(一)知识与技能：通过类比探究，掌握双曲线的几何性质，进一步完善对双曲线的认知结构，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流能力.①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明，能a,b运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.③使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解.(二)过程与方法：通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推导、形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想.(三)情感态度与价值观：通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神.四、教学方法与教学手段（一）教学方法1.以类比思维作为教学的主线.2.以自主探究作为学生的学习方式.我采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生边观察，边类比，边比较，总结双曲线的五个性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点.在解决相关问题时，作出草图能帮助学生提高解决问题的准确性.（二）教学手段本节课使用多媒体，借助“几何画板”利用描点法较为精确地画出双曲线，便于学生观察几何性质，使观察出的结论让学生信服.动画演示、动手实验，“几何画板”有效运用,多媒体课件.五、教学程序设计设计思路：类比特有的几何性质（从特殊到一般的规律探索）加强应用教学过程：（一）情境设置1.椭圆的简单几何性质有哪些 ？研究方法是什么？ （范围、对称性、顶点、离心率）研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质.2.你能说出椭圆12222=+by a x 的几何性质吗？（学生回答）教师用投影显示右表.3.双曲线是否具有类似的性质? 由此引出课题. （二）探索研究1.让学生探讨双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．学生：自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论（“几何画板”演示探究与大家交流）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善. 并将性质列表如下：（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）． 2.渐近线的发现与论证: 我们能较为准确地画xy 1=出曲线 ，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与 x 轴、 y 轴无限接近）此时，x 轴、 y 轴叫做曲线的渐近线．问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出：22221x a x a b a x a b y -±=-±=.当无限增大时， 22xa 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线221x a x ab y -±=与直线 x aby ±=无限接近．（引导学生分析、猜想） 这使我们有理由猜想直线x aby ±=为双曲线的渐近线．直线 恰好是过实轴端点1A 、2A ，虚轴端点1B 、2B ，作平行于坐标轴的直线a x ±=，b y ±=，所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法（“几何画板”演示推理过程）实际证法：如图，设N 为渐近线上与 ),(00y x M 有相同横坐标的点，于是0x aby N =..点M 沿曲线向远处运动，0x 随着增大，MP 逐渐减小，于是MN 也逐渐减小．解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画191622=-y x ，先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线． 3.离心率的几何意义：问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢？ 由ac e =,222,1,b a c e a c =->∴>由等式 ， 可得1122222-=-=-=e ac a a c a b . e 越小（接近于1）ab⇔ 越接近于 ⇔0双曲线开口越小（扁狭）. e 越大 ab⇔越大（即渐近线的斜率的绝对值就大）⇔双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.4.说出双曲线12222=-bx a y 的几何性质.（幻灯片演示）（三）讲解范例例1.求双曲线9x 2－16y 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.变式：求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25m ，高55 m ，选择Ox yAA ' C C ' BB '适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m ）.解：如图，建立坐标系xOy ，使小圆的直径AA '在x 轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径,CC BB ''平行于x 轴，且||132()CC m '=⨯，||252()BB m '=⨯；设曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>.令点C 的坐标为(13,)y ，则点B 的坐标为(25,55)y -，因为点,B C 在双曲线上，所以2222222225(55)1(1)12131(2)12y b y b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，， 化简，得219275181500b b +-=,解得25(m)b ≈. ∴所求双曲线的方程为221144625x y -=. （四）随堂练习 基础练习：1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.1916).2(,154).1(2222=-=-x y y x .2.求顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8,离心率e =45的双曲线的标准方程. 3.双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点坐标为 (0, 2), 则双曲线的标准方程为 .4.双曲线的一条渐近线方程为x y 21-=, 且过点 P (3,21-),则它的标准方程是 . 历年高考：1.（20XX 年高考题）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为 x y 21±=，则该双曲线的离心率是 .2.（20XX 年高考题）若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是 )0,10(, 则双曲线的方程是 . （五）总结提炼（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳).双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：、 、、，短轴长、（六）布置作业课本P.61习题.3，4，巩固并掌握课上所学的知识.。

课题：双曲线的简单几何性质（1）一．教学目标：1.知识与能力了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.2.过程和方法通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.3.情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．二．教材分析：本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

三．学情分析：学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。

通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。

四．重点难点：重点：双曲线的简单几何性质难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程五．教学过程：1.导入新课：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 2.学案反馈：通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。

同时通过速记、提问方式加强记忆。

3.探究活动：通过阅读教材5856P P -,完成下表合作探究一：已知双曲线方程求性质.144169122近线方程顶点坐标、离心率、渐、焦点坐标、的实半轴长、虚半轴长：求双曲线例=-y x自主学习——组内展开讨论——展示——小组评价 .43,450,40,4-0,50,5-34191622x y a c e b a y x ±======-渐近线方程：离心率））、（顶点坐标（））、（焦点坐标（，虚半轴长可得实半轴长程解：把方程化为标准方类题通法：1.求双曲线性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点位置，这样便于直接的写出a ，b 的数值，进而求出c 。

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的简单几何性质思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？答案 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，如图，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线.思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸无限接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比值e 叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞).e 越大，双曲线的张口越大. 知识点三 双曲线的相关概念(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x .类型一 双曲线的简单几何性质例1 求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解 椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是可设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).又双曲线过点(0,2)，所以c ＝5，a ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 221＝1.所以双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .反思与感悟 根据双曲线方程研究其性质的基本思路(1)将双曲线的方程转化为标准方程.(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a ，b 所对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c 的值. (3)根据确定的a ，b ，c 的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解 (1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k ＝1.②把(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(2)由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)，(*)将点P (2，－1)代入(*)，得λ＝35， ∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1.反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.跟踪训练2 已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程. 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解. 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52.反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定.(3)弦长公式：直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. 跟踪训练3 经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点.(1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 214＝1①，x 22－y224＝1②，①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4＝k . ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －2)， 即4x －y －6＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21023.1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 C解析 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A.－4B.－3C.2D.1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 3.已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.4.等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.5.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是____________.答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上.6.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________________. 答案 y ＝±22x解析 由条件知2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.3.直线与双曲线的位置关系，可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，如果不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的关系.4.弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点差法.一、选择题1.过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C解析 因为e ＝c a ＝52，所以c 2a 2＝54，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2a 2＝54，得b 2a 2＝14，所以渐近线方程为y ＝±12x .3.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2 答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意.4.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.33答案 B解析 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°. 又|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝2c cos 30°＝433c ， |MF 2|＝2c ·tan 30°＝233c . ∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝233c .∴e ＝ca＝ 3. 5.如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±xB.y ＝±3xC.y ＝±2xD.y ＝±2x答案 C解析 设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b2＝1，又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去). 故所求渐近线方程为y ＝±2x .6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 令y ＝0，可得x ＝－5，即焦点坐标为(－5,0)， ∴c ＝5，∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，∴ba ＝2， ∵c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题7.已知双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔， ∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e >2，即4＋m 4>2.∴m >4.8.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是____________.答案 (－12,0)解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 9.过点(0,1)作直线l 与双曲线4x 2―ay 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝π2(O 为坐标原点)，则a 的取值范围是______________. 答案 0<a ≤3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，4x 2－ay 2＝1，得：(4－ak 2)x 2－2akx －a －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2ak )2＋4(a ＋1)(4－ak 2)＞0， ①x 1x 2＝－a －14－ak 2，y 1y 2＝4－k 24－ak 2，由∠POQ ＝π2，得OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0，则－a －14－ak 2＋4－k 24－ak 2＝0，② 由①②得0<a ≤3. 三、解答题10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.(2)设渐近线方程为y ＝±32x 的双曲线方程为x 24－y 29＝λ. 当λ＞0时，2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝111.已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由. 解 设l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，即(x 1＋x 2)－y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又直线过P (1,1)且为线段AB 中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在.12.已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0). (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长. (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞). 13.若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围.解 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)知b ＝1， 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3. OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3. 故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。

一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。

（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。

（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。

（2）练习双曲线的性质分析。

二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。

三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。

（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

双曲线的简单几何性质第一课时（一）教学目标1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握椭圆的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义．3．通过启发、诱导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力．4．通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神．（二）教学过程 【情境设置】提问（1）前节课根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪几种性质？（如图）（范围、对称性、顶点、离心率）（2）请同学说出椭圆12222=+by a x 的几何性质：（学生回答）教师用投影显示下表，并画出焦点在x 轴上的椭圆说明：研究双曲线几何性质后，依次在另一纵列填上相应的性质．上节课已根据双曲线的特征（包括双曲线的坐标系内的位置）导出了双曲线的标准方程，现在我们能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗？（板书课题）【探索研究】1．类比椭圆()0012222>>=+b a b y a x ，的几何性质，探讨双曲线()0012222>>=-b a b y a x ，的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率． 程序是： 学生：自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论（与大家交流）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善 列表：离心率的几何意义下面继续研究 图演示（a 、b 、c 、e 关系：222b ac +=，1>=ace ） 2．渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把191622=+y x 画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把191622=-y x 画出来吗？（能） 通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚．我们能较为准确地画出曲线xy 1=，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x 轴、y 轴无限接近）此时，x 轴、y 轴叫做曲线xy 1=的渐近线．对渐近线并不陌生，例如： 直线()Z ∈+=k k x 2ππ是正切函数x y tan =图像的渐近线．问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出：22221xa x ab a x a b y -±=-±=当x 无限增大时，22x a 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线221xa x ab y -±=与直线x aby ±=无限接近．（引导学生分析、猜想） 这使我们有理由猜想直线x aby ±=为双曲线的渐近线．直线x aby ±=恰好是过实轴端点1A 、2A ，虚轴端点1B 、2B ，作平行于坐标轴的直线a x ±=，b y ±=所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了． 学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法，找学生板演其推理过程，对于基础好一点的学生，可能会得到如下三种证法．（板演其中一种，其他方法用投影给出）证法一：如图，设()00y x M ，为第一象限内双曲线12222=-by a x 上的任一点，则2200a x ab y -=，()00y x M ，到渐近线0=-bx ay 的距离为：()220002202200a x x cb cbx a x b ba bx ay MQ --=--=+-=22002ax x a c b -+⋅=点M 向远处运动，0x 随着增大，MQ 就逐渐减小，M 点就无限接近于直线x ab y =证法二：如图，设N 为渐近线上与()00y x M ，有相同横坐标的点，于是0x ab y N =()22002200222000ax x ab a x x a a b a x x a b y y MN N --=-+⋅=--=-=点M 沿曲线向远处运动，0x 随着增大，MP 逐渐减小，于是MQ 也逐渐减小．证法三：设P 为渐近线上与()00y x M ，有相同纵坐标的点，于是0y b a x p =，2202201b y ba b y a x +=+=∴()2020220020220y b y abb y y b b a y b y ba x x MP P ++=++=-+=-= 点M 沿曲线向远处运动，0x 随着增大，MP 逐渐减小，于是MQ 也逐渐减小，故把x aby ±=叫做双曲线12222=-b y a x 的渐近线．解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画191622=-y x ，先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线． （演示）3．离心率的几何意义问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢？ ∵ac e =，a c >，∴1>e ，由等式222b a c =- 可得1122222-=-=-=e ac a a c a b e 越大（接近于1）ab⇔越接近于⇔0双曲线开口越小（扁狭） e 越大ab⇔越大⇔双曲线开口越大（开阔） （完善表格）4．说出双曲线12222=-bx a y 的几何性质．（图形演示）5．巩固练习题1．求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线． ①4422=-y x ②4422-=-y x题2．已知双曲线的渐近线方程为02=±y x 且双曲线过点 ①()34，M ②()54，M 分别求出两双曲线方程然后分别总结两题的解题步骤，最后通过仔细分析，揭示出双曲曲线与其渐近线的方程间的内在变化规律．双曲线方程：4422±=-y x ，4422±=-y x 渐近线方程：02=±y x 02=±y x一般地，双曲线方程为()02222≠=-C C y A x B ，它渐近线方程为02222=-y A x B ，即0=±Ay Bx ，反之当渐近线方程为0=±Ay Bx 时，它的双曲线方程为：()02222>±=-m m y A x B ．（三）随堂练习求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程． （1）32822=-y x （2）422-=-y x答案：（1）28，4，()024，± ()06，± 423=e ，x y 42±= （2）4，4，()20±，，()20±，，2=e ，x y ±=（四）总结提炼1．双曲线的几何性质及a 、b 、c 、e 的关系，完善上述表格，（投影显示） 2．渐近线是双曲线特有性质，其发现证明蕴含重要的数学思想与数学方法．3．双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与（五）布置作业1．双曲线322-=-y x 的（ ）A ．顶点坐标是()03，±，虚轴端点坐标是()30±， B ．顶点坐标是()30±，，虚轴端点坐标是()03，± C ．顶点坐标是()03，±，渐近线方程是x y ±= D ．虚轴端点坐标是()30±，，渐近线方程是y x ±= 2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）A ．14422=-y xB ．14422=-x y C ．18422=-x y D ．14822=-y x 3．双曲线中a ，b ，c 的长成等差数列，则__________=e ．4．以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是__________． 5．已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标、离心率、渐近线方程． （1）14491622=-y x ；（2）14491622-=-y x ．6．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程．答案：1．B ；2．B ；3．35；4．15322=-y x ；5．（1）()05，±，35=e ，x y 34±=（2）()50±，，45=e ，x y 34±=；6．1251442525622=-y x ；（六）板书设计。

高中数学北师大版选修2-1第三章《3.2双曲线的简单性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
双曲线的范围、对称性(对称轴、对称中心)、顶点(截距)、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率.
2学情分析
通过对椭圆的几何性质和双曲线及其标准方程的学习,学生初步掌握了圆锥曲线的学习方法,可以对比学习、自主学习,本节课,可以让学生主动参与探究学习
3重点难点
教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.
教学难点:双曲线的渐近线
4教学过程
4.1第一学时
新设计
Ⅰ.课题导入
[师]前面我们学习了椭圆的简单性质:范围、对称性、顶点、离心率,请同学们回忆一下,对于椭圆 (a>b>0)其几何性质的具体内容及其研究方法.
再请同学们回忆一下双曲线的标准方程
Ⅱ.讲授新课
[师]哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序,来谈一下双曲线 (a>0,b>0)的几何性质,并
谈谈这个性质的讨论方法.
[生甲]范围,|x|≥a,
即x≥a,x≤-a
讨论方法是由标准方程可知与一个非负数的差等于1,所以≥1,由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外,没有任何限制,说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.
[师]好,请另一位同学接着说.。

2《双曲线》课时3 一等奖创新教学设计《双曲线》教学设计课时3双曲线的简单几何性质(2)必备知识学科能力学科素养高考考向双曲线及其标准方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象逻辑推理数学运算【考查内容】1.根据几何条件求出双曲线的方程. 2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用. 3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题. 【考查题型】填空题、选择题、解答题双曲线的简单几何性质(1) 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模双曲线的简单几何性质(2) 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义做好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.双曲线及其标准方程2.双曲线的简单几何性质(1) 3.双曲线的简单几何性质(2) 直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析从知识上看,学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉.通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.双曲线及其标准方程2.双曲线的简单几何性质(1)3.双曲线的简单几何性质(2)【教学目标设计】1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.2.理解直线与双曲线的位置关系.3.运用标准方程解决相关问题.【教学策略设计】本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的,学生基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有________【教学重点难点】重点:1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.2.掌握双曲线的简单几何性质.难点:1.推导双曲线的标准方程.2.双曲线方程的简单应用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、______2.其他材料:______ _四、教学活动设计教学导入师:什么是双曲线生:一般地,我们把与平面内两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.师:双曲线的性质都有哪些请同学们填表回顾.【学生填表,教师补充】生:焦点位置焦点在轴上焦点在轴上图形范围或,或对称性对称轴:坐标轴对称中心:坐标原点顶点坐标轴线段叫做双曲线的实轴,它的长|, 线段叫做双曲线的虚轴,它的长渐近线离心率,其中【以学定教】通过填表进行对比总结,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,有助于本节教学目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边抛物线及其他知识的学习打下基础.师:本节课我们将继续利用双曲线的几何性质解决双曲线有关的问题.教学精讲探究1 双曲线的实际应用【典型例题】双曲线的实际应用例1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1)).它的最小半径为,上口半径为,下口半径为,高为.试建立适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到).【求此双曲线的方程,应从何处着手分析题目条件,正确理解题意】师:双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过的哪种曲面生:旋转面.师:回忆一下立体几何中的相关概念:一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.“此双曲线”与“双曲线型冷却塔的外形”之间是什么关系【实际问题抽象成为数学问题】生:先将双曲线型冷却塔的外形抽象成一个曲面,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.反之,“双曲线型冷却塔的外形”与经过它的轴的平面的交线,就是“此双曲线”的一部分.师:题目中的“半径”是什么意思生:垂直于轴的平面与“双曲线型冷却塔的外形”相交,所得到的圆的半径.师:“最小半径”与该双曲线有什么联系生:“最小半径”等于该双曲线实轴长的一半.师:如何恰当地建立坐标系生:根据前面的分析,应在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系.具体来说,以最小半径所在的直线为轴,双曲线的虚轴所在的直线作为轴,建立平面直角坐标系.师:如何求双曲线的方程生:根据前面的分析,设出双曲线的标准方程,利用已知条件列出方程组求解.【师生共同研究,学生讲解题思路,教师板书】师解:根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合.这时,上、下口的直径、都平行于轴,且.设双曲线的方程为,点的坐标为,则点的坐标为.得因为直径是实轴,所以,又因为点和点都在双曲线上,所以(负值舍去),代入方程①,得.化简得.③解方程③,得(负值舍去),因此所求双曲线的方程为.【以学定教】从生活中的实例出发,类比求椭圆的标准方程的坐标法,从而利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,培养学生应用数学的能力.【活动学习】利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.【分析计算能力】通过典例解析,归纳基本题型,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和双曲线解决实际问题的基本步骤.发展学生分析计算能力,数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.师:我们总结一下利用双曲线解决实际问题的基本步骤.【要点知识】利用双曲线解决实际问题的基本步骤1.建立适当的坐标系.2.求出双曲线的标准方程.3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.探究2 坐标法求双曲线的轨迹问题师:我们接下来看一道求双曲线的轨迹的问题.【典型例题】坐标法求双曲线的轨迹问题例2 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.师:如何求点的轨迹点的轨迹是什么呢生:点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.师:如何用集合表示点的轨迹生:设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合.师:上面集合中的等式,如何用坐标表示【师生交流,教师板书,学生动手实践】生:由两点间距离公式和点到直线距离公式,可得.师:如何化简上述方程点的轨迹是什么呢生:上述方程可化为,两边平方,并化简,得,即.则点的轨迹是焦点在轴上,实轴长为6,虚轴长为的双曲线.师:此前我们学习椭圆时,做过这样一道类似的题目:动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.比较这两题,你有什么发现生:平面内到定点的距离与到定直线(直线不经过点)的距离的比是常数的点的轨迹可能是椭圆,也可能是双曲线.【以学定教】利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.【推测解释能力】通过典型例题,掌握双曲线的基本几何性质及其简单运用,掌握利用双曲线的几何性质求标准方程的思路,提升学生数学建模、数形结合、方程思想及推测解释能力.【师生共同总结坐标法解决平面几何问题的方法步骤,教师展示多媒体】【归纳总结】用坐标法解决平面几何问题的三步曲第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.探究3 直线与双曲线的位置关系师:判断直线与椭圆位置关系的方法有什么生:(1)联立方程,借助一元二次方程的判别式来判断;(2)借助直线和椭圆的几何性质判断.师:直线与椭圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与双曲线的位置关系中呢我们继续研究下面的例题.【典型例题】直线与双曲线的位置关系例3 过双曲线的右焦点,倾斜角为30度的直线交双曲线于、两点,求.【教师提示】求弦长问题有两种方法:方法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长.方法二:有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视给予个别指导,并展示多媒体】【典例解析】直线与双曲线的位置关系解:如图,由双曲线的方程得,两焦点分别为.因为直线的倾斜角是,且直线经过右焦点,所以,直线的方程为.(1)由消去,得.解这个方程,得.将、的值代入(1),得.于是,、两点的坐标分别为.所以.【意义学习】通过典例解析,理解直线与双曲线位置关系的判断方法,及求弦长问题的基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法.发展学生分析计算能力以及数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.【自主学习】学生思考,独立做题,对直线与双曲线的位置关系有了更深度地理解,提升学生的自主学习能力.师:我们根据例题总结一下直线与双曲线位置关系的判断方法.【方法策略】直线与双曲线位置关系的判断方法1.方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为的形式,在的情况下考察方程的判别式.(1)时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)时,直线与双曲线没有公共点.当时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.2.数形结合思想的应用(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.提示:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.【深度学习】学生通过观察具体的图形,类比直线与椭圆位置关系得到的方法,寻找直线与双曲线的位置关系的判断方法,培养学生发现规律、寻求方法、总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的.师:学习了直线与双曲线位置关系的判断方法,请大家巩固练习一下.【巩固练习】直线与双曲线的位置关系已知双曲线及直线,(1)若直线与双曲线有两个不同的交点,求实数的取值范围;(2)若直线与双曲线交于、两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.【学生分析】直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系.【巩固练习】直线与双曲线的位置关系解:(1)联立方程组消去并整理得.∵直线与双曲线有两个不同的交点,则,解得,且.∴若与有两个不同交点,实数的取值范围为.(2)设,对于(1)中的方程,由根与系数的关系,得,,∴.又∵点到直线的距离,∴,即,解得或实数的值为或0.【综合问题解决能力】通过练习巩固直线与双曲线的位置关系的判断方法,通过学生分析解答,培养学生发现问题、解决综合问题的能力.将直线与双曲线的位置关系转化为方程组的解,体现从量变到质变的哲学思想.提升综合问题解决能力.探究4 双曲线方程的一般式师:求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出、的值.若焦点位置不确定,可按焦点在轴和轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为,通过解方程组即可确定、,避免了讨论,从而简化求解过程.【要点知识】双曲线方程的一般式.师:下面请看一道求双曲线的标准方程的例题.【典型例题】双曲线方程的一般式的应用例4 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)焦点在轴上,经过点和点;(2)过点且焦点在坐标轴上.师解:(1)因为焦点在轴上,可设双曲线方程为,将点和代入方程得解得,所以双曲线的标准方程为.(2)设双曲线的方程为.因为点、在双曲线上,则解得故双曲线的标准方程为.【简单问题解决能力】通过典例解析加深对双曲线的一般式的理解,帮助学生形成求解双曲线标准方程的通用的解题思路,让学生体会数形结合的思想方法的同时.发展学生简单问题解决能力.【整体学习】利用方程的思想判断直线与双曲线的位置关系,就是双曲线的简单几何性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度,提高自我获取知识的能力.师:我们来总结一下本节课所学知识.【课堂小结】双曲线的简单几何性质(2)1.双曲线的简单几何性质及其简单应用.2.直线与双曲线的位置关系.3.双曲线方程的一般式.4.体会双曲线方程的实际应用.【设计意图】通过双曲线的简单几何性质知识练习巩固,学生自主解决问题,发展数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.教学评价本节通过双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质,使学生经历知识产生与形成的过程,以及利用直线和双曲线的位置关系解决综合问题.【设计意图】学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.使学生灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点;(3),经过点.思路:本题主要考查用待定系数法求双曲线标准方程,根据条件判断双曲线的焦点的位置.根据条件判断设定方程后寻找、的关系并求解.解析:(1)由双曲线的定义知,,所以,又知焦点在轴上,且,所以,所以双曲线的标准方程为.(2)由题意得,双曲线的焦点在轴上,且.设双曲线的标准方程为,则有,解得.故所求双曲线的标准方程为.(3)当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,所以.因此,所求的双曲线的标准方程为.当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,不可能,所以焦点不可能在轴上.【分析计算能力】从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场如图所示,中,已知,试建立适当的直角坐标系,求出分别以为左、右焦点且过点的双曲线方程.思路:本题用坐标法解决双曲线的轨迹方程问题.联立三角函数的定义综合解题.解析:以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图.设以、为焦点且过点的双曲线方程为,焦点为.由,设,则,得直线和直线的方程分别为和.联立两方程,解得,即点坐标为.∵在中,上的高为点的纵坐标,∴,即点坐标为.由两点间的距离公式,∴.又,故所求双曲线的方程为.【简单问题解决能力】通过双曲线的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.【简单问题解决能力】通过典型坐标法的例题,使学生进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,强化坐标法解决双曲线的轨迹方程问题的步骤,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.3.求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.思路:本题考查对双曲线性质的掌握.解析:把方程,化为标准方程,由此可知,实半轴长,虚半轴长,焦点坐标为,离心率,顶点坐标为,所以渐近线方程为,即.【分析计算能力】从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的基本形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线几何性质的方法.4.根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点,离心率为;(2)与椭圆有公共焦点,且离心率;(3)与双曲线有共同渐近线,且过点.思路:与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.解析:(1)若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,∵,即.①又双曲线过,②由①②得,故双曲线方程为.若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,同理有,③,④由③④得(舍去).综上,双曲线的标准方程为.(2)由椭圆方程,知半焦距为,∴焦点是.因此双曲线的焦点为.设双曲线方程为,由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为.(3)设所求双曲线方程为,将点代入得,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为.【分析计算能力】通过例题巩固双曲线的几何性质的应用,提高解决问题的能力和计算能力.【简单问题解决能力】通过例题及时进行总结和检测,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.5.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程.解析:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,即,由消去,整理得.设,∴为的中点,∴,即,解得.当时,满足,符合题意,∴所求直线的方程为,即.解法二:设,∵、均在双曲线上,∴两式相减,得.∵点平分弦.经验证,该直线存在.∴所求直线的方程为,即.【综合问题解决能力】设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.【以学定教】启发并引导学生理解双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.教学反思本节教学内容,紧扣新教材,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,突出了解析思想为主,内容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.增强运用坐标法解决几何问题的能力,不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师引导和点拨.【以学论教】为使学生更好地掌握双曲线的标准方程及其简单几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,多做例题巩固.1 / 19。

2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)一、 教学目标1. 知识与技能（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。

2. 过程与方法（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。

3. 情感、态度与价值观（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。

二、 教学重难点1、教学重点：双曲线的几何性质2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题三、 教学过程结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线的相关几何性质。

1. 取值范围(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）(1) 实轴——线段12A A 。

122,A A a a =为半实轴长；(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。

122,B B b b =为半虚轴长。

(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。

一般可设为：22,(0)x y m m -=≠4. 离心率：c e a= (1) 范围：1e >；(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.5. 渐近线(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22220y x a b-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：2222(0)x y a bλλ-=≠题型一：求双曲线的标准方程例 求满足下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43e =； （3） 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.题型二：有关渐近线的计算例1 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，求双曲线的离心率为.例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)，求双曲线的方程.例3 求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.作业：P61 A 组 《导报》第8课时。

双曲线的简单几何性质【教学目标】1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。

2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念。

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。

4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养。

【教学重难点】教学重点：双曲线的渐近线、离心率。

教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．范围、对称性由标准方程2222 1 x y a b-=，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图像，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线，双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

3．渐近线过双曲线2222 1 x y a b-=的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形。

矩形的两条对角线所在直线方程是 b y x a =±（0 x y a b±=），这两条直线就是双曲线的渐近线。

4．等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e等轴双曲线可以设为：22(0) x y λλ-=≠，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 b y x a =±(0) kbx k ka=±>，那么此双曲线方程就一定是：22221(0) ()()x y k ka kb -=±>或写成2222 x y a bλ-= 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。

双曲线的简单几何性质第三课时（一）教学目标1．掌握直线与双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲线截得的弦长，与弦的中点有关的问题．2．能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题的能力． （二）教学过程 【设置情境】练习：求下列直线和双曲线的交点坐标（课本P108．5）①02=-y x ，152022=-y x ②01634=--y x ，1162522=-y x ③01=+-y x ，322=-y x 答案：①（6，2），（14332-，）②（425，3）③()12--， 说出上边各例直线与双曲线的位置关系．不少学生会认为直线01=+-y x 与双曲线322=-y x 相切，让学生动手画图，很显然此时直线与双曲线相交，且只有一个交点．为什么会出现这种情况呢？ 【探索研究】直线与双曲线的位置关系通过对第③小题的研究发现直线01=+-y x 与双曲线的渐近线平行，因而此时相交且只有一个公共点．从而得出结论直线与双曲线相切—只有一个公共点（只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要条件，但不是充分条件）．直线与双曲线相离—没有公共点． 【例题分析】例 1 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．（课本P132第13题）解：由⎩⎨⎧=--=4122y x kx y 得()()*=-+-052122kx x k 即此方程无解．由()⎪⎩⎪⎨⎧<-+=∆≠-0120401222k k k 得25>k 或25-<k则k 的取值范围为25>k 或25-<k ． 引申：（1）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围． 解析：直线与双曲线有两个公共点()*⇔式方程有两个不等的根()25250120401222<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-⇔k k k k 且1±≠k （2）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围． 解析：此时等价于（﹡）式方程只有一解当012=-k 即1±=k 时，（﹡）式方程只有一解当012≠-k 时，应满足()0120422=-+=∆kk解得25±=k 故k 的值为1±或25±（3）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个公共点，求k 的取值范围． 解析：此时等价于（﹡）式方程有两个不等的正根()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-->-+⇔015012012042222k k k k k 即251110112525<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->><<-><<-k k k k k k 或或 （4）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围．（125-<<-k ） （5）如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 两支各有一个交点，求k 的取值范围．解析：此时等价于（﹡）式方程有两个相异实根即0152<--k 即11<<-k ． 例2 直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点．当k 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．可由一位学生演板，教师讲评指出有关二次方程知识的应用．解：由方程组：⎩⎨⎧=-+=13122y x kx y 得()022322=---kx x k因为直线与双曲线交于A 、B 两点 ∴()038422>-+=∆k k解得66<<-k ．设()11y x A ，，()22y x B ，，则：22132k k x x -=+，32221-=k x x ， 而以AB 为直径的圆过原点，则OB OA ⊥， ∴02121=+y y x x ．()()()111212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ．于是()()01121212=++++x x k x x k ，即()0132321222=+-+-⋅+k kkkk． 解得1±=k 满足条件．故当1±=k 时，以AB 为直径的圆过原点．例3 已知双曲线方程1222=-y x ，试问过点()11，A 能否作直线l ，使与双曲线交于1P 、2P 两点，且点A 是线段1P 、2P 的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．由学生讨论完成，教师给予提示． 解：假设存在直线l 满足条件．显然斜率不存在时，直线1=x 不满足条件．设()11+-=x k y l ：，代入双曲线方程整理得：()()032122222=-+--++k k x k k x k若022=-k 即2±=k ，则l 与渐近线平行，没有交点．∴022=-k 设()111y x P ，、()222y x P ，则：()221212k k k x x --=+由于()11，A 是1P 2P 的中点．∴()1212221=--=+k k k x x 解得2=k ． 这时方程为03422=+-x x ，02416<-=∆，即直线l 与双曲线无交点． 故这样的直线l 不存在．例 4 已知1l 、2l 是过点()02，-P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ．（1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若22115B A B A =，求1l 、2l 的方程． 由教师讲解，弦长的求法要分步演算．解：（1）依题意，两直线的斜率都存在，由于()211+=x k y l ：与双曲线有两个交点，则下述方程组有两组不同解：()()012221≠⎪⎩⎪⎨⎧=-+=k x y x k y 消去y 得()0122212121221=-++-k x k x k于是 ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-013401212k k ①同理由()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=121221x y x k y 得()0222121221=-++-k x x k ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-0134012121k k 解①②得1k 的取值范围是()()3113333113，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- （2）设()11y x A ，，()22y x B ，，则212121122k k x x -=+ 12212121-=k k x x ∴()()()()[]212212122121211411x x x x k x x k B A -++=-+=()()()221212111314k k k --+=同理()()()22121412121221361k k k k k B A --++=由22115B A B A =得()()()()()()2212141212122121211361511314k k k k k k k k --++⋅=--+解得21±=k 当 21=k 时，()221+=x y l ：，()2222+-=x y l ：， 当21-=k 时， ()221+-=x y l ：， ()2222+=x y l ：． （三）随堂练习1．设双曲线1322=-y x C ：的左准线与x 轴的交点是M ，则过点M 与双曲线C 有且只有一个交点的直线共有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条2．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，4=AB ，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若过双曲线1322=-y x 的右焦点2F ，作直线l 与双曲线的两支都相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________________．答案：1．C 2．C 3．()()180120600，，∈α2．注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程，运用判别式、根与系数关系以及两次方程实根分布原理来解决．（五）布置作业1．设双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应焦点为F ，若ABF ∆为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．22．直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率2=k ，若l 与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2>e B ．31<<e C ．51<<e D ．5>e3．若过点()18，P 的直线与双曲线4422=-y x 相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线A 、B 的方程是________________．4．直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当α为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？5．过双曲线()0012222>>=-b a by a x ，上的点P 向x 轴作垂线恰好通过双曲线的左焦点1F ，双曲线的虚轴端点B 与右焦点2F 的连线平行于PO ，如图．（1）求双曲线的离心离；（2）若直线2BF 与双曲线交于M 、N 两点，且12=MN ，求双曲线方程．答案：1．D ；2．D ；3．0152=--y x ；4．63<<α或36-<<-α；5．（1）2=e （2）422=-y x（六）板书设计。

教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。

（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。

）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。

二、教学目标 （一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。

（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。

（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

三、 教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。

四、 教学过程 (一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。

） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。

）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。

（讨论） （二）双曲线的性质 1、范围：把双曲线方程12222=-by a x 变形为22221b y a x +=。

因为022≥b y ，因此122≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。

又因为022≥by ，故R y ∈。

【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。

2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222=-by a x 的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.2 双曲线的简单几何性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲
教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)给定双曲线方程,能正确写出有关几何元素,包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等,认识相关元素的内在联系.
(2)给定相关几何元素,正确得出相应的双曲线方程.
(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响,能正确说出其中的规律.
2.过程与方法
(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中,提高学生的观察猜想和验证能力.
(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中,提高学生的归纳能力.
(3)在几何性质探求过程中,培养学生曲线方程思想和意识.
3.情感、态度与价值观
培养学生主动探求知识、合作交流的意识,改变学习方式,改善数学学习信念.
2学情分析
由曲线方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何所研究的主要问题之一,本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想,归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质,(这样,学生会感到容易接受).
3重点难点
双曲线的离心率对双曲线的刻画,渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系.
4教学过程
4.1第一学时。