李雅普诺夫第一方法和第二方法

第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov 第一法和Lyapunov第二法。

第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。

一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov 稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。

6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。

假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。

于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2)则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。

如果系统是线性定常的即 Ax t x f =),(当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。

在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。

李雅普诺夫第一方法和第二方法刘慈欣是中国著名的科学小说家。

他的作品《三体》引起了中外读者的热烈讨论。

他的作品也越来越深入人心并受到广泛的认可。

2012年，他凭借作品《三体》荣获第五届中国科幻小说银奖。

以刘慈欣名义，俄罗斯分析学家李雅普诺夫为预测未来事件制定了两种方法：第一种是李雅普诺夫第一方法，也被称为“加法法则”，它的基本思想是：以当前的社会形势为基础，根据以往的发展经验以及客观情况的变化，分析未来可能出现的新的社会现象和潮流，并预测未来可能出现的情况；第二种方法叫做“乘法法则”，该方法强调以社会时代和社会结构为基础，根据社会形势和社会变迁为基础，把具体的历史背景和文化氛围紧密结合起来，从总体上认识和理解未来可能出现的事件或现象。

1. 李雅普诺夫第一方法：加法法则第一种方法是李雅普诺夫第一方法，也被称为“加法法则”，它的基本思想是：以当前的社会形势为基础，根据以往的发展经验以及客观情况的变化，分析未来可能出现的新的社会现象和潮流，并预测未来可能出现的情况。

李雅普诺夫加法法则认为，当前也许存在各种模糊不清的社会现象，将其加以分析、剖析，深入了解它们的特性和内涵，再去看它们是否会影响未来，经过精心筛选、综合考量之后，利用科学的手段来预测未来可能发生的一些新的社会概念。

2. 李雅普诺夫第二方法：乘法法则第二种方法叫做“乘法法则”，该方法强调以社会时代和社会结构为基础，根据社会形势和社会变迁为基础，把具体的历史背景和文化氛围紧密结合起来，从总体上认识和理解未来可能出现的事件或现象。

李雅普诺夫乘法法则认为，在社会发展的历史进程中，人类的实际行为会受到多种因素的影响，必须从过去对社会发展的分析中总结出不同的历史规律，从而建立一个社会新状态，并能够准确预测未来的变化情况。

李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。

如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。

李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。

例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。

由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。

李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。

迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。

对于系统[]t ,f x x= ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。

如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV Vx x = 为半负定，则平衡状态稳定；（2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。

进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定；（3） 若()x V为正定，则平衡状态不稳定。

判断二次型x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。

如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。

例：[]正定。

则)(V 01121412110,041110,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 例：)x x (x x x )x x (x x x 22212122221121+--=+-=(0,0）是唯一的平衡状态。