全国初中数学竞赛2009

2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明：评阅试卷时，请依据本评分规范.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分规范划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （ ）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A. 由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ） A.. B. 10. C. D. 【答】C.延长CA 至D ，使AD ＝AB ，则1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以BD CD =AB BD，故2BD AB CD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD =又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-； 当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解； 当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解； 当[]2x =时，27x =，解得x =DB[]3x=时，29x=，解得3x=.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B.37. C.12. D.47.【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）B.23. C.13. D.【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为A B⊥BC，A E⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△AB E∽△OCE，因此CE OC1=BE AB3=，即BE3CE=.又C E⊥BE，所以BC==，故sin∠CBE＝CE=BC.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn--为完全平方数的n的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.【答】B.设2009n a-=，则190910010012009n an a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001ma-=（其中m为正整数），则21001ma=+.验证易知，只有当1,2,3,7m=时，上式才可能成立.对应的a值分别为50，20，10，2.因此，使得19092009nn--为完全平方数的n共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.ODC二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】 .设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC ，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC ，所以BDAB =. 1AD BD AB AB =+=1=，解得2S =. 所以四边形DECF 的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.F BC4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-.令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）. （2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试 （A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分 二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=.…………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I =. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②为三边长可构成一个直角三角形.C证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.. ……………………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分 同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.…………………………………25分 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c -+--+=，即22()[()]0b c a c a b -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.…………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分。

2009年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （）.A、24B、25C、1074+D、1274+2、在ΔABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的2倍，且AB=7，AC=8,则BC=（).A、27B、10C、105D、373、[]x 表示不超过x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（）.A、1B、2C、3D、44、设正方形ABCD 的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（).A、143B、73C、21D、745、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 做半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）.A、36B、32C、31D、10106、设n 是大于1909的正整数，则使得n n -20091909-为完全平方数的n 有（）个.A、3B、4C、5D、6二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知t 是实数，若b a ,是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是________.2、设D 是ΔABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E,作DF//AC 交BC 于点F,已知ΔABC、ΔDBF 的面积分别为n m ,，则四边形DECF 的面积为________.3、如果实数b a ,满足条件22221221,1a b a b a b a -=+++-=+，则=+b a ______.4、设b a 、是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对()b a ,共有_____对.第二试一、（20分）已知二次函数)0(2<++=c c bx x y 的图像与x 轴的交点为C,设ΔABC 的外接圆的圆心为P .（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径，且ABC S =2,求c b ,的值.二、（25分）设CD 是RtΔABC 的斜边AB 上的高，21I I 、分别是ΔADC、ΔBDC 的内心，AC=3,BC=4,求21I I .三、（25分)已知c b a 、、为正数，且满足32=++c b a ，41=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b .证明：以c b a 、、三边长可构成一个直角三角形.。

关于2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）
评奖结果的通报
各市、县、自治县教育（教科）局教研室，海口市教育研究培训院，洋浦经济开发区社会发展局科教办，省农垦总局教育局教研室，厅直属各中学：2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）评奖工作已经结束，共评出学生个人奖一等奖74人，二等奖213人，三等奖330人。

“优秀辅导教师”152人。

现将获奖名单通报如下：
一、2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）学生获奖名单
一等奖（74人）：
二等奖（213人）
三等奖（330人）
二、2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）“优秀辅导教师”名单海口市（35人）:
定安县（3人）：
万宁市（8人）：
保亭县（3人）：
东方市（4人）：
海师附中（1人）：
海南省中学数学教学专业委员会
二00九年五月六日。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （ ）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A.由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ）A. B. 10.C.D. 【答】C.延长CA 至D ，使AD ＝AB ，则1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以BD CD =AB BD，故2BD AB CD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD =又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-； 当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解； 当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解； 当[]2x =时，27x =，解得x =DB当[]3x =时，29x =，解得3x =.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14. 所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种. 因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ ）B. 23.C. 13.D. 【答】 D.设BC 的中点为O ，连接OE 、CE.因为A B ⊥BC ，A E ⊥OE ，所以A 、B 、O 、E 四点共圆，故∠BAE ＝∠COE. 又AB ＝AE ，OC=OE ，所以△AB E ∽△OCE ，因此CE OC 1=BE AB 3=，即BE 3CE =. 又C E ⊥BE，所以BC ==，故sin ∠CBE＝CE =BC .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是 （ ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a --==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a-=（其中m 为正整数），则21001m a=+. 验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.O DC二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】.设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC，所以BDAB =.1AD BD AB AB =+=1=，解得2S =. 所以四边形DECF的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】 1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.FBC4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-.令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）. （2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试 （A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解 作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=.…………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I =. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，C即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.. ……………………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以NBCQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分 同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB. …………………………………25分 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc82009 年全国初中数学联合比赛试题参照答案第二试（A）一．（此题满分 20 分）已知二次函数y x2bx c (c 0) 的图象与 x 轴的交点分别为 A 、B，与y轴的交点为 C.设△ ABC 的外接圆的圆心为点P.（ 1）证明：⊙ P 与y轴的另一个交点为定点 .（ 2）假如 AB 恰巧为⊙ P 的直径且△＝2，求 b 和c的值 . SABC解 : （1）易求得点C的坐标为(0, c)，设A( ,0)x1，B( x2 ,0) ，则 x1 x2 b ，x1x2 c .设⊙ P 与y轴的另一个交点为 D，因为 AB 、CD 是⊙ P 的两条订交弦，它们的交点为点O，所以 OA× OB ＝ OC× OD，则ODOA OB x1x2cOC c 1 .c因为 c 0 ，所以点 C 在 y 轴的负半轴上，进而点 D 在y轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为 AB⊥ CD ，假如 AB 恰巧为⊙ P 的直径，则 C、D 对于点 O 对称，所以点C的坐标为 (0, 1) ，即 c1.又 AB x1 x2( x1x2 )24x1 x2( b)24c b2 4 ，所以△112，解得b23.S ABC AB OC2b 4 1 22二．（此题满分25 分）设CD是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高，I1、I2分别是△ADC 、△ BDC的心里， AC ＝ 3， BC ＝ 4，求I1I2 .B 解作 I1E⊥AB于E， I2F⊥AB于F.F 在直角三角形ABC 中， AC＝ 3，BC＝4，AB =2+BC2 5 .DAC I2E又 CD⊥ AB ，由射影定理可得 A D =AC2916I1，故BD=AB AD，A C AB55CD = AC2AD 212.51(AD3因为 I 1E为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I1 E＝CD AC).252009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc8连结 D I 1 、D I 2 ，则 D I 1 、D I 2 分别是∠ ADC 和∠ BDC 的均分线，所以∠ I 1 DC ＝∠ I 1 DA＝∠I 2DC ＝∠I 2DB ＝45°，故∠I 1D I 2＝90°，所以I 1 D ⊥I 2D ，I 1E3 3 2 5DI 1.sin ADI 1 sin 455同理，可求得 I 2 F4 ，DI 2 4 2 . 所以 I 1 I 2＝ DI 12 DI 22 2 .55三．（此题满分 25 分）已知 a, b, c 为正数，知足以下两个条件：a b c 32 ① b c a c a b a b c 1②bccaab4证明：以 a , b, c 为三边长可组成一个直角三角形 .证法 1将①②两式相乘，得 (bc a c a b abc)( a b c) 8 ，bccaab即 (b c)2a 2(c a)2 b 2 ( a b) 2c 2 8 ，bcca ab即 (b c)2a 24 (c a) 2 b 24(a b)2 c 20，bccaab即(b c)2a 2(c a)2 b 2 (a b) 2c 2 0 ，bccaab即 (bc a)(b c a)(c a b)(c a b)( a b c)( a bc)0 ，bccaab 即 (bca) [ a(b c a) b(c a b)c( a b c)] 0 ，abc即 (b c a)[2 ab a2b2c 2] 0 ，即(b ca) [ c 2( a b)2 ] 0 ，abcabc即 (bca)(c a b)(ca b) 0 ，abc所以 b ca 0 或 c a b0 或 c a b 0 ，即 b a c或 c ab 或c b a .所以，以 a , b, c 为三边长可组成一个直角三角形 .证法 2联合①式，由②式可得32 2a32 2b 32 2c1bccaab ，4变形，得 10242(a 2b 2c 2 ) 1 abc ③4又由①式得 (a b c) 2 1024 ，即 a 2 b 2c 21024 2(ab bc ca) ，代 入 ③式， 得1 02 4a2 b[ 1 b 0 c 12 c4 ，a 2 即( a b c )4a b 1 c 6 ( a bb .) cc a(a 16)(b 16)(c 16)abc 16(ab bc ca) 256(a bc) 1634096256 32 1630 ，所以 a 16 或 b 16 或 c 16 .联合①式可得 b a c 或 c ab 或c b a .所以，以a , b, c 为三边长可组成一个直角三角形 .第二试 （B ）一．（此题满分 20 分）题目和解答与（ A ）卷第一题同样 .二． （此题满分 25 分） 已知△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB 边上的高线CH 与△ ABC 的两条内角均分线 AM 、BN 分别交于 P 、 Q 两点 .PM 、QN 的中点分别为 E 、 F.求证： EF ∥ AB.解 因为 BN 是∠ ABC 的均分线，所以 ABN CBN .又因为 CH ⊥AB ，所以CQNBQH 90 ABN 90 CBN CNB ，所以CQNC .AHNFQ P EC M B又 F 是 QN 的中点，所以 CF ⊥ QN ，所以CFB 90 CHB ，所以 C 、F 、 H 、 B四点共圆 .又 FBH = FBC ，所以 FC ＝ FH ，故点 F 在 CH 的中垂线上 . 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上 .所以 EF ⊥ CH. 又 AB ⊥ CH ，所以 EF ∥ AB.三．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第三题同样 .第二试 （ C ）一．（此题满分 20 分）题目和解答与（ A ）卷第一题同样 .二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ B ）卷第二题同样 .三．（此题满分 25 分）已知 a, b, c 为正数，知足以下两个条件：a b c 32①b c a c ab ab c 1②bccaab4能否存在以 a, b, c 为三边长的三角形？假如存在，求出三角形的最大内角.解法 1将①②两式相乘，得 (bc a c a ba bc)( a b c)8 ，bccaab即(b c)2a 2(c a)2 b 2( a b) 2 c 28 ，bccaab即 (b c)2a 24 (c a) 2 b 2 4 (a b)2c 20，bcca ab即 (b c)2a 2(c a)2 b 2 (a b) 2 c 20 ，bccaab即 (bc a)(b c a)(c a b)(c a b) ( a bc)( a b c)0 ，bcca ab 即 (bc a) [ a(b c a) b(c a b) c( a b c)]0 ，abc即 (b ca)[2 ab a2b2c 2] 0 ，即(b ca) [ c 2 ( a b)2 ] 0 ，abcabc即 (b c a) (c a b)(c a b) 0 ，abc所以 b c a 0 或 c a b 0 或 c a b 0 ，即 b a c 或 ca b 或 c b a .所以，以 a , b, c 为三边长可组成一个直角三角形，它的最大内角为90° .解法 2联合①式，由②式可得32 2a322b 32 2c1bccaab，4变形，得 10242(a2b2c 2)1abc③4又由①式得 (a b c) 2 1024 ，即 a 2 b 2 c 2 1024 2(ab bc ca) ，代 入 ③式， 得1024a2 b[ 1 b 0 c 12 c4 ，a 2 即( a b c )4a b 1 c 6 ( a bb .)c c a(a 16)(b 16)(c 16) abc 16(ab bc ca)256(a b c) 1634096256 32 163 0 ，2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc8所以 a16 或 b16 或 c 16 .联合①式可得 b a c 或 c a b 或 c b a .所以，以 a , b, c 为三边长可组成一个直角三角形，它的最大内角为90° .。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ,b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=,则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解.由题设知a ≥3,所以,题设的等式为22(3)0b a b ++-=,于是32a b ==-，,从而a b +＝1．2．如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线AC 上的一点,且OA ＝a ,OB ＝OC ＝OD ＝1,则a 等于（ ）．（A ）51+ （B ）51- （C ）1 （D ）2 【答】A ．解.因为△BOC ∽ △ABC ,所以BO BCAB AC=,即 11aa a =+,所以, 210a a --=．由0a >,解得15a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ,则使关于x ,y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解.当20a b -=时,方程组无解．当02≠-b a 时,方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ,b 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为3613． 4．如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发,沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解.根据图像可得BC ＝4,CD ＝5,DA ＝5,进而求得AB ＝8,故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ,y ）的组数为（ ）．（第4题）（第2题）图1 图2（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 【答】C ．解.可将原方程视为关于x 的二次方程,将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根,则判别式∆≥0,且是完全平方数． 由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0, 解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然,只有216y =时,4∆=是完全平方数,符合要求． 当4y =时,原方程为2430x x ++=,此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时,原方程为2430x x -+=,此时341,3x x ==． 所以,原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题,每小题7分,共35分）6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ,交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=, 则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AH AB的值为 ．解.如图,延长AD 与⊙D 交于点E ,连接AF ,EF ． 由题设知13AC AD =,13AB AE =,在△FHA 和△EF A 中, 90EFA FHA ∠=∠=︒,FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ,AH AFAF AE=.而AF AB =,所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数,若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根,则b 的值为 ． 【答】 10．解.因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=,且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数,所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．（第7题）又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯,所以1234541b a b a b a b a b a-+-+-+-+-=．由123459a a a a a++++=,可得10b=．9．如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB∠的平分线．若AC＝15,BC＝20,CD ＝12,则CE 的长等于．【答】6027．解.如图,由勾股定理知AD＝9,BD＝16,所以AB＝AD＋BD＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB∠=︒．作EF⊥BC,垂足为F．设EF＝x,由1452ECF ACB∠=∠=︒,得CF＝x,于是BF＝20－x．由于EF∥AC,所以EF BFAC BC=,即20 1520x x-=,解得607x=．所以60227CE x==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是.每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是．【答】2-．解.设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8x-．于是报7的人心里想的数是12(8)4x x--=+,报9的人心里想的数是16(4)12x x-+=-,报1的人心里想的数是20(12)8x x--=+,报3的人心里想的数是4(8)4x x-+=--．所以4x x=--,解得2x=-．三、解答题（共4题,每题20分,共80分）11．已知抛物线2y x=与动直线cxty--=)12(有公共点),(11yx,),(22yx,且3222221-+=+ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.解.（1）联立2y x=与cxty--=)12(,消去y得二次方程2(21)0x t x c--+=①有实数根1x,2x,则121221,x x t x x c+=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x==+-+=221[(21)(23)]2t t t--+-＝21(364)2t t-+．②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t--+-+=．③………………10分t的取值应满足2221223t t x x+-=+≥0, ④且使方程③有实数根,即22(21)2(364)t t t∆=---+＝2287t t-+-≥0, ⑤解不等式④得t≤-3或t≥1,解不等式⑤得222-≤t≤222+.所以,t的取值范围为（第9题）（第10题）222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的,所以,当222t =-时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +,且2009a <,求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解.由3192191a +可得31921a -．619232=⨯,且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数,所以6321a -等价于621a -,又因为3(1)(1)a a a -+,所以331a -等价于31a -．因此有1921a -,于是可得1921a k =+．………………15分 又02009a <<,所以0110k =，，，．因此,满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G ．试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论．解法1.结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠,所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅． 同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==,所以有BE CD AD CE ⋅=⋅,于是可得 DF EG=．………………20分解法2.结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ,因为90ADB AEB ∠=∠=︒,所以A ,B ,D ,E 四点共圆,故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线,所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以,CED ACG ∠=∠,于是DE ∥FG ,故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件.1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解.设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ,12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是,对于任意的1≤i j <≤n ,都有1j i i j a a b b n --=-,从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数,故 312251n -⨯． ………………10分（第13A 题）（第13A 题）由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-,所以,2(1)n -≤2008,于是n ≤45.结合312251n -⨯,所以,n ≤9． ………………15分另一方面,令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+,…,8871a =⨯+,982511a =⨯+,则这9个数满足题设要求．综上所述,n 的最大值为9. ………………20分。

关于公布2009年全国初中数学联赛获奖名单的通知各县（市）、区教育局教研室、市直属中学：4月12日举行了2009年全国初中数学联赛，在各县、市、区教研室及学校的大力支持下，已圆满结束。

现将团体优胜奖、学生一二三等奖及优秀指导教师奖予以公布，请校对。

附件1：2009年全国初中数学联赛团体优胜奖名单附件2：2009年全国初中数学联赛获奖名单附件3：2009年全国初中数学联赛优秀指导教师奖名单宁波市教育局教研室2009年4月23日附件1：2009年全国初中数学联赛团体优胜奖名单团体优胜奖（共7名）镇海区蛟川书院慈溪实验中学宁波外国语学校鄞州区田莘耕中学慈溪阳光实验学校鄞州宋诏桥中学鄞州古林镇中学附件2：2009年全国初中数学联赛获奖名单一等奖张馨怡镇海区蛟川书院干于越镇海区蛟川书院张挺鄞州区田莘耕中学钱旭楠鄞州区宋诏桥中学王宁鄞州区古林镇中学邵峰鄞州区李关弟中学曹旸慈溪实验中学陈栋慈溪实验中学高笑潇慈溪实验中学龚梦佳慈溪市新世纪实验学校王瑞瑆慈溪市观海卫初中房君锋慈溪实验中学蒋晓天慈溪育才中学陈哲晖慈溪阳光实验学校周正泽镇海区蛟川书院竺俊博镇海区蛟川书院陈佳云镇海区蛟川书院王聪镇海区蛟川书院崔爽怡镇海区蛟川书院吴思晗镇海区蛟川书院郑小东镇海区蛟川书院周笑天镇海区蛟川书院郑天海北仑顾国和外国语学校周琛宁波外国语学校胡九匀宁波外国语学校韩鑫宁波外国语学校王佳栋镇海区蛟川书院周逸云镇海区蛟川书院毛行健象山县文峰学校陈科彪鄞州区姜山实验中学袁淦慈溪实验中学徐旭程慈溪实验中学吴奇鲁北仑顾国和外国语学校张泽寰鄞州区宋诏桥中学毕腾锋鄞州区李关弟中学金焕鄞州区田莘耕中学崔丹杰鄞州区田莘耕中学周超男鄞州区古林镇中学毛佳乐鄞州区横街中学陈姣姣慈溪阳光实验学校任沛伦慈溪实验中学张成竹镇海区蛟川书院吕晨镇海区蛟川书院马梦琪镇海区蛟川书院董舒羽镇海区蛟川书院李瑞洲宁波华茂外国语学校杨陈昕镇海区蛟川书院谢李兴镇海区仁爱中学滕皓鄞州区宋诏桥中学耿皓鄞州区宋诏桥中学柴珏辉鄞州区宋诏桥中学余阳慈溪阳光实验学校周军杰慈溪育才中学王丰镇海区蛟川书院吴可凡宁波市明楼中学陈双乐宁波外国语学校严煜东慈溪市新世纪实验学校梁海浪鄞州区集士港中学朱煜宗鄞州区宋诏桥中学王铖慈溪市上林中学黄舒荟镇海区蛟川书院范勇镇海区蛟川书院周斐鄞州区姜山实验中学王家宁鄞州区古林镇中学吴雪松慈溪阳光实验学校岑益鹏慈溪育才中学俞雷钧宁波外国语学校陈哲泳宁波外国语学校杨旭雷鄞州区田莘耕中学孙强鄞州区田莘耕中学龚科铭鄞州区宋诏桥中学汪力晟鄞州区宋诏桥中学谢静含鄞州区宋诏桥中学毛凯杰鄞州区集士港中学胡航恺慈溪实验中学胡超元慈溪市新城中学李明慈溪实验中学岑晟慈溪实验中学何人可宁海跃龙中学吕宣融镇海区蛟川书院王一舟宁波外国语学校张光宇宁波外国语学校叶万达宁波外国语学校叶凯文宁波华茂外国语学校叶明翔镇海应行久外语实验学校成励翊慈溪阳光实验学校胡觅阳慈溪实验中学二等奖林繁荣鄞州区塘溪中学陈彬鄞州区姜山镇中心中学邬乐婷奉化实验中学周志毅宁海跃龙中学金焱波宁波东海实验学校张寒之宁波外国语学校夏立伟宁波外国语学校干文捷宁波外国语学校赵斌鄞州区田莘耕中学王荣晟宁波市东恩中学胡冯钦宁波外国语学校马宇桥宁海跃龙中学殷学杰鄞州区李关弟中学周易宁海潘天寿中学胡艇艇北仑芦江书院蒋哲宁波外国语学校王乐乐宁波外国语学校王逸璐宁波东海实验学校丁燕岚北仑芦江书院石强宁波市东恩中学沈汪莹鄞州区横街中学马浙平奉化城北中学吴鹏飞宁海城关中学尤小龙宁海跃龙中学方舟象山县文峰学校杨屹羚象山县文峰学校袁梦阳宁波东海实验学校楼昕烨北仑顾国和中学徐雨哲宁波外国语学校周柯琪宁波东海实验学校周馨奉化实验中学王启楠宁波东海实验学校冯迭乔宁海潘天寿中学胡丁冉象山丹城中学朱浩宁波惠贞书院江海奉化实验中学尤淑华宁海桃源中学金宇阳宁波七中姜仑宁波七中邱立本宁海跃龙中学王一雯象山县文峰学校竺金磊奉化城北中学王琛象山县文峰学校殷俊杰象山县文峰学校王俊恺象山县文峰学校王安琪顾国和外国语学校张捷宁波市东恩中学刘奇磊宁波市第十五中学徐晨宁波惠贞书院顾鹏真宁波市第十五中学吴朝阳宁波市明楼中学颜华卿宁波市东恩中学王挺奉化实验中学翁亦青宁波市第十五中学刘泽春宁波市东恩中学忻光耀宁波市第十五中学周汝栋宁波市第十五中学周啸霄宁波市曙光中学胡钦赢宁波七中孔津聿江北实验中学蓝旭丹奉化锦屏中学金协城宁海跃龙中学顾博超象山县文峰学校俞翰毅象山县荔港学校崔宁宁波市曙光中学陈昀臻奉化锦屏中学薛佳伟宁海跃龙中学黄建华宁海跃龙中学王艳玲象山滨海学校何立伟宁波市第十五中学许倩倩宁波市东恩中学周凡宁波市翠柏中学毛临风宁波七中翁哲伟宁波外国语学校葛腾辉宁海跃龙中学应海旭宁波市第十五中学李依纯象山县丹城中学房伟康宁波七中张雨鸣奉化奉港初中朱李栋奉化锦屏中学陈玮奉化锦屏中学应京含奉化锦屏中学娄学思宁海跃龙中学王洁科宁海长街镇中史丹丽象山县文峰学校周嘉懿象山县文峰学校竺琦玫象山县文峰学校吴珂璟宁波市东恩中学范佳乐宁波市东恩中学忻仕杰宁波市曙光中学李雯倩宁波惠贞书院周芸宁波市幸福苑实验学校朱旭律宁波惠贞书院莫伊娜奉化实验中学徐鑫奉化锦屏中学吴祚煜象山文峰学校李时天宁波惠贞书院乌帅宁波庄桥中学张意楠宁波七中陈正宇宁波惠贞书院唐晨宁波惠贞书院吴佳成宁波七中楼哲炜宁波惠贞书院陈旭东宁波七中陈欣源宁波惠贞书院罗靖茜宁波惠贞书院顾圣涛宁波惠贞书院周梦蝶宁波惠贞书院三等奖毛佩琦鄞州区集士港中学潘露微鄞州区田莘耕中学吴欣怡鄞州区宋诏桥中学虞炎彬鄞州区古林镇中学徐广渊鄞州区姜山实验中学蒋阳阳鄞州区集士港中学陈玲丹鄞州区古林镇中学胡柯立鄞州区横街中学徐慧鄞州区田莘耕中学章莎莎鄞州区宋诏桥中学黄焕鄞州区宋诏桥中学周卓超鄞州区古林镇中学任超敏鄞州区古林镇中学应瑜鄞州区樟村中学殷学杰鄞州区李关弟中学徐倩梦鄞州区田莘耕中学周秀秀鄞州区逸夫中学戴科泉鄞州区宋诏桥中学熊雪婷鄞州区宋诏桥中学蒋雨晴鄞州区宋诏桥中学潘俊杰鄞州区宋诏桥中学朗天楠鄞州区宋诏桥中学王政鄞州区集士港中学楼莹雯鄞州区古林镇中学任启盈鄞州区古林镇中学余黄伟鄞州区古林镇中学陈宇迪鄞州区集士港中学俞晓露鄞州区集士港中学高胜寒慈溪市实验中学孙蒙召慈溪市新城中学孙莉慈溪市阳光实验余树干慈溪市阳光实验毛梦丹慈溪市实验中学何伟栋慈溪市实验中学陈裕梁慈溪市锦纶中学徐金金慈溪市育才中学陈嘉瑜慈溪市阳光实验褚云峰慈溪市锦纶中学楼霆慈溪市巷城初中冯榆晨慈溪市逍林中学陈曦孛慈溪市实验中学邹云剑慈溪市新世纪沈启慈溪市实验中学孙一材慈溪市实验中学沈翔慈溪市实验中学张译慈溪市育才中学孙家乐奉化市实验中学张晟奉化市实验中学毛柔燕奉化市实验中学傅丽琴宁波东方外国语学校林泼奉化市锦屏中学陈攀绩奉化市锦屏中学余路炜奉化市实验中学周函婷奉化市城北中学单许桓奉化市城北中学徐飞奉化市奉港初中胡悠宁波求真学校邬炳科奉化市西坞中学肖浩泉奉化市莼湖初中李夏蔚奉化市实验中学周经纬奉化市实验中学任珂朴宁海跃龙中学徐海松宁海桃源中学应俊宁海跃龙中学潘俊飞宁海跃龙中学江伊丽宁海跃龙中学葛先科宁海桃源中学徐如媚宁海桃源中学陈纤予宁海桃源中学崔露允宁海西店中学葛为宗宁海跃龙中学陈田甜宁海桃源中学赵坚宁海跃龙中学范嘉帆宁海潘天寿中学葛东波宁海潘天寿中学何贤武宁海城关中学胡锦浩宁海西店中学葛素素象山县文峰学校鲍文焕象山县文峰学校徐嘉楠象山县文峰学校章牧遥象山县文峰学校王翰江象山县文峰学校鲍舒云象山县文峰学校赖一鸣象山县滨海学校钱栩象山县丹城二中杨莎莎象山县滨海学校王启帆象山县文峰学校余晨沁象山县文峰学校陈波象山县新港中学王蓓佳象山县滨海学校吕蜂象山县新港中学陈瑜超象山县文峰学校沈应豪象山县文峰学校周璐象山县文峰学校范中杰镇海区蛟川书院顾天长镇海区蛟川书院李哲燏镇海区蛟川书院王竹升镇海区蛟川书院陈凯琦镇海区蛟川书院顾全镇海区蛟川书院仇明月镇海区蛟川书院刘嘉威镇海区仁爱中学金辉镇海区蛟川书院胡金杰镇海区蛟川书院施信超镇海区蛟川书院周天漪镇海区蛟川书院徐文凯镇海区蛟川书院章维明镇海区蛟川书院范天奇镇海区蛟川书院刘媛镇海区蛟川书院翁文涛镇海区蛟川书院蔡哲宁镇海区蛟川书院张学磊镇海区蛟川书院翁凯浩镇海区蛟川书院王铮镇海区蛟川书院张易凡镇海区蛟川书院袁鑫北仑区顾国和外国语学校方鑫磊北仑区东海实验董浩凯北仑区芦江书院宋晶晶北仑区东海实验吴卓辉北仑区东海实验虞小英北仑区顾国和外国语学校张丹维北仑区东海实验王钢杰北仑区松花江中学沈麒北仑区东海实验毛一帆北仑区东海实验冯璐北仑区顾国和外国语学校赵宇翔北仑区顾国和外国语学校吴松展北仑区东海实验乐可辛北仑区长江中学陈鑫北仑区江南中学奚洋洋北仑区联合实验中学黄鹤鸣宁波市东恩中学毛天慧宁波市第十五中学杨默宁波市第十五中学张仁杰宁波市东恩中学梅奕欣宁波市第十五中学黄杰宁波市第十五中学陈晔宁波市第十五中学石俊宁波市李兴贵中学朱家琰宁波市东恩中学吴海宁波市东恩中学马淑君宁波市第十五中学张一诺宁波市第十五中学杨峥宁波市第十五中学陈勇道宁波市翠柏中学王慧质宁波市第十五中学史笛宁波市第十五中学项溥原宁波市李兴贵中学徐嘉烨宁波市东恩中学孙怡然宁波七中孙卓宁波七中王欣轶宁波市第十九中学钟逸霏宁波市曙光中学施哲朴宁波七中金俊琦宁波七中陈冠宇宁波七中陈盛臻宁波七中罗吉君宁波市春晓中学徐俊杰宁波七中朱怡宁波市幸福苑实验学校吴悦旻宁波市曙光中学张文嵩宁波七中杨展宁波七中薛嵩宁波市曙光中学洪磊宁波市洪塘中学陈瑜宁波市惠贞书院王亦君宁波市慈湖书院唐亚正宁波市洪塘中学张文杰宁波市修人学校郑佳浩宁波市洪塘中学陈思澹宁波市惠贞书院马夏冰宁波市实验中学方磊宁波市妙山学校任凯宁波市妙山学校汤雨欣宁波市惠贞书院王梁坤宁波市惠贞书院梁善林宁波市洪塘中学戴妍妍宁波市惠贞书院汪儒灏宁波市三江中学郑思超宁波市三江中学源逸宁波市惠贞书院胡玄烨宁波兴宁中学王梦阳宁波外国语学校伍天禾宁波外国语学校杨汐宁波万里学校李乾宁波外国语学校严喆宁波华茂外国语学校王品安宁波万里学校罗玥琦宁波兴宁中学徐天忆宁波外国语学校任佳星宁波外国语学校熊天竹宁波外国语学校卓家隆宁波外国语学校刘震宁波外国语学校姚文婕宁波兴宁中学张文瑜宁波华茂外国语学校胡霄月宁波外国语学校周迪龙宁波外国语学校王虹宁波信懋学校附件3：2009年全国初中数学联赛优秀指导教师奖名单鄞州区袁君吴亚红王可芳华亚君戴华君张勇陈军张亚波慈溪市华漫天陈雪峰戴萍袁浩杰曹太星郑建忠王震曹太星陈国文叶建丰陈海波邹波奉化市谢寒竺孟辉何春芳邬世芬殷志存郑小玉俞武彬王亚芬王琳宁海县林红年胡亚云金齐斌杨芬仙陈建华林红年陈黎丽胡建勋周银芬国漫春鲍丽娜祁春琴李华蒋景贤胡余建象山县孙兴法王萍韩苏文方德懿朱炜炜王如启韩海亚镇海区刘清泉邓俊徐其学縢丽陈琦余维俭北仑区阮肖锋洪永忠陈孝凯邹微微王建垂张洪波丁燕波洪永忠周志程海曙区朱斌康潘菁菁徐平平顾信华董景荣邬珊珊冯玲青顾美琴徐淑贞江东区厉红信陕全录樊贞慧章剑雄杜斌蒋晓琳包伊娜张幼云卓晓敏孟笑宇梁卫东江北区直属鲍雨红郑瑄潘红波孙碧嫣卢芳芳胡翔鲁玲莉洪利芳周伟蔚方岩。