七年级数学三角形多边形练习

7.3 多边形及其内角和5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.三角形的内角和等于_____________度，外角和等于_____________度.解析：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.答案：180 3602.n 边形的内角和等于_____________度，外角和等于_____________度.解析：n 边形的内角和等于（n-2）180°，外角和等于360°.答案：（n-2）180 3603.如果一个多边形的内角和为1 440°，那么这个多边形是（ ）A.6边形B.8边形C.10边形D.12边形解析：设这个多边形为n 边形，由n 边形的内角和定理得（n-2）180°=1 440°，解得n=10. 答案：C4.过多边形一个顶点可引5条对角线，那么这个多边形是______________边形.（ ）A.5B.7C.8D.10解析：过n 边形的一个顶点可作(n-3)条对角线，则n-3=5,∴n=8.答案：C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若一个多边形的边数减少1，则它的内角和（ ）A.不变B.增加180°C.减少180°D.无法确定解析：因为（n-2）180°-（n-1-2）180°=180°，所以应选C.答案：C2.若正n 边形的一个外角为60°，则n 为（ ）A.4B.5C.6D.9解析：n 边形的外角和为360°，由于正n 边形的一个外角为60°，所以n=360°÷60°=6.答案：C3.凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1 350°，则n 等于（ ）A.6B.7C.8D.9解析：设该外角为α，则（1 350°-α）应是180°的整数倍，所以1 350°÷180°的整数部分即n 边形的边数. 答案：D4.过n 边形一个顶点可作_______________条对角线，过n 个顶点可作_______________条对角线. 解析：由图形规律可得，过n 边形的一个顶点可作（n-3）条对角线，则过n 个顶点可作（n-3）·n÷2,即21n （n-3）条.答案：n-3 21n(n-3) 5.已知多边形的每一个内角都是150°，求它的边数和内角和.解：设这个多边形为n 边形，则（n-2）180°=n·150°，所以n=12.所以（12-2）×180°=1 800°.答：它的边数为12，内角和为1 800°.6.一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750°,求这个多边形的边数及去掉的角的度数. 解析：由于多边形的内角和是180°的整数倍，所以去掉的这个角与2 750°÷180的余数的和应是180°. 设去掉的这个角为α,又有2 750°÷180的余数为50°，所以可得α+50°=180°.所以α=130°.∴该多边形的边数为（2 750°+130°）÷180°+2=18.所以这个多边形的边数为18，去掉的角度为130°.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.一个多边形的内角与外角的总和为2 160°，则此多边形是_____________边形.（ ）A.五B.六C.十D.十二解析：设这个多边形为n 边形，则（n-2）180°+360°=2 160°，解得n=12.答案：D2.若多边形的边数由n （n 为正整数）减少到3，则其外角和的度数（ ）A.不变B.增加C.减少D.无法确定解析：由多边形的外角和等于360°，故应选A. 答案：A3.若一个多边形的每个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为（ ）A.9B.8C.7D.6解析：先求出多边形的边数n ，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条.答案：D4.(2010四川广安模拟，22)已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个多边形的边数是_________________.解析：设多边形的边数为n ，则（n-2）180°=2×360°，解得n=6.答案：65.多边形的每个内角都等于它的相邻外角的6倍，则多边形是_______________边形.解析：设多边形的边数为n ，则多边形的每个外角为7180︒，则7180︒n=360°,解得n=14. 答案：十四6.某多边形所有内角的和与某一个外角的差是1 710°，那么这个多边形是_____________边形，这个外角的度数为__________________.解析：设这个多边形的边数为n ，则n 是满足（n-2）×180°＞1 710°的最小整数，所以n=12.所以这个外角的度数为（12-2）·180°-1 710°=90°.答案：12 90°7.已知一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形至少是几边形？解：设这样的多边形至少是n 边形，因为每个内角都是钝角，则每个外角都是锐角，由此可得90°·n ＞360°,∴n ＞4.∴n=5.答：这样的多边形至少是五边形.8.一块多边形的纸片，减去一个角后（没有过顶点）得到的多边形的内角和为1 620°，求原来的纸片为几边形？分析：减去一个角后比原来的多边形多了一条边.解：设新多边形的边数为n ，则（n-2）180°= 1 620°，解得n=11，所以原来的纸片为十边形.9.小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2 008°的多边形图案多有意义，试问小明的想法能实现吗？并说明理由解：小明的想法不能实现.因为多边形的内角和是180°的整数倍，而2 008°不能被180°整除，所以多边形的内角和不能是2 008°，所以小明的想法不能实现.10.如图7-3-1所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值.图7-3-1解：如图，连结AD.∵∠1+∠2+∠AOD=180°，∠E+∠F+∠EOF=180°，又∵∠AOD=∠EOF ，∴∠1+∠2=∠E+∠F.∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+E+∠F=∠BAF+∠1+∠B+∠C+∠CDE+∠2=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°.11.已知一个多边形的对角线条数是边数的3倍，求它的内角和.解：设这个多边形的边数为n ，n 边形的对角线为21n(n-3)条，根据题意列方程，得21n(n-3)=3n, 即n(n-3)=6n.∵n≠0,两边都除以n ，得n-3=6,∴n=9.从而它的内角和为（n-2）·180°=(9-2)×180°=1 260°.答：这个多边形的内角和为1 260°.。

三角形复习三角形有关边1.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为2.一个三角形的两边长为2cm和9cm，第三边长是一个奇数，则第三边的长为+-.3.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|-c b a4.已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

ECB6.用三角尺分别画出图中的各边上的高。

7.用三角尺分别画出图中的各边上的中线以及角平分线。

8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，BC=12，AC=8，AD=6，求BE 的长。

9.如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB=5cm ，AC=3cm ，则△ABD 的周长比△ACD 的周长多______________.DCBA10.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DF为△ABD中AB边上的中线。

已知AB=5cm，AC=3cm，△ABC的面积为212cm，则（1）△ABD与△ACD的周长之差是（2）△ABD的面积是（3）△ADF的面积是11.小明从家A点去学校B点，有两条路可走，A→D→B；A→C→B，可小明每回上学都走A→C →B，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？12.如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线C、两点之间线段最短D、垂线段最短FD CBA三角形有关角1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 2.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°3.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°4.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（ ）A.450B.600C.900D.12006.如图，a ∥b ，则下列式子中值为180°的是( )．A ．∠α＋∠β－∠γB ．∠α＋∠β＋∠γC ．∠β＋∠γ－∠αD ．∠α－∠β＋∠γ7.如图是由平面上五个点A ，B ，C ，D ，E 连接而成，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数是多少？8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC,AE 是∠BAC 的平分线，已知∠C=420, ∠B=740, 求∠AED 和∠DAE 的度数.9.已知△ABC ，①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902PA ∠=+∠； EDC BAAB D EC②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACD 的角平分线的交点,你能说明∠P=12∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?多边形：1、若一个多边形的内角和与外角和的比为7∶2，求这多边形的边数。

七年级数学下册《多边形》练习题及答案(华师大版)一、选择题1.下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是( )A. B. C. D.2.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（）A.5米B.7米C.10米D.18米4.将一个n边形变成n＋1边形，内角和将( )A.减少180°B.增加90°C.增加180°D.增加360°5.小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正方形、正六边形B.正三角形、正方形、正五边形C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形6.已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<67.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是( )A.43°B.47°C.30°D.60°8.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.7509.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )A. B.C. D.10.△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是( )A.4B.4或5C.5或6D.611.记n边形(n＞3)的一个外角的度数为p，与该外角不相邻的(n﹣1)个内角的度数的和为q，则p与q的关系是( )A.p＝qB.p＝q﹣(n﹣1)•180°C.p＝q﹣(n﹣2)•180°D.p＝q﹣(n﹣3)•180°12.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°二、填空题13.过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是边形．14.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是．15.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝ .16.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= .17.如图，在一个正方形被分成36个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上.在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个.18.如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．三、作图题19.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和三角板画图:(1)补全△A′B′C′(2)画出AB边上的中线CD；(3)画出BC边上的高线AE；(4)△A′B′C′的面积为.四、解答题20.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数.21.小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.（1）请用a表示第三条边长.（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由.22.已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD是∠ACB平分线，求∠A和∠CDB的度数.23.在△ABC中,AB=AC,AC上的中线把三角形的周长分为18cm和24cm两个部分,求三角形各边长．24.现实生活中，各种各样的图形随处可见.我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形…通过学习，我们知道三角形三个内角的和为180°，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题.探究：猜想并验证四边形的内角和.猜想：四边形内角和为360°验证：在四边形ABCD中，连接AC，则四边形ABCD被分为两个三角形(图2).所以，四边形ABCD的内角和＝△ABC的内角和＋△ACD的内角和＝180°＋180°＝360°请类比上述方法探究下列问题.(1)探究：猜想并探究五边形ABCDE的内角和.(图3)猜想：验证：(2)根据上述探究过程，可归纳出n边线内角和为.(3)证明：①已知一个多边形的内角和为1800°，那么这是个边形.②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他.将一个多边形截去一个角后(没有过顶点)，得到的多边形内角和将会( )A.不变B.增加180°C.减少180°D.无法确定.25.如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满足(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB 交y轴于F点.(1)求点A、B的坐标；(2)点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；(3)如图 3，(也可以利用图 1)①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B.8.【答案】D.9.【答案】A.10.【答案】B.11.【答案】D.12.【答案】B.13.【答案】八．14.【答案】3或4．15.【答案】80°.16.【答案】25°17.【答案】5；18.【答案】180°．19.【答案】解:(1)(2)(3)题如图所示.(4)△A′B′C′的面积为:8.故答案为:8.20.【答案】解：设这个多边形的边数是，则(n﹣2)×180＝360×4，n﹣2＝8，n＝10.答：这个多边形的边数是10.21.【答案】解：（1）第三边为：30﹣a﹣（2a+2）=（28﹣3a）m. （2）第一条边长不可以为7m.理由：a=7时，三边分别为7，16，7∵7+7＜16∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.22.解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠A=×180°=40°，∠ACB=×180°=80°∵CD是∠ACB平分线，∴∠ACD=0.5∠ACB=40°∴∠CDB=∠A+∠ACD=40°+40°=80°23.【答案】解：设AD=CD=x,则AB=2x①当AB+AD=24时,得：3x=24,x=8AB=AC=16∵BC+x=18∴BC=10；②当AB+AD=18时3x=18,x=6AB=AC=12又BC+x=18∴BC=6.24.【答案】解：(1)探究：猜想：五边形ABCDE的内角和为540°.理由：如图3中，连接AD、AC.由图可知，五边形的内角和＝△ADE的内角和＋△ADC的内角和＋△ACB的内角和＝180°＋180°＋180°＝540°，故答案为540°.(2)因为：三角形内角和为180°＝(3﹣2)×180°四边形内角和为360°＝(4﹣2)×180°五边形内角和＝(5﹣2)×180°，…所以可以推出n边形的内角和＝(n﹣2)•180°故答案为(n﹣2)•180°.(3)①设是n边形，由题意(n﹣2)•180°＝1800，解得n＝12∴这个多边形是12边形.故答案为12.②因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，所以将一个多边形截去一个角后(没有过顶点)，得到的多边形内角和可能不变，可能增加180°，也可能减少180°，不能确定，故选D.25.【答案】。

7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2 12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=度．（用含n的代数式表示最后的结果）24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．30．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．31．（1）如图①，你知道∠BOC=∠1+∠2+∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；（2）如图②，设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，运用（1）中的结论填空．x=；x=（3）如图③，一个六角星，其中∠BOD=80°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故选B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2=5，即n=7．故选C．【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．【解答】解：如图，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选C．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n ﹣2）•180°．11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°∴∠1=∠2∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°∴∠3﹣∠2=5°，∴∠3＞∠2∴∠3＞∠1=∠2故选（D）【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴6x=180°，∴x=30°，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=6．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：依题意有：（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是9．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；故答案为：70°，125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=1080，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=360（n﹣2）度．（用含n的代数式表示最后的结果）【分析】在（1）的基础上类似作辅助线，把要求的所有角转换到一个多边形中，再根据多边形的内角和定理进行求解．【解答】解：（1）如图所示，则S=∠A1+∠A2+…+∠A8=S=∠A1+∠A2+…+∠A5+∠M+∠1+∠2=（6﹣2）×180°=720°．（2）依此类推，得是二环五边形时，则S=1080°；推而广之，二环n边形（n≥3的整数）时，S=360（n﹣2）．【点评】此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角能够构造到一个多边形中．n边形的内角和是（n﹣2）×180°．24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）．（2）从十五边形的一个顶点可以引出12条对角线，十五边形共有90条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线：×15×（15﹣3）=90（条）；（3）设多边形有n条边，则n（n﹣3）=n，解得n=5或n=0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．【分析】两种方案都是可行的，方案一可按照思路：n个三角形的内角和减去一个周角的度数，方案二按照思路：（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角的度数．【解答】解：小明和小方的方案均可行．理由如下：小明的方案：n边形的内角和等于n个三角形的内角和减去一个周角，即n边形的内角和为n×180°﹣360°为（n﹣2）×180°；小方的方案：n边形的内角和等于（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角，即n边形的内角和为（n﹣1）×180°﹣180°为（n﹣2）×180°．【点评】本题考查了多边形的内角和，解答本题关键是仔细观察所给图形，利用三角形的内角和定理解答．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣（∠ADC+∠ACD）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣（∠ADC+∠BCD）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠B）．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠C．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+（∠B+∠D）．【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【解答】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P=90°+（∠B+∠D）．解法二：如图3，∵AP平分△AOB的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，分别作∠BAD、∠BCD的角平分线交于点M，则∠5=∠6，∵∠1+∠2+∠5+∠6=180°，∴∠2+∠6=90°，即∠PAM=90°，同理：∠PCM=90°，∴在四边形APCM中，∠P+∠M=180°，由问题2，得∠M=（∠B+∠D）．∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）．如图4中，作∠BCD的角平分线，交AP的延长线于点N，则∠1=∠2，由问题2，得∠N=（∠B+∠D）．∵CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=90°，即∠PCN=90°，∵∠APC=∠PCN+∠N∴∠APC=90°+（∠B+∠D）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．【分析】（1）只要证明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE ﹣∠ABC）即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB=180°﹣（∠BAI+∠ABI）=180°﹣（90°﹣∠ACB）=90°+∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI=∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC=90°，∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB，∴∠AIB=∠ADI．（2）①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ACE=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴∠IDC=∠ACF，∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，∵∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠F=∠FCE﹣∠FBC，∵∠FCE=∠ACE，∠FBC=∠ABC，∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE﹣∠ABC）=35°【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．【分析】（1）①先根据三角形的内角和求∠ACB=70°，由平行线的性质得：∠DAC=70°，利用角平分线得：∠DAE=35°，最后利用平行线的内错角相等得结论；②设∠CAE=x，∠BAC=y，在△ACD和△ABE中根据三角形内角和表示∠ADC和∠AEC，可得结论；（2）如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，在△ACE中根据外角的性质得：∠AEC=nx﹣ny=n（x﹣y），在△ADC中，根据三角形内角和可得∠ADC的度数，由此可得结论．【解答】解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=70°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°，∵AD∥BC，∴∠AEC=∠DAE=35°，故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC，理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=，∵AB∥CM，∴∠ACM=∠BAC=y，∴∠ADC=180﹣2x﹣y，△ABE中，∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣，。

多边形练习题一．选择题1．正八边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．60°C．135°D．45°2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5cm，6cm，11cm B．1cm，3cm，5cmC．2cm，3cm，6cm D．3cm，4cm，5cm3．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．75°4．如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（）A ．α﹣180°B．180°﹣αC ．αD．360°﹣α（第3题）（第4题）（第5题）（第7题）（第8题）5．如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S△BEF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．10 cm26．正多边形内角和为540°，则该正多边形的每个外角的度数为（）A．36°B．72°C．108°D．360°7．如图，正五边形ABCDE，点F是AB延长线上的一点，则∠CBF的度数是（）A．60°B．72°C．108°D．120°8．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，若∠A＝70°，∠AED＝60°，则∠B的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．55°9．如图，已知四边形ABCD中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°10．若一个三角形三个内角度数的比为3：4：11，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的外角平分线，且CD∥AB，若∠ACB＝100°，则∠B 的度数为（）A．35°B．40o C．45o D．50o12．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）A．6B．5C．4D．713．若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（）A．2B．4C．6D．814．四边形剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能15．将两个直角三角板如图所示放置，DF恰好经过点C，AB与EF在同一条直线上，则∠BCF＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°16．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个17．从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n＝（）A．8B．9C．10D．1118．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°19．下列说法中，错误的是（）A．任意多边形的外角和都是360°B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形D．三角形的中线、角平分线、高都是线段20．某小区要植一块三角形草坪，两边长分别是30米和80米，那么这块草坪第三边长可以是（）A．110米B．70米C．20米D．50米21．三条高的交点一定在三角形内部的是（）A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形22．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC 外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°23．十边形的外角和等于（）A．1800°B．1440°C．360°D．180°24．过n边形的其中一个顶点有5条对角线，则n为（）A．5B．6C．7D．825．如图，∠1＝125°，∠C＝65°，则∠A＝（）A．125°B．65°C．70°D．60°26．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．220°D．320°27．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°（第25题）（第26题）（第27题）（第29题）28．从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．929．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°30．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°31．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（）A．2＜x＜5B．3＜x＜8C．4＜x＜7D．5＜x＜932．我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（）A．9B．54C．60D．10833．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．434．若一个多边形的内角和为540°，则该多边形为（）边形．A．四B．五C．六D．七35．若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形的边数是（）A．十二B．十C．八D．十四36．若一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形37．一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是（）A．60°B．90°C．180°D．360°38．一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°39．一个正多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为（）A．4B．6C．8D．1二．填空题1．如图，AC、AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是．2．如图，在△ABC的纸片中，∠C＝69°，剪去△CED，得到四边形ABDE，则∠AED+∠BDE＝°．3．如果一个多边形的每一个角都相等，且一个内角是它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是．4．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进150米后向左转45°，再沿直线前进150米后，又向左转45°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．(第1题) (第2题) (第4题) (第5题)5．如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后向左转36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了m．6．如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果，∠1+∠2+∠3＝225°，那么∠DFE的度数是．（第6题）（第7题）7．如图，AB、CD是互相垂直的小路，它们用BE、EF、FC连接，则∠ABE+∠BEF+∠EFC+∠FCD＝度．。

B C 三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ， CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ）A ：AEB ：CDC ：BFD ：AF3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能A 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

A ：三角形的角平分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都不对5、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。

7.5 多边形的内角和与外角和第1课时三角形三个内角之间的关系基础练知识点三角形三个内角之间的关系1.在△ABC中,若∠C=100°,∠B=10°,则∠A=_______2.在△ABC中,若∠A=80°,∠B=∠C,则∠B =_______3.在Rt△ABC中,∠C=90,∠B=54°,则∠A的度数是( )A. 66°B.36°C.56°D.46°4.如图,直线AB∥CD,∠B=50°,∠C=40,则∠E等于( )A.70°B.80°C.90°D.100°第4题图第5题图第8题图5.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=45°,∠B=60°,则这个三角形残缺前的∠C 的度数为( )A.75°B.65C.55D.45°6.若三角形的一个内角等于另外两个内角和的2倍,则此三角形的最大角是( )A. 90°B.115°C.120°D.135°7.已知在△ABC中,∠A=45°,∠B=46°,那么△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC上,且DE∥AC,∠A=80°,∠BED=55°,则∠B=_____9.在△ABC中, ∠B比∠A大360，∠C比∠A小360，求△ABC各内角的度数.10.如图, △ABC中,∠A=460，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD//EC , ∠D=42°,求∠B的度数.易错点因忽视三角形的形状而漏解11.已知AD是△ABC的高,并且∠ACD=70°,∠ABD=30°,则∠BAC=_____能力练12.在△ABC中,若∠A：∠B：C=1：2：3，.则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形13.一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α等于( )A. 105°B.115°C.120°D.135°14.如图,直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A,B两点,AC⊥AB交b于点C,∠1=40°,则∠2的度数是( )A. 40°B.45°C.50°D.60°第13题图第14题图第15题图15.如图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,那么图中与∠A相等的角是_______16.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B: ∠C=1:2:3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有________(填序号)17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30°,∠2=20°,则∠B=______18.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.19.如图,在△ABC中,BD,CD是内角平分线,BD,CD 交于点D,BE,CE是外角平分线,BE,CE交于点E 试猜想∠D与∠E的关系,并说明理由.素养练20.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.(1)若∠C=70°,∠B=40°,求∠DAE的度数;(2)若∠C-∠B=30°,则∠DAE=_______(3)若∠C-∠B=α(∠C>∠B),求∠DAE的度数(用含a的式子表示)第2课时多边形的内角和基础练知识点多边形的内角和定理1.一个十二边形的内角和等于( )A.2160°B.2080°C.1980°D.1800°2.将一个n边形变成(n+2)边形,内角和将( )A.减少180°B.增加180°C.减少360°D.增加360°3.若一个正多边形每个内角度数是方程-2x+140=-130的解,则这个正多边形的边数是( )A.9B.8C.7D.64.一个n边形的内角和等于720°,则n=________5.在五边形ABCDE中,若∠A +∠B+∠C+∠D=440°,则∠E=________6.正六边形从一个顶点出发可以画_________条对角线,这些对角线把正六边形分割成______个三角形.7.如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_______能力练8.小明在计算一个多边形的内角和时,漏掉了一个内角,结果算得800°,则这个多边形应该是( )A六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形9.把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为( )A.9B.10C.11D.以上都有可能10.如图,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=________度.11.如图,在五边形ABCDE中,已知AB∥CD,则x=______12.如图,在正五边形ABCDE中,对角线AC与BE相交于点F,则∠AFE=_______度.13.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______度14.两个正多边形的边数之比为1:2,内角和之比为3:8,求这两个多边形的边数素养练15.如图,三角形的对角线有0条,四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条,六边形的对角线有9条.通过分析,请计算:(1)十边形的对角线条数为________(2)n边形的对角线条数为________(用含n的代数式表示)第3课时多边形的内角和基础练知识点多边形的外角及外角和1.正十边形的外角和为( )A180° B360° C.720° D.1440°2.已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为( )A.12,B.10C.8D.63.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )A.10B.11C.12D.134.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的内角和是_______5.若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为_________6.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是_______7.已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角大120°, 求这个多边形的边数易错点因混淆内角和与外角和而出错8.当一个凸多边形的边数由原来的3增加到n(n>3,且n为正整数)时,它的外角和( )A.增加(n-2)·180° B减小(n-2)·180° C.增加(n-1)·180° D.没有改变能力练9.如图,某人从点A出发,前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,按照这样的方式一直走下去,当他第一次回到出发点A时, 共走了A.24mB.32mC.40 mD.48m第9题图第10题图10.如图,在七边形ABODEFG中, AB.ED的延长线交于点Q.若∠1,∠2,∠3,∠4对应的邻补角的和等于225°,则∠BOD的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°11.在各个内角都相等的多边形中,一个外角等于一个内角的13,求这个多边形每个内角的度数和它的边数.12.一个多边形的每个外角都相等, 如果它的一个内角与一个外角的度数之比为13:2,求这个多边形的边数及对角线的条数13.如图,请猜想∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明理由。