第四章根轨迹分析复习要点
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第四章 根轨迹分析复习要点
根轨迹图绘制规则,以系统开环传递函数:()()
14.005.02++=S S S K
S G 为例,画出系统的根轨迹图。 1.对称性:控制系统的根轨迹图。因系统开环增益K 变化,导致系统闭环特征方程的根在复平面上变化,形成根轨迹图。闭环特征方程的根或者为实数,或者为一对共轭复数(实部相同,虚步互为相反数),所以控制系统的根轨迹图关于实轴对称。
2.根轨迹分支数:控制系统开环传递函数中,分母多项式的解为极点,个数为n ,分子多项式的解为零点,个数为m ,所以系统有n 条根轨迹,m 条终止于零点,n-m 条终止于无穷远处。例题中系统有0个零点,3个极点,0条根轨迹终止于零点,3条根轨迹终止于无穷远处。闭环系统特征方程是:04.005.023=+++K S S S 。3个开环极点为:P1=0,P2=-4+2j ,P3=-4-2j 。
3.确定实轴上属于根轨迹的段。实轴上任意取一点,该点右端零极点个数和为奇数,则该点所在段属于根轨迹。例题中,整个负实轴均为根轨迹。
4.渐近线:有n-m 条渐近线,与实轴正向夹角()0,1,...,1
21K n m K n m π
θ=--+=-,与实轴交点
-a n m
σ-=-所有极点和所有零点和,例题渐近线与实轴交点:-2.67,渐近线与实轴夹角:60度,180度,300度。
5.求分汇点:特征方程中K 用s 表示,对K 求s 的一阶导数,令之为0,解方程可得根轨迹的分汇点,
根据实际情况适当取舍。例题,特征方程为:320.050.4S S S K ++=-,200.150.810dK S S ds
=++=,,12S 3.33S 2解得:=-,=-,均为分汇点。
6.出射角:极点出射角为:180度+所有零点与该极点连线与实轴正向夹角和-所有其他极点与该极点连线与实轴正向夹角和。例题,P2的出射角为:180+0-(153.4+90)=-63.4度,因为根轨迹的对称性,P3的出射角为:63.4度。
7.与虚轴交点:s =j ω 带入特征方程,整理出实部和虚部,令之为0,解2个方程得到ω和K 的值,ω为根轨迹和虚轴交点,K 为到达交点时的增益数值,大于该值系统失去稳定性。例题中
s =j ω 带入04.005.023=+++K S S S ,可得:()()32j 0.40K ωωω-+-=,解得8, 4.47K ω==。
王小增 20141116