不等式·用分析法证明不等式

分析法证明不等式不等式是数学中重要的概念，对于分析法证明不等式的方法，可以通过利用数学推理和严密的论证来证明不等式的成立。

下面将结合具体的例子，来阐述分析法证明不等式的步骤和方法。

首先，我们来讨论一个常见的不等式：对于任意的正实数a、b和c，有以下不等式成立：(a+b+c)^3 ≥ 27abc我们可以通过以下步骤来进行分析法证明：步骤1：观察不等式的成立条件和结论。

不等式要求给定的实数a、b和c都是正实数，并且它的结论是(a+b+c)^3 ≥ 27abc。

步骤2：对不等式的结论进行合理的假设。

在这个例子中，我们可以假设a、b和c都是正实数，并且它们的和是常数k。

这样，我们可以记a = k-x, b = k-y和c = k-z，其中x、y和z是正实数。

步骤3：代入假设的条件，将不等式转化为关于x、y和z的表达式。

根据假设，我们可以将(a+b+c)^3 ≥ 27abc转化为(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z)。

步骤4：化简不等式表达式。

通过展开和化简，我们可以得到(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z) ≈ (3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz)。

步骤5：利用数学推理进行证明。

对于右侧的表达式，我们可以使用陶大数不等式来进一步化简。

陶大数不等式指出，对于任意的非负实数x和y，有(x+y)^3 ≥ 4(x^3+y^3)。

因此，我们可以将右侧的表达式化简为(3k-2x-2y-2z)^3 ≥27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz) ≥ 27(k^3 - k^2(3k) +k(3k^2) - k^3) = 0。

步骤6：得出结论。

根据化简后的表达式，我们可以得出(3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 0的结论。

因此，根据假设的条件和数学推理，我们证明了(a+b+c)^3 ≥27abc对于任意的正实数a、b和c成立。

不等式证明——分析法不等式证明是数学中常见的问题，解决不等式证明的一种方法是使用分析法。

分析法是通过观察、推理和逻辑推导来证明不等式的方法，它可以帮助我们理解不等式的性质和特点，从而解决不等式问题。

下面将以1200字以上的篇幅来详细介绍分析法在不等式证明中的应用。

不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。

不等式证明是解决不等式问题的一种方法，它需要我们通过一系列推理和推导来证明不等式的正确性。

分析法是不等式证明中常见的方法之一，它通过观察和推理来解决不等式问题。

在使用分析法证明不等式时，我们首先需要观察不等式的性质和特点。

通过观察，我们可以发现不等式中的规律和模式，从而帮助我们理解不等式的性质。

例如，对于一个简单的不等式a+b>c，我们可以观察到，当a和b的和大于c时，不等式成立。

当a和b的和小于c时，不等式不成立。

通过观察，我们可以得出结论：不等式成立的条件是a+b>c。

除了观察之外，推理也是使用分析法解决不等式问题的重要方法。

推理是通过使用已知的条件和定理来进行逻辑推导，从而得出结论的过程。

在不等式证明中，我们可以使用数学原理和性质来进行推理。

例如，如果我们知道a>b，b>c，那么我们可以推导出a>c。

通过推理，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。

在不等式证明中，逻辑推导也是使用分析法的重要方法。

逻辑推导是通过使用逻辑规则和推理规则来进行推导，从而得出结论的过程。

在不等式证明中，我们可以使用逻辑规则和推理规则来进行推导。

例如，根据逻辑规则“如果p成立，则q也成立”，我们可以得出结论：如果a>b，那么a+c>b+c。

通过逻辑推导，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。

在使用分析法证明不等式时，我们还需要注意一些常见的技巧和策略。

例如，我们可以通过增减项、乘除项、换元法等技巧来改变不等式的形式，从而更容易进行证明。

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：4-5分析法证明不等式【教学目标】1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用分析法证明不等式。

【重点、难点】重点：分析法证明不等式。

难点：分析法证明不等式。

【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；1，预习p17-p18,【自主探究】i.分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证明方法称为。

即“执果索因”的证明方法，即从“未知”看“”它也是证明不等式的一种重要的基本方法。

证明时一定要注意书写格式。

ii.分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理每一步都必须可逆，简言之，步步可逆。

证明的模式(步骤)以论证“若A则B”为例；欲证明B成立，只需证明B1成立，从而又……只需证明B2成立，从而又………………只需证明A为真，今已知A真,故B必真可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成12......B B B A⇐⇐⇐⇐【合作探究】证明下列不等式（1）求证：2>（2）已知ａ＞0, b>0且a>b <【巩固提高】（1），已知a,b,x,y R ∈,且22221,1a b x y +=+=,求证: 1ax by +≤（2），已知a,b ,1R a b +∈+=,求证:1125()()4a b a b ++≥【能力提升】已知 a,b ,2,R c a b +∈>+求证: c a c <<本节小结：————————————————————————————————————————————。

在学习中，我们经常会遇到不等式证明题.证明不等式的方法有很多种，如比较法、综合法、分析法、反证法、换元法等，本文重点谈一谈证明不等式的三种常用措施.一、利用分析法分析法是指从需要证明的不等式出发，寻找使该不等式成立的条件，从而证明不等式成立，即由“果”寻“因”.运用分析法证明不等式的基本步骤为：①研究待证不等式，将其进行适当的变形、化简；②灵活运用相关的定理、公式、定义进行推理、论证，逐步与已知条件或某些结论靠拢，寻找使其成立需要的条件；③得出结论.例1.已知a，b∈R+，证明：+≥a+b.分析：题目中的已知条件较为简单，解答本题，需由“果”寻“因”，运用分析法来求证.从待证不等式出发，通过开方、移项、运用完全平方式，将其化为完全平方式，从而证明不等式成立.证明：要证明+1+a≥a+b，只需证明1+a2-ab+b2≥()1+a2()1+b2，则需证明()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，而()1+a2-1+b22≥0，()a-b2≥0，所以()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，所以命题得证.二、运用反证法运用反证法证明不等式，需先假设待证不等式不成立，若原不等式为A≥B，则可假设A<B成立.再将假设的不等式作为条件，据此进行推理、分析，得出与已知条件或某些定义、定理、公式相矛盾的结论，从而说明假设不成立，进而证明不等式成立.例2.已知a,b,c∈(0，+∞)，则a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.证明：假设a+4b，b+9c，c+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a<18,由基本不等式可得a+4b+b+9c+c+16a≥+=18，这与假设的结论相矛盾，故假设不成立，所以a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.本题从正面入手较为困难，需采用反证法来求证.首先假设结论不成立，即a+4b、b+9c、c+16a都小于6，然后利用基本不等式，得出与已知相矛盾的结论，从而证明原结论成立.三、换元运用换元法证明不等式，需用新变量替换不等式或者其中的某一个代数式，通过换元，使其结构、形式得以改变，如将无理式转变为有理式，将分式转化为整式等.再结合已知条件化简、整理换元后的式子，从而证明原不等式成立.例3.若x i∈()0，+∞，i=1，2，3，⋯，n，证明：x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.证明：由题意可知，x2ix2i+x i+1x i+2=1-x i+1x i+2x2i+x i+1x i+2=1-11+x2i xi+1xi+2，()1≤i≤n，设yi=x2ixi+1xi+2，y i>0，可得0<y i y j≤1()i≠j，则11+yi+11+yj=2+y i+y j()1+yi()1+yj=1+y i+y j+11+y i+y j+y i y j≥1，则x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2=n-æèçöø÷11+y1+11+y2+⋯+11+yn≤n-1，所以x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.令yi=x2ixi+1xi+2，通过换元，将不等式转化为结构简单的式子，再根据已知条件进行推理、分析，便可快速证明结论.一般来说，分析法主要适用于证明含有根式、分式、绝对值的不等式；反证法适用于证明从正面入手较为困难的不等式问题；换元法适用于证明不等式结构复杂的问题.有时，可同时使用两个或两个以上的方法来证明不等式，这样能有效地提升解题的效率.（作者单位：江苏省扬州市高邮市临泽中学）杨乐42。

证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。

换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。

1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。

综合法由因导果。

证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法执果索因。

证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。

数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。