分析法证明不等式

分析法证明不等式不等式是数学中重要的概念，对于分析法证明不等式的方法，可以通过利用数学推理和严密的论证来证明不等式的成立。

下面将结合具体的例子，来阐述分析法证明不等式的步骤和方法。

首先，我们来讨论一个常见的不等式：对于任意的正实数a、b和c，有以下不等式成立：(a+b+c)^3 ≥ 27abc我们可以通过以下步骤来进行分析法证明：步骤1：观察不等式的成立条件和结论。

不等式要求给定的实数a、b和c都是正实数，并且它的结论是(a+b+c)^3 ≥ 27abc。

步骤2：对不等式的结论进行合理的假设。

在这个例子中，我们可以假设a、b和c都是正实数，并且它们的和是常数k。

这样，我们可以记a = k-x, b = k-y和c = k-z，其中x、y和z是正实数。

步骤3：代入假设的条件，将不等式转化为关于x、y和z的表达式。

根据假设，我们可以将(a+b+c)^3 ≥ 27abc转化为(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z)。

步骤4：化简不等式表达式。

通过展开和化简，我们可以得到(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z) ≈ (3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz)。

步骤5：利用数学推理进行证明。

对于右侧的表达式，我们可以使用陶大数不等式来进一步化简。

陶大数不等式指出，对于任意的非负实数x和y，有(x+y)^3 ≥ 4(x^3+y^3)。

因此，我们可以将右侧的表达式化简为(3k-2x-2y-2z)^3 ≥27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz) ≥ 27(k^3 - k^2(3k) +k(3k^2) - k^3) = 0。

步骤6：得出结论。

根据化简后的表达式，我们可以得出(3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 0的结论。

因此，根据假设的条件和数学推理，我们证明了(a+b+c)^3 ≥27abc对于任意的正实数a、b和c成立。

不等式证明——分析法不等式证明是数学中常见的问题，解决不等式证明的一种方法是使用分析法。

分析法是通过观察、推理和逻辑推导来证明不等式的方法，它可以帮助我们理解不等式的性质和特点，从而解决不等式问题。

下面将以1200字以上的篇幅来详细介绍分析法在不等式证明中的应用。

不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。

不等式证明是解决不等式问题的一种方法，它需要我们通过一系列推理和推导来证明不等式的正确性。

分析法是不等式证明中常见的方法之一，它通过观察和推理来解决不等式问题。

在使用分析法证明不等式时，我们首先需要观察不等式的性质和特点。

通过观察，我们可以发现不等式中的规律和模式，从而帮助我们理解不等式的性质。

例如，对于一个简单的不等式a+b>c，我们可以观察到，当a和b的和大于c时，不等式成立。

当a和b的和小于c时，不等式不成立。

通过观察，我们可以得出结论：不等式成立的条件是a+b>c。

除了观察之外，推理也是使用分析法解决不等式问题的重要方法。

推理是通过使用已知的条件和定理来进行逻辑推导，从而得出结论的过程。

在不等式证明中，我们可以使用数学原理和性质来进行推理。

例如，如果我们知道a>b，b>c，那么我们可以推导出a>c。

通过推理，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。

在不等式证明中，逻辑推导也是使用分析法的重要方法。

逻辑推导是通过使用逻辑规则和推理规则来进行推导，从而得出结论的过程。

在不等式证明中，我们可以使用逻辑规则和推理规则来进行推导。

例如，根据逻辑规则“如果p成立，则q也成立”，我们可以得出结论：如果a>b，那么a+c>b+c。

通过逻辑推导，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。

在使用分析法证明不等式时，我们还需要注意一些常见的技巧和策略。

例如，我们可以通过增减项、乘除项、换元法等技巧来改变不等式的形式，从而更容易进行证明。

不等式证明分析法不等式在数学中占有重要地位，是求解问题和证明问题中常用的方法之一、不等式证明分析法可以帮助我们更深入地理解和掌握不等式的性质和特点。

下面将通过实例来介绍不等式证明分析法。

首先，我们来看一个简单的不等式：对于任意正实数a和b，证明(a+b)^2 >= 4ab。

1.分析要证明的不等式的性质：这个不等式可以看作是两个数的平方和大于等于两倍的乘积。

根据算术均值-几何均值不等式，平方和大于等于两倍的乘积。

因此，不等式是成立的。

2. 设计证明的思路：在这个例子中，我们可以选择直接利用平方的性质来进行证明。

我们可以展开(a+b)^2并进行简化化简，然后再和4ab进行比较。

3. 具体步骤：首先，将(a+b)^2展开得到(a+b)(a+b)，进一步展开得到a^2 + 2ab + b^2然后，与4ab进行比较，我们可以发现a^2 + 2ab + b^2大于等于4ab。

4.总结：通过上述步骤，我们证明了原不等式成立。

接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子：对于任意正实数a，证明(a+1/a)^2+a^2>=2(a+1/a)。

1.分析要证明的不等式的性质：这个不等式看起来是一个平方和不等式，我们需要展开并简化它。

我们还可以观察到，两边都含有项(a+1/a)，因此我们可以尝试将其提取出来进行比较。

2.设计证明的思路：在这个例子中，我们可以选择利用展开和简化的性质来进行证明。

我们先将左边展开并化简，再将右边展开并化简。

然后比较两边是否成立。

3.具体步骤：首先，将左边(a+1/a)^2+a^2展开，得到a^2+1/a^2+2、然后，将右边2(a+1/a)展开，得到2a+2/a。

我们发现，左边的结果为a^2+1/a^2+2，右边的结果为2a+2/a。

我们可以发现，左边的结果大于等于右边的结果。

4.总结：通过上述步骤，我们证明了原不等式成立。

通过以上两个例子，我们可以看到不等式证明分析法的基本步骤和思路。

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：4-5分析法证明不等式【教学目标】1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用分析法证明不等式。

【重点、难点】重点：分析法证明不等式。

难点：分析法证明不等式。

【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；1，预习p17-p18,【自主探究】i.分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证明方法称为。

即“执果索因”的证明方法，即从“未知”看“”它也是证明不等式的一种重要的基本方法。

证明时一定要注意书写格式。

ii.分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理每一步都必须可逆，简言之，步步可逆。

证明的模式(步骤)以论证“若A则B”为例；欲证明B成立，只需证明B1成立，从而又……只需证明B2成立，从而又………………只需证明A为真，今已知A真,故B必真可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成12......B B B A⇐⇐⇐⇐【合作探究】证明下列不等式（1）求证：2>（2）已知ａ＞0, b>0且a>b <【巩固提高】（1），已知a,b,x,y R ∈,且22221,1a b x y +=+=,求证: 1ax by +≤（2），已知a,b ,1R a b +∈+=,求证:1125()()4a b a b ++≥【能力提升】已知 a,b ,2,R c a b +∈>+求证: c a c <<本节小结：————————————————————————————————————————————。

分析法的基本步骤
确定目标
明确不等式证明的目标，即需要证明 的不等式是什么。
分析不等式的结构，理解其特点，为 后续推导提供方向。

寻找关键点
寻找不等式中的关键信息，如变量、符号、数值等。
确定关键点之间的逻辑关系，为后续推导提供依据。
逐步推导
根据关键点之间的逻辑关系，逐步推导不等式的成立条件。 在推导过程中，注意保持逻辑严密，避免出现跳跃或遗漏。
结合其他方法
研究和发展新的证明技巧，简化证明过程， 提高证明效率。
应用领域拓展
将分析法应用于更广泛的领域，如数学、物 理、工程等，发挥其强大的逻辑推理能力。
感谢您的观看
THANKS
03
实例
证明 $a^2 + b^2 geq 2ab$。通过平 方差公式，将 $a^2 + b^2 - 2ab$ 转 化为 $(a - b)^2$，由于平方数非负， 得出 $a^2 + b^2 geq 2ab$。
几何不等式证明
01
几何不等式的定义
几何不等式涉及到几何图形的大小关系，通常与长度、面积、体积等几
分析法的重要性
解决问题
不等式证明-分析法是解决不等式 问题的重要手段之一，能够处理 各种复杂的不等式证明问题。
数学基础
该方法有助于巩固和加深对不等 式性质和特点的理解，提高数学 推理和问题解决能力。
应用领域
不等式证明-分析法不仅在数学领 域有广泛应用，还涉及到物理学、 工程学、经济学等多个学科。
分析法的历史与发展
不等式证明-分析法
目录
• 不等式证明-分析法简介 • 不等式的性质与定理 • 分析法的基本步骤 • 分析法的应用实例 • 分析法的优缺点与改进方向

比较法：比较法是证明不等式的最基本、最 重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和 运算性质的直接应用,比较法可分为差值比 较法和商值比较法。
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b

一个不等式的七种证明方法证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立.(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd .故命题得证. 分析三:用比较法证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0,∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |,可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法证法五:不妨设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==ββααsin cos ,sin cos 2211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量).则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+⋅+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法证法六:(1)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)=0时,原不等式显然成立.(2)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)≠0时,欲证原不等式成立, 只需证| 2222dc b a bd ac +⋅++|≤1.即证|22222222dc d ba b dc c ba a +⋅+++⋅+|≤1,注意到(22b a a +)2+(22b a b+)2=1与(22d c c +)2+(22d c d +)2=1和cos 2x +sin 2x =1的结构特征很类同,不妨设22ba a+=cos α, 22dc c +=cos β,则22ba b +=sin α,22dc d +=sin β,故|22222222dc b a bddc ba ac+⋅++++|=|cos αcos β+sin αsin β| =|cos （α-β）|≤1 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析七:用构造函数法(判别式法)证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式Δ =b 2-4ac ≤0的结构特征很类似,由此不妨构造函数, f (x )=(a 2+b 2)x 2+2(ac +bd )x +(c 2+d 2)=(a 2x 2+2acx +c 2)+(b 2x 2+2bdx +d 2) =(ax +c )2+(bx +d )2显然不论x 取任何实数,函数f (x )的值均为非负数,因此,(1)当a 2+b 2≠0时,方程f (x )=0的判别式Δ≤0, 即［2(ac +bd )］2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2)≤0, 即(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)故ac +bd ≤|ac +bd |≤))((2222d c b a ++(2)当a 2+b 2=0时,原不等式显然成立. 分析八:用构造复数法证法八:待证不等式的结构特征与复数的模相似设复数Z 1=a+bi,Z 2=c+di 则有|z 12又。

(1 a2 )(1 b2 )(1 ab)

a2

b2 (1
2ab ab 3 a3b 2a2b2 a2 )(1 b2 )(1 ab )
(a b)2 ab(a b)2 (1 a2 )(1 b2 )(1 ab )

(1
(a b)2 (1 ab ) a2 )(1 b2 )(1 ab )
不等式的证明
【 例 1】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）
=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,

a2 b 2a
同理 b2 a 2b
b
a
a2
b2
b a 2a 2b
b
a
即
a2 b2 ab
ba
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,
则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1 ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
所以当x=2时, f(x)取到最大值3,

∴ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2
∴ f (1) + 2 f (2) + f (3) ≥ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2 (2)
（1），（2）两式显然互相矛盾，故假设不成立， 所以，原命题正确。
例3、已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a
例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指 横截面，下面）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面 是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的 L 大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为 2π ， L L 2 截面积为 π ( ) ； 截面积为 周长为L的正方形边长为 4 ， 2π L 2 L 2 L 2 ( ) 。所以只需证明 π ( ) > ( ) 4 2π 4 证明：设截面的周长为L，依题意,截面是圆的水管的截面面积 L 2 L 2 为 π ( 2π ) ， 截面是正方形的水管的截面面积为( 4 ) 。 L 2 L 2 只需证明 π ( 2π ) > ( 4 ) 为了证明上式成立,只需证明 1 1 πL2 L2 > 即证 π > 4 也就是证 4 > π 而其是成立的 4π 2 16L L 2 2 所以 π ( 2π ) > ( 4 )
展开得 即
9 + 2 14 < 9 + 2 18 2 14 < 2 18 14 < 18 14 < 18
证法二： ∵14 < 18
∴ 14 < 18 2 14 < 2 18 9 + 2 14 < 9 + 2 18

不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。

比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。

作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。

不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。

分析法证明不等式(精选多篇)第一篇：分析法证明不等式分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|0【2】显然，由|a+b|>0可知原不等式等价于不等式：|a|+|b|≤(√2)|a+b|该不等式等价于不等式：(|a|+|b|)²≤².整理即是：a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²又ab=0,故接下来就有】】a²+b²≤2a²+2b²0≤a²+b²∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。

本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pdf格式阅读原文。

”就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法首先要牢记一些我们常见的不等式。

比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。

分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。

找到他的最小值，最大值。

在结合要求的等等一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。

就是归纳法这种方法最好，三部曲。

你最好把它掌握好。

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是解：ab-3=a+b>=2根号ab令t=根号ab,t^2-2t-3>=0t>=3ort=3，故，ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。

2。

2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。

（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。

证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。

∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。

各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。

∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。

∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。

分析法--不等式证明的根本方法有关不等式的证明题是学习的重点和难点所在，往往以知识的纵横联系为依托，考查学生对不等式证明方法的掌握程度，是许多学生难以逾越的沟壑，不少学生常常望题兴叹或无功而返．为了解决此问题，在这向大家介绍分析法，这是不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释．例１ 002a b c a b >>>+，，，求证：c a c < 分析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比拟法，又待证式子等价于a c -a c -，也不具备使用根本不等式的特点，而用分析法比拟适宜．证明：要证c a c <只需证a c -只需证a c -<即证22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-．0a >∵，只需证2a c b -<-，即证2a b c +<，这为．故原不等式成立．点评：分析法的步骤是未知→需知→，在操作中“要证〞，“只需证〞，“即证〞这些词语是不可缺少的．例2 关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个实根24a b αβ<+，，，且2b <．证明：22αβ<<，．证明：要证22αβ<<，， 只需证2244αβ<<，，只需证22(4)(4)0αβ-->，且4αβ<，只需证224()(4)αβαβ+<+，且4αβ<，只需证224(4)a b <+，且4b <，只需证24a b >+，且4b <，即证24a b <+，且4b <．最后一式为条件，故原不等式成立．点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近条件或必然结论．例3 函数π()tan 02f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，假设12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且12x x ≠．证明：12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法根本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决．证明：要证12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 只需证12121(tan tan )tan 22x x x x ++>， 只需证12121212sin sin sin()12cos cos 1cos()x x x x x x x x ⎛⎫++> ⎪++⎝⎭〔“化切为弦〞〕， 只需证12121212sin()sin()2cos cos 1cos()x x x x x x x x ++>++， 只需证1212121212sin()sin()cos()cos()1cos()x x x x x x x x x x ++>++-++， 只需证明120cos()1x x <-<，那么以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论． 点评：分析法是思考问题的一种根本方法，容易找到解决问题的突破口．。

当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式 没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
2．用分析法证“若A则B”这个命题的模式
为了证明命题B为真，
只需证明命题B1为真，从而有…
只需证明命题B2为真，从而有…
……
只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．
(2019·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|·f .
解：(1)依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.
当x＜－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.
高中数学：分析法证明不等式
(2019·安徽质检)已知x，y，z，λ均为正实数．
(1)求证： ≥ ；
(2)若x＋y＋z＝1，求证： ＋ ＋ ≥2 .
证明：(1)要证 ≥ ，
即证(1＋λ)(x2＋λy2)≥(x＋λy)2，
而(1＋λ)(x2＋λy2)－(x＋λy)2＝λ(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，
故原不等式成立．
(2)由(1)可得 ＝ ≥ ＝ (当且仅当x＋y＝2y，即x＝y时取等号)，
同理可得 ≥ (当且仅当y＋z＝2z，即y＝z时取等号)， ≥ (当且仅当z＋x＝2x，即x＝z时取等号)，所以 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ＝2 (x＋y＋z)＝2 ，当且仅当x＝y＝z时取等号．
1.分析法的应用条件
∴(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)＞0.
故(ab－1)2＞(b－a)2成立．

(2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c，故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c.所以 ＋ ＋ ≥
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
分析法、综合法证明不等式
【例2】(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋ ≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ .
【证明】(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋ －2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥
3 ＝3，所以2x＋ ≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥ ，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤ ＋ ＋ ＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.

用综合法证明命题“若A则B”的逻辑关系是：
A B1 B2 Bn B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用 已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、求证 3 7 2 5.
证明：因为 3 7和2 5都是正数 ,
所以为了证明 3 7 2 5，
一、分析法： 从求证的不等式出发，分析使这个
不等式成立的充分条件，把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问 题。如果能够肯定这些充分条件都已具 备，那么就可以断定原不等式成立，这 种证明方法叫做分析法。
思维过程：结论
条件
二 、 用分析法证明“若A则B”这个命题的格式是：
要证命题B为真，
只需证命题B1为真， 只需证命题B2为真， ……
只需证命题Bn为真， 只需证命题A为真，
而已知命题A为真，
故命题B为真。 用简要的形式写为：
B
B1
B2
……
Bn
A
结论 （寻求不等式成立的充分条件） 条件
只需证明( 3 7 )2 (2 5)2 ,
展开得10 2 21 20,
即2 21 10,
21 25,
因为21<25成立，所以 ( 3 7 )2 (2 5)2 成立.
即证明了 3 7 2 5.
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；