导数公式及四则运算

常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。

基本导数四则运算法则与求导公式。

由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。

（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。

（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。

（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。

（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。

直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。

从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。

我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。

由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。

y'
.
设 y 1 2x5x2 3x 1 求 y '
例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知
f
x
x 2 x 2 ，求
x3
f ' 1
.
练习 求 y tan x 的导数。
tan x' 1 sec2 x
cos2 x
cot x'


s
1 in 2
x

csc2
x.
2、复合函数的导数
定理 设函数 u x 在点x 数 y f u在点u 处有导数
处有导数 du ' x ，函
dy

f
dx
' u ，则复合函数
du
y f x在该点 x 也有导数，且
dy f ' u ' x
dx
或
y
' x

yu'
u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题 求下列函数的导数： (1) y sin 3 x (2) y 4 3x2
练习：求 y ln cosx 的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
设 y f u,u v,v x ，则复合函数 y f x
2.2导数基本公式与运算法则
1、导数的四则运算法则
1.1、代数和的导数
设函数ux和vx 在点x处可导，则 y ux vx 在点x
处也可导，且
u v' u ' v '

)'
100 x
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
( 2)因为c' (98)
5284
1321
2
(100 98)
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
2 ;
2
cos x
cos x
cos x
巩固练习
求下列函数的导数:
(4) y (2 x 3)(3x 2)； (5) y x tan x;
2
ln x
(6) y
x
2
2

(
4
)
法一：
y

(
2
x

3
)'
(
3
x

2
)

(
2
x
3)(3x 2)'
解：
4 x(3x 2) (2 x 2 3) 3 18x 2 8x 9
公 式5.若f ( x ) a x， 则f ' ( x ) a x ln a (a 0);
公 式6.若f ( x ) e x， 则f ' ( x ) e x ;
1
公 式7.若f ( x ) log a x， 则f ' ( x )
(a 0, 且a 1);
x ln a
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90％

求导公式及运算法则求导是微积分中的一项重要操作，用于计算函数在每个点的斜率，它有一系列的求导公式和运算法则。

下面是常见的求导公式和运算法则：1. 基本求导公式：- 常数函数的导数为零：(c)' = 0，其中c为常数。

- 幂函数的导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中n为常数，x为自变量。

- 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x，其中e为自然对数的底数。

- 对数函数的导数公式：(ln(x))' = 1/x，其中ln为自然对数函数。

2. 四则运算法则：- 和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。

- 积法则：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。

- 商法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2，其中f(x)和g(x)为可导函数，并且g(x)≠0。

3. 链式法则：- 如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则y对x 的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。

4. 反函数求导：- 如果y = f(x)的反函数为x = f^(-1)(y)，则反函数的导数可以表示为：dx/dy = 1 / (dy/dx)。

这些是求导公式和运算法则的一部分，它们在求解复杂函数的导数时非常有用。

但是，有些函数的导数可能需要用到更高级的求导技巧，如隐函数求导、参数方程求导等。

u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。

对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出 中间变量。
dy 例12 y lnsin x , 求 . dx
解 dy lnsin x 1 sin x dx sin x
1 1 cos x sin x tan x
有限次四则运算的求导法则:
1 u v u v 2 uv uv uv
解
1
y x tan x x tan x tan x x
y | x 0 0
2
1 f x 5 2 5 x3 x x 2 f x 3 15x 2 1 x
f 1 16, f 1 12
(u v w)' u' v' w' .
(2) ( uv ) uv u v
证 设 f ( x ) u( x )v( x ) , 则有
u( x h)v( x h) u( x )v( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h
v uv uv 3 u2 u
cu cu
u 1 2 u u
(c为常数）
u 0
4
若 y f u, u x , 则对于复合函数 y f x
dy dy du 有 y x yu u x 或 dx du dx
sin x cos x


解 (1)根据求导法则(1),得
(2)根据求导法则(2),得 y x 2 2 ln x sin x x 2 2 ln x sin x
2 2 x sin x x 2 2 ln x cos x x

导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。

下面是一些常用的导数运算公式和法则。

一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。

2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。

3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。

这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。

4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。

特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。

5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。

（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。

（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。

6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。

（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。

（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。

导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则 之一，它指出两个函数的导数的差等于 它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处 可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一 个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该 函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛 应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数 的最大值或最小值。在经济学、工程技术和 科学研究等领域中，求解最大值和最小值问 题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数 ，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题 等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变 化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益 ；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t

导数计算公式和法则导数计算公式和法则是微积分中重要的概念之一。

导数是函数的变化率，我们通过求导来计算函数的导数。

以下是导数计算公式和法则的详细说明：一、基本导数公式1、常数函数的导数为0，即f(x)=C，则f'(x)=0。

2、幂函数的导数，对于正整数n，f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。

3、指数函数的导数，f(x)=a^x，则f'(x)=a^xln(a)。

4、对数函数的导数，f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x。

5、三角函数的导数：（1）sin(x)的导数为cos(x)，即(sin(x))'=cos(x)。

（2）cos(x)的导数为-sin(x)，即(cos(x))'=-sin(x)。

（3）tan(x)的导数为sec^2(x)，即(tan(x))'=sec^2(x)。

二、导数的四则运算法则1、和差法则：（f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，（f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。

2、积法则：（f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

3、商法则：（f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2。

三、复合函数的导数1、复合函数的链式法则：如果g(x)和f(x)都是可导函数，则复合函数h(x)=g(f(x))的导数为h'(x)=g'(f(x))f'(x)。

2、反函数的导数：如果y=f(x)是单调且可导的函数，且f'(x)≠0，则其反函数x=f^-1(y)的导数为dx/dy=1/f'(f^-1(y))。

以上就是导数计算公式和法则的详细说明，掌握这些公式和法则可以帮助我们更好地理解和应用微积分中的导数概念。

导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。

首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。

2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。

4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。

其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。

四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。

3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。

通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。

在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。

所有导数公式及运算法则基本初等函数的导数公式1 .C'=0(C为常数);2 .(Xn)'=nX(n-1) (n∈Q);3 .(sinX)'=cosX;4 .(cosX)'=-sinX;5 .(aX)'=aXIna (ln为自然对数)特别地，(ex)'=ex6 .(logaX)'=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)特别地，(ln x)'=1/x7 .(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)28 .(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)29 .(secX)'=tanX secX10.(cscX)'=-cotX cscX导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v2④复合函数的导数[u(v)]'=[u'(v)]*v' (u(v)为复合函数f[g(x)])复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。

2导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

高阶导数的求法1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2．高阶导数的运算法则：。