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广西南宁市第三中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题

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南宁三中2018～2019学年度上学期高二月考（一） 数学试题 2018.9.28一、选择题（每题5分，共60分）1．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x 100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上某人2018年8月份的收入x 101(约100万元)，则相对于x ，y ，z ，这101个数据( ) A ．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B ．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C ．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变D ．平均数变大，中位数可能不变，方差变大 ２．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题；B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；C ．若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，；D ．“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”. 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．344．与命题“0322=--=x x x ３，则若”等价的命题是 ( )A.2230x x x ≠--≠若３，则B.2230x x x =--≠若３，则C.2230,x x x --≠≠若则３ D.2230,x x x --≠=若则３5．将八进制数135(8)化为二进制数为( )A ．1110101(2)B ．1011101(2)C ．1010101(2)D ．1111001(2)6．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( ) A ．4－π2B ．π－22C ．4－π4D ．π－247．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为y ^＝1558.0-x ，则实数m 的值为( )A ．8B ．8.2C ．8.4D ．8.58．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出的值是95，则整数a 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．79．设p :0122≤--x x ,q :0)1()12(2≤-+--a a x a x ,若⌝q 是⌝p 的必要不充 分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2212x y -=D ．2212y x -=11．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +⋅的值为 ( )A ．21B ．1C ．2D ．不确定12．已知椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ,直线l :043=-y x 交椭圆C 于A 、B 两点,若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于54,则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43二、填空题（每题5分，共20分）13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为 . 14．有下列命题: ①“32>>y x 且”是“5>+y x ”的充要条件;②“042<-ac b ”是“一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R”的充要条件; ③“2=a ”是“直线02=+y ax 平行于直线1=+y x ”的充分不必要条件; ④“1=xy ”是“0lg lg =+y x ”的必要不充分条件.其中真命题的序号为 .15．已知命题p ：“至少存在一个实数[]2,10∈x ，使不等式0222>-++a ax x 成立”为真，则参数a 的取值范围是 ．16． 已知椭圆C ：221169x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 三、解答题（６小题，共70分）17．（10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin a B A =.（1）求角B 的大小；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值.18．（12分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .19．(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ，其范围为[0，10]，有五个级别：T ∈[0，2)畅通；T ∈[2，4)基本畅通；T ∈[4，6)轻度拥堵；T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段(T ≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示．（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个； （2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6)，[6，8)，[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．20．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；0.25（2）（理科做）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． （2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B 到平面ADC 的距离.21．（12分）已知双曲线C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 且2a c =（1）求双曲线C 的方程;（2）已知直线0=+-m y x 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点在圆522=+y x 上,求m 的值.22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，7AB CD +=.（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围.南宁三中2018～2019学年度上学期高二月考（一）数学参考答案1．D [解析] 因为数据x 1，x 2，x 3，…，x 100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x 101大于x 1，x 2，x 3，…，x 100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x 101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D. ２.D 解析：因为“1sin 2x =”⇐“6x π=”但“1sin 2x =”⇒“6x π=”所以“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”这个说法是错误的. 3．C [解析] 由题意知基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，其中满足数字之和为奇数的共4个，故所求概率为46＝23.4．C 【解析】其等价的命题为其逆否命题：若x 2-2x-3≠0，则x≠3. 5．B [解析] 先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数． 6．B [解析] 设正方形的边长为2，那么图中阴影区域的面积4221481-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππS ，而正方形的面积S 2＝4，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率P ＝2π－44＝π－22，故选B. 7．A [解析] 依题意得1(196+197+200+203+204)=200 5x =，5m17m)＋7＋6＋3＋1(51+==y ，回归直线必经过样本点的中心，于是有17＋m 5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8，选A.８．A [解析] 由题知S ＝1＋112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＝1＋1－15＝95，所以a ＝4. 9．A [解析] 由2x 2-x-1≤0,得12-≤x ≤1.由x 2-(2a-1)x+a (a-1)≤0,得a-1≤x ≤a.因为⌝q 是⌝p 的必要不充分条件,所以q 是p 的充分不必要条件（或p 是q 的必要不充分条件）,所以a-1≥21-且a ≤1(等号不能同时取得),得21≤a ≤1. 10．B 解析：因为212,521,22222===+==+a b c c b a ，所以2,1==b a ，故选Ｂ.11．C 【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长2a ，双曲线的实轴长为2m ，设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|﹣|PF 2|=2m ① 由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ②又∵120PF PF ⋅=∴12PF PF ⊥，可得∠F 1PF 2=900， 故|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2③①平方+②平方，得|PF 1|2+|PF 2|2=2a 2+2m 2④将④代入③，化简得a 2+m 2=2c 2，即2222112c c a m +=，可得2212112e e +=， 因此，22122221211112()e e e e e e +=+=⋅.故答案为：C12．A [解析] 如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=2.不妨取M (0,b ),∵点M 到直线l 的距离不小于54,≥54,解得b ≥1,∴e=a c =221ab -≤2211-=23,∴椭圆E 的离心率的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛23,0.13．400 [解析] 设青年、中年、老年职员的人数分别为10k ，8k ，7k ，其中k >0.由20010k ＋8k ＋7k＝0.2，得k ＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)．14．④ [解析] ①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件,故①为假命题;②不等式的解集为R 的充要条件是a<0且b 2-4ac<0,故②为假命题; ③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则1a =21,所以a=2,因此,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故③为假命题; ④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,故④为真命题. 综上可知,真命题是④.15．(－3，＋∞)． 解：由已知得¬p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3，因为¬p 为假，所以a ＞－3， 即a 的取值范围是(－3，＋∞)．16．16 解析：如图：Q F BN B F MF QN MQ 2222,,=∴== 同理Q F AN 12=164)(221==+=+∴a Q F Q F AN BN 17．【解析】（1）在ABC ∆中，由sin sin a bA B=，可得sin sin a B b A =，又由sin 2sin a B A =，得2sin cos sin sin a B B A B =，∴cos B =6B π=……………………5分（2）由1cos 3A =，可得sin 3A =，则()()sin sin sin C AB A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦11sin()cos 6226A A A π=+=+=……………………10分 18．【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.……………………3分 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.……………………6分 所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，21212n n b --=，有212212(31)2(31)4n n n n a b n n --=-⋅=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，……………………8分 23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+.……………………12分19．解：(1)补全直方图如图所示．……………………2分由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3. 所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路 段分别为6个、9个、3个．……………………5分 (2)由(1)知三个路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样从18个路段中抽取6个，由618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，得这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1. ……………………8分(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，1个严重拥堵路段为C 1，则从这6个路段选取2个路段的可能情况有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种可能．……………………10分其中至少有1个路段为轻度拥堵的有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种可能．所以所选2个路段中至少1个为轻度拥堵的概率为915＝35.……………………12分 20．【答案】（1）见解析；（2）14． 【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥． 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面ABD ，··································2分所以BC AD ⊥．························3分 又AD CD ⊥，BCCD C =,所以AD ⊥平面BCD ，··············5分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．··············6分（理科）（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设AD a =，则2AB a =，所以(0,2,0),(,0,0)A a C a --．················7分由（1）知A D B D ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=，60DAB ∠=， 那么1cos 2AE AD DAB a =∠=，32BE AB AE a =-=，sin 2DE AD DAB =∠=，························8分所以30,,22D a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以10,,22AD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(,2,0).AC a a =-设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102220ay az ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩．取1y =，则2,x z ==所以2,1,.m ⎛= ⎝⎭···················10分因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，···················11分所以1cos ,.4m n m n m n ⋅===- 所求二面角D AC B --的余弦值为14．···················12分（文科）（2）作BF CD ⊥交CD 于F ，由（1）知AD ⊥平面BCD, AD BF ∴⊥ CD AD D ⋂= BF ∴⊥平面ADC ··············8分又由（1）知CB ⊥平面ABD,90DBC ∴∠=2,1,DC ABBC AD DB ====∴··············10分 ,DC BF BC DB BF ⋅=⋅==∴点B 到平面ADC··············12分 21．解:(1)由题意得2a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以b 2=c 2-a 2=2, 所以双曲线C 的方程为x 222y -=1. ……………………5分 (2)设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0).F由220,1,2x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩得x 2-2mx-m 2-2=0,因为判别式Δ=8m 2+8>0, …………8分（判别式占1分）所以x 0=122x x +=m,y 0=x 0+m=2m.因为点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=5上,所以m 2+(2m)2=5,故m=±1. ……………………12分22. 【解析】（1）由题意知，12c e a ==，∴22222,4,3.a c a c b c === 当直线AB 的斜率为0时，2,AB a = 72CD a ∴=-.2222, 72,b b CD a a a=∴-= 解得得221,4,3c a b ===. ∴椭圆的方程为22143x y +=.……………………4分 （2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=.……5分②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，()1,0F ，设()()1122,,,,A x y B x y 直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--. 将直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得()22223484120k x k x k +-+-=，………………7分解得1x =2x =()212212134k AB x k +∴=-=+.……………………8分 同理,()2222112(1)1214343k k CD k k++==++. ……………………9分 ()()()()()2222222212112184134343434k k k AB CD k k k k +++∴+=+=++++. 令()211t k t =+>，则23441k t +=-，23431k t +=+. 设()()()222413*********(),24t t f t t t t t -+==-++=--+()()(1491, 0,1, 12,.4t f t t ⎤>∴∈∴∈⎥⎦())8448,77AB CD f t ⎡∴+=∈⎢⎣. 综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48,7.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………12分。

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2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

7、本科目考试结束后，请将试题卷自己保管好，以供相关教师讲评试卷时使用。

8、本科目考试结束后，任课教师要做好试卷讲评和质量分析。

一、单选题1．已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据() A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变D．平均数变大，中位数可能不变，方差变大【答案】D【解析】【分析】根据平均数、中位数以及方差的含义分析数据变化趋势.【详解】因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D. 【点睛】本题考查平均数、中位数以及方差等知识点，考查分析处理数据能力. 2．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ． 若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题 B ． “1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ． 若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，D ． “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” 【答案】D【解析】由题可知： 6x π=时， 1sin 2x =成立，所以满足充分条件，但1sin 2x =时， 6x π不一定为，所以必要条件不成立，故D 错3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张共有６种抽取方法，其中2张卡片上的数字之和为奇数有12,14,32,34共4种抽法，因此所求概率为．故选Ｃ．【考点】古典概型． 4．与命题“若，则”等价的命题是 ( ) A ． 若，则B ． 若，则C ． 若，则D ． 若，则【答案】C 【解析】 【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可. 【详解】其等价的命题为其逆否命题：若x 2-2x-3≠0，则x≠3. 【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.5．将八进制数135(8)化为二进制数为( )A ． 1110101(2)B ． 1011101(2)C ． 1010101(2)D ． 1111001(2) 【答案】B 【解析】 【分析】先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数． 【详解】,选B.【点睛】本题考查不同进制之间转化，考查基本求解能力.6．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）A ． 42π-B ． 22π- C ． 44π- D ． 24π-【答案】B【解析】试题分析：设正方形的边长为2，那么图中阴影的面积应为11182442s ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而正方形的面积是24s =，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为24242p ππ--==，故选B. 【考点】几何概型．7．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m 的值为( )A ． 8B ． 8.2C ． 8.4D ． 8.5 【答案】A 【解析】 【分析】先求平均数得样本点的中心坐标，再根据回归直线必经过样本点的中心求实数m 的值. 【详解】依题意得， ,回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m ＝8，选A.【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a 的可能值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】A【解析】由已知可得该程序的功能是 计算并输出()11111 (11212111)S a a a a =+++=+-=-⨯+++，若该程序运行后输出的值是95，则 19215a -=+．∴4a =，故选A ． 【考点】程序框图. 9．设p:,q:,若q 是p 的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式得p，q,再根据逆否命题与原命题等价得p是q的必要不充分条件，最后根据集合之间包含关系求实数a的取值范围.【详解】由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号不能同时取得),得≤a≤1.【点睛】对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，即利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系解题.10．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点分别为12,F F，以12F F为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2，则此双曲线为（）A．2214xy-=B．2214yx-=C．2212xy-=D．2212yx-=【答案】B【解析】∵双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点分别为12,F F，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），∴由题意知∴a2+b2=5，①又点（1，2）在y=bax上，∴2ba=，②由①②解得a=1，b=2，∴双曲线的方程为2214yx-=．故选：B．11．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( )A．B．1 C．2 D．不确定【答案】C【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的定义以及勾股定理可得离心率之间关系,即得结果.【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又∵∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，可得，因此，.故答案为：C【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义以及离心率，考查基本分析化简求解能力.12．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先根据椭圆定义求a，再根据点到直线距离公式结合条件列不等式，解得b≥1，最后根据离心率定义求取值范围.【详解】如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=2.不妨取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于,∴≥,解得b≥1,∴e==≤=,∴椭圆E的离心率的取值范围是.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为_________.【答案】400【解析】【分析】根据概率等于频数与总数的比值求单位总人数，再根据比例关系确定青年职员的人数.【详解】设青年、中年、老年职员的人数分别为10k，8k，7k，其中k>0.由＝0.2，得k＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)．【点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.14．有下列命题:①“”是“”的充要条件;②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件;③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件;④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.【答案】④【解析】【分析】举反例说明①为假命题;分别求一元二次不等式的解集为R，直线平行于直线以及的充要条件，再根据集合包含关系确定真假.【详解】①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件,故①为假命题;②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,所以a=2,因此,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故③为假命题;④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,故④为真命题.综上可知,真命题是④.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．15．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，则参数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先研究¬p为真时参数的取值范围，再根据补集得¬p为假时参数的取值范围，即为结果.【详解】由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则所以解得a≤－3，因为¬p为假，所以a＞－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则．【答案】20【解析】试题分析：如图，设的中点为，由题意可知，，分别为，的中位线，∴．【考点】椭圆的性质．三、解答题17．在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)先根据正弦定理将边化为角，化简得，即得结果，(2)根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得结果.【详解】（1）在中，由，可得，又由，得，∴，得（2）由，可得，则【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N ∈， {}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0， 2312b b +=,3412b a a =-， 11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()*n N ∈.【答案】（I ）32n a n =-， 2n n b =.（II ）1328433n n +-⨯+. 【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以， 2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =， 3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-， 12124n n b --=⨯，有()221314nn n a b n -=-⨯，故()23245484314n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23414245484344314n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得()231324343434314n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()1112144314143248.nn n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.19．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T ∈[0，2）畅通;T ∈[2，4)基本畅通; T ∈[4，6）轻度拥堵; T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．【答案】(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有６个，９个，３个；(2)依次抽取的三个级别路段的个数为２，３，１；(3)53．【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可知底⨯高=频率，频率⨯20=个数，由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵 ，中度拥堵，严重拥堵的频率分别是0.3,0.45,0.15；(2)此问考察分层抽样，交通指数在[)10,4的路段共18个， 抽取6个，则抽取的比值为31186=，个段抽取的个数=31⨯路段个数；(3)考察古典概型，记选出的２个轻度拥堵路段为21,A A ，选出的３个中度拥堵路段为321,,B B B ，选出的１个严重拥堵路段为1C ，任选两个，列举所有的基本事件的个数N ，同时还要列举出其中至少一个轻度拥堵的基本事件n ,然后利用Nnp =算出概率．本题主要考察基础知识，属于基础题型. 试题解析：(1)补全直方图如图，由直方图：()62012.01.0=⨯⨯+个，()92012.025.0=⨯⨯+个，()320105.01.0=⨯⨯+个∴这２０个路段中，轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是６个，９个，３个． (2)由(1)知拥堵路段共有６＋９＋３＝１８个，按分层抽样，从１８个路段选出６个，每种情况为：26186=⨯，39186=⨯，13186=⨯，即这三段中分别抽取的个数为２，３，１．(3)记选出的２个轻度拥堵路段为21,A A ，选出的３个中度拥堵路段为321,,B B B ，选出的１个严重拥堵路段为1C ，则从６个路段选取２个路段的可能情况如下：()()()()()()()()()()()()()()()131232113121123222121131211121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C B C B B B C B B B B B C A B A B A B A C A B A B A B A A A共１５种情况．其中至少有一个轻度拥堵的有：()()()()()()()()()123222121131211121,,,,,,,,,,,,,,,,,C A B A B A B A C A B A B A B A A A 共９种可能．∴所选２个路段中至少一个轻度拥堵的概率是53159=． 【考点】１．频率分布直方图的应用；２．分层抽样；３．古典概型．20．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点 在平面上的射影恰好落在边上．（1）求证：平面平面；（2）（理科做）当 时，求二面角 的余弦值．（2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B 到平面ADC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）（理科做）．（2）（文科做）【解析】 【分析】(1) 根据射影得线面垂直，再根据线面垂直判定定理与性质定理得，最后根据线面垂直判定定理得以及面面垂直判定定理得结论，（2）（理科做）建立空间直角坐标系，设立点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果，（2）（文科做）作，利用线面垂直判定定理与性质定理得平面ADC ，即为点B 到平面ADC 的距离.最后利用相似三角形求结果.【详解】 （1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，所以．因为四边形是矩形，所以，所以平面，所以．又，,所以平面，而平面，所以平面平面．（理科）（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，所以．由（1）知，又，所以，，那么，，，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，即．取，则所以因为平面的一个法向量为，所以所求二面角的余弦值为．（文科）（2）作交于F，由（1）知平面BCD,平面ADC又由（1）知平面ABD,点B到平面ADC的距离为【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21．已知双曲线：的离心率为，且（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点且线段的中点在圆上，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意得解得，计算，则双曲线的方程可求；（2）设两点坐标分别为，联立直线方程与双曲线方程得到，由线段代入圆的方程可得的值试题解析：（1）由题意得解得所以双曲线方程为（2）设两点坐标分别为，由线段得（判别式）上，，故22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，7AB CD +=. （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．【答案】（1）22:143x y C +=；（2）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：（1）由题意知，12e =，72CD a =-，在由点74(,)2cc -在椭圆上，能求出椭圆的方程；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，且设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，由此求出AB CD +，从而能求出AB CD +的取值范围．试题解析：（1）22:143x y C +=； （2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，且设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，则()2213412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，∴()22223484120k xk x k +-+-=，∴21222122083441234k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，∴()2212134k AB k +=+，同理()2212134k CD k +=+， ∴()()()22228413434k AB CD k k++=++，设21t k =+，则1t >，∴()()284841149413124t AB CD t t t +==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 48,77AB CD ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，综上，AB CD +的取值范围为48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了分类讨论思想，此类问题的解答时，把直线的方程代入圆锥曲线方程，利用根与系数的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。

南宁三中2018-2019学年度上学期高二期考数学试卷(理科)

南宁三中2018-2019学年度上学期高二期考数学试卷(理科)

南宁三中2018-2019学年度上学期 高二期考数学试卷（理科） 一、选择题 1.复数12i i+（ ） A.2i - B.2i + C.2i -- D.2i -+2.若x R ∈，则“01x <<”是“24x <”成立的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在正方形内随机地投入一点，则该点落在该正方形内切圆内的概率为（ ）A.2πB.3πC. 4πD. 8π 4.从自然数1,2,3,4这四个数中任取2个不同的数，则这2个数的和等于5的概率为（ ）A.16B. 14C. 13D. 125.已知命题:q x R ∀∈，20x >，则( )A.命题:q ⌝x R ∀∈，20x ≤为假命题B. 命题:q ⌝x R ∀∈，20x ≤为真命题C.命题:q ⌝x R ∃∈，20x ≤为假命题D. 命题:q ⌝x R ∃∈，20x ≤为真命题6.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱11A D 和棱11D C 的中点，则异面直线1AD 和MN 所成的角为（ ）A.30oB. 45oC. 90oD. 60o7.在极坐标系中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A.cos 2ρθ=B.sin 2ρθ=C.4sin()3πρθ=+ D.4sin()3πρθ=- 8.统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，如果规定：不低于80分者为优秀，则优秀人数是（ ）A. 180B. 200C. 220D. 2409.曲线2x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为（ ）A.23y x =--B.21y x =-C.21x +D.22x --10.已知21()cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ） A.B. C. D.11.已知圆1cos ,:sin ,x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）与直线123,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则ABC ∆的面积是（ ）A.16B. 14C. 13D. 1212. 用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）A ．6B ．8C ．10 D. 12二、填空题13.计算定积分10()x x e dx +=⎰_________. 14.已知函数32()5f x ax x x =-+-在(,)-∞+∞上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为_____________.15.设(,)P m n 是双曲线2222x y +=上的任一点，1F 、2F 是其两焦点，若120PF PF <g ，则N 的取值范围为____________.16.设1F 、2F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ，若12tan 15PF F ∠=，则椭圆E 的离心率为_________. 三、解答题17.（本题有两小题，每题5分，满分10分）（1）在极坐标系中，求半径为2、圆心为3(2,)2C π的圆的极坐标方程. （2）若直线2,:x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与抛物线28y x =交于A 、B 两点.求AB .18. （本题有两小题，每题6分，满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1(1)2n S n n =+，*()n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项n a ；(2)记11n n n c a a +=，*()n N ∈，12...n n T c c c =+++，求n T .19.(本题有2小题，每小题6分，满分12分) （1）若函数()2sin(2)4g x x π=+，求()g x 的最小正周期T 及最大值； （2）若函数1()2cos sin ()62f x x x x π=+-，求函数()f x 的值域. 20.（本题有2小问，第一问5分，第2问为7分）如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱BA 、BC 、BD 两两垂直，2BC BD ==，AB =E ,F ,G 分别是棱CD 、AD 、AB 的中点.（1） 证明：平面ABE ⊥平面ACD ;（2） 求二面角A EG F --的余弦值.21.(本题有2小问，第1问为4分，第2问为8分)设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1） 求此椭圆的方程.（2） 设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠,求直线l 的斜率的取值范围.22.已知函数2311()ln 23f x x x x x ax =-+-，()f x '为函数()f x 的导函数. (1)若()()F x f x b =+，函数()F x 在1x =处的切线方程为210x y +-=，求a 、b 的值；（2）若曲线()y f x =上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a 的取值范围.。

广西南宁三中2018-2019学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)

广西南宁三中2018-2019学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．75．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．26．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}7．已知集合，，，则A，B，C满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m ≤0或m≥4}9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．10811．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．2312．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S 为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是（写出所有正确说法的序号）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}【分析】将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组，求得方程组的解，进而用集合表示即可．【解答】解：将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组∴x=1，y=4∴一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为{（1，4）}故选：C．【点评】本题考查的重点是用集合表示方程组的解，解题的关键是解方程组．2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，∴A∪B={x|x是等腰或直角三角形}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}={x∈R|0＜x＜3}，N={x∈N|x2≥0}={x∈N|x∈R}=N，则M∩N={x∈N|0＜x＜3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出A∪B={1，2}，从而B为A所有子集，由此能求出集合B的个数．【解答】解：集合A={1，2}，满足={1，2}，∴B为A所有子集．∴集合B的个数为22=4．故选：A．【点评】本题考查集合的个数的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．2【分析】利用集合的补集关系，列出方程求解即可．【解答】解：全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，可得a2﹣2a+3=3，并且a=2，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，基本知识的考查．6．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}【分析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【解答】解：x＞0，y＞0，m=3，x＞0，y＜0，m=﹣1，x＜0，y＞0，m=﹣1，x＜0，y＜0，m=﹣1，∴M=（﹣1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知集合，，，则A，B，C满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A【分析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．【解答】解：集合A={x|x=a+，a∈Z}={x|x=，a∈Z}，集合B={x|x=﹣，b∈Z}={x|x=，b∈Z}，集合C={x|x=+，c∈Z}={x|x=，c∈Z}，∵a∈Z时，6a+1表示被6除余1的数；b∈Z时，3b﹣2表示被3除余1的数；c∈Z时，3c+1表示被3除余1的数；所以A⊆B=C，故选：B．【点评】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题．8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m ≤0或m≥4}【分析】n元集合非空真子集的个数为2n﹣2，有题意可得集合A为二元集合，即关于x的方程有两不等实根，及△＞0运算即可【解答】解；由已知集合有两个非空真子集即关于x的方程有两个不等实数根，即m≠0又有意义，则m＞0则△=m2﹣4＞0∴m2﹣4m＞0又m＞0∴m＞4故选：A．【点评】本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N【分析】根据条件可画出Venn图表示出集合I，M，N，由Venn图即可得出M∪N．【解答】解：根据条件，用Venn图表示M，N，I如下：由图看出，M∪N=N．故选：D．【点评】考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．108【分析】可令x2﹣2分别等于2，0，1，7，再利用x﹣2∉A进行检验即可．【解答】解：当x2﹣2=2时，x=2或x=﹣2又2﹣2=0∈A，﹣2﹣2=﹣4∉A∴2∉B，﹣2∈B当x2﹣2=0时，x=或x=﹣又﹣2∉A，﹣﹣2∉A∴当x2﹣2=1时，x=或x=﹣∴当x2﹣2=7时，x=3或x=﹣3又3﹣2=1∈A，﹣3﹣2=﹣5∉A∴﹣3∈B，3∉B∴B=又﹣2××××（﹣）×（﹣3）=36．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合的关系，采用代入法解方程即可，考查分类讨论的思想．11．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．23【分析】根据定义，x⊗y=18分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=18；x和y同奇偶，则x+y=18．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=18，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=18，满足此条件的有1×18=2×9=3×6，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=18，满足此条件的有1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1，故点（x，y）有17个，∴满足条件的个数为6+17=23个．故选：D．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题．12．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选：B．【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．【分析】十字相乘法分解因式后，使用口诀：大于取两边，小于取中间．【解答】解：原不等式可化为4x2+（4a2﹣2）x+a2（a2﹣1）＞0，则（2x+a2）（2x+a2﹣1）＞0．∴（x+）（x+）＞0，∴x＜﹣或x＞﹣+，故答案为：{x|x＜﹣或x＞﹣+}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法．属基础题．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于{（2，3）}．【分析】集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，由此能求出∁U（M∪N）．【解答】解：∵全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，∴M∩N={（x，y）|}，集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，∴M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，则∁U（M∪N）={（2，3）}．故答案为：{（2，3）}．【点评】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S 为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是①②（写出所有正确说法的序号）．【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的【解答】解：①设x=a+b，y=c+d，（a，b，c，d为整数），则x+y∈S，x﹣y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）∈S，S为封闭集，①正确；②当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故答案为：①②．【点评】本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．【分析】可解出集合A，B，然后进行并集，补集和交集的运算即可．【解答】解：A={x|2≤x＜7}，B={x|（x﹣3）（x﹣10）＜0}={x|3＜x＜10}；∴A∪B={x|2≤x＜10}，C R A={x|x＜2或x≥7}，（C R A）∩B={x|7≤x＜10}．【点评】考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．【分析】（1）先求出A={3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b；（2）根据∅⊊B⊊A即可得到B={3}，或{5}，根据韦达定理便可求出a，b．【解答】解：（1）A={3，5}；若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：B={2，3}；∴；∴a=5，b=﹣6；（2）若∅⊊B⊊A，则：B={3}，或B={5}；∴，或；∴，或．【点评】并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．【分析】用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题目中条件列式解得．【解答】解：当图象与x轴另一交点在x轴负半轴，即为（﹣1，0）时可设函数解析式为y=ax（x+1）（a＞0），由图象经过点有，得a=1，则函数解析式为y=x2+x；当图象与x轴另一交点在x轴正半轴，即为（1，0）时，可设函数解析式为y=ax（x﹣1）（a＜0），由图象经过点有，得，则函数解析式为．综上，函数解析式为y=x2+x或．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）首先确定集合A，然后根据A⊆B找等价不等式，解之即可；（2）首先确定集合A，然后根据A∩B=∅找等价不等式，解之即可．【解答】解：∵，∴，∴1＜x＜3，∴A=（1，3），（1）∵A⊆B∴，∴m≤﹣2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；（2）由A∩B=∅，得：若2m≥1﹣m，即时，B=∅，符合题意；若2m＜1﹣m，即时，需，解得．综上，实数m的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．【分析】可解出集合M，N，然后进行并集、交集和补集的运算即可．【解答】解：由得，，则，即；由得，，则，即；∴，，．【点评】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及并集、交集和补集的运算．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．【分析】由列举法表示集合S，P，再由二次方程的韦达定理和元素之和的特点，解方程即可得到所求值．【解答】解：依题意有S={p+q，p+r，p+s，q+r，q+s，r+s}，P={pq，pr，ps，qr，qs，rs}，由b=pq=r+s知b∈S，b∈P，则b=10．易知a=p+q，由（p+q）+（p+r）+（p+s）+（q+r）+（q+s）+（r+s）=3（p+q+r+s）=3（a+b），有3（a+10）=5+7+8+9+10+12=51，则a=7．易知c=rs，由pq+pr+ps+qr+qs+rs=pq+（r+s）（p+q）+rs=b+ab+c，有10+7×10+c=6+10+14+15+21+35=101，则c=21．综上可得a=7，b=10，c=21．【点评】本题考查二次方程的韦达定理和集合的表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

广西南宁三中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷

广西南宁三中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷

南宁三中2019年下学期高二月考1文科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 演绎推理“因为对数函数()log 01a y x a a =>≠且是增函数，而函数12log y x =是对数函数，所以12log y x =是增函数”所得结论错误的原因是（）A.大前提错误B.小前提都错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误2. 从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个是红球，至少有一个是绿球B.恰有一个红球，恰有两个绿球C.至少有一个红球，都是红球D.至少有一个红球，都是绿球3.已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列命题中必然成立的是（）A.若a b >，c b >，则a c >B.若a b >，c d >，则a bc d> C.若22a b >，则a b >D.若a b >-，则c a c b -<+4.设i 是虚数单位，()()234,,i a bi a b R -+=+∈.则a bi +等于（）A.5B.10C.25D.505.不等式2112x x -++>的解集为（）A.()2,0,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭UB.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.()2,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭UD.(),0-∞6. 曲线2cos ,1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的对称中心（）A.在直线12y x =上B.在直线12y x =-上 C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上7.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数第3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.ˆ0.4 2.3yx =+B.ˆ2 2.4yx =-C.ˆ29.5yx =-+D.ˆ0.3 4.4yx =-+ 8.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（） A.a b a c b c -≤-+- B.2212a a+≥C.12a b a b-+≥-≤9.已知正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A.245B.285C.6D.510.图①是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到的.图②是第1代“勾股树”，重复图②的作法，得到图③为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（） A.21n -，nB.21n -，1n +C.121n +-，nD.121n +-，1n +①②③11.若直线50mx ny +-=与圆225x y +=没有公共点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22175x y +=的公共点的个数是（） A.0B.1C.2D.无法确定12.下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型拟合的效果越好； ③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小可用来衡量预报精确度. 其中正确命题的个数是（） A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共20分）13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但我没去过B城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市。