2.1三角形

三角形的分类三角形是平面几何中的一种基本形状，由三条线段组成的闭合图形。

根据其边长和角度的不同，可以将三角形分为不同的类型。

本文将对三角形的分类进行详细介绍。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段构成的图形，其中任意两条线段的长度之和要大于第三条线段的长度。

三角形内部的三个角的度数之和为180度。

2. 三角形的按边长分类2.1 等边三角形等边三角形的三条边长相等，三个内角也都相等，每个角为60度。

例如，边长分别为a的等边三角形可以表示为△ABC，其中AB = AC = BC = a。

2.2 等腰三角形等腰三角形的两条边长相等，两个对顶角也相等。

例如，等腰三角形可以表示为△ABC，其中AB = AC，角B = 角C。

2.3 不等边三角形不等边三角形的三条边长都不相等，每个内角也不相等。

例如，边长分别为a、b、c的不等边三角形可以表示为△ABC，其中AB ≠ AC ≠ BC，角A ≠ 角B ≠ 角C。

3. 三角形的按角度分类3.1 直角三角形直角三角形中有一个角度为90度。

例如，可以表示为△ABC，其中∠C = 90度。

3.2 钝角三角形钝角三角形中的一个角度大于90度。

例如，可以表示为△ABC，其中∠C > 90度。

3.3 锐角三角形锐角三角形的三个角度都小于90度。

例如，可以表示为△ABC，其中∠A < 90度，∠B < 90度，∠C < 90度。

4. 三角形的综合分类根据边长和角度的不同组合，三角形还可以综合分类。

4.1 等腰直角三角形等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。

例如，可以表示为△ABC，其中AB = AC且∠C = 90度。

4.2 等边锐角三角形等边锐角三角形是指既是等边三角形又是锐角三角形的三角形。

例如，可以表示为△ABC，其中AB = AC = BC且∠A < 90度，∠B < 90度，∠C < 90度。

4.3 不等边钝角三角形不等边钝角三角形是指既是不等边三角形又是钝角三角形的三角形。

第二章三角形2.1 与三角形有关的角教学目标：1、掌握三角形内角和定理2、掌握三角形的内角与外角的关系重点：三角形内角和定理难点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和教学过程：一、引入我们都知道一个三角形的内角和为180゜，你知道三角形的内角和为什么是180゜呢？二、探究（一）三角形内角和定理1、学生探究剪拼法2、你能运用几何证明方法证明三角形的三个内角的和为180゜吗？试一试。

（由学生完成，教师辅助）（学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180゜，能够加深理解）（二）三角形的分类1、议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？2、直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”，在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边。

两条直角边相等的三角形叫作等腰直角三角形。

3、例题：在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得,∠A +∠B+ ∠C=180°即∠A +∠B+ 90°=180°，所以∠A +∠B= 90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.4、练习：如图，已知△ABC中，CE△AB，AD△BC，AD、CE相交于点O,△B=60゜.求△AOE的度数。

(由学生完成，教师辅助)（三）三角形的外角1、定义：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形的外角，如下图中的∠ACD是△ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻。

2、探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？归纳结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

3、练习：如图，△ABC中，点D是AC上一点，点E是BD上一点，问：（1）△ADE是那个三角形的外角？（2）△CDE是那个三角形的外角？三、随堂练习P48练习学生合作完成四、小结师生共同小结五、作业教材“习题2.1”中第4、5、7题。

中,
sin
=

sin
=

.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析

求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB,\ AB AB
AD AE DE AB AC BC
A
E
C
E D
2、填空题:
如图:DE∥BC, 2 已知: AD 求: —— ＝ — 2 AE ＝ — 5 AB —— —— AC 5
A B C
例题2 解:
∴
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
∵ DE∥BC
即
∴
∴
AB ＝AC —— —— （推论） BD CE B 15 ＝ —— 9 —— 4 CE D 12 CE ＝ — 5 2 12 =11— AE= AC+CE=9+ —
B
F
D
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
C
解: (1) Q DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. Q △ADE∽△ABC （2）
相等 1. 对应角_____, 对应边的比相等 的两个 ————
三角形, 叫做相似三角形 2.相似三角形的对应角相等 ,各对应边的比相等 ——————— ————
A
如果△ ABC∽ △DEF, 那么 B ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F