最小多项式1

单项式、多项式学生/课程七年级-初一-数学年级初一学科数学授课教师日期时段核心内容单项式、多项式课型一对一/一对N教学目标1.了解整式的有关概念，会识别单项式；2.能说出一个单项式的系数和次数；3.能说出一个多项式是几次几项式；4.在参与对单项式识别的过程中，培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。

重、难点1.重点：单项式的系数、次数；2.难点：多项式每一项的系数、次数，及整个多项式是几次几项式。

课首沟通1.我们小学学过哪些图形的周长和面积公式？2.我们是怎么样用字母表示这些公式的呢？知识导图课首小测1.用字母表示出：加法交换律：（）加法结合律：（）乘法交换律：（）乘法结合律：（）乘法分配律：（）2.用字母表示出长方形的周长公式：（），长方形的面积公式：（），正方形的周长公式：（）正方形的面积公式：（）3.修路队要修ａ米的路，还剩下52米没有修，已经修了（）米。

4.淄博到济南有105千米，一辆客车从淄博开往济南，每小时行v千米，行了t小时，此时客车距淄博（）千米，距济南（）千米。

当v=65，t=0.8时，距淄博（）千米，距济南（）千米。

5.三个连续偶数的和是a，其中最小的数是（），最大的数是（)【学有所获】对于连续的奇数或者偶数我们都可以设其中某一个为，根据每两个数之间相差，就可以表示出其他的数，对于要求的数字我们常常可以通过题目中的等量关系建立来进行求解。

[学有所获答案]2；方程导学一：代数式知识点讲解 1：代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.例如：5，，，等等.例 1. 列代数式：（1）若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为；（2）若表示正方体棱长，则正方体的体积是；（3）若表示一个有理数，则它的相反数是；（4）小明从每月的零花钱中贮存元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。

二、单项式、多项式的次数和项例2 指出以下各单项式的系数与次数：（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3432y x π （4）－3；解：（1）832ab 的系数是83，次数是3. （2）-mn 3的系数是-1，次数是4.（3）3432y x π的系数是34π，次数是5. （4）－3的系数是－3，次数是0。

知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-n m 3中，系数是－1，那么把“1”省略不写；圆周率π只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432y x π的系数是34π，次数是5。

另外，像－3，21，0等如此的常数，是零次单项式．例3 填空：（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x 升幂排列得；（2）多项式a 3-3ab 2 +3a 2b-b 3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b 降幂排列得.解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4 +0x +0x 2 +0x 3 +2x 4-3x 5; （2）三，四，3，-b 3-3ab 2 +3a 2b +a 3.知识体验：－2π4是常数项，不是4次项。

确信多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一路移动，这些都是容易犯错误的地址，要引发高度重视。

第四部份：典型例题例一、 用代数式表示：（1）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，那么那个两位数可表示为___________。

（2）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算能够射进阳光的面积为___________米2。

(1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n 个图案中有白色地面砖 块．第五部份：思维误区误区一、单项式系数判定错误例一、（1）单项式3x 410⨯的系数是 ；（2）-πr 2h 的系数是（3）4y 3-2x 的系数是 ；错解：（1）3，（2）-1，（3）-3纠错秘方：（1）中的系数是3×104，（2）中的π是常数，同时注意符号（3）能够写成的积y x 与43-2正确的解：（1）3×104；（2）-π（3）43- 误区二、单项式与多项式的次数判定错误 例2、填空（1）单项式y 332x 的次数是 （2）多项式1xy 2y 42++x 是 次三项式。

浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。

为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。

BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。

1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。

BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。

该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。

BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。

2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。

用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。

第一章 多项式 Polynomials多项式是代数中的一个基本概念，求解多项式方程的是最古老的数学问题之一. 多项式理论不仅对数学本身非常重要，而且它的重要性更体现在实际应用中.1.1数域 整数的整除性集合的概念：若干事物的全体称为一个集合，组成集合的这些事物称为集合的元素.集合的概念只是一个描述性的说明．集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素.当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作：a A ∈；当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作：a A ∉集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M ＝｛x | x 具有性质P ｝； 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例如，22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈， {1,2,3,}N = .不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集合或B 包含于A ，记作B A ⊆，空集是任意集合的子集合.如果A 与B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝B .A ＝B 当且仅当A B ⊆且B A ⊆ . 集合{}AB x x A x B =∈∈且称为 A 与B 的交： 集合{}A B x x A x B =∈∈或称为A 与B 的并：为了在下面课程里讨论起来严谨和方便, 需要引入数域的概念.数是数学中一个最基本的概念, 人们对客观世界的认识的不断深入，使得数经历了由自然数到整数、有理数、实数，再到复数这个发展过程. 通常我们用N 表示自然数集合，也用Z +表示正整数集合，用Z 表示整数集合，用Q 表示有理数集合．R 表示实数集合， C 表示复数集合．若数集S 中任意两个数作某一运算的结果仍在S 中，则说数集S 对这一运算是封闭的扩张数范围的主要原因是由于要求某些运算封闭或方程求解引起的. 任意两个整数进行加、减、乘法运算后仍然是整数，但任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围，实数范围，复数范围，只要除数不为零，除法是可以做的，因此，在数的不同范围内，回答同一个问题的答案可能是不同的. 例如，在解决一个实际问题中列出一个一元二次方程，这个方程有没有解与未知量所允许的取值范围有关. 我们经常会遇到的数常见的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，它们也有很多共同的性质，为了在今后讨论中能够把它们关于加、减、乘、除运算的共同性质统一起来，我们引入一个一般的概念.定义 1.1 设S 是复数集的非空子集. 如果对于S 中的任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环.Z 对数的加法，减法和乘法作成一个数环，我们称它为整数环.定义1.2设F 是由一些复数组成的集合，其中包含0与1，如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F 中的数，则称F 为一个数域．容易验证，全体有理数的集合Q 对于通常的四则运算作成一个数域，称为有理数域．类似地R 称为实数域， C 称为复数域．整数环Z 不是数域．例1 证明：数集{},Q a a b Q =+∈是一个数域．证明 由0011=+=+0,1Q ∈,又对 ,x y Q ∀∈设x a y c =+=+,,,,a b c d Q ∈则有()(x y a c b d Q ±=±+±(2)(x y ac bd ad bc Q ⋅=+++设0,a +于是a -也不为0．否则，若0,a -=则a =于是0,0a b ==，0.a +矛盾=2222ac bd Q a b -=-所以，Q 为数域.例2 任意数域F 都包括有理数域Q ．即有理数域是最小数域． 证明 设F 为任一数域．由定义可知，01.F F ∈∈， 于是有 ,111m Z m F +∀∈=+++∈,即F 包含全体自然数, 又,,,m m n Z F n+∀∈∈0.m m F n n -=-∈ 而任意一个有理数可表成两个整数的商，所以，.Q F ⊆ 定义1.3 设,a b Z ∈,0b ≠，如果存在q ∈Z ，使得 a bq =，则说b 整除a ，记作|b a ，这时说b 是a 的因数，也说a 是b 的倍数；当q ≠±1，±a 时，称b 是a 的真因数.如果这样的q 不存在，则说b 不整除a ，记作|b a .定理1.1 (基本性质)：1) 若c|b,b|a ，则c|a ；2) 若m|a,m|b ，则,p q Z ∀∈，m|pa+qb ；3) 若b|a,a ≠0，则|b |≤|a |；4) b |a 当且仅当c ≠0，cb|ca .证明 1）由已知，b=cs, a=bt a =(cs ) t=c (st )，即c |a ；2) a=ms,b=mt , pa+qb=mps+mqt=m (ps+qt )，则m |pa+qb ；3) a=bc ，|a |=|b ||c |，由a ≠0，得 |a |≠0, |c|≥1，所以|b |≤|a |；4) a=bs ca=cbs ，即cb |ca .定理 1.2 （带余除法） 设a,b ∈Z ，b ≠0，则存在唯一的q,r ，使得 a=bq+r ，0≤r<|b|.证明 作数列,2||,||,0,||,2||,b b b b --, a 必落在此数列相邻两项所构成的某一区间且只能落在一个区间，即存在q ，使得||(1)|q b a q b ≤<+，减去||q b ，得0||||a q b b ≤-<，令||r a q b =-，则有 ||a q b r =+,0||r b ≤<，由于只能在一个区间，所以q 唯一，从而r 唯一.q 称为不完全商，r 称为余数.定义1.4设12,,,n a a a Z ∈，|i d a ,1,2,,i n =，则说d 是12,,,n a a a 的一个公因数，所有的公因数中最大的叫做12,,,n a a a 的最大公因数，记作(12,,,n a a a )，如果(12,,,n a a a )=1，则说12,,,n a a a 互素. 定理1.3 如果a=bq+c ，则 (a,b )=(b,c ).证明 若d|a,d|b ，则d|c =a-bq . 反过来，若d|b,d|c ，则d|a =bq+c . 所以a,b 与b,c 有相同的公因数集，最大者也就相同了.定理 1.4 (辗转相除法) 设a,b ∈Z +,则 (a,b ) 等于辗转相除的最后一个不等于0的余数n r .证明 ,a b Z +∈,11a bq r =+, 10r b <<,122b r q r =+, 210r r <<,1233r r q r =+, 320r r <<,…………111k k k k r r q r -++=+, 10k k r r +<<,…………11n n n r r q -+=, 10,0n n r r +≠=,则由定理1.3，1211(0,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n r r r r r r r b b a a b -=======.例3 求(525，231).解 将525和231辗转相除定理1.5 设a,b 不全为0，a,b ∈Z 则存在x,y ∈Z ,使(a,b )=xa+yb ，特别当(a,b )=1时，存在s,t ∈Z 使得sa+tb =1.证明 由辗转相除法向上反推.定义1.5 正因数只有1和本身的大于1的正整数称为素数，正因数的所以 (525，231)=21.个数≥3的正整数称为合数.定理1.6 设a ∈Z ，p 是素数，则必有p|a 或(p,a )=1.证明 由 (p,a )|p ，(p,a )=p 或1，若(p,a )=p ，由(p,a )|a ，即p|a .推论1.1 设p 是素数 |p ab ，则|p a 或|p b .证明 若†p a ，则 (,)1p a =由定理1.5，存在,s t 使得1sp ta +=，乘以b spb tab b +=，于是|p b .1.2 一元多项式定义1.6 设n 是一个非负整数，01,,,n a a a ⋅⋅⋅∈数域F ，x 是一个符号(或称文字）,形式表达式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域F 上的一元多项式．0a 称为常数项或0次项，i i a x 称为i 次项，i a 称为i 次项系数，若0,n a ≠ 则称n n a x 为()f x 的首项，n a 为首项系数，n 称为多项式()f x 的次数，记作(())f x ∂. 系数全为零的多项式0称为零多项式．零多项式是唯一不定义次数的多项式.通常用(),(),(),f xg xh x 或,,,f g h 表示多项式, 这种表示方法是瑞士数学家欧拉最先使用的.设 11100()i i nn n n n i f x a x a x a x a a x --==++++=∑，11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑，若,n m ≥ 在()g x 中令110n n m b b b -+====，则11100()j j nn n n n j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑若 ,0,1,2,,i i a b i n ==⋅⋅⋅则说()f x 与()g x 相等，记作()()f x g x =. 规定加法 ：0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑规定乘法：1110()()n m n m n m n m f x g x c x c x c x c ++-++-=++++111()n m n m n m n m n m a b x a b a b x ++---=+++10100()o a b a b x a b ⋅⋅⋅+++0()n ms i j s i j s a b x +=+==∑∑, 其中s 次项s x 的系数为11110s s o s s s i j i j s c a b a b a b a b a b --+==++⋅⋅⋅++=∑.规定 0()()i i n i f x a x =-=-∑，由此 ()()()(())f x g x f x g x -=+-.(),()f x g x 为数域 F 上任意两个多项式，则()(),()()f x g x f x g x ±仍为数域F 上的多项式．定义1.7 所有数域F 上的一元多项式的全体称为数域F 上的一元多项式环，记作[]F x .多项式的加法和乘法满足以下运算律1) 加法交换律 ()()()(f x g x g x f x +=+；2) 加法结合律 ()()()()()))()((f x g x h x f x g x h x ++=++；3) 乘法交换律 ()()()(f x g x g x f x =；4) 乘法结合律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5) 乘法对加法的分配律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+. 只证明乘法结合律：设 0()l k k k h x c x ==∑,()()f x g x 中s 次项的系数为i j i j s a b +=∑,()()()()f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k s k t i j s i j k t a b ca b c +=+=++==∑∑∑, ()()g x h x 中r 次项的系数为 j k j k r b c +=∑,()(()())f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k i r t j k r i j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑. 多项式的加法和乘法关于次数有下面的结论.定理1.7 若()0,()0,f x g x ≠≠则1) ()()0,f x g x ≠ 且 (()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂;2) 当()()0f x g x +≠，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+≤∂∂.证明 1) 设(()),(())f x n g x m ∂=∂=，()f x 的首项系数0n a ≠，()g x 的首项系数0m b ≠, 则()()f x g x 的首项系数0n m a b ≠，所以(()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂；2) 不妨设 m n ≤，则 0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑当n x 项系数()0n n a b +=时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+<∂∂；当n x 项系数 ()0n n a b +≠时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+=∂∂.推论1.2 ()()0f x g x =的充要(充分必要)条件是()0f x =或()0g x =.推论1.3 ()()()(),()f x g x f x h x f x =≠ ，则 ()()g x h x =.证明 ()()()(f x g x f x h x =, ()(()())0f x g x h x -=()0f x ≠，由推论1.2 ()()0g x h x -=，从而 ()()g x h x =，这说明数域上多项式乘法适合消去律.例1 设(),(),()[]f x g x h x R x ∈ 证明: 若222()()(),f x xg x xh x =+ 则 ()()()0f x g x h x ===.证明 若()0,f x ≠则 222(()())()0,x g x h x f x +=≠从而22()()0.g x h x +≠于是2222(()())((()()))xg x xh x x g x h x ∂+=∂+为奇数.但2(())f x ∂为偶数. 所以222(()())()x g x h x f x+≠ 这与已知矛盾. 故()0,f x = 从而22()()0.g x h x += 又(),()f x g x 均为实系数多项式，必有()()0.g x h x ==从而()()()0f x g x h x ===.该结论在复数域C 上不成立．如取 ()0,(),()f x g x ix h x x === 时. 有 22200().x x x x ==-+⋅1.3 整除的概念这一节以后的讨论都是在某一固定的数域F 上的一元多项式环中进行的，在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以做的，因此多项式的整除理论就成了多项式理论的一个重要内容.定义1.8 设(),()[]f x g x F x ∈,若存在 ()[]h x F x ∈使()()()f x g x h x = 则说 ()g x 整除(),f x 记作()|()g x f x ,这时， ()g x 称为()f x 的因式，()f x 称为()g x 的倍式．如果()0,g x ≠则()g x 除()f x 所得的商可表成().()f xg x 定义中允许()0g x =，此时有 00(),()[]h x h x F x =∀∈. ()g x 不能整 除()f x 时记作()|()g x f x .和中学所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式, 求得商和余式. 即有带余除法定理1.8 对(),()[],()0,f x g x F x g x ∀∈≠ 存在(),()[]q x r x F x ∈，使 ()()()()f x q x g x r x =+ 其中(())(())r x g x ∂<∂或()0,r x =并且这样的(),()q x r x 是唯一的.证明 若()0f x =或 (())(())f x g x ∂<∂，则令 ()0,()()q x r x f x ==，结论成立．若()0f x ≠ 或 (())(())f x n g x m ∂=≥∂=，11100()i i nn n n n i f x a x a xa x a a x --==++++=∑， 11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑对()f x 的次数n 作数学归纳法．0n =，则0m =且b 0非零，0000()0a f x a b b ==⋅+，结论成立． 假设对次数小于n 时，结论成立．现在来看()f x 次数为n 的情形．这时()f x 的首项为,n ax ()g x 的首项为,()m bx n m ≥ ，则()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而，多项式 1()()()n-m f x f x b ax g x -1=-的次数小于n 或1()f x 为0．若1()=0f x ，令1(),()0n m q x b ax r x --==即可，若1(())f x n ∂<，由归纳假设，存在 11(),()q x r x 使得 111()()()()f x q x g x r x =+ 其中1(())(())r x <g x ∂∂或者 1()0.r x =于是1111()()()(())()()n -m n m f x b a x g x f x b a x q x g xr x --=+=++-1即有 111()(),()()n m q x b ax q x r x r x --=+=使()()()()f x q x g x r x =+．由数学归纳法原理，存在性成立．再证唯一性．若还有 ()()()()f x q xg x r x ''=+其中('())(())'()0r x g x r x ∂<∂或＝ 则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ''+=+，(()'())()()()q x q x g x r x r x '-＝-若()()0r x r x '≠-则()()0q x q x '≠-，(()())(())(())q x q x g x g x '∂∂≥∂-+max{('()),(())}r x r x >∂∂('()())r x r x ≥∂-，矛盾所以()().r x r x '= 从而()()q x q x '= 唯一性得证．()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式．例1 设()()3223456,31f x x x x g x x x =+-+=-+，求()g x 除()f x 的商式和余式. 解 用普通除法() ()313()(317)f x x g x x =++-，313q x x +()=，()=317r x x -.定理 1.9 当()0g x ≠时，()|()g x f x 当且仅当()g x 除()f x 的余式()0r x =整除具有以下性质：1) 若()|()()|(),g x f x f x g x ，则 ()()0f x cg x c ≠＝，；事实上，若()0,f x =则()0,g x ＝()()f x g x =；若()0f x ≠ 由 ()|()f x g x ,1()h x ∃使得 1()()()g x f x h x =；由()|()g x f x ,2()h x ∃使得 ()2()().f x g x h x =12()()()()f x h x h x f x =，从而12()()1h x h x =, 12(())(())0h x h x ∂+∂=, 12(())(())0h x h x ∂=∂=,12(),()h x h x 皆为非零常数，故有()()0f x cg x c ≠＝，；2) 若()|()()|()f x g x g x h x ，则()|()f x h x ；事实上，由()()()g x f x u x =，()()()h x g x v x =,()(()())()()(()())h x f x u x v x f x u x v x ==；3) 若()|()1,2,,i f x g x i =k ，则对()[],1,2,,i u x F x i =k ∀∈ 有1122()|(()()()()()())k k f x u x g x u x g x u x g x +++； 4) 若0c F ≠∈，()[],|()f x F x c f x ∀∈.两多项式的整除关系不会因系数域的扩大而改变．但这个论断在数环上的多项式不一定成立，例如，在Z [x ]中，2x 不整除2x .1.4 最大公因式设F 是数域，[]F x 是F 上的一元多项式环，(),(),()[]f x g x h x F x ∈ 若()()h x f x 且 ()()h x g x ，则说()h x 是(),()f x g x 的一个公因式．任意非零常数是(),()f x g x 的一个公因式，因此公因式是存在的. 定义1.9 说()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，如果1) ()()d x f x ,()()d x g x ;2) 若()|()h x f x ,()()h x g x , 则()()h x d x .()f x 与()g x 的首1（首项系数为1）的最大公因式记作 (())).(f x g x , 下面讨论将证明最大公因式的存在性并给出求法. 我们还将看到最大公因式不是唯一的，任意两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式相差一个非零常数倍，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.引理1.1 设 ()()()()f x q x g x r x =+ ，则(),()f x g x 与(),()g x r x 有相同的公因式, 从而 (()())(()())f x g x g x r x =,,.证明 ()(),()()d x f x d x g x ,则()|()()()()d x r x f x q x g x =-，这就是说，(),()f x g x 的公因式一定是(),()g x r x 的公因式；()(),()()d x g x d x r x ,则()|()()()()d x f x q x g x r x =+，这就是说，(),()g x r x 的公因式一定是(),()f x g x 的公因式；再由最大公因式定义知, (),()f x g x 的最大公因式与(),()g x r x 的最大公因式相互整除, 因此(()())(()())f x g x g x r x =,,.定理1.10 对于[]F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，一定存在最大公因式()d x ，且(),()[]u x v x F x ∃∈ 使 ()()()()().d x u x f x v x g x +=证明 如果 ()0g x =，则()f x 就是()f x 与()g x 一个最大公因式．且 ()1()0().f x f x g x =⋅+⋅如果()0g x ≠ 用()g x 除()f x 得11()()()()f x q x g x r x =+，若1()0r x ≠，212()()()()g x q x r x r x =+，若2()0r x ≠，1323()()()()r x q x r x r x =+，若3()0r x ≠，…………21()()()()k k k k r x q x r x r x --=+，若()0k r x ≠11()()()0k k k r x q x r x -+=+，()0k r x =因为每次所得余式的次数不断降低，即12(())(())(())g x r x r x ∂>∂>∂>……因此，有限次后，必然有余式1()0k r x +=，于是有1(()())(()())f x g x g x r x =,,12(()())r x r x =,=…1=(()())k k r x r x -,=(()0)()k k r x r x =,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去11(),,()k r x r x -再合并同类项就得到 (()())()()()()()k f x g x r x u x f x v x g x =+,=.这种求最大公因式的方法称为辗转相除法.不难看出。

秩为1的矩阵最小多项式
，
古今漫漫，无论任何事物，都具有一定的规律可寻。

秩为1的矩阵最小多项式，它可以算出出任何矩阵的参数，据说它能帮助我们领略更多宇宙中复杂的秩，带给我们无穷精彩景象。

什么是秩为1的矩阵最小多项式？它是一种能够提供任意m * n矩阵的参数的
数学方法。

简单来说，就是用一个多项式可以表述任何一个矩阵，矩阵中的参数就可以用多项式来表示。

秩为1的矩阵最小多项式也可以用来表述复杂的热力学系统。

此外，这一数学方法还能够帮助我们挖掘出宇宙中更复杂的秩。

它可以帮助我
们推导出更细致的结论，可以从物理学实验结果中提炼出众多更加精妙的结论，可以让我们体验到宇宙中无穷无尽的景象。

秩为1的矩阵最小多项式不仅仅可以提供科学家们新的探索视角，也可以为我
们创造无限可能。

我们可能发现秩1矩阵最小多项式，在无穷宇宙中有某种我们现在暂时无法解释的新的自然现象。

在完全理解的情况下，我们将拥有更多的可能性去发现它。

有极多理论和实验证明，秩为1的矩阵最小多项式是一种强大的数学工具，能
够带给我们更多的未知的乐趣，也能够为科学探索开辟更多新的可能。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

第一章 多项式一. 内容概述1. 多项式的概念多项式有两种不同的定义。

设F 是一个域i a ∈F ，)(x f =n a ++--11n n nxa x +01a x a + （1）(1) 不定元的观点（形式表达式）把x 看作一个文字，形如表达式（1），)(x f 称为F 上的多项式。

若两个多项式的形式表达式完全一样，则称两个多项式相等。

即)(x f =n a ++--11n n nx a x +01a x a +,)(x g = n b 0111b x b x b x n n n++++--规定)(x f =)(x g ⇔i i b a =,i =1,2,……n 因此，每一个多项式的表达式是唯一的。

（2）函数观点把x 看作F 中的取值的自变量, )(x f 看成定义在F 上的一个函数,其值域是F 上的一个子集。

在这一观点下，两个多项式函数)(x f 与)(x g 相等。

记住)(x f ≡ )(x g 是指的对0x ∀∈F ，f (0x )=g (0x )有相等的函数值。

应当注意这时的函数表示法不一定是唯一的。

例如，二元域F ={0，1}上多项式函数)(x f =12+x ，)(x g =1+x 是相等的，但表示法不一样，而在无限域上多项式的表示法是唯一的。

即在有限域上)(x f =)(x g 不能推出)(x f ≡)(x g ； 在无限域上)(x f =)(x g ⇔)(x f ≡ )(x g 2．多项式的运算 （1）加法定义 ∀)(x f , )(x g ∈][x F ,在其中适当添上一些系数为零的项,总可设)(x f =i ni i x a ∑=0,)(x g =∑=ni ii x b 0,令)(x h =ii ni i x b a )(0+∑=,显然h(x)∈][x F ，称)(x h 为)(x f 与)(x g 的和，记为)(x f +)(x g =ii ni ix b a)(0+∑=。

第08讲整式-单项式和多项式1.理解单项式，多项式和整式的概念，并能判定单项式，多项式和整式；2.掌握单项式，多项式的系数和次数求法；3.经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识，数到字母的转变过程。

知识点1单项式1.单项式定义（1）定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。

说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.2、单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。

如23x 的系数是3；32ab 的系数是31；a8.4的系数是4.8；（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号如24xy -的系数是4-；()y x 22-的系数是2-；（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如2ab -的系数是-1；2ab 的系数是1；（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。

如2πxy 的系数就是2.3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。

如单项式zy x 242的次数是字母z ，y ，x 的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母z 的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。

如单项式43242z y x -的次数是2＋3＋4=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“∙”或者省略不写。

例如：t ⨯100可以写成t ∙100或t1005、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.知识点2：多项式1、定义：几个单项式的和叫多项式.2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.3、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.知识点3：整式（1）单项式和多项式统称为整式。