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高等数学讲义--一元函数微分学

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第二章一元函数微分学S.1导数与微分(甲)内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数y f(x)在点χo 的某领域内有定义，自变量 X 在X o 处有增量 X ,相应地函数增量y f(x oX ) f (X O )。

如果极限存在，则称此极限值为函数f (X )在X o 处的导数(也称微商)，记作f (X o ),或y X 冷，dy∣ X X 0，df(X) X X 0等，并称函数y f(χ)在点X o 处可导。

如果上面的极限不存在，则 dX dx称函数y f (x)在点x 0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令X X 0X ， X X X 0 ，则f (X o )Iim f(X) f (X O) X xoX X o我们也引进单侧导数概念。

右导数： f (x o ) Iim f (X) f (X O )Iim f (X OX) f (X O)XXDXX OX OX 左导数： f (X) f(X o )1∙ f (X ox) f(X o ) f (x o ) IimIim XXDXX OX oX则有f (X)在点X o 处可导 f (X)在点X o 处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义如果函数y f (X)在点X o 处导数f (X o )存在，则在几何上 f (X o )表示曲线y f (X) 在点(X o ,f (X O ))处的切线的斜率 切线方程：y f (x o ) f (X O )(X x o )Iim -ylim f(X o X ) f(X o )XX法线方程：y f(x0) (X X0) (f(x0) 0)f (X o)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S f (t),如果f (t0)存在，则f (t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y f (X)在点X0处可导，则f(x)在点X0处一定连续，反之不然，即函数f (X)在点X。

处连续，却不一定在点X。

处可导。

例如, f (X) | X |,在X0 0 处连续，却不可导。

4.微分的定义设函数y f(x)在点X0处有增量X时，如果函数的增量y f(x°x) f(x°)有下面的表达式y A(x0) X o( x) ( X 0)其中A(x°)为X为无关，o( x)是X 0时比X高阶的无穷小，则称f (X)在X。

处可微,并把y中的主要线性部分A(x0) X称为f (X)在x0处的微分，记以dy xx°或df (x) X X 我们定义自变量的微分dx就是X。

5•微分的几何意义y f (X0 x) f(x°)是曲线y f (x)在点X0处相应于自变量增量X的纵坐标f (x0)的增量，微分dy xx°是曲线y f (X)在点M°(x°, f (X0))处切线的纵坐标相应的增量(见图)。

6•可微与可导的关系f (X)在X0处可微 f (X)在X0处可导。

且dy X X0 A(X0) X f (X0)dx般地，y f(x)则dy f (x)dxdy所以导数f (X)d y也称为微商，就是微分之商的含义。

7 •高阶导数的概念如果函数y f (X)的导数y f (X)在点X 0处仍是可导的，则把y f (X )在点X 0处 广I \/的导数称为y f (X)在点X o 处的二阶导数，记以y X X 0,或f (X o ),或一yX X 0等，也 dx称f (X)在点X 0处二阶可导。

如果y f(x)的n 1阶导数的导数存在，称为y f (x)的n 阶导数，记以 y (n),、导数与微分计算 1.导数与微分表(略) 2 •导数与微分的运算法则(1) 四则运算求导和微分公式 (2) 反函数求导公式 (3) 复合函数求导和微分公式 (4) 隐函数求导法则 (5) 对数求导法(6) 用参数表示函数的求导公式 (乙)典型例题 -、用导数定义求导数例 设f (x) (X a)g(x),其中g(x)在X a 处连续，求f (a)二、分段函数在分段点处的可导性 例1设函数X 2, X 1 ax b, X 1试确定a 、b 的值，使f (X)在点X 1处可导。

解：•••可导一定连续，∙∙∙ f(x)在X 1处也是连续的。

由f(1 O) Iimf(X) Iimx 21X 1X 1(n)y (x)，护等这时也称f (x)是n 阶可导。

W X fma H X/V fa) ma HXg a)/V ga)f (1 0) Iim f (x) Iim (ax b) a bX 1X 1要使f (X)在点X1处连续，必须有a b 1或b 1 a又f f (X ) f(1)21(1)呵1X 1Iim1X 1Iim( X 1) 2f (1) Iim f (X)f(1) ,.ax b Iim 1 「 a(x 1) Iim a1 X 1 X1 X 1 I x 1 x 1 要使f (X)在点X1处可导，必须 f (1) f (1),即 2 a .故当a 2,b 1 a 12 1时,f (x)在点X 1处可导∙2 n(x 1)X e ax b例2 设 f(x) n ∣m n(x1) ‘ ,冋a 和b 为何值时，f (x)可导，且求f (x)n e V 1 1解：∙∙X 1时，n(x 1)Iim enX1时，Iim en(X I)nX 2JX 1 ,a b 1f(x)2 X J1 ,ax bJX 1 ,再由X1处可导性,f (1) Iim2Xf(1) 存在X 1X 1f (1) Iim (ax b) f(1) 存在X 1X 1且 f(1)f (1)根据洛必达法则f (1) Ii m 2X2X 1 1 f (1) Iim a a ,∙∙∙ a 2 X 11于是b 1 a 1由X 1处连续性，Iim f (x)X 12Iim X 1, f ⑴ 1 ,可知a b 12 dX , X 1 ,1, X 1,2x 1, X 1 ,2x, X 1, 2, X 1,三、运用各种运算法则求导数或微分 例 1 设 f (x)可微，y f (In x) e f (X),求 dy解：dyf (In χ)def(X)e f (X )df(∣n χ)f (x)ef (X)f (In x)dx - f (In x)e f (X)dxX 1e f(X)[f (x)f(∣n x) f (In x)]dxX例2设yX XX (X0),求矽dx解: In y x xIn X对X 求导，得1/ X X I 1 Xy (X ) In X yX再令 y 1 X X, In y 1xInx ,对 X 求导,y 1 In X 1 ,∙∙∙ (x x) x x(In X 1)y 1于是dyX X (InX 1)Inx X X I X X ( X 0) dx例3设yy(x)由方程X y y X所确定，求dx 解：两边取对数，得 yInx xIny , 对X 求导，y I n X —In y XX y y2Xyy Xyny y (一 In x)In y , y2yXX xyIn Xf(x)f (x)t2U 2ide Sin UdU t 2t e uln(1 u)du求d X dy dx 解堆 dt dy dt 四、求切线方程和法线方程 t 4 〜 L2te Sint e Sint 2 t 22t 2e ln(1 2t) 例1已知两曲线y f (X)与y arcta nx .2e t dt在点(o , 0)处的切线相同，写出此切线方2程，并求Iim nf ()。

nn 解：由已知条件可知 f(0) 0, f (0) C (arctanx)21 X 2故所求切线方程为 y X f(-) f(0) n________ 2 Iimnf (2) lim 2 n n n2f (0) 2 例2已知曲线的极坐标方程 坐标方程。

解：曲线的参数方程为1 COS ，求曲线上对应于 6处的切线与法线的直角(1 (1 COS ) COS COS cos )sin Sin 2COS Sin cos dy d COS 2COS ・2Sin dx 6 dx 6 Sin 2 cos Sin d 1 √3√3 3 故切线方程 y 1 (X 3) 2 4 2 4 3厂 5 即 X y -√3 04 4法线方程y1 √3 (X晅3)242 4即Xy 1√31 04 4y 6例 3 设f(x)为周期是 5的连续函数，在X 0邻域内，恒有求曲线y f(x)在点(6, f(6))处的切线方程。

解：由题设可知f(6) f (1) , f (6) f (1),故切线方程为y f (1) f (1)(x 6)所以关键是求出f (1)和f (1)由 f (x)连续性 lim[ f (1Sinx)X 03f (1Sin X)] 2f (1)由所给条件可知2f(1) 0,∙∙∙f(1)令SinX t, Iim f (I t) 3f (I t)8 ,又Vt 0再由条件可知 叫IK SinX) 3f(1 Sin X8x SinX -^) 8Sin X五、 上式左边=Iimt[f(1 t) f(1)] 3lim 空t 0t) f(1) (t)(1) 3f (1) 4f (1)则 4f (1) 8所求切线方程为 高阶导数1 •求二阶导数 y ln(x 解: f (1) 2y 0 2(x 6)2x y 12X 2P(Xa— (1 XlX a 1 2 2 2(X a)a 2),求 y''x 2a 2)X x 2—2) a__ 1_X 2a 22xX(x 2a 2)3X arcta nt y ln(1 t 2)dx 2f (1 Sin x) 3f (1 Sin x) 8x(x)。

其中 limX 0(X) X0 , f (x)在X 1处可导, f(1) 0nCnU (K)(X)V(n K)(X)k O假设U(X)和V(X)都是n 阶可导dy 2t解:少dt 1 t 22tdXdX 1dt 1 t 2d 2y d(d y ) dX d(¾ dX 1 2(I t2)dX 2 dXdt1 t 2例3设y(1) y Xe(n)yXe(2) y a x(a0, a 1)(n)yXa (l n a)(3) y Sin X(n)y Sin (X2) (4)y cosx(n)ycos(x 2)(5) y ln X(n)y(1)n 1(n1)!x有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式n两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式y(x)由方程X 2y 21所确定，求y''解: 2x 2yy' 0, yy''1 y Xy 2y2X y y2y2 2y X 3y2 .求n 阶导数(n2 ,正整数)先求出y, y,L,总结出规律性，然后写出y (n),最后用归纳法证明。

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(优选)一元函数微分学ppt讲解

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x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
《大学数学课件一元函数微积分学》

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曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
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定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
第二章-一元函数微分学.docx

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第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。

处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。

处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。

及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。

处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。

处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。

高等数学讲义 一元函数微分学

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第二章 一元函数微分学§2、1 导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义,自变量x 在0x 处有增量x ∆,相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在,则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数(也称微商),记作0()f x ',或x x y =',x x dxdy=,)(x x dxx df =等,并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在,则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式,令x x x ∆+=0,0x x x -=∆,则0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。

右导数:0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数:0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在,则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线的斜率。

切线方程:000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程:00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠'设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =,如果0()f t '存在,则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。