台球桌面上的角[下学期]--北师大版-

2.1台球桌面上的角《21 台球桌面上的角》台球，作为一项备受欢迎的室内运动，其桌面看似简单，实则蕴含着丰富的几何奥秘。

其中，角的存在和变化尤为关键。

当我们站在台球桌前，准备击球的那一刻，目光所及之处尽是各种角度。

球与球之间的位置关系，球与桌边的碰撞轨迹，无一不是由角来决定的。

首先，让我们来了解一下台球桌面上最基本的角——直角。

台球桌的四个角通常都是直角，这为我们提供了一个稳定的边界和参考。

当球滚向桌边，与直角边碰撞时，其反弹的方向遵循着一定的规律。

这种规律是基于物理学中的反射原理，即入射角等于反射角。

比如说，一个球以一定的角度撞击桌边，如果入射角是 30 度，那么它反弹的角度也会是 30 度。

这一规律在我们击球时的策略制定中起着至关重要的作用。

如果我们想要将目标球打进特定的口袋，就需要准确地计算出击球的角度，以及球与桌边碰撞后的反弹角度。

除了直角，还有许多其他类型的角在台球桌上发挥着作用。

比如，两个球之间形成的夹角。

当我们想要通过击打一个球来撞击另一个球时，这两个球之间的夹角就决定了击球的力度和方向。

如果夹角较小，我们可能需要更精准的控制力度，以免击球后无法达到预期的效果；而如果夹角较大，那么击球的容错率相对会高一些。

再来说说球在桌面上滚动时形成的动态角。

当球沿着直线滚动，然后因为碰撞改变方向，这就形成了一个角度的变化。

这种变化对于我们判断球的后续轨迹至关重要。

有时候，一个小小的角度偏差可能会导致球完全偏离目标口袋，让我们错失得分的机会。

在实际的台球比赛或娱乐中，我们经常会遇到需要通过巧妙地利用角度来实现复杂击球的情况。

比如“斯诺克”比赛中，选手们常常会通过将母球藏在其他球后面，使得对手难以直接击打目标球。

这时，球与球之间形成的多个角度关系就需要选手们进行精确的计算和判断。

此外，不同的击球点也会影响球的旋转和角度变化。

如果我们击打母球的上部，球会向前旋转，与桌边碰撞后的角度变化相对较小；而如果击打母球的下部，球会向后旋转，与桌边碰撞后的角度变化则会较大。

2.1 台球桌面上的角一、教学目标：（一）、知识与技能目标①在具体的活动中，了解互余角、互补角、对顶角的概念，掌握它们的性质。

②能用所学的知识进行简单的推理。

③通过概念性质的形成，培养学生的实验、观察、分析、概括能力。

（二）、过程与方法目标①从丰富的生活情景中经历概念、性质产生的过程，体会数学与现实生活的密切联系。

②通过观察、实验、操作等数学活动过程，使学生掌握从事科学研究的方法。

（三）、情感与态度目标①通过性质的发现与运用，向学生渗透知识来源与实践并运用于实践的辨证唯物主义观点。

②通过分工合作实验，培养学生的团队合作意识，品尝与同伴合作交流的乐趣。

二、重点、难点：重点：理解对顶角的概念、性质。

让学生亲身经历概念、性质获得的过程。

难点：运用所学知识解决实际问题。

三、教学方法：情境探索四、教学手段：电脑多媒体五、教学过程：（一）、引入课题引言：你认识屏幕上的少年吗？他的名字叫丁俊辉，14岁的他用自己的手臂紧握球杆，在那个属于他的平面世界里，书写着角的轨迹。

他用自己的执著，凭着一股奋发向上自强不息的精神，在2002年度世界台球锦标赛上勇夺季军。

（大屏幕放他的图片）你喜欢台球运动吗？今天，老师和你一道研究台球活动中的数学。

（板书：台球活动与角）（二）合作探究：I、认识互余的角，互补的角1、想一想：打台球时白球击打红球或蓝球，反弹后红球或蓝球将按怎样的方向前进？演示（动画）2、做一做：（小组分工合作，找出测量者、记录者、汇报者，看看哪个小组做的最好）你手中的纸片，记录了台球活动中被击打的小球的运动的轨迹，用量角器亲自测量∠1，∠2，你发现了什么规律？６组同学答的真好！ 得到结论：∠1=∠2 3、试一试：当白球击打红球时，画出红球行走的路线，红球能入袋吗？（不考虑用力因素）21号同学，说说你做的过程。

（少图）4、想一想找出下列各组图中∠1，∠2的关系，121212第1组第2组121212120°60°大家发现的非常好，的确（同时大屏幕出示结论） 在第一组中，∠1+∠2=90º 在第二组中，∠1+∠2=180º在图1中，∠1，∠2叫互余的角；在第二组图中∠1，∠2叫互补的角。

2.1台球桌面上的角教案以下是查字典数学网为您推荐的 2.1台球桌面上的角教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

2.1台球桌面上的角教学目标：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力;2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.教学重点：1、余角、补角、对顶角的概念;2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.教学难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等.判断是否是对顶角.教学过程：内容一：展示桌球运动中球入袋的情景，观察图中各角与1之间的关系：ADF+1=180ADC+1=180BDC+1=180EDB+1=1801教学中要鼓励学生自己去寻找，但是不要求学生说出图中所有的角与1的关系.在对图中角的关系的充分讨论的基础上，概括出互为余角和互为补角的概念.教师提醒学生：互为余角、互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，并没有对其位置关系作出限制.(为下面的对顶角的学习作铺垫) 想一想：在右图中，(1)哪些互为余角?哪些互为补角?(2)ADC与BDC有什么关系?为什么?(3)ADF与BDE有什么关系?为什么?让学生探索出同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的结论.鼓励学生用自己的语言表达，并说明理由.内容二：议一议：(1)用剪刀剪东西的时候，哪对角同时变大或变小?(2)如果将剪刀简单的表示为右图，那么1和2有什么位置关系?它们的大小有什么关系?能试着说明理由吗?由此引出对顶角的概念和对顶角相等的结论.学生观察课件的演示过程，获得直观的体会，在观察中总结出对顶角的特征，并用自己的语言表达出来.思考：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角的度数是多少度吗?你的根据是什么?小结：(1)余角、补角的概念.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

台球桌面上的角教学设计教学设计思想：本节内容需一课时讲授；教师通过“台球桌而上的角”为现实背景，自然地呈现补角、余角、对顶角，以及''等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等”的几何事实及其简单应用，并使学生在对现实图形及其与角有关的简单图形进行观察、分析、测量和猜测、验证等过程中，发展合情推理的意识和有条理思考的习惯。

在教学时，让学生在比较自然、现实的状态下认识各种基本的角，通过具体的操作活动发现“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”是十分必要的。

一、教学目标（一）知识与技能1.叙述余角、补角及对顶角的住义.2.熟记并会应用余角、补角及对顶角的性质.（二）过程与方法1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.（三）情感、态度与价值观通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提髙他们理论联系实际的观念.二、教学重难点（-）教学重点1.互为余角、互为补角的定义及其性质.2.对顶角的定义及性质.（二）教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.三、教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.四、教学安排1课时.五、教具准备一些与本节内容有关的图片：电脑、投影片.六、教学过程I・创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平而图形及其位置关系”中，我们学习了 "平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平而内，不相交的两条直线叫做平行线.［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.下而大家来看几幅图片：你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？（同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线）［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.相信大家，一建会学得很好.台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去.如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋.［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确世一个角度，否则是不可能打球入袋的.［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系.那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”.II.讲授新课［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示（电脑显示P “的上图）.此时：Z1 = Z2.让我们来看看模拟实例（电脑演示：台球桌而上的角一一台球）下而我们来看红球滑过的痕迹（电脑演示；让学生了解：数学源于实际）.我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：D图2-1其中：G?与〃•垂直，各个角与Z1有什么关系？大家来分组讨论一下.［生甲］因为〃与疔垂直，所以ZEDC= ZCDF=90° ,因此，Zl-J-ZJZ?C=90° , Z2 +ZBDC=gQ° .又因为Z1 = Z2,所以Zl + Z^C=90° .［生乙］因为球桌边框是直的，所以Z砂=180° .因此，Z1+ZJP尸=180° , Z24-Z^?5=180a.又因为Z1 = Z2,所以Z1 + Z磁' = 180° .［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与Z1有关系的角.看：zi+zj/r=90a ,我们就可以称Z1与ZE%是互为余角.再看：Z1 + Z理疋=90°,我们也可以称Z1与Z別C是互为余角.由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角（complementary angle）,也就是说其中一个角是另一个角的余角.（参看视频：余角）只要有ZBDC+Z1=9Q° ,就可知道Z1与乙宓互为余角，反过来知道Z'与ZBDC 是互为余角，就一泄知道么1与/磁的和为直角.再之：Z1与Z助C是互为余角就是说：么1是/宓的余角，Z磁也是Z1的余角.大家看老师手里拿两个三角板（一边演示，一边叙述）：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°,那么我们说这两个角是互为余角.同学们应注意：（强调）（1）互为余角是对两个角而言的.（2）互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.［生］老师，我们知适了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：Z1 + Z川莎=180° , Z宓+Z1 = 18O° .那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的期一个槪念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).(参看课件：补角的概念)互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足Z1 + Z迹=180°,就可知道Z1与Z.ADF是互为补角.反之知道Z1与Z出沪是互为补角，就一定可知道Z1与/砂的和是平角.［生乙］Z1与Z砂是互为补角，就是说：/1是/砂的补角，Z砂也是Z1的补角.［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.［生丁］Z妙与Z1也是互为补角.［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.好，下面大家来想一想.在下图中，G?与疔垂直，Z1=Z2.(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)AADC与Z別C有什么关系？为什么？(3)AADF与/磁有什么关系？为什么？图2-2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：Z1与乙ADC、Z2与ZADC、ZBDC与Z\、ZBDC与乙2都是互为余角.Z1与ZADF、ZEDB与Z\、ZADF与Z2、Z宓与Z2都是互为补角.［生乙］Z磁与/磁相等，因为：ZJZ?t7+Zl = 90° , Z磁+Z1=9O°所以：ZADC=9Q° -乙\ = ZBDC.［生丙］Z磁与/磁相等的理由还可以这样说：因为Z肋C+Zl=90° , ZBDC+ Z2=90°,所以Z磁=90° -Zl, ZBDC=9Q° -Z2,又因为Z1 = Z2,所以ZADC=Z BDC.［生丁］老师，是不是这样：Z/WC是Z1的余角，Z磁也是Z1的余角，所以ZADC 与乙磁就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.Z磁是Z1的余角，Z別C是Z2的余角，而Z1与Z2相等.所以乙磁与乙磁相等.因此可以说：相等的角的余角相等.［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对.［师］很好，这就得岀互为余角的性质：同角或等角的余角相等.（参看课件补角的性质）接下来看第三个问题：（同学们踊跃发言，得出结论）［生］AADF与乙BDE相等.因为Z1+Z川肿=180° , Z1+Z万朋=180°,所以，Z肋尸=180°-乙\ = ZBDE.还可以这样说：因为Z1 + Z川莎=180° , Z2+Z妙=180° ,所以ZADF= 180^ -Z1,乙BDE=180° -Z2,又因为Z1 = Z2,所以ZADF=ZEDB.因此得出结论：同角或等角的补角相等.［师］同学们表现得很好，通过讨论，得岀互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.接下来，我们议一议.（可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问•）（出示投影片台球桌而上的角（1）用剪刀剪东四时，哪对角同时变大或变小？（2）如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：Z1与Z2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2-3［生甲］（1）用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.［生乙］图中的Z1与Z2有公共的顶点0,且角的两边互为反向延长线.Z1与Z2相等，因为么1是/磁的补角，Z2也是么磁的补角.由同角的补角相等, 可得Z1与Z2相等.［师］很好，像这样，直线曲与直线切相交于点0，Z1与Z2有公共顶点，它们的 两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.如图中的么£0）与/磁也是对顶角.由对顶角的概念可知，对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为 反向延长线.所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：（1） 看是不是两条直线相交所得的角：（2） 看是不是有公共顶点而没有公共边（或不相邻）的两个角.另外，从对顶角的泄义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角：一个角 的对顶角只有一个.接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等.［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.下而大家来议一议如图（Pn 的上图）所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以疑岀这个扇形 零件的圆心角的度数，你能说岀所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得岀所量角的度数是40° .［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180° -140° =40° .［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.下而我们来做一练习，以巩固所学内容.m.课堂练习1. 下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.0 b图2-4答案：图（1）、（2）、（3）中没有对顶角，因为这三个图形中的Zl 、Z2不是两条直线相 交所形成的.图（4）中有对顶角，分别是Z1与Z3： Z2与Z4.⑷2.判断对错（1）顶点相对的角是对顶角.（）（2）有公共顶点，并且相等的角是对顶角.（）（3）两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.（）（4）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.（）答案：XXXV（举反例说明）IV. 课时小结这节课我们学习了三个泄义、三个性质，现在来总结一下：定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.对顶角：像这样直线月万与直线Q相交于0，Z1与Z2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.注意：（1）互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.'两条直线相交•有公共顶点（2）对顶角的判断条件：〔无公共边性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.对顶角相等.V. 课后作业（一）课本巳：习题2. 1 1、2、3（二）1.预习内容：2.预习提纲（1）直线平行的条件是什么？（2）同位角的概念.(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.VI. 活动与探究两条宜线相交于一点，有 ______ 对对顶角，三条直线相交于一点，有_________ 对对顶角.……条直线相交于一点，共可组成___________ 对对顶角.［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出.那以条直线呢？设条直线为a：,比，…，a B以玄为边所得到的对顶角数为2(n-l).以比为边所得到的新对顶角数为2(n-2).• • •以为边得到的新对顶角数为2X2.以为边得到的新对顶角数为2X1.加起来得n(/?-l)对对顶角.［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角, n 条直线相交于一点，共有n(bl)对对顶角.七.板书设计台球桌面上的角一、台球桌面上红球滑过的痕迹图2-5Zl + Z〃C=90°Z1 + Z 助*90°Z1 + Z砂=180°Z1 + Z 磁=180°二、互为余角、互为补角的疋义三、互为补角、互为余角的性质同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.四、对顶角的定义'由两条直线相交得到两个角，两个角有公共顶点两个角的两边互为反向延长线五、对顶角的性质：对顶角相等.六、练习七、小结八、作业。

知识点一：余角、补角的概念、性质1. 如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

2. 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

3. 性质：① 同角的余角（补角）相等 ② 等角的余角（补角）相等注意事项：1. 互为余角与互为补角是“两个角”的度量关系，三个角的和为90度不能称这三个角互为余角。

2. 互余、互补的两个角不限制位置关系。

知识点二：对顶角的基本概念、性质1.定义：如图，两条直线相交于点O,∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角。

2.性质：对顶角相等。

注意事项：1. 对顶角是两条直线相交构成的两个角，没有相交直线就没有对顶角。

2. 对顶角相等的依据是同角的补角相等。

一、填空题: 1.∠α＝50°24′，那么∠α的余角等于____________。

2.已知∠α、∠β互为补角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。

3.若∠1和∠2互余，∠2 和∠3 互补，∠1＝63°，则∠3 ＝________.4.如图1，直线AB 和CD 相交于点O ，∠DOE 是直角，若∠1＝30°，则∠2＝________,∠3＝________。

∠4＝__________。

4321OEDCB Acba 5432121F EDCBA(1) (2) (3) （4）5.①若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A______∠C ，理由是_________________;②若∠1＋∠3＝180°,∠2＋∠4＝180°,且∠1＝∠2，则∠4_____ ∠3，理由是_______________________。

6.∠1与∠2互余，∠1＝5x °＋2°，∠2＝4x °－2°，则∠1＝______,∠2=______.7.如图2，直线a 、b 、c 两两相交，∠1＝60°，∠2=23∠4，则∠3=_____,∠5=_______。