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空间向量与平行关系 课件

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空间向量与平行关系课件

空间向量与平行关系课件

(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_

空间向量与平行关系 课件

空间向量与平行关系 课件

[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，则可求得
图5
M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)，
x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
[点评] 求平面法向量的方法与步骤： (1)选向量 求平面的法向量时，要选取两 相交向量A→C、A→B. (2)设坐标 设平面法向量的坐标为 n＝ (x，y，z)．
图 11
解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
法三：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12D→A－12D→1D
＝12(D→B＋B→A)－12(D→1A1＋A→1D)
＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D
＝12D→B＋12D→A1＋12(B→A－D→A)
＝12D→B＋12D→A1＋12B→D
＝12D→A1
＋
→ 0DB.
即M→N 可用D→A1 与D→B线性表示 ， 故M→N 与D→A1 、D→B是共面向量 ． 又 MN⊄平面 A1BD， DA1，DB⊂平面 A1BD，且 DA1∩DB＝D， ∴MN∥平面 A1BD.
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．

空间向量与平行关系 课件

空间向量与平行关系 课件

探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．

2.4.1 空间向量与平行关系 课件(北师大选修2-1)

2.4.1 空间向量与平行关系 课件(北师大选修2-1)
1 ①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－ )； 2 ②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)； ③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据
下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向
(
)
解析：当a· b＝0时，lπ或l∥π. 答案：D
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面π1、π2的 法向量分别为n1，n2，若a＝n1＝(1，－2，－2)，b＝n2 ＝(－2，－3,2)，试判断l1与l2，π1与π2，l1与π2间的位置 关系．
解：∵a· b＝n1·2＝a·2 n n
AC 的中点，所以 OB⊥AC，OA＝OB＝OC， 如图，建立空间直角坐标系，设 OA＝a， 则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(－a,0,0)， P(0,0，
a a a)，D－2，0，2，
a a 所以 OD ＝－2，0，2.
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)．
SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：
MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角 坐标系，则根据题意得
4 M 3，0，3 ，
2 N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，3.
2 2 ∴ MN ＝－3，2，3， RS ＝－3，2，3， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS .
一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平

空间向量与平行关系(公开课)

空间向量与平行关系(公开课)
D1
A1
z
B1
C1
F
D
E
B
C
y
x
A
利用向量解决立体几何问题的三步曲：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面. （化为向量问题） ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间的距离和夹角的问题. （进行向量运算） ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
b ( a 2 , b 2 , c 2 ). n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 ③建立方程组 a x b y c z 0 n b 0 2 2 2
④解方程组，利用赋值法，给 x, y, z 中的一个变量 赋一特值.
量为 n (2 ,0 ,3 ).
(4)直线 l 的方向向量为 a (3, 2,1), 为 n (1, 2, 1).
平面 的法向量
例2：如图，已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
E , F分别是 BB1 , DD1的中点.
证明： FC1∥平面 ADE.
探究：
直线可以用方向向量进行描述，平面呢？
问题1：经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问题2：经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
定义：
直线 l , 取直线 l 的方向向量 n , 则向量 n 叫作 平面 的法向量. l

思考：平面的法向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
练习：如图所示，正方体的棱长为1. （1）平面 ABCD 的一个法向量为 （2）平面 CDD1C1 的一个法向量为 （3）平面 AB1D1 的一个法向量为

空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

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数学-选修2-1
【解】以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)， D12，0，0，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
A．6 和－10
B．－6 和 10
C．－6 和－10
D．6 和 10
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数学-选修2-1
【解析】 因为 a 与 b 平行，∴42＝－x3＝5y， 解得 x＝－6，y＝10. 【答案】 B
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数学-选修2-1
3．若 u＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能
【思路探究】 两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平 行．
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数学-选修2-1
【解】以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C，D→D1为正交基底 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)， E0，0，12，C1(0,1,1)，F1，1，12，
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数学-选修2-1
【证明】 如图所示，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.

( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)

( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)

解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时课件

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时课件

因为平面α 经过三点A 1,0, −1 ，B 0,1,0 ，C −1,2,0 ，所以AB = −1,1,1 ,
BC = −1,1,0 ,又向量1 = 1, u, t 是平面α 的一个法向量，所以
→
AB ⊥ 1 ,
→
BC ⊥ 1 ,
→
所以
确.故选ACD.
AB ⋅ 1 = 0,
→
BC ⋅ 1 = 0,
1
2
1
2
则AN = AB + BN = − − λ,
3
2
−
3
λ, 0
2
，
3
λ, 0
2
3
,0
2
，
，
课中探究
设 = x, y, z 是平面AFN的法向量，
→
则
⋅ AF = 0,
→
即
z = 0,
1
−
2
1
− λ
2
3
3
− λ
2
2
x+
y = 0,
⋅ AN = 0,
z = 0,
1+λ
∴
取x = 3，则y =
（2）若m ⊄ α ，n ⊂ α ，m//n，则m//α
若直线l的方向向量与平
面α 的法向量垂直且
l ⊄ α ，则l//α
备用习题
续表
几何法
向量法
对于直线l，m和平面α ，β ，
面面 （1）若l ⊂ α ，m ⊂ α ，l//β ，m//β ，
若平面α ，β 的法向量
平行 且l ∩ m = A，则α//β ；
，∴ =
1−λ
3 1 − λ y = 1 + λ x,

3.2立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 课件

3.2立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 课件

研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第1课时
解
(1)∵ a＝ (2,3，－1)，b＝(－ 6，－ 9,3) 1 ∴a＝－3b，∴a∥b，∴l1∥l2.
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a· b≠0 且 a≠kb(k∈R)， ∴a，b 既不共线也不垂直，即 l1 与 l2 相交或异面． 1 (3)∵u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－2， ∴u· v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即 α⊥β. (4)∵u＝(2， －3,4)， v＝(4， －2,1)， ∴u· v≠0 且 u≠kv(k∈R)， ∴u 与 v 既不共线也不垂直，即 α 和 β 相交但不垂直． (5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)， 1 ∴u＝－4a，∴u∥a，即 l⊥α.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第1课时
跟踪训练 2 用向量方法证明： 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 已知：直线 l，m 和平面 α，其中 l⊄α，m⊂α，且 l∥m， 求证：l∥α.
证明 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α 的 法向量分别为 u. 因为 l∥m，所以 a＝kb，k∈R. 又因为 u⊥α，m⊂α，所以 u⊥b， 因此 u· b ＝ 0， u· a＝ u· kb＝0.所以 l∥α.
3.2 第1课时
探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系 问题 1 对于一条确定的直线和一个确定的平面， 它的方向 向量及法向量有几个？
答案 一条直线的方向向量有无数多个，它们都是共线 向量；一个平面的法向量也有无数多个，它们也都是共 线向量．平面的法向量可看作平面的垂线的方向向量。
研一研· 问题探究、课堂更高效

人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系

人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系

探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.

第1课时 空间向量与平行关系(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品

第1课时 空间向量与平行关系(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品

取 x＝1，则 y＝－1，z＝1， 故平面 EDB 的一个法向量为 n＝(1，－1,1)．
经典例题
题型一 求平面的法向量
总结
求平面法向量的步骤 1.设法向量 n＝(x，y，z)； 2.在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 3.建立方程组nn··ba＝＝ba11xx＋＋ba22yy＋＋ba33zz＝＝00；， 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量 的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(2)直线 l 的一个方向向量为 a＝(－1,2,1)，平面 α 的一个法向量为 n＝(－1，－1,1)，
l⊄α，则 l∥α.( √ )
(3)若点 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为A→P＝
tA→B.( √ )
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两
则n·D→A1＝0， n·D→B＝0，
得xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴M→N⊥n． 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD．
经典例题
题型三 证明线面、面面平行
总结
1.向量法证明线面平行的思路
自主学习
二．直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的非零向量，一条直线的 方向向量有无数 个． 2.平面的法向量的定义 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
自主学习
解读： （1）法向量不能为零向量； （2）法向量与平面内任一向量垂直； （3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.

空间向量与平行关系 课件

空间向量与平行关系 课件
空间向量与平行关系
[知识提炼·梳理] 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向 量．
温馨提示 一条直线的方向向量不唯一．直线的方向向量有无数 条，它们都是平行向量．
2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量． 温馨提示 平面的法向量不唯一，平面的法向量有无数条，它们 都是平行向量．
解：(1)①因为 a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)， 所以 a＝－2b，所以 a∥b，所以 l1∥l2. ②因为 a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)， 所以 a·b＝0，所以 a⊥b，所以 l1⊥l2.
(2)①因为 u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12， 所以 u·v＝－3＋2＋1＝0，所以 u⊥v，所以 α⊥β. ②因为 u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)， 所以 u＝－32 v，所以 u∥v，所以 α∥β.
①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12； ②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；
(Байду номын сангаас)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量， 根据下列条件判断平面 a 与 l 的位置关系：
①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
归纳升华 平面法向量的求法
(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量．
(2)当已知平面 α 内两不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)时，常用特定系数法求法向量：
设法向量 n＝(x，y，z)，
a·n＝0， a1x＋a2y＋a3z＝0，
由
得
b·n＝0 b1x＋b2y＋b3z＝0，

用空间向量研究直线、平面的位置关系-高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第一册)

用空间向量研究直线、平面的位置关系-高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第一册)
un 0
线面平行


n2
n1
// n1 // n2
R, 使得 n1 n2
面面平行
练
习
l1
l2
u1
u2
u1 -1，
2，
3
u2 2，4
- ，k
若l1 // l2 ，
-6
则k ___
u
l

n


n2
n1
u -1，
2，
- 2
n1 -1，
D
A
C1
C
B
PART 2空间向量与垂直关系
l1
l2
l
u1
u2
l1 l2 u1 u2
u1 u2 0

u
n
l u // n
R, 使 u n

n2
n1

n1 n2
n1 n2 0
基础测试
(1)若两条不重合直线l1和l2的方向向量为v1=(1,0,-1)，v2=(-2,0,2)，
求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C
B1
A1
E
B
A
C1
C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为DD1和
BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形。
D1
A1
C1
B1
E
D
A
F
C
B
探索点二 利用空间向量证明线面平行
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CC1和
B1C1的中点.求证：MN//平面A1BD
D1

空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

[题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直 线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与 平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点： (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直； (2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系 之间的内在联系； (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α 的位置关系． ①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点， 分别求平面AED与平面A1FD的法向量．
.
线面 平 行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，vac·1u)，＝平0 面α的
法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔
.
面面 平 行
设α，β的法向量分别为vuu＝∥v(a⇔1，u－b1λ，v c1)，v＝(a2
，b2，c2)，则α∥β⇔α的法向量为b，若a·b＝0，则(
答案： －14 6
4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、 AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD1A1. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下 列条件判断l1，l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)

空间向量与平行关系 课件

空间向量与平行关系 课件

【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，1 ，0)，F(1，0，1 )，C 0，1，0 ，
2
3
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF则，CG EF，由于点G在z
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则2, m,1 (1, 1 , 2) 0,
2 2 1 m 2 0标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以 FC1 0，2，1，AD 2，0，0，AE 0，2，1，C1B1 2，0，0,
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1) AB1 1，0，4,AC1 0，2，4,
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则 n AB1且n AC1,
即
x 4z 0, 2y 4z 0,
令z=1，则x=-4,y=-2，
类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
A. 10
B.-6
C.6
D.10
3
3
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 (1, 1 , 2)，则m=_________.
2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向 量,证明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面 平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
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(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a， ∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共线，也不垂直， ∴l 与 α 相交，但不垂直．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－3＝(4，－2,1)， ∴u 与 v 不共线，也不垂直， ∴α 与 β 相交但不垂直．
法二：∵ MN ＝C1N －C1M ＝12C1B1 －12C1C ＝12( D1 A1 － DA1 )＝12 DA1 ， ∴ MN ∥ DA1 .而 MN⊄平面 A1BD，DA1⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：如图，分别以AB,AD,AA1 为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为1， 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，B1(1,0,1)， C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条 途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实 现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过 建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法 向量进行平行关系的证明．
问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定 方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
提示：能． 问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置 确定吗？ 提示：确定．
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的 方向向量 a，则a叫做平面α的 法向量.
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根 据下列条件判断α和l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向 量的关系，再判断线面、面面关系．
∵m＝n，∴m∥n，
∴平面 AMN∥平面 EFDB.
[一点通] 证明面面平行问题可由以下方法去证明： ①转化为相应的线线平行或线面平行;②分别求出这 两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用 的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面 平行的常用方法．
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M，N分别是C1C，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD. 证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所 在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正 方体的棱长为1，则可求得
[一点通] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向 向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内 在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在 把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向 量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________． 解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0 ， ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 答案：l∥α或l⊂α
∴a2－x1a2＋x1a2＋y10＋×0y×1＋z1a＝z1＝0，0， ∴y1＝－x1＝－2z1.取 z1＝1， ∴平面 AMN 的一个法向量为 m＝(2，－2,1).
n·DB＝0，
同理由 n·DF
＝0，
可得 x2＝－y2，y2＝－2z2.
令 z2＝1，
∴平面 EFDB 的一个法向量为 n＝(2，－2,1).
于是 MN ＝(12，0，12)， DA1 ＝(1,0,1)， DB＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n·DA1 ＝0，且 n·DB＝0，得xx＋ ＋zy＝＝00，. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 又 MN ·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0， ∴ MN ⊥n.又 MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
令 z＝1，得 x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2,1,1)．
答案：C
4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别 求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2). ∵AD⊥平面 SAB，∴ AD＝(1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)， 则 n· DS ＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置； 由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u， 当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l⊂α. 问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v， u⊥v时，α，β是什么位置关系？ 提示：u∥v时，α∥β，u⊥v时，α⊥β.
空间向量与平行关系
以前人们为夯实地面，采用的是一种 由三人合作使用的石制工具，石墩上有三 个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在 三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角，且与水平地面所成角为 45°，为了使质量为 100 kg 的 石墩垂直离开地面，每个人至少需要用1003 2 kg 的力．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b， ∴l1⊥l2. ③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a 与 b 不共线，也不垂直，∴l1 与 l2 相交或异面(不垂直)．
空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向
量分别为u，v，则
线线平行 l∥m⇔ a∥b⇔ a＝kb，k∈R ；
线面平行 l∥α⇔ a⊥u ⇔ a·u＝0 ；
面面平行 α∥β⇔ u∥v⇔ u＝kv，k∈R.
线线垂直 l⊥m⇔ a⊥b ⇔ a·b＝0 ；
线面垂直 l⊥α⇔ a∥u ⇔ a＝ku，k∈R ；
[思路点拨] 建立空间直角坐标系
→ 分别求出两个平面的法向量m，n → 证明m∥n
[精解详析]如图，分别以DA,DC, DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系．
设正方体棱长为a， 则A(a,0,0)，A1(a,0，a)， D1(0,0，a)，B1(a，a，a)， B(a，a,0)，C1(0，a，a) .
解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)， ∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)， ∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)， ∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交． (4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)， ∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v， ∴l⊂α或l∥α.
面面垂直 α⊥β⇔ u⊥v⇔ u·v＝0.
1.直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和 相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根 据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线 和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法 向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
A1 B ＝(1,0，－1)， D1C ＝(1,0，－1)． B1D1 ＝(－1,1,0)， BD ＝(－1,1,0)， ∴ A1B∥ D1C ， B1D1 ∥ BD. ∴ A1B∥ D1C ，B1D1∥BD. 又∵D1C⊂平面 B1D1C，A1B⊄平面 B1D1C， ∴A1B∥平面 B1D1C，同理 BD∥平面 B1D1C. 又∵A1B∩BD＝B，∴平面 A1BD∥平面 B1D1C.
∴y＝－12. 又 n·DS ＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝(1，－12，12)即为平面 SCD 的一个法向量.
[例3] 如图所示,正方体ABCD－ A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB.
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：
3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平
面的一个法向量为
()
A．(1，－1,1)
B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1)
D．(－1,1，－1)
解析：显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n＝(x，y，z)，
则有ab· ·nn＝ ＝00， ⇒25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0.
∴N(a2，0，a)，M(a，a2，a)，E(a2，a，a)，F(0，a2，a)， ∴ AN ＝(－a2，0，a)， NM ＝(a2，a2，0)， DB＝(a，a,0)， DF ＝(0，a2，a). 设平面 AMN 与平面 EFDB 的法向量分别为 m＝(x1，y1，z1)和 n＝(x2，y2，z2)， 则mm··NANM＝＝00，，
2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系． (1)直线l1与l2的方向向量分别是 a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为 u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)． (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)． (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)．