【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1

_3.2 立体几何中的向量方法 第一课时 空间向量与平行关系平面的法向量以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg 的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？ 提示：确定．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量.空间线面位置关系的向量表示由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．问题1：若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，当a ∥u 时，l 与α有什么关系？若a ⊥u 呢？提示：a ∥u 时，l ⊥α；a ⊥u 时，l ∥α或l ⊂α.问题2：若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则u ∥v ，u ⊥v 时，α，β是什么位置关系？ 提示：u ∥v 时，α∥β；u ⊥v 时，α⊥β.空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝kb ，k ∈R ；线面平行 l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0； 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v (k ∈R)． 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0； 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R ； 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．3．因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．利用方向向量和法向量判定线面位置关系[例1212关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． [精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直， ∴l 1与l 2相交或异面(不垂直)． (2)①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β. ②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，∴u ＝－35v ，∴u ∥v ，∴α∥β.③∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)， ∴u 与v 不共线，也不垂直， ∴α与β相交但不垂直．(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴u ·a ＝－6＋8－2＝0，∴u ⊥a ， ∴l ⊂α或l ∥α.②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，u ＝－14a ，∴l ⊥α.③∵u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)， ∴u 与a 不共线，也不垂直， ∴l 与α相交，但不垂直．[一点通] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．1．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ·v ＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系．(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是 a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)．(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是 a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)．(4)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是 a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)．解：(1)∵a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)， ∴a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. (2)∵u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)， ∴v ＝－2(1,3,6)＝－2u ，∴u ∥v ，∴α∥β. (3)∵a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)， ∴a 与v 既不共线也不垂直，∴l 与α斜交． (4)∵a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)， ∴a ·v ＝3－4＋1＝0，a ⊥v ， ∴l ⊂α或l ∥α.求平面的法向量[例2] 已知点A[思路点拨] 分析题意→求向量AB uu u r ，AC uuur 的坐标→设出平面的法向量n → n ·AC uuu r ＝0且n ·AB uu u r＝0→将所设法向量中的某一变量赋非零值→得出结论[精解详析] 设坐标原点为O ，由已知可得AB uu u r ＝OB uuur －OA u u u r＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)，AC uuu r ＝OC uuu r －OA u u u r＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB uu u r＝(x ，y ，z )·(－1,2,0)＝－x ＋2y ＝0， n ·AC uuu r＝(x ，y ，z )·(－1,0,3)＝－x ＋3z ＝0.不妨令x ＝6，则y ＝3，z ＝2.因此，可取n ＝(6,3,2)为平面ABC 的一个法向量． [一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：3．已知平面内的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( ) A ．(1，－1,1)B ．(2，－1,1)C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1. ∴n ＝(－2,1,1)． 答案：C4.四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD uuu r＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC uuu r＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS uuu r＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝(1，－12，12)即为平面SCD 的一个法向量.用空间向量证明平行问题[例3] 11111B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .[思路点拨] 建立空间直角坐标系→分别求出两个平面的法向量m ，n →证明m ∥n[精解详析] 如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ， 则A (a,0,0)，A 1(a,0，a )， D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )， B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a2，a )，∴AN uuu r ＝(－a2，0，a )，NM u u u u r ＝(a 2，a 2，0)，DB uuu r ＝(a ，a,0)，DF uuu r ＝(0，a2，a )．设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为 m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·AN uuu r＝0，m ·NM u u u u r＝0， ∴⎩⎨⎧－a2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a2y 1＋0×z 1＝0，∴y 1＝－x 1＝－2z 1.取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2,1)．同理由⎩⎨⎧n ·DB uuu r ＝0，n ·DF uuu r＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2. 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． ∵m ＝n ，∴m ∥n ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .[一点通] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN uuur ＝(12，0，12)，1DA u u u r＝(1,0,1)， DB uuu r＝(1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·1DA u u u r ＝0，且n ·DB uuu r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN uuur ·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN uuur⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN uuur ＝1C N u u u u r －1C M u u u u r ＝1211C B u u u u r －121C C u u u r＝12(11D A u u u ur －1D D u u u u r )＝121DA u u u r ， ∴MN uuur ∥1DA u u u r.而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)， D (0,1,0)，B 1(1,0,1)， C (1,1,0)，D 1(0,1,1)，1A B u u u r＝(1,0，－1)， 1D C u u u u r＝(1,0，－1)．11B D u u u u r＝(－1,1,0)， BD uuu r＝(－1,1,0)，∴1A B u u u r ∥1D C u u u u r ，11B D u u u u r ∥BD uuur .∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ， ∴A 1B ∥平面B 1D 1C ， 同理BD ∥平面B 1D 1C . 又∵A 1B ∩BD ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6) C ．(1,7,3) D ．(－1，－7,3)解析：∵AB uu u r＝(1,7,3)，又与AB uu u r平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1,7,3)＝AB uu u r可作为l 的方向向量．答案：C2．已知AB uu u r＝(2,2,1)，AC uuu r ＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A ．(－13，－23，－23)B ．(－13，23，－23)C ．(－13，23，23)D ．(13，23，23)解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2. 所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是(－13，23，－23)．答案：B3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( ) A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m (2，λ，4)， ∴λ＝－4. 答案：D4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：∵1AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r， 1D P u u u r ＝1D D u u u u r ＋DP uuu r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r ， ∴1AM u u u u r ∥1D P u u u r ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确． 答案：C5．若AB uu u r＝λCD uuu r ＋u CE u u u r (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．解析：∵AB uu u r＝λCD uuu r ＋u CE u u u r ，∴AB uu u r 与CD uuur ，CE u u u r 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE . 答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______.解析：∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48，∴x ＝－14，y ＝6. 答案：－14 67.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)， P (0，22，0)，D (－22，22，0)， O (0,0,2)，M (0,0,1)， N (1－24，24，0)． MN uuur ＝(1－24，24，－1)，OP uuu r ＝(0，22，－2)，OD uuu r ＝(－22，22，－2)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP uuu r ＝0，n ·OD uuu r ＝0， 即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN uuur ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，即MN uuur ⊥n ，∴MN ∥平面OCD .8.如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2， 则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)． 再设Q (0,2，c )，∴OA u u u r＝(1，－1,0)， OP uuu r＝(－1，－1，1)， BQ uuu r＝(－2,0，c )， 1BD u u u r＝(－2，－2，2)．设平面P AO 的法向量为 n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·OA u u u r ＝0，n ·OP uuu r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.∴平面P AO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1BQ ∥平面P AO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量．∴n 1·BQ uuu r ＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1， 这时n 1·1BD u u u r ＝－2－2＋4＝0， 故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量评估课时作业新人教A版选修2-1 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( )A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量【解析】选D.只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( )A.B.C.D.或【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得检验知选D.3.(2014·金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于( )A. B. C. D.【解析】选D.易得c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以解得故选D.4.(2014·银川高二检测)已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是( )A.·=0B.·=0C.·=0D.·=0【解析】选B.选项A,⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·=0;由A可知·=0,C正确;选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·=0;选项B,若·=0,则BD⊥PC,又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故B不一定成立.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,则向量a+b与a-b的夹角是( )A.90°B.60°C.30°D.0°【解析】选A.因为|a|2=2,|b|2=2,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故选A.【变式训练】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 C.=(0,3,3),=(-1,1,0).设<,>=θ,则cosθ===,所以θ=60°.6.(2014·长春高二检测)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·1()2b 等于( )A.15B.3C.-3D.5【解析】选B.(6a)·1()2b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心,若=+x+y,则x-y等于( )A.0B.1C.D.-【解析】选A.如图所示,=+,所以=x+y,所以=x+y,因为=+,=,所以x=y=,x-y=0.8.(2014·安庆高二检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.过点C作CE垂直于BD,垂足为E,连接AE,则得AC=1,故三角形ABC为正三角形.||2==++-·+·-·=×1+×1+()2-×1×1×cos∠ABC=-=.9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意知,2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即解得即C.10.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+6,z-2), =(0,4,-3),因为∥,且⊥,所以解得所以||=5.【一题多解】设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.所以=(-4,4λ+5,-3λ),又=(0,4,-3),⊥,所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,所以λ=-,所以=,所以||==5.11.(2014·绵阳高二检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E 到平面ACD1的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为d===.12.(2014·荆州高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选D.因为AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D.所以AC⊥BE,故A正确.因为B1D1∥平面ABCD,又E,F在直线D1B1上运动,所以EF∥平面ABCD,故B正确.C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故V A-BEF为定值.①当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系, 如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,所以=(0,-1,1),=,所以·=.又||=,||=,所以cos<,>===.所以此时异面直线AE与BF成30°角.②当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1).所以=,=(0,0,1),所以·=1,||==,所以cos<,>===≠,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,则<,>= .【解析】=,因为△A′BD为正三角形,所以<,>=120°,即<,>=120°.答案:120°14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=,因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角,所以∠B1BO=60°,设棱台高为h,则tan60°=,所以h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,,0),所以=,=,所以cos<,>==,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案:【变式训练】如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点,则异面直线D1E与AC 所成角的余弦值是.【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),=(-4,4,0),=(0,4,-2).cos<,>==.所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案:15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD 与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是.【解题指南】建立空间直角坐标系,求出平面AA1C1C的一个法向量n和,计算cos<n,>即可求解sin α.【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量n=(1,0,0),所以cos<n,>==,即sinα=.答案:16.给出命题:①在□ABCD中,+=;②在△ABC中,若·>0,则△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则=(+);④在空间四边形ABCD中,E,F分别是边BC,DA的中点,则=(+).以上命题中,正确命题的序号是. 【解析】①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;·=||·||·cosA>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,所以△ABC是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线的性质,正确;④如图,=+,+=++=+2=2(+)=2,则=(+),正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,用向量,,表示向量,.【解析】=-=--+.=+=+=+=+(-)=-++.18.(12分)(2014·福州高二检测)如图所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【证明】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M,N分别为AB,PC的中点,所以M,N.所以=,=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以令z2=1,则n2=(0,1,1).因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【知识拓展】用向量证明线面平行的主要方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来.19.(12分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.当的值等于多少时,能使A1C⊥平面C1BD?【解析】不妨设=x,CC1=1,A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1B,A1C⊥C1D,而=+,=++=++,由·=0,得(++)·(+)=-+·+·=0,注意到·+·=-,可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍).因此,当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.20.(12分)(2013·上海高考)如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C′(0,2,0),D′(0,0,0).则=(1,0,1),=(0,2,1),设平面D′AC的法向量n=(u,v,w),由n⊥,n⊥,所以n·=0,n·=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D′AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n·=0,所以n⊥.又BC′不在平面D′AC内,所以直线BC′与平面D′AC平行.由=(1,0,0),得点B到平面D′AC的距离d===,所以直线BC′到平面D′AC的距离为.21.(12分)(2014·广东高考)四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证AD⊥平面PCD⇒CF⊥AD,又CF⊥AF⇒CF⊥平面ADF.(2)采用向量法较为方便,以D为原点建立空间直角坐标系,设DC=2,计算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐标,注意到为平面ADF的一个法向量.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,DC∩PD=D,所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD,所以CF⊥AD,而AF⊥PC,即AF⊥FC,又AD∩AF=A,所以CF⊥平面ADF.(2)以D为原点,DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,由(1)知PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,则D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0),=,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),由得取x=4,有y=0,z=,n=(4,0,),又平面ADF的一个法向量=,所以cos<n,>===-,所以二面角D-AF-E的余弦值为.【变式训练】(2014·北京高二检测)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FG∥平面PED.(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥P E.又FG⊄平面PED,PE⊂平面PED,所以FG∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D,P,A,C,B,E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F,G,H(0,1,1).所以=,=.设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即再令y1=1,得n1=(0,1,0).=(2,2,-2),=(0,2,-2).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则即令z2=1,得n2=(0,1,1).所以所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°.依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.由=(0,2,-2),则=(0,2λ,-2λ).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2λ-1,1-2λ).因为直线FM与直线PA所成角为60°,=(2,0,-2),所以=,即=,解得λ=.所以=,=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM的长度为.22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,PA⊥底面ABCD,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.【解析】(1)设<,>=θ,则cosθ==.所以sinθ=.所以V=S□ABCD||=||||sinθ||=16.(2)=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.猜想:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的直四棱柱的体积).【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线的方向向量惟一确定.。

§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m ⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a∥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。

空间向量与平行关系(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.假设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,有可能使l ∥α的是( ) =(1,0,0),n =(-2,0,0) =(1,3,5),n =(1,0,1) =(0,2,1),n =(-1,0,-1) =(1,-1,3),n =(0,3,1)【解析】选D.假设l ∥α,那么a ·n =0.而选项A 中a ·n =-2.选项B 中a ·n =1+5=6.选项C 中a ·n =-1,选项D 中a ·n =-3+3=0.【变式训练】已知线段AB 的两头点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),那么线段AB 与坐标平面( ) 平行 平行 平行相交【解析】选C.因为AB →=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故AB →∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz 内,因此AB ∥平面yOz.2.(2021·郑州高二检测)如下图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M,N 别离为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=√2a3,那么MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【解析】选B.别离以C 1B 1,C 1D 1,C 1C 所在直线为x,y,z 轴,成立空间直角坐标系. 因为A 1M=AN=√23a,因此M (a ,23a ,a3),N (23a ,23a ,a ).因此MN →=(−a 3,0,23a ).又C 1(0,0,0),D 1(0,a,0), 因此C 1D 1→=(0,a,0). 因此MN →·C 1D 1→=0. 因此MN →⊥C 1D 1→.因为C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的一个法向量,且MN ⊄平面BB 1C 1C, 因此MN ∥平面BB 1C 1C.【一题多解】选B.MN →=MA 1→+A 1A →+AN →, ①MN →=MB →+BC →+CN →.②因为A 1M=AN=√23a,因此A 1M →=12MB →,AN →=12NC →.①×2+②得3MN →=2A 1A →+BC →,而A 1A →=B 1B →,因此MN →=23B 1B →+13BC →.故MN ∥平面BB 1C 1C.3.(2021·泰安高二检测)以下四组向量: ①a =(1,-2,1),b =(-1,2,-1); ②a =(8,4,0),b =(2,1,0); ③a =(1,0,-1),b =(-3,0,3); ④a =(−43,1,−1),b =(4,-3,3).其中a ,b 别离为直线l 1,l 2的方向向量,那么它们相互平行的是( ) A.②③B.①④C.①②④D.①②③④【解析】选D.因为①a =(1,-2,1)=-b =-(-1,2,-1), 因此a ∥b ;②a =(8,4,0)=4b ,因此a ∥b ;③a =(1,0,-1),b =(-3,0,3),a =-13b ,因此a ∥b ;④a =(−43,1,−1),b =(4,-3,3),a =-13b ,因此a ∥b ,因此选D.4.(2021·长沙高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).假设||a=√3,a 别离与AB →,AC →垂直,那么向量a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)【解析】选C.由题意AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),设向量a =(x,y,z),那么有{−2x −y +3z =0,x −3y +2z =0,令z=1得x=1,y=1,令z=-1得x=-1,y=-1,应选C.,b 是两个非零向量,α,β是两个平面,以下命题正确的选项是( ) ∥b 的必要条件是a ,b 是共面向量 ,b 是共面向量,那么a ∥b ∥α,b ∥β,那么α∥β ∥α,bβ,那么a ,b 不是共面向量【解析】选A.关于A 假设a ∥b ,那么a ,b 是共线向量,即为共面向量.因此a ∥b 的必要条件是a ,b 是共面向量.反之a ,b 是共面向量那么a 与b 不必然共线.关于C 可举反例如用掀开的讲义,那么也知足条件a ∥α,b ∥β,现在平面α,β不平行.关于D 由于α,β两平面的位置关系不确信,故也不正确.6.关于任意空间向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),给出以下三个命题: ①a ∥b ⇔a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3;②假设a 1=a 2=a 3=1,那么a 为单位向量; ③a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0. 其中真命题的个数为( ) B.1【解析】选B.假设b 1,b 2,b 3的值只要有一个为0,那么①式无心义;a =(1,1,1)不是单位向量,其长度|a |=√3;③正确.二、填空题(每题4分,共12分) 7.(2021·平顶山高二检测)假设A (0,2,198),B (1,−1,58),C (−2,1,58)是平面α内三点,设平面α的法向量为a =(x,y,z),那么x ∶y ∶z= . 【解析】由已知得AB →=(1,−3,−74),AC →=(−2,−1,−74),由于a 是平面α的一个法向量,因此a ·AB →=0,a ·AC →=0, 即{x −3y −74z =0,−2x −y −74z =0,解得{x =23y ,z =−43y ,因此x ∶y ∶z=23y ∶y ∶(−43)y=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)8.假设AB →=λCD →+u CE →(λ,u ∈R),那么直线AB 与平面CDE 的位置关系是 . 【解析】因为AB →=λCD →+u CE →, 因此AB →与CD →,CE →共面,因此AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE. 答案:AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE9.(2021·广州高二检测)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),线段AB 上是不是存在一点C,使AC=13AB,假设存在,那么C 点的坐标为 .【解题指南】先假设存在,因为点C 在AB 上且AC=13AB,可转化为用向量表示即AC →=13AB →,从而设出C点的坐标求出答案.【解析】设C(x,y,z),那么AC →=(x-4,y-1,z-3),又AB →=(-2,-6,-2),因为点C 在AB 上且AC=13AB,那么可转化为AC →=13AB →,即(x-4,y-1,z-3)=13(-2,-6,-2),得x=103,y=-1,z=73,故C (103,−1,73).答案:(103,−1,73)三、解答题(每题10分,共20分)10.三条不同直线a,b,c,假设a ∥b,a ∥c,求证b ∥c. 【证明】设a,b,c 的方向向量别离为e 1,e 2,e 3, 因为a ∥b,因此存在k ∈R,使e 2=k e 1, 因为a ∥c,因此存在实数m,使e 1=m e 3, 因此e 2=(km)e 3,因此e 2∥e 3,因为b 与c 不重合,因此b ∥c.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. 【证明】如图,分别以AB,AD,AA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴成立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 那么A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),B 1(1,0,1),C(1,1,0),D 1(0,1,1),A 1B →=(1,0,-1),D 1C →=(1,0,-1).B 1D 1→=(-1,1,0),BD →=(-1,1,0),因此A 1B →∥D 1C →,B 1D 1→∥BD →.因此A 1B ∥D 1C,B 1D 1∥BD.又因为D 1C ⊂平面B 1D 1C,A 1B ⊄平面CB 1D 1, 因此A 1B ∥平面CB 1D 1, 同理BD ∥平面CB 1D 1. 又因为A 1B ∩BD=B,因此平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【变式训练】已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 别离是BB 1,DD 1的中点. 求证:(1)FC 1∥平面ADE. (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.【解题指南】(1)先求出平面ADE 的法向量,再证明直线FC 1的方向向量与平面ADE 的法向量垂直. (2)求出平面ADE 与平面B 1C 1F 的法向量,证明它们的法向量共线. 【证明】成立如下图空间直角坐标系,那么有D(0,0,0),A(2,0,0),B 1(2,2,2), C 1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),因此FC 1→=(0,2,1),AD →=(-2,0,0), AE →=(0,2,1),C 1B 1→=(2,0,0),设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)别离是平面ADE 与平面B 1C 1F 的法向量,则即{x 1=0,z 1=−2y 1,令y 1=1得n 1=(0,1,-2),同理可得n 2=(0,1,-2).(1)因为n 1·FC 1→=(0,1,-2)·(0,2,1)=0, 因此n 1⊥FC 1→,又FC 1⊄平面ADE, 因此FC 1∥平面ADE.(2)因为n 1=(0,1,-2),n 2=(0,1,-2), 因此n 1=n 2,因此平面ADE ∥平面B 1C 1F. (30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.假设a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a 与b 别离为直线l 1与l 2的方向向量且a ∥b ,那么( ) =1,y=1 =12,y=-12 =16,y=-32=-16,y=32【解析】选C.因为a =λb (λ∈R), 因此(2x,1,3)=(λ,-2y λ,9λ)(λ∈R). 由9λ=3,得λ=13.因此2x=13.因此x=16,又1=-23y,因此y=-32.2.(2021·广州高二检测)已知AB →=(2,2,1),AC →=(4,5,3),那么平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.(−13,−23,−23)B.(−13,23,−23)C.(−13,23,23)D.(13,23,23)【解题指南】求单位法向量时可先求出一个法向量再求法向量方向上的单位法向量.【解析】选B.设平面ABC 的法向量为n =(x,y,z),那么有{2x +2y +z =0,4x +5y +3z =0.取x=1,那么y=-2,z=2.因此n =(1,-2,2).因为|n |=3,因此平面ABC 的一个单位法向量能够是(−13,23,−23).3.(2021·济南高二检测)已知空间三点A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3),那么以下向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A.(-1,-2,5)B.(1,3,2)C.(1,1,1)D.(-1,1,-1) 【解题指南】由A,B,C 的坐标算出AB →=(0,-1,-1),AC →=(-2,-1,1).设n =(x,y,z)是平面ABC 的一个法向量,利用垂直向量数量积为零的方式成立关于x,y,z 的方程组,再取y=1即可取得向量n 的坐标,从而可得答案. 【解析】选D.因为A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3), 因此AB →=(0,-1,-1),AC →=(-2,-1,1). 设向量n =(x,y,z)是平面ABC 的一个法向量,则取y=1,得x=-1,z=-1,因此n =(-1,1,-1)是平面ABC 的一个法向量, 因此可得:只有D 选项的向量是平面ABC 的法向量.4.已知在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M,P ,Q 别离为棱AB,CD,BC 的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出以下结论:①A 1M ∥D 1P;②A 1M ∥B 1Q;③A 1M ∥平面DCC 1D 1; ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) B.2【解析】选C.因为A 1M →=A 1A →+AM →=A 1A →+12AB →,D 1P →=D 1D →+DP →=A 1A →+12AB →,因此A 1M →∥D 1P →,从而A 1M ∥D 1P ,可得①③④正确.又B 1Q 与D 1P 不平行,即B 1Q 与A 1M 不平行,故②不正确.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·黄山高二检测)已知l ∥α,且l 的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),那么y= . 【解析】因为l ∥α,因此l 的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,因此2×1-8×y+2=0,因此y=12.答案:126.(2021·滨州高二检测)已知空间直角坐标系O-xyz 中的点A(1,1,1),平面α过点A 而且与直线OA 垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,那么点P 的坐标知足的条件为 .【解题指南】先求出向量AP →的坐标,再利用平面α与直线OA 垂直这一条件成立与点P 的坐标有关的等量关系,最后可求出点P 的坐标知足的关系式.【解析】由题意知,OA ⊥α,直线OA 的方向向量OA →=(1,1,1),因为P ∈α,因此OA →⊥AP →,因此(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0,因此x+y+z=3. 答案:x+y+z=3三、解答题(每题12分,共24分)7.如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA ⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA的中点,N 为BC 的中点. 证明:直线MN ∥平面OCD. 【证明】作AP ⊥CD 于点P ,如图,别离以AB,AP ,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴成立空间直角坐标系.那么A(0,0,0),B(1,0,0),P (0,√22,0),D (−√22,√22,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N (1−√24,√24,0).因此MN →=(1−√24,√24,−1),OP →=(0,√22,−2),OD →=(−√22,√22,−2).设平面OCD 的法向量为n =(x,y,z), 则n ·OP →=0,n ·OD →=0,即{√22y −2z =0,−√22x +√22y −2z =0.取z=√2,解得n =(0,4,√2). 因为MN →·n =(1−√24,√24,−1)·(0,4,√2)=0,即MN →⊥n ,又MN ⊄平面OCD,因此MN ∥平面OCD.【拓展延伸】证明线面平行的关键(1)弄清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系. (2)要熟练把握判定向量共线、垂直的方式,在把向量关系转化为几何关系时,注意其等价性.【变式训练】如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD,E,F 别离为AB,SC 的中点.证明:EF ∥平面SAD.【证明】如图,成立如下图的空间直角坐标系. 设A(a,0,0),S(0,0,b), 那么B(a,a,0),C(0,a,0),E (a ,a 2,0),F (0,a 2,b2).EF →=(−a ,0,b2).取SD 的中点G (0,0,b 2),连接AG,则AG →=(−a ,0,b 2).因为EF →=AG →,因此EF ∥AG,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD,因此EF ∥平面SAD.8.如图,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点.设Q 是CC 1上的点.当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO?【解析】如下图,别离以DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴,成立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2那么O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D 1(0,0,2).再设Q(0,2,c),因此OA →=(1,-1,0),OP →=(-1,-1,1),BQ →=(-2,0,c), BD 1→=(-2,-2,2).设平面PAO 的法向量为n 1=(x,y,z), 则⇒{x −y =0,−x −y +z =0.令x=1,那么y=1,z=2.因此平面PAO 的一个法向量为n 1=(1,1,2).假设平面D 1BQ ∥平面PAO,那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量.因此n 1·BQ →=0,即-2+2c=0,因此c=1,这时n 1·BD 1→=-2-2+4=0,故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO.【拓展延伸】探讨性问题的解决思路是不是存在某种条件知足某个结论这种问题,通常称为探讨性问题,此类问题的解决思路一般是先斗胆猜想知足的条件,然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立,或利用题目条件用变量设出条件,再结合结论逆向推导出变量的取值.逆推法:利用结论探求条件;若是是存在型问题那么先假设结论存在,假设推证无矛盾,那么结论存在;假设推证出矛盾,那么结论不存在.。

空间向量与空间角(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.2.(2014²重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )A.45°B.30°C.90°D.60°【解析】选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以=(-1,1,0),=(1,0,1).所以cos<,>=-.所以<,>=120°.所以AC与BF所成的角为60°.3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( )A. B. C. D.【解析】选C.=(+),=(+),所以²=(²+²+²+²)=-||2.又||=||=||,所以cos<,>==-.所以∠EOF=.4.在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为( )A.-B.C.D.-【解析】选C.过A,B分别作x轴垂线,垂足分别为A′,B′.则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,折后∠AOB=90°,所以AB==.由=++,得||2=||2+||2+||2+2||²||²cos(π-θ).所以26=9+16+9+2³3³3³cos(π-θ),所以cosθ=.5.(2014²天津高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=.6.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a),设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),由⇒⇒⇒n1=(1,-1,1).sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²唐山高二检测)平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为.【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ,则cosθ=±|cos<u,v>|=±||=±.所以θ=或.答案:或8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 . 【解析】设正方体棱长为2,分别取DA,D C,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=.²=-1+0+4=3.又²=||||cos<,>=cos<,>,所以cos<,>=,所以所求角的余弦值为.答案:【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,所以cos<,>==.即直线A′C与DE所成角的余弦值为.答案:9.(2014²福州高二检测)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D, E,F,所以=(0,0,2),=,=,设平面DEF的法向量n=(x,y,z). 则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ==.答案:【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为θ,n⊥,n⊥,所以n²=0,n²=0,所以解得所以n=(1,-1,-1),则cos<,n>==-,所以sinθ=,所以cosθ==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²临沂高二检测)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=2,CD=4,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF⊥平面PAB.(2)求直线AE与平面PAB所成的角.【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则E(0,-2,0),F(1,-2,1),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,-4,0),所以=(1,0,1),=(0,-4,0),=(2,0,-2),所以²=(1,0,1)²(0,-4,0)=0,²=(1,0,1)²(2,0,-2)=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB,EF⊥PA,因为AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以EF⊥平面PAB.(2)=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量,设直线AE与平面PAB所成的角为θ,因为=(-2,-2,0),所以sinθ===,所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FG⊥AC于G,则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A1.连接EG,则与的夹角即为所求.又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G.=,=(0,1,-1),cos<,>==.所以<,>=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.【一题多解】建系同上,=(0,1,-1),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,-2),=(-2,2,0).设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,所以n=(1,1,0),cos<n,>===.所以<n,>=,则EF与平面ACC1A1的夹角为.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值. 【解析】以D为原点,{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则C(0,1,0),E,F.设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则因为=,=,所以所以令z=1,则n=(-2,2,1).显然平面ABCD的法向量e=(0,0,1),则cos<n,e>==.设二面角为α,则cosα=,所以tanα=2.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角θ为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.因为cos<m,n>=-,所以sinθ=|cos<m,n>|=.又因为直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,所以θ=45°.2.(2014²长春高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )A.0B.C.-D.【解析】选A.建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos<,>==0.所以<,>=90°,所求角的余弦值为0.【变式训练】如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,cos<,>==0,故异面直线AB1和BM所成角为90°.答案:90°3.(2014²哈尔滨高二检测)在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.4.(2014²南宁高二检测)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC 的中点,则二面角C-BF-D的正切值为( )A. B. C. D.【解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D.结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,由=,=,可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为.【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的坐标系:设BC=1,则A,B,D.所以=,=,=.由于=为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量n=(x,y,z),则所以取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),所以cos<n,>=,sin<n,>=.答案:6.(2014²湛江高二检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为.【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.所以=,=.所以cos<,>==0.所以AB1与C1B所成的角为90°.答案:90°三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013²新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角或建立空间直角坐标系求解. 【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OC,OA1两两相互垂直. 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则有A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【变式训练】(2013²辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC;由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC;又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC,据面面垂直判定定理,平面PAC⊥平面PBC.(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=,又PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则⇒⇒不妨令y1=1,则z1=-1.故n1=(0,1,-1).设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由同理可得n2=(1,,0).于是cos<n1,n2>===.结合图形和题意,二面角C-PB-A的余弦值为.8.(2014²山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.【解析】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.(2)方法一:因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角.在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,所以D1N=,cos∠D1NC==.方法二:作CP⊥AB于P点,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间直角坐标系, 所以C1(-1,0,),D1(0,0,),M,所以=(1,0,0),=,设平面C1D1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1, n2>===.显然二面角为锐角,所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为.【变式训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置;若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD,因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直.以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以=(1,-2,0),=(2,-2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=(2,1,-2).易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos<n,v>==-.因为二面角C1-AD-C是锐二面角,所以二面角C1-AD-C的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1).因为AE与DC1成60°角,所以|cos<,>|==.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.。

3.2.1空间向量与平行、垂直关系预习课本P102～108，思考并完成以下问题1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？[新知初探]1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案：A3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10 答案：D[典例] 已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量.[典例] 已知正方体ABCD -A 111111的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)， 所以FC 1＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1， 令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ ＝(－3,2,1)，RS ＝(－3,2,1)，∴PQ ＝RS ，∴PQ ∥RS ，即PQ ∥RS .法二：RS ＝RC ＋CS ＝12DC －DA ＋12DD 1，PQ ＝PA 1＋A Q 1＝12DD 1＋12DC －DA ，∴RS ＝PQ ，∴RS ∥PQ ， 即RS ∥PQ .利用空间向量证明垂直问题[典例] 如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE ，∴以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .如图所示．则由已知条件有C (1,0,0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)．设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA ＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0， n ·DA ＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)， 又AB ⊥平面BCE ， ∴AB ⊥OC ， ∴OC ⊥平面ABE ，∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE .(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .层级一 学业水平达标1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0， ∴1×3＋3×2＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋12AB ，D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋12AB ，∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π38.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)， D2a 2，2a 2，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ＝()2a ，－2a ，z ，B E 1＝(2a,0，z －3a )，B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a . 故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)．∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭⎫34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12.又MN ⊄平面ADD 1A 1.故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52，∴x ＝3，y ＝154，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)； ④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：l ⊥α6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP ·AB ＝0，BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157，故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－37.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B E 1＝(0，－2，－4)， EF ＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)，而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛⎭⎫－24×0＝0，即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝3，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)． 于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ⊥EF ，n ⊥EG ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ＝0，∴n ⊥PA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)， PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。

空间向量的正交分解及其坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )A.aB.bC.a+2bD.a+2c【解析】选D.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=,b=,a+2b=p-q,所以A,B,C都不合题意.因为{a,b,c}为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.2.(2014·济宁高二检测)设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为( )A. B.C. D.【解析】选A.因为==(+)=+×=+[(-)+(-)]=++,而=x+y+z,所以x=,y=,z=.3.(2014·成都高二检测)若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间一个基底的关系是( )A.=++B.=+C.=++D.=2-【解析】选 C.对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,,,共面;对于B,D选项,易知,,共面,故只有选项C中,,不共面.4.(2014·兰州高二检测)已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为( )A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)【解析】选A.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).5.(2014·西安高二检测)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c 表示向量为( )A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c【解析】选C.如图所示,连接ON,AN,则=(+)=(b+c),=(+)=(-2+)=(-2a+b+c)=-a+b+c,所以=(+)=-a+b+c.【变式训练】如图所示,空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,D为BC的中点,H为OD的中点.设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.【解析】=-.因为==(+)=(b+c),=+=+=+(-)=+×(+)=a+(b+c),所以=(b+c)-a-(b+c)=-a+b+c,即=-a+b+c.6.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( )A.,-1,-B.1,2,3C.1,1,1D.1,-1,1【解析】选 A.因为d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3,所以解得【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=x a+y b+z c,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.(3)求a在单位正交基底下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=x e1+y e2+z e3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b 的坐标分别是.【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则= .【解析】2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++,所以=(++).答案:(++)9.(2014·长春高二检测)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).【解析】=+=+(+)=+(+-)=c+(a+b-c)=a+b.答案:a+b【一题多解】在三角形B1DC中,因为E为B1C的中点,利用平行四边形法则有=(+),=+=+=+=c+a,=+=+=-c+b.所以三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,C1,D1的坐标.【解析】设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=.由于点B在x轴的正半轴上,所以=i,即点B的坐标为(,0,0).同理可得C(0,,0),D(-,0,0),A(0,-,0).又=+=i+2k,所以=(,0,2).即点B1的坐标为(,0,2).同理可得C1(0,,2),D1(-,0,2),A1(0,-,2).11.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1).(2).(3).(4).【解题指南】利用空间图形中的平面图形如三角形、平行四边形建立目标向量与已知向量间的关系. 【解析】连接AC,AD′.(1)=(+)=(++)=(a+b+c).(2)=(+)=(+2+)=(a+2b+c).(3)=(+)=[(++)+(+)]=(+2+2)=a+b+c.(4)=+=+(-)=+=++=a+b+c.【变式训练】(2014·牡丹江高二检测)如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,分别取向量,,为基向量,若(1)=x+y+z,试确定x,y,z的值.(2)=x+y+z,试确定x,y,z的值.【解析】(1)因为=+=++=-++,又=x+y+z,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为=+=+=+(+)=++=++,又=x+y+z,所以x=,y=,z=1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·南宁高二检测)有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选C.①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线的;如果a,b有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以①不正确.②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面,这是正确的.③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底;因为三个向量非零且不共线,正确.故选C.2.(2014·广州高二检测)在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,则有( )A.=(++)B.=(++)C.=(++)D.=++【解析】选B.=+=+(+)=+(-)+(-) =(++).3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c【解析】选A.=+=+(+)=+(+)=(-a+b)+c=-a+b+c.4.(2014·泰安高二检测)已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量p 在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选 B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+z c=(x+y)a+(x-y)b+z c,所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.【举一反三】若把题目中的“基底{a,b,c}”与“基底{a+b,a-b,c}”互换,结果如何?【解析】设p在基底{a,b,c}下的坐标为(x,y,z),由向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=x a+y b+z c,所以故p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,-1,3).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·福州高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=.【解析】如图所示,有=++=++(-1).又因为=x+2y+3z,所以解得所以x+y+z=1+-=.答案:6.设a,b,c是三个不共面的向量,现从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b-c中选出一个,使其与a,b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量有 .【解题指南】判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理建立λ,μ的方程组,若有解则共面,否则不共面.【解析】a+b,a-b均与a,b共面.事实上以a,b为邻边作平行四边形OACB,令=a,=b,=a+b,=a-b,而共面向量不可以作为空间向量的基底.答案:③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量的坐标.(2)求证:EF∥BD1.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量,,从而使问题得解.【解析】(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,所以向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,因为=++,与共线,与共线,所以设=λ,=μ,则=λ++μ=λ(+)++μ(-)=(λ+μ)+(1-μ)+λ=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,因为EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,所以·=0,·=0,又=-i-k,=-i+j,所以,整理得即解得所以=i +j -k所以的坐标是(,,-).(2)因为=+=-i-j+k,所以=-,即与共线,又EF与BD1无公共点,所以EF∥BD1.8.(2013·吉林高二检测)已知{i,j,k}是空间的一个基底,设a1=2i-j+k, a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k.试问是否存在实数λ,μ,υ,使a4=λa1+μa2+υa3成立?如果存在,求出λ,μ,υ的值,如果不存在,请给出证明.【解析】假设存在实数λ,μ,υ使a4=λa1+μa2+υa3成立,则有3i+2j+5k=λ(2i-j+k)+μ(i+3j-2k)+υ(-2i+j-3k)=(2λ+μ-2υ)i+(-λ+3μ+υ)j+(λ-2μ-3υ)k.因为{i,j,k}是一个基底,所以i,j,k不共面,所以解得故存在λ=-2,μ=1,υ=-3使结论成立.- 11 -。

3。

2.1空间向量与平行关系（一）教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2。

过程与方法:通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．3.情感、态度与价值观:引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二）教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤? 问题2：空间中的角度有多少种？用空间向量如何解决？活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些平行关系?如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？l∥m a∥b⇔l∥α⇔a·u＝0⇔α∥β⇔u∥v⇔例1：如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D 是AC的中点,求证：AB1∥平面DBC1.例2：（12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF,∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证:FH∥平面EDB.图3－2－6活动三:归纳整理、提高认识1．在空间中，平行有几种情况?2．如何用空间向量求各种平行关系？3.2.2空间向量与垂直关系（一)教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2。

过程与方法:通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3.情感、态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神,同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二)教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立,空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题问题1：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断?问题2:上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断?l⊥m⇔⇔l⊥α⇔⇔⇔α⊥β⇔⇔⇔图3－2－10例1：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M 是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN ＝错误!CC1. 求证:AB1⊥MN。