高中数学 错误解题分析 3-2第1课时 空间向量与平行关系

立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量和平面的法向量的意义．2.掌握空间向量的运算与立体几何问题的对应关系，掌握使用空间向量研究立体几何中的平行与垂直关系的方法．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )A ．(2，2，6)B ．(－1，1，3)C ．(3，1，1)D ．(－3，0，1)答案：A3．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，14 B ．(2，－1，0) C ．(1，2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2 答案：C4．若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32探究点一 直线的方向向量与平面的法向量已知A (1，0，1)、B (0，1，1)、C (1，1，0)，求平面ABC的一个法向量．[解] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由题意知AB→＝(－1，1，0)，BC →＝(1，0，－1)． 因为n ⊥AB →且n ⊥BC →，所以⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0， 令x ＝1，得y ＝z ＝1.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1)．利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB→，AC →. (3)列方程组：由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组． (4)解方程组：⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．1. 如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解：如图，以A 为原点，以AD→，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)， 则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x . 取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，所以平面SDC 的一个法向量为(2，－1，1)．探究点二 利用空间向量证明平行关系已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1→＝(0，2，1)， DA→＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE→＝2y 1＋z 1＝0， 得⎩⎨⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1，2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎨⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .向量法证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则 P (3，0，1)，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，1)． PQ→＝(－3，2，1)，RS →＝(－3，2，1)， 即PQ→＝RS →，故PQ →∥RS →. 又P ∉RS ，因此PQ ∥RS .法二：因为RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→， PQ →＝P A 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，所以RS→＝PQ →.所以RS→∥PQ →.又P ∉RS ，所以RS ∥PQ . 探究点三 利用空间向量证明垂直关系(规范解答)(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，E 为BB 1的中点．求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .[证明] 由题意得AB 、BC 、B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA →、BC →、BB 1→的方向分别为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)则A (2，0，0)，A 1(2，0，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (0，0，1)，(2分)则AA 1→＝(0，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，2)，AE →＝(－2，0，1)．(3分)设平面AA 1C 1C 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎨⎧2z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0，(5分) 令x 1＝1，得y 1＝1，所以n 1＝（1，1，0）.(6分)设平面AEC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，(8分)令z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝－1，所以n 2＝（1，－1，2）. (9分)因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×2＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .(12分)向量法证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．B1C1D1中，若E为A1C1的中3.(1)在正方体ABCD-A点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.解：(1)选B.建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，。

第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。

用向量的方法证明空间中的平行关系导学案一、复习1.直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线___________的向量． 2.平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的___________，则a叫做平面α的法向量． 二、探究与总结空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ∥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________(2)线面平行设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α∥⇔→a →u ⇔________⇔ ___________________ ．(3)面面平行设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ∥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________ ()R λ∈空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ⊥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α⊥⇔→a→u ⇔________⇔ ___________________ ．al mbabuaamll(3)面面垂直设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ⊥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________三、应用(1)设,a b分别是不重合的直线12,l l 的方向向量，根据下列条件判断12,l l 的位置关系：①a ＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)； ②a ＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)；(2)设,u v分别是不同的平面,αβ的法向量，根据下列条件判断,αβ的位置关系；①()11,1,2,3,2,2u v ⎛⎫--- ⎪⎝⎭②u ＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；(3)设u 是平面α的法向量，a是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系； ①u ＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u ＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．知识点一 求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证： AE是平面A 1D 1F的法向量.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.四、典题训练例.已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是11BB DD 、的中点，求证： (1)1FC ∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面11B C F .拓展练习：已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是1111BC CC C D AA 、、、的中点， 求证：(1) BF//H D 1 (2) EG//面B D 1 (3)面BDF// 面11B D H在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.求平面法向量的坐标步骤：一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解：得到x 、y 、z 的关系式，取其中一个为非零值（常取1±），得到平面的一个法向量。

3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系双基达标 限时20分钟1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )．A ．(1，2，3)B ．(1，3，2)C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)答案 A2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)答案 D3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )．A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β.答案 A4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________．解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y ＝12. 答案 125．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______．解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k，解得k ＝4.答案 46．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)∵AP ＝2PA 1，∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝23(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，43)． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →， 又∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .综合提高（限时25分钟）7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( )．A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交解析 因为AB →＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz .答案 C8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在平面α内的是 ( )．A ．(1，－1，1)B ．(1，3，32) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－32) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B. 答案 B9．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，32)，若a ∥b ，则k ＝______．解析 ①当k ＝0时，a 与b 不平行．②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －132解得k ＝－2. 答案 －210．若A (0，2，198)，B (1，－1，58)，C (－2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．解析 AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ， 则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－43y )＝2∶3∶(－4)． 答案 2∶3∶(－4)11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0，1，12)，N (12，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→，而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .12．(创新拓展)如图，O 是正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面中心，P是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?解 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)，设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)，那么OP →＝(－1，－1，1)， BD 1→＝(－2，－2，2)，∴OP →∥BD 1→，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1.又AP →＝(－2，0，1)，BQ →＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP →∥BQ →，由于B ∉AP ，∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ .∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .。

3.2.1 空间向量与平行关系（高二理普导学案）命题人：李玉芹时间：2012年12月13日一、教学目标理解直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述和证明空间平行问题。

二、教学重点：用向量的方法证明空间中的平行关系。

三、教学难点：求平面的法向量四、知识导学1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个.2．平面的法向量直线，取直线的方向向量，则叫做平面的 .3．空间中平行关系的向量表示1）线线平行设直线、的方向向量分别为则∥＝ .2）线面平行设直线的方向向量为，平面的法向量为，则∥＝0 .3）面面平行设平面、的法向量分别为，，则∥.4）平面法向量的求法①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量.②当已知平面内两不共线向量时，常用待定系数法求法向量：设法向量，由，得，在上述方程中，对、、中的任一个赋值，求出另两个，所得n即为平面的法向量.★特别提醒平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证五、例题解析题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系例1、（1）设，分别是，的方向向量，判断，的位置关系①，②，（2）设分别是平面的法向量，判断的位置关系。

①，②，（3）设是平面的法向量，是直线的方向向量，判断直线与的位置关系。

①，②，解析：（1）①∵，∴，∴∥，∴∥②，∴·＝0，∴⊥，∴⊥（2）①∵，∴·＝3－2－1＝0，∴⊥∴②∵，∴∴∥∴∥（3）∵①，∴·＝－6+8－2＝0 ∴⊥∴或∥②∵，∴∴∥∴⊥（变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。

（1）直线，的方向向量分别是，（2）平面的法向量分别是，（3）直线的方向向量，平面的法向量分别是，※类型之二：求平面的法向量例2、如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD与平面SBA的法向量.【分析】由题目可获取以下主要信息：①所给图形易于建系；②ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°③SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量.※类型之三：利用空间向量证明线面平行问题例3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【分析】由题目可先获取以下主要信息；①ABCD—A1B1C1D1为正方体且棱长为2；②E、F分别是BB1、DD1的中点.解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行.※ 当堂测验：（1）若，是两个非零向量，则与平行的充要条件为（）A. B.C.存在实数K，使D.存在非零实数K，使（2）若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A.（0，－3，1）B.（2，0，1）C.（－2，－3，1）D. （－2，3，－1）（3）已知A（1，0，0）B（0，1，0）C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（）A.（1，1，1）B.（）C. （）D. （）（4）在平面ABCD中，，若，且为平同ABC的法向量，则等于（）A.2 B.0 C.1 D.无意义（5）已知∥，且的方向向量为（2，m，1），平面的法向量为（1，，2），则m=（6）已知，若，且∥，则=（7）已知平面经过三点A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），试求的一个法向量.8、如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= 90°，PA=BC=AD=1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；不存在，说明理由.。