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4、机器人静力学

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第四章机器人静力学动力学

第四章机器人静力学动力学

0
nz
(
p
n
)
y
(
p
o
)
y
( p a)y
ox
oy
oz
( ( (
p p p
n)
o)
a)
ax
z z z
dx dy dz
x
ay
y
az z
{T}
根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
4.2 机器人的静力学
0F [Fx , Fy ]T
存在怎样的关系
(1, 2 )
( f ,n)
y0
2
1
x0
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为
n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量
利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即
简写为: 又因为
, 所以得到 与 之间的关系
式中
称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，
操作力向关节力映射的线性关系。
x t33
x t34
dx
x x x x
t
41
t42
t43
t44
x x x x
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即

工业机器人的力学分析

工业机器人的力学分析

第!!卷!第"期#$%&!!!’$&"!!!!!平!原!大!学!学!报()*+’,-)./0’12*,’*’0#3+4052!!!!!667年8月!(9:;&!667工业机器人的力学分析姬清华!平原大学机电工程学院"河南新乡<7"66"#!!摘!要!随着机电一体化技术的迅速发展!工业机器人在工业生产中的地位越来越重要!本文从工业机器人的力学分析入手!分别作了静力学和动力学的分析研究!为工业机器人手部及运动各构件提供了力学的分析原理及方法"关键词!工业机器人#静力学#动力学#力矩中图分类号!5/!<!W !!!文献标识码!,!!文章编号!=66>?"@<<!!667#6"?6==8?6!!!收稿日期!!667?6"?6>作者简介!姬清华$=@A 8%&!男!河南新乡人!主要从事机电一体化及数控加工方面的研究"!!随着工业机器人技术的发展"工业机器人的力学分析变得至关重要$工业机器人力学分析主要包括静力学分析和动力学分析"它们是工业机器人操作机设计%控制器设计和动态仿真的基础$P 静力学分析静力学分析是研究操作机在静态工作条件下"手臂的受力情况$P &P 静力平衡方程如图=所示"为开式链手臂中单个杆件的受力情况$杆件)通过关节)和)N =分别与杆件)U =和)N =相连接"以)关节的回转轴线和)N =关节回转轴线为2)U =和2)坐标分别建立两个坐标系)U =和)$令5)U =")表示)U =杆作用在杆上的力"5)")N =表示)杆作用在)N =杆上的力"则U 5)")N =表示)N =杆作用在)杆上的力"*)为)杆的重心"重力<1作用在*)上"于是杆件)的力平衡方程为&5)U =")N 5)N =")N <)1K 6)K ="!"’"#若以5)")N =代替5)N =")"则有&5)U =")U 5)")N=N <)1K 6!=#!!又令;)U =为)U =杆作用于)杆上的力矩"U ;)")N =为)N =杆作用于)杆的力矩"则力矩平衡方程为;)U =")U ;)")N=U !&)")N =N &)"*)#V 5)U =")N !U &)"*)#V U 5)")N =K 6!!)K ="!"’"!!#式中"第三项为5)U =")对重心取矩"第四项为U 5)")N =对重心取矩$若工业机器人操作机由#个杆件构成"则由式图=!杆件的受力分析!=#和式!!#可列出!#个方程"两式共涉及力和力矩!#g !个"因此"一般需结出两个初始条件方程才能有解$在工业机器人作业过程中"最直接受影响的是操作机手部与环境之间的作用力和力矩"故通常假设这两个量为已知"以使方程有解$从施加在操作机手部的力和力矩开始"依次从末杆件到机座求出所施加的力和力矩"将式!=#和式!!#合并并变成从前杆到后杆的递推公式"即5)U =")K 5)")N=U <)1;)U =")K ;)")N =N !&)U =")N &)"*)#V 5)U =")U !&)"*)V 5)")N =#!!)K ="!"’"#P &N 关节力和关节力矩为了使操作机保持静力平衡"需要确定驱动器对相应杆件的输入力和力短与其所引起的操作机(8==(　万方数据手部力和力矩之间的关系!令*)为驱动元件)的第)个驱动器的驱动力或驱动力矩"并假设关节处无摩擦"则有当关节是移动副时"如图!所示"*)应与该关节的作用力5)U =")在2)U =上的分量平衡"即*)K -O)U =5)U=")式中-)U =为)U =关节轴的单位向量!上式表明驱动器的输入力只与5)U =")在2)U =轴上的分量平衡"其他方向的分量由约束力平衡"约束力不作功!当关节是转动副时"*)表示驱动力距"它与作用力矩;)U =")在2)U =轴上的分量相平衡"即*)K -O)U =;)U=")图!!移动关节上的关节力N 动力学分析动力学分析是研究操作机各主动关节驱动力与手臂运动的关系"从而得出工业机器人动力学方程!目前已提出了多种动力学分析方法"这里仅就用牛顿欧拉方程建立工业机器人动力学方程作简要介绍!图"!杆件动力学方程的建立!!动力学方程可以用两个方程表达#一个用以描述质心的移动"另一个描述质心的转动!前者称为牛顿运动方程"后者称为欧拉运动方程!取工业机器人手臂的单个杆件作为自由体"其受力分析如图"所示!图中(*)为杆件)相对于固定坐标系的质心速度"+)为杆件)的转动角速度!因为固定坐标系是惯性参考系"所以将杆件)的惯性力加入到静力学方程式$=%中"于是有牛顿运动方程#5)U =")U 5)")N=N <)1U <)W (*)K 6)K ="!"&"#$"%作用在杆件)上的惯性矩是该杆件的瞬时角动量对时间的变化率!令+)为角速度向量"B )为杆件)质心处的惯量"于是角动量为B )+)!因为惯量随杆件方位的变化而变化"所以角动量对时间的导数不仅包含B )W +)"而且包含因B )的变化而引起的变化+)V B )+)"即陀螺力矩"上述两项加到静力学力矩平衡式$!%中"得;)U =")U ;)")N =N &)"*)V 5)")N =U &)U ="*)V 5)U =")U B W +)U +)V B )+)K 6)K ="!"&"#$<%公式$"%和$<%是单个杆件的动力学特性关系式"若将工业机器人的:个杆件均列出相应的上述两个方程"即得到工业机器人完整的动力学方程组的基本形式#牛顿’欧拉方程!!!参考文献!!="徐元昌#陶学恒&工业机器人!["&北京$中国轻工业出版社#=@@@&!!"陈小川#刘晓冰&虚拟制造体系及其关键技术!("&计算机辅助设计与制造#=@@@#%=6&&!""盛晓敏#邓朝晖&先进制造技术!["&北京$机械工业出版社#!66<&!<"邱士安&机电一体化技术!["&西安$西安电子科技出版社#!66<&【责任编校!李东风】@"@"’-.()(45B %*$’")*(!"U 474#_K +)"2?$,’$C "*0$#)*$+$#DX +"*8&)*$+X #1)""&)#1H "I $&8<"#8’5%)#1.3$#6#)("&7)8."9)#:)$#1"!"#$#<7"66"40)#$%@7(#1’*##_C G BG B ;F E J C II ;T ;%$J M ;:G$O [;H B E G F E :C H D "G B ;F $K $GE J J %C ;IC :C :I 9D G F L BE T ;K ;H $M ;M $F ;E :IM $F ;C M J $FG E :G &5B C D E F G CH %;E :E %L c ;D O F $M M ;H B E :C H D "I C D H 9D D ;D O F $MG B ;D G E G C H D E :II L :E M C H D D ;J E F E G ;%L E :I$O O ;F D G B ;G B ;$F C ;D $O E :E %L c C :Q E F M M $T ;M ;:G E :I H $M J$:;:G $O F $K $G D &A %.:41/(#F $K $G (D G E G C H D (I L :E M C H D (M $T ;M ;:G )A ==)　万方数据工业机器人的力学分析作者：姬清华， JI Qing-hua作者单位：平原大学,机电工程学院,河南,新乡,453003刊名：平原大学学报英文刊名：JOURNAL OF PINGYUAN UNIVERSITY年，卷(期)：2005,22(3)被引用次数：2次1.邱士安机电一体化技术 20042.盛晓敏;邓朝晖先进制造技术 20043.陈小川;刘晓冰虚拟制造体系及其关键技术 1999(10)4.徐元昌;陶学恒工业机器人 19991.陈登瑞六自由度机械手本体结构关键技术研究[学位论文]硕士 20062.张烈霞工业机器人运动及仿真研究[学位论文]硕士 2006本文链接：/Periodical_pydxxb200503036.aspx。

试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系

试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系

试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人学是一门研究机器人的运动、力学和控制的学科。

其中，机器人的静力学、动力学和运动学是机器人学中的三个重要分支，它们之间存在着密不可分的关系。

静力学是研究机器人在静止状态下的力学特性，主要包括机器人的力学结构、质心位置、静态稳定性等。

在机器人的设计和控制中，静力学是非常重要的，因为只有在机器人的静态稳定性得到保证之后，机器人才能进行安全和可靠的运动。

静力学的研究成果，可以为机器人的控制系统提供重要的参考依据。

动力学是研究机器人在运动状态下的力学特性，主要包括机器人的动力结构、速度、加速度、惯性等。

在机器人的控制和规划中，动力学是一个非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的动态特性，才能更加有效地控制机器人的运动。

动力学的研究成果，可以为机器人的控制系统和运动规划提供重要的参考依据。

运动学是研究机器人运动的几何特性和空间关系的学科，主要包括机器人的位置、朝向、运动轨迹等。

在机器人的控制和规划中，运动学是非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的运动特性，才能更加有效地控制机器人的运动。

运动学的研究成果，可以为机器人的运动规划和控制系统提供重要的参考依据。

综上所述，机器人的静力学、动力学和运动学之间存在着密不可分的关系。

在机器人的设计、控制和运动规划中，这三个分支相互作用，相互影响，共同推动了
机器人技术的不断发展。

机器人模型与控制-4静力学模型

机器人模型与控制-4静力学模型

22
y1 y0 x1 C1
θ2 G2
2M2 2Mt 2Pt 2Ft 2rC22G2
θ1 x0 G1
2ftyl2G2rC2 cos1 (2)
1F1 12R2F2 10R0G1
22ffttxxscion2s222ffttyycsoins22 G G11 G G22 csion1s1
1M121R2M21P221R2F2 1rC11G1
• 刚度矩阵表示关节变形与关节驱动力或力矩之间的线性关系，对于n 关节机械臂，K为n×n维对角阵；
• 柔度矩阵表示机械臂末端操作力与末端变形之间的线性关系，对于m 维作业空间，C为m×m维矩阵。
• 如果J方阵满秩，C可逆， C-1称为末端刚度矩阵矩阵。
15
（移动关节） （转动关节）
6
例：如图所示的二杆平面机器人，建立相应的坐标系。已知，外界对机
器人手的作用力（手爪坐标系与坐标系{2}重合）为
2Ft 2ftx 2ftyT
求各杆件间的相互作用力（矩）和关节力矩。
Ft
C2
解：
y2
x2
2F2 2Ft 12 R01R0G2
22ffttyx
G2 G2
sin1 cos1
BFS
A BR BPOAA BR
A B0RAF
13
4.4 刚度和柔度
操作臂终端在外力的作用下会产生变形，变形的大小与操作臂的刚度 及作用力的大小有关。操作臂的刚度即为操作臂末端抵抗变形的能力，它 将影响操作臂的动态特性和在负载情况下的定位精度。
对于大多数工业机器人而言，连杆的刚度较大，可以认为是刚性的， 变形主要来源于关节处的传动、减速装置和伺服驱动系统。假设关节刚度 为线弹性，用一个弹簧常系数来表示，即为

第四章-静力学与动力学P

第四章-静力学与动力学P
约束.
如
x2 y2 l2
8
xA2
y
2 A
r2
xB x A 2 yB yA 2 l 2
yB 0
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束. 9
（2）定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称
非定常约束. 不随时间变化的约束称定常约束.
x2 y2 l0 vt 2
10
（3） 其它分类 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有
12
2、虚位移与实位移的区别与联系 （1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。
（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。
（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。
（4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ，
Do I operate smoothly? 动力学问题
从力学的角度让机器人工作的更平稳、更精确。
3
❖ §4—1 机器人静力学
一、静力学问题：
F
（1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）
（2）关节力矩
末端输出力
❖ 二、静力学两类问题：
❖ 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求末端 点能输出的力（力矩） 。
L
1
(m1
m2
) gd1
sin(1)
m2 gd 2
sin(1
2
)
1
d dt
( L
1
)
L
1
[(m1
m2
)d12
m2d
2 2
2m2d1d2
cos(1 )]1

机器人静力学,动力学,运动学的关系

机器人静力学,动力学,运动学的关系

机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人的静力学、动力学和运动学是机器人技术研究中三个重要领域，它们之间存在
着相互关联，协同工作，构成了机器人技术的核心。

首先，机器人静力学是指机器人操作过程中机械结构在不变的平衡状态下运动学位置
及实时运动状态估计分析，被誉为机器人外部力分析和内力传递分析的基础学科。

它主要
通过建立机器人机械结构模型，利用关节形变、外力以及内力等物理变量，计算求解机器
人的内外力特性、机构的端部间的平衡、受力特性、稳定性及物体约束特性等。

其次，机器人动力学是指机器人的运动发生时，所做动力学建模、分析及控制的研究，因此它探讨的是关节力学、碰撞识别等方面的有关问题，它主要是要求在运动过程中求解
系统运动参数或者特征值，实现机器人动态分析与控制，研究动力学模型对机器人系统动
态性能的影响。

最后，机器人运动学是指动作规划及机器人运动控制之间相关问题的研究，通过研究
机器人通过方向轮，电机和关节的作用实现有用运动的方法，涉及关节角度、运动轨迹、
几何关系、姿态成份的工程化方法。

它是对机器人机械结构分析和动力学建模的补充，探
讨机器人各关节及机构动作之间相互关系，以及机器人运动要求下，机器人运动解的计算
及实现方法，使得机器人拥有大量的姿态组合，增加机器人的全局适应性。

由此可以看出，机器人的静力学、动力学和运动学形成了一个完整的研究体系，它们
相互交织，共同工作，它们提供了对机器人运动的有效把握，从而实现机器人的运动目标。

因此，机器人的静力学、动力学和运动学十分重要，它们是实现机器人运动控制的基础，
也将在机器人研究中发挥重要作用。

雅可比矩阵在机器人静力学中的作用

雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。

下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。

1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。

它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。

雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。

2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。

它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。

3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。

通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。

4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。

具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。

这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。

5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。

它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。

通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。

总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。

它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。

通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。

这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。

第五章_机器人静力学


求微分变换dA。
0
0
0
1
解：
0 z y dx 0 0 0.1 1
z
0
y
0
x
0
x
dy
0
00
0
0 0
dz 0
0.1 0
0
0
0 0
0.5
0
0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 1
dAA00.1
0 0
0 0
0 1 0 0 0.50 1 0
5 0 0 0
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图所示。
位移方程
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2 s12
式 中 ： C 1cos1, S 1sin1, C 12cos12, S 12sin12
图 两自由度平面机械手
微分得
矩阵形式
d dy x l1lc1s11l2 l2 cs11 22
l2s12d1 l2c12d2
所以得 d T T T r a n s ( d x , d y , d z ) R o t ( k , d ) I 4 4
令 T ( d x , r d y , d z ) a R ( k , d n ) o I 4 4 s t
规定，当微分运动相对于基系进行时，上式记为Δ0；当运 动相对于坐标系i时，上式记为Δi 。
J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
Jij(q ) x iq (q j),i 1 ,2 ,...,6 ;j 1 ,2 ,...,n
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和 第二列矢量，即
•

机器人静力学动力学


• 质心速度
.
.
..
x2 l1 cos1 1 l2 cos(1 2 )(12 )
.
.
..
y2 l1 sin1 1 l2 sin(1 2 )(12 )
• 质心速度:
v22
.
y
2
2
.
x22
.
.
..
.
.
..
l12 12 l22 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos2 (12 1 2 )
JT
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重
力，求关节力矩。 1 0 2 90 F [FX , FY ]T
解：
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l2c12
l2 s12
l 2 c12
JT
l1s1 l2 s12 l2 s12
l1c1 l2c12
l 2 c12
1
关节虚位移
q1
q
2
q
qq43
q5
q6
虚位移原理：
W 1q1 2q2 F1 x F2 y F3 z F4
W Tq F TP
W 0
W Tq F TP Tq F T Jq ( J T F )T q 0
( J T F )T 0
JTF
雅可比转置矩阵
• 三、静力学两类问题： • 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求手部
端点能输出的力（力矩） 。
• 2、 逆向静力学—知手部端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
• 机器人通常是逆向力学问题。
• §4—2 机器人动力学
• 一、动力学两类问题： • 1、 正向动力学—知各关节驱动力（力矩），求末端

4)机器人静力学和雅克比实验

实验（4）机器人机器人静力学和雅克比实验一、实验目的：1）理解机器人角速度的相关概念；2）对构建的机器人进行速度分析；3）了解和熟悉机器人雅克比矩阵的含义，4）能够使用simulink构建机器人仿真模型。

二、雅克比矩阵图1 机器人雅克比矩阵在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来：在matlab工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为，J = p560.jacob0(qr) ，其中p560为机器人名。

逆雅克比矩阵：分析雅克比矩阵：其中，在matlab工具相中对应函数为，推导可得，变换为，简化模型化为，在matlab工具箱中，对应的RPY的雅克比速度映射函数，该函数为从RPY角速度到角速度的雅克比变换函数。

即上式中的。

在matlab工具箱中，对应的ZYZ欧拉角的雅克比速度映射函数，>> eul2jac(0.1,0.2,0.3)ans =0 -0.0998 0.19770 0.9950 0.0198 1.0000 0 0.9801 对应书中p113页中公式（5-41和5-42）。

综上可得到解析型雅克比，三、基于simulink 的机器人仿真模型建立，要求机器人末端以一定的速度运simulink/Math Operationssimulink/SourcesDSP System Toolbox/Math图机器人库图关节伺服单元（joint servo）和常量所在库图输出（out）和matlab自定义函数库（matlab function）图矩阵多通道库各模块的参数设置如下图：5）命令窗口中运行mdl_puma560； 6）运行建立的模型testrobotJ ； 7）查看仿真结果。

图 仿真结果四、实验容（1）用simulink 建立如下图所示的机器人仿真模型，机器人模型为puma560，-1-0.500.51XYZ然后点击上图中subsystem右键，点击mask->Creat Mask…增加如上edit参数：radius和preq。

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将 f i +1 , M i +1 表示在其所在的 坐标系{i+1}中 i 采用旋转矩阵 写成静力从一 连杆向另一连 杆传递的形式
i
i i
i i
f i = f i +1
i
M i = M i +1 + P× f i +1
i i
i +1 i
f i = i +i1R i +1f i +1 M i = R M i +1 + P× f i
F
雅可比J不满秩
奇异状态
如右图所示的平面两杆机器人处于近 奇异状态，则此时可以很小的关节力矩 克服非常大的外界作用力。
τ2 τ1
连杆1
连杆2
4.3 微分运动与静力传播的对偶性
P = J (q) q
• •
τ = J T (q) F
由力雅可比和运动雅可比之间的关系可知操作臂的静力传递 关系和速度传递关系紧密相关。
0 0 1 0 0 1 − pz py − px 0 px 0
0 1 0 0 1 0 0
⎡ w fx ⎤ ⎤ ⎥⎢ w f ⎥ ⎥⎢ y ⎥ ⎥⎢ w fz ⎥ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎢ w m ⎥ x ⎥ 0⎥ ⎢ w m ⎥ ⎥⎢ w y ⎥ 1⎦ ⎢ m ⎥ ⎣ z⎦
4.5 静力学的逆问题
i
f i −if i+1 + i mi g = 0
i +1 i i ci i i
（4-1）
力矩平衡方程为 M i − M i +1 −
i i
P× f i +1 + r× mi g = 0 （4-2）
通常需要根据末端连杆上的外界作用力和力矩，依次计算出 每个连杆上的受力情况，从末端连杆递推到基座。 如果忽略掉连杆本身的重量，上两式可写成反向迭代的形式
l1 X1 Y1
τ1
⎡c 2 − s 2 0 ⎤ ⎡ f x ⎤ ⎡ c 2 f x − s 2 f y ⎤ 1 f1 = ⎢ s 2 c 2 0⎥ ⎢ f y ⎥ = ⎢ s 2 f x + c 2 f y ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 0 M 1 = ⎢ 0 ⎥ + l1 x1 × f1 = ⎢ ⎥ ⎢l1 s 2 f x + l1c2 f y + l 2 f y ⎥ ⎢l 2 f y ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ τ1 = l1 s 2 f x + l1c2 f y + l 2 f y τ 2 = l2 y2 ⎡ τ1 ⎤ ⎡l1 s 2 ⎢τ ⎥ = ⎢ 0 ⎣ 2⎦ ⎣ l1c2 + l 2 ⎤ ⎡ f x ⎤ ⎥⎢ f ⎥ l2 ⎦ ⎣ y ⎦
4.4 力与力矩的坐标变换
q∈R
S1
•
n
J映射
p ∈ Rm
S2
•
p=0
•
N(J) 零空间
R (J )
值域空间
JT
S3
运动学 和静力 学的对 偶性
R( J T )
值域空间
S4
N(JT) 零空间
τ ∈R
n
F ∈ Rm
利用静力和瞬时运动的对偶关系，可以把静力学问题归结为相 应的微分运动问题来研究。
力和力矩的坐标变换与微分运动坐标变换之间同样存在对偶关系 假设6维广义力矢量
B B ⎡d A ⎤ ⎡ A R − S ( BO P ) A R ⎤ ⎡d B ⎤ A =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢δ ⎥ B ⎣ A⎦ ⎣ 0 AR ⎦ ⎣δ B ⎦
反 对 称 矩 阵
⎡ 0 ⎢ S ( P) = ⎢ p z ⎢− p y ⎣
− pz 0 px
py ⎤ ⎡ px ⎤ ⎥ − px ⎥ , P = ⎢ p y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ pz ⎥ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦
⎡f⎤ F =⎢ ⎥ ⎣m⎦
利用虚功原理推导从坐标系 {B}的描述变换到 {A}中的描述
A B
D, D,
A B
F F
坐标系 {A}中的虚位移、作用力 坐标系 {B}中的虚位移、作用力
根据虚功原理：外力和等效力所做的虚功之和为零，可得：
A
F T ⋅ A D= BF T ⋅B D
由微分运动的坐标变换公式
将外界作用力从坐标系{2}表示转换到坐标系{0}中
0
F2 = R⋅ F2
2 0 2
2 0
⎡c12 R=⎢ ⎣ s12
− s12 ⎤ c12 ⎥ ⎦
2 0
R
−1
⎡ c12 =⎢ ⎣− s12
s12 ⎤ c12 ⎥ ⎦
⎡ τ1 ⎤ ⎡l1 s 2 ⎢τ ⎥ = ⎢ 0 ⎣ 2⎦ ⎣
l1c2 + l 2 ⎤ ⎡ f x ⎤ ⎥⎢ f ⎥ l2 ⎦ ⎣ y ⎦
S4
N(JT) 零空间
τ ∈R
N(JT)
n
F ∈ Rm
零空间：代表不需要任何关节驱动力矩而能承受的所有末端 操作力的集合；这时末端操作力完全由操作臂机构本身承 受。 R ( J T ) 值域空间：代表操作力能平衡的所有关节力矩矢量的集合。
这意味着在 q∈R J映射 不产生末端 S2 操作速度的 • S1 p =0 这些关节速 度方向上， N(J) R (J ) 关节力矩不 零空间 值域空间 能 被 末 端 操 作 力 所 平 JT 衡。为了保 持操作臂末 S3 端 静 止 不 动，在零空 N(JT) R( J T ) S4 间的关节力 零空间 值域空间 矩矢量必须 n F ∈ Rm τ ∈R 为 零 。 T 根据线性代数：零空间 N(J) 是值域空间 R( J ) 在Rn的正交补，
静力映射是从m维矢量空间向n维关节空间的映射；因此 关节力矩矢量总是由末端操作力F唯一确定。 τ = J T (q) F 但对于给定的关节力矩，与之平衡的末端操作力不一定存在。
q∈R
S1
•
n
J映射
p ∈ Rm
S2
•
p=0
•
速度：
N(J) 零空间
R (J )
值域空间
JT
S3
静力：
R( J T )
值域空间
关节空间 操作空间
q∈R
•
n
J映射
p ∈ Rm p=0
•
•
零空间N(J)
R (J )
值域空间
J的值域空间表示关节运动能产生的全部操作速度的集合
q∈R
•
n
J映射
p ∈ Rm p=0
•
•
速度：
N(J) 零空间
R (J )
值域空间
JT 静力：
R( J T )
值域空间
N(JT) 零空间
τ ∈ Rn
F ∈ Rm
4.2 等效关节力和力雅可比
⎡ fn ⎤ 将操作臂末端所受到的力和力矩组成六维矢量 Fn = ⎢ ⎥ ⎣mn ⎦ ⎡ τ1 ⎤ 终端广义 ⎢ ⎥ 力矢量 τ=⎢M ⎥ 将各关节驱动力矩组成n维矢量 ⎢τn ⎥ ⎣ ⎦
n×1
将关节驱动力矩看成操作臂驱动装置的输入，末端产生的 广义力作为操作臂的输出。采用虚功原理推导它们之间的 关系。 虚位移是满足机械系统的几何约束条件的无限小位移。 令各关节的虚位移为 δqi ，末端的虚位移为D。
WO T
P⎤ ⎥ 1 ⎦
⎡ fT ⎤ ⎡ W R T = ⎢ WO W ⎢ ⎥ ⎣mT ⎦ ⎣ S ( T P ) T R
0 ⎤ ⎡ fW ⎤ ⎥ W ⎥⎢ R ⎦ ⎣ mW ⎦ T
⎡ 0 ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ WO ⎢ W 1 0⎥ S ( T P ) = ⎢ p z T R = ⎢0 ⎢− p y ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎣
⎡ τ1 ⎤ ⎡− l1 s1 − l 2 s12 τ = ⎢ ⎥ =⎢ ⎣τ 2 ⎦ ⎣ − l 2 s12
⎡−l1s1 − l2 s12 J =⎢ ⎣ l1c1 + l2c12
l1c1 + l 2 c12 ⎤ 0 ⎥ F2 l 2 c12 ⎦
−l2 s12 ⎤ ⎥ l2c12 ⎦
力雅可比
力雅可比刚好是运动学雅可比矩阵的转置
τ T ⋅ δq = F T ⋅ D
由于 D = J ⋅ δq
τT ⋅ δq = F T ⋅ J ⋅ δq
τ = F ⋅J
T T
τ = JTF
上式表明：不考虑关节之间的摩擦力，在外力F的作用下， 操作臂平衡的条件是关节力矩满足上式。
τ=J F
T
力雅可比是运动雅可比的转置 力雅可比
注意：如果雅可比J不满秩，则末端操作器在某些方向上处于 失控，不能施加所需的力和力矩，即沿这些方向的广义力可 随意变化，而不会对关节力矩的大小产生影响。
A T B T
两坐标系的 微运动变换
A A ⎡ B R S ( AO P) B R ⎤ A B B D=⎢ ⎥⋅ D A BR ⎣ 0 ⎦
A A ⎡ B R S ( AO P ) B R ⎤ B F = F ⎢ ⎥ A BR ⎣ 0 ⎦
从坐标系{B}的描述变换到坐标系{A}中的描述为：
B ⎡ fA ⎤ ⎡ AR ⎢m ⎥ = ⎢ BO B ⎣ A ⎦ ⎣S ( A P) A R
4.1 连杆的受力和平衡方程
机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这里将机器人的 连杆当成刚体，以其中一个连杆为对象对其进行静力分析， 连杆i及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系如下图。
{i}
ci i
•
{i＋1}
Mi+1
r
i +1 i
•
-fi+1
•
Mi fi
P
fi+1
-Mi+1 mig