空间的角度与距离(附答案)

《普通测量学》习题集答案一、填空题1、确定点的空间位置需要三个量，即 平面位置 和 高程 。

2、测量工作的基本原则是 从整体到局部 、 先控制后碎部 、 步步有检核 。

3、确定地面点位的基本要素是 角度 、 距离 、 高 程 。

4、确定地面点位外业要观测的三个基本元素是（ 角度 ）、（ 距离 ）、（ 高差 ）。

5、我国的国家统一平面坐标系采用的是（ 高斯平面直角 ）坐标系。

6、国家统一划分六度投影带第19带的中央子午线是东经（ 111度 ）。

7、地面点到 大地水准面 的铅垂距离称之为该点的绝对高程；相对高程是指地面点到（ 假定水准面 ）的铅垂距离。

8、水准测量中，所采用的校核方法是（ 计算检核 ）、（ 测站检核 ）、（ 成果检核 ）；而每站校核的方法通常采用（ 双面尺法 ）和（变动仪器高） 法进行。

9、 在水准测量中，、前后视距相等主要是消除（ 仪器校正后残差 ）误差和（ 地球曲率和大气折光 ）误差。

10、在水准测量中，转点的作用是 传递高程 。

11、当闭合或附合水准测量的闭合差在允许范围以内时，应将闭合差按测站数或距离 成 正比例 的原则，以 反 符号调整到各测段高差上去。

12、附和水准路线高差闭合差计算公式为()h f h H H =--∑测终始13、水准仪后视点高程为m ，后视读数为 m ，水准仪的视线高为 100 。

14、如果测站高差为负值，则后视立尺点位置 高 于前视立尺点位置。

15、某闭合水准路线各测段的高差实测值分别为：+m ；m ；+m ，其高差闭合差为（ ）。

16、已知B 点高程为m ，A 点到B 点的高差为：m ，则A 点的高程为（ ）。

17、经纬仪对中的目的是（ 把仪器中心安置在测站点的铅垂线上 ）、整平的目的是（ 使仪器竖轴竖直、水平度盘水平 ）。

18、水平角的观测方法主要有（ 测回法 ）和（ 方向观测法 ）两种方法。

19、经纬仪的安置工作包括 对中 、 整平 两项内容。

《建筑工程测量》习题参考答案项目1（16页～17页）一、名词解释：1、测量学:测量学是研究地球的形状和大小以及确定地面点空间位置的科学。

它的内容包括测定和测设两部分。

测定是指使用测量仪器和工具，通过测量和计算，得到一系列测量数据再，把地球表面的形状缩绘成地形图，供经济建设、国防建设及科学研究使用。

测设（放样）是指用一定的测量方法和精度，把图纸上规划设计好的建（构）筑物的位置标定在实地上，作为施工的依据。

2、绝对高程：就是地面点到大地水准面的铅垂距离，一般用H表示。

3、地形测量:就是研究小范围地球表面形状的测量问题，是不顾及地球曲率的影响，把地球局部表面当作平面看待来解决测量问题的理论方法。

4、工程测量:就是研究各种工程在规划设计、施工放样、竣工验收和运营中测量的理论和方法。

5、直线比例尺:为了便于应用，通常在地形图的正下方绘制一图示比例尺。

由两条平行线构成，并把它们分成若干个2cm长的基本单位，最左端的一个基本单位分成10等分。

图示比例尺上所注记的数字表示以米为单位的实际距离。

6、水准面:水是均质流体，而地球表面的水受重力的作用，其表面就形成了一个处处与重力方向垂直的连续曲面，称为水准面。

7、大地水准面:人们设想将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，这个曲面称为大地水准面。

8、地理坐标:地面点在球面上的位置用经度和纬度表示的，称为地理坐标。

按照基准面和基准线及求算坐标方法的不同，地理坐标又可分为天文地理坐标和大地地理坐标两种。

9、大地测量:研究地球的形状和大小，解决大范围的控制测量和地球重力场问题。

近年来随着空间技术的发展，大地测量正在向空间大地测量和卫星大地测量方向发展和普及。

10、相对高程：在个别的局部测区，若远离已知国家高程控制点或为便于施工，也可以假设一个高程起算面（即假定水准面），这时地面点到假定水准面的铅垂距离，称为该点的假定高程或相对高程。

二、填空题：1、测量工作的基本内容有距离测量、角度测量和高差测量。

重庆八中2024——2025学年度(上)高三年级入学适应性训练地理试题一、单项选择题(15小题,每题3分,共45分)我国自主建设的天宫空间站在离地面400~450km 的轨道上向东绕地运行，其环绕地球一周需要90分钟。

图示意某时刻天宫空间站在轨位置情况。

据此完成下面小题。

1.天宫空间站（A.不属于人造天体C.白昼比地面上）长 B.运行于大气上界D.角速度为4°/分钟2.据图推算，天宫空间站运行至轨道最南点大概还需要（）A.5分钟B.8分钟C.10分钟D.15分钟3.天宫空间站的宇航员可观察到（A.美丽的流星雨C.蔚蓝色的天）空B.月相圆缺变化D.太阳西升东落2.A 【答案】1.D【解析】【1题详解 3.B 】天宫空间站基本按天体力学规律运行，属于人造天体，A 错误；天宫空间站在离地面400~450km 的轨道上绕地运行，还没到达大气上界，B 错误；其环绕地球一周需要90分钟，因此其昼夜交替周期短，白昼比地面上短，角速度为4°/分钟，C 错误，D 正确。

故选D 。

【2题详解】天宫空间站运动角速度为4°/分钟。

读图可知，天宫空间站轨道最南点位于150°E 经线上，现在天宫空间站位于130°E 附近，距离最南点还差20°，还需要5分钟，A 正确，BCD 错误，故选A 。

【3题详解】天宫空间站向东绕地运行，太阳东升西落，D 错误；天宫空间站大气十分稀薄，看不到美丽的流星雨和蔚蓝色的天空，AC 错误；由于空间站和太阳与月球相对位置的变化，可以看到月相圆缺变化，B 正确。

故选B 。

【点睛】天体是宇宙间的物质存在形式，如恒星、星云、行星、卫星、彗星、流星体、星际物质等均是天体，但天体的一部分不能单独称为天体，在宇宙空间基本上按照天体力学规律运行的各种人造物体属于人造天体。

图示意寒武纪至新近纪生物多样性和地表温度的变化。

完成下面小题。

4.图中（）A.三叠纪至新近纪生物种类明显递增C.白垩纪后期裸子植物种类大量消失B.二叠纪是爬行类动物的繁盛时期D.物种大灭绝与地表温度变化无关5.地质学者在皖南山区的上溪群地层中发现了大量寒武-奥陶纪的水母等古生物化石。

最新版测量学课后答案第⼀章：绪论1. 名词解释：测量学、测定、测设、⽔准⾯、地球椭球⾯、绝对⾼程、相对⾼程、6°带、⾼斯平⾯直⾓坐标、参⼼坐标系、地⼼坐标系、正⾼、⾼。

(1)测量学是研究地球的形状和⼤⼩以及确定地⾯、⽔下及空间点位的科学。

（2）测定是指⽤测量仪器对被测点进⾏测量、数据处理，从⽽得到被测点的位置坐标，或根据测量得的数据绘制地形图。

（3）测设是指把设计图纸上规划设计好的⼯程建筑物、构筑物的位置通过测量在实地标定出来。

（4）⽔准⾯是由静⽌海⽔⾯并向⼤陆、岛屿延伸⽽形成的不规则的闭合曲⾯。

（5）地球椭球⾯是把拟合地球总形体的旋转椭球⾯。

（6）绝对⾼程是指地⾯点沿垂线⽅向⾄⽔准⾯的距离。

（7）相对⾼程是指选定⼀个任意的⽔准⾯作为⾼程基准⾯，地⾯点⾄此⽔准⾯的铅垂距离。

（8）6°带，即从格林尼治⾸⼦午线起每隔经差6°划分为⼀个投影带。

（9）⾼斯平⾯直⾓坐标：经投影所得的影响平⾯中，中央⼦午线和⾚道的投影是直线，且相互垂直，因此以中央⼦午线投影为X轴，⾚道投影为Y轴，两轴交点为坐标原点，即得⾼斯平⾯直⾓坐标系。

（10）参⼼坐标系是以参考椭球的⼏何中⼼为基准的坐标系。

（11）地⼼坐标系是以地球质⼼为原点建⽴的空间直⾓坐标系，或以球⼼与地球质⼼重合的地球椭球⾯为基准⾯所建⽴的坐标系。

（12）正⾼是指地⾯点到⽔准⾯的铅垂距离。

（13）⾼是指地⾯点沿法线⾄地球椭球⾯（或参考椭球⾯）的距离，称为该点的⾼。

2. 测量学主要包括哪两部分容？⼆者的区别是什么？测量学主要包括测定和测设两部分容；区别：测定是⽤测量仪器对被测点进⾏测量根据测量得的数据绘制地形图，⽽测设是指把设计图纸上设计好的坐标实地标定出来。

3. 简述Geomatics的来历及其含义。

来历：⾃20世纪90年代起，世界各国将⼤学⾥的测量学专业、测量学机构好测量学杂志都纷纷改名为Geomatics。

Geomatics 是⼀个新造出来的英⽂名词，以前的英⽂词典中找不到此词，因此也没有与之对应的汉译名词。

第五单元确定位置第1课时根据方向、角度和距离确定物体的位置【基础训练】一、选择题1．张华从甲地出发，到南偏东50°方向1200米处的乙地办事，办完事张华沿原路返回，应从乙地沿（）到达甲地。

A．北偏西50°方向走1200米B．北偏西40°方向走1200米C．南偏西50°方向走1200米D．南偏西40°方向走1200米2．以教学楼为观测点，图书馆在北偏西30°的方向上，下图正确的是（）。

A．B．C．3．佳华在媛媛的东偏南30方向500m处，那么媛媛在佳华的（）。

A．东偏南30方向500m处B．南偏东60 方向500m处C．北偏西30方向500m处D．西偏北30方向500m处4．图书馆在操场的（）方向。

A．北偏东40°B．北偏西40°C．北偏西50°D．北偏东50°5．甲从A点出发向北偏东60°方向走了30米到达B点，乙从A点出发向西偏南30°方向走了40米到达C点，那么B、C两点之间的距离是（）。

A．70米B．30米C．10米二、填空题6．我会填。

以小猫为中心，鱼在小猫的北偏（）（）°的方向上，老鼠在小猫的正（）方向上。

7．（1）小红从家先向( )偏( )( )方向行( )米，再向( )方向行( )米到学校（2）小亮从家先向( )方向行( )米，再向( )偏( )( )方向行( )米到学校。

8．确定物体的位置需要知道( )和( )两个条件。

9．如图，淘气从家向( )走( )米到少年宫，再向( )走( )米到学校．10．下面是利民镇的平面图，以镇政府为观测点。

（1）医院在镇政府的北偏( )55︒方向800米处。

（2）敬老院在镇政府的南偏( )30︒方向( )米处。

（3）菜场在镇政府的南偏( )45︒方向( )米处。

（4）学校在镇政府的北偏( )60︒方向( )米处。

三、判断题11．李婷面向东站立，向右转50︒后所面对的方向是东偏北50︒。

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。

[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。

[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。

［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。

［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。

测量员理论考试-2(总分100, 做题时间90分钟)一、判断题1.图纸上建筑物的位置通常用角度、距离和高度来表示。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确2.地面坡度越陡，等高线平距越大。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确3.自动安平水准仪在抄平时，只用圆水准盒粗略整平仪器，不需要用微倾螺旋精确调平符合水准管，借助仪器中的“补偿装置”，即可准确读出水平视线的尺读数。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确4.测量中的读数误差与测量者的技术熟练程度、读数窗的清晰度及读数系统本身即为构造有关，对于分微尺读数系统，分微尺最小倍值为t，则读数误差m±0.5t。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:错误5.直线精密丈量方法要求每尺段应进行5次读数，以减小误差，且在丈量前和丈量后，应使用仪器测定每尺段的高差，并记录丈量时的温度。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:错误6.控制网中控制点的坐标或高程是由起算数据和观测数据经平差计算得到的。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确7.大平板仪由平板部分、光学照准仪和若干附件组成。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确8.距离交会法适用于场地平坦、量距方便，且控制点离待测设点的距离不超过一整尺长的地区。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确9.国产的气泡倾斜仪灵敏度为2"，总的观测范围为2°，仅适用于较大倾角和小范围的局部变形测量。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:错误10.建筑施工质量测量作业的原则是：先整体后局部，高精度控制低精度。

( )SSS_JUDGEMENT正确错误分值: 1答案:正确二、单项选择题每道题下面有A、B、C、D四个备选答案。

教学设计第二节经典时空观与相对论时空观整体设计经典力学是在研究宏观物体的低速（与光速相比)运动时总结出来的，对于微观粒子和高速运动的宏观物体经典力学不适用。

当光的电磁本质被揭示出来以后，对光在空间的传播问题的研究和思考，引发了物理学的一场革命,导致了相对论的建立，改变了我们对时间和空间的认识.那么相对论给出的时空观是怎样的呢？教学难点经典时空观与相对论时空观的主要区别.教学重点1。

知道狭义相对论的实验基础、基本原理和主要结论。

知道同时的相对性、长度的相对性、时间间隔的相对性.2。

了解经典时空观与相对论时空观的主要区别。

体会相对论的建立对人类认识世界的影响.教学方法质疑探究、讨论课时安排1课时三维目标知识与技能1。

了解伽利略相对论原理，知道时空观与参考系的联系。

2。

了解经典时空观及其基本推论，知道牛顿引入绝对时空观的原因.3.了解狭义相对论的理论基础与狭义相对论时空观的几个推论，知道相对论时空观对人们认识世界的影响。

4。

知道经典时空观与相对论时空观的主要区别.过程与方法1.通过对参考系和运动的“讨论与交流"，认识惯性系的概念与伽利略相对性原理。

2.了解绝对时空观与实验事实的矛盾.3.通过了解爱因斯坦创立狭义相对论的过程，学习创立科学理论的基本方法--“提出假设”.4。

通过“讨论与交流”理解同时的相对性.5。

对比经典时空观的推论与相对论时空观的推论,认识经典时空观与相对论时空观的区别.情感态度与价值观1.通过“讨论与交流"活动,培养学生的独立思考能力、逻辑分析能力、口头表达能力和合作学习的精神。

2.通过了解时空观的变革，从中认识物理学的发展和变革，体会相对论对人类认识世界的影响,感受物理学的发展对推动社会的作用.3.感受科学家客观求实、理性追求、批判创新的精神和富有创造性的想象力，启发学生勇于质疑、富于想象，培养思维的多向性和发散性。

4。

通过了解时空观的变革，使学生认识到自然界是可以被人认识的，科学是认识自然最有效的途径,科学对自然界有解释和预见的功能，科学知识具有想对的稳定性并不断发展和进步，从过程的意义来看，科学的本质就是探究,是不断地追求真理和不断地修正错误，不断地创新。

专题01空间角度与距离归类目录热点题型归纳【题型一】线面角基础 (1)【题型二】二面角基础 (4)【题型三】异面直线所成的角 (7)【题型四】给角求角（值）1：线面角 (10)【题型五】给角求角（值）2：二面角 (12)【题型六】探索性动点型1：线面角 (15)【题型七】探索性动点型2：二面角 (17)【题型八】翻折中的角度 (20)【题型九】角度范围与最值 (22)【题型十】距离与长度（体积） (26)培优第一阶——基础过关练 (32)培优第二阶——能力提升练 (37)培优第三阶——培优拔尖练 (42)【题型一】线面角基础【典例分析】如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN BM ∥，3AN =，1BM =，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点．(1)求证：CD ∥平面PBM ；(2)求证：平面ANMB ⊥平面NMP ；(3)求直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，由线面平行的判定定理可得DQ ∥平面BMP ，CQ ∥平面BMP ，再由面面平行的判定定理可得平面CDQ ∥平面BMP 及性质定理可得答案；（2）过B 作BE MN ∥交AN 于E ，利用222AB AE BE =+得AE BE ⊥，由线面垂直的判定定理可得AN ⊥平面NMP ，面面垂直的判定定理可得答案；（3）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABP 的法向量，由线面角的向量求法可得答案.（1）如图，取MN 中点Q ，连CQ ，DQ ，∵DQ 为中位线，∴DQ MP ∥，又DQ ⊄平面BMP ，MP ⊂平面BMP ，∴DQ ∥平面BMP ，同理，在梯形ABMN 中，CQ MB ∥，又CQ ⊄平面BMP ，MB ⊂平面BMP ，∴CQ ∥平面BMP ，且DQ ⊂平面CDQ ，CQ ⊂平面CDQ ，DQ CQ Q ⋂=，∴平面CDQ ∥平面BMP ，又CD ⊂平面CDQ ，所以CD ∥平面BMP．（2）如上图，在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，在AEB △中，得2AE =，2BE =，AB =，则222AB AE BE =+，得AE BE ⊥，∵BE MN ∥，∴AN NM ⊥，又由已知条件AN NP ⊥，NM NP N ⋂=，,⊂NM NP 平面NMP ，故AN ⊥平面NMP ，又AN ⊂平面ANMB ，∴平面ANMB ⊥平面NMP ．（3）∵PMN 为等腰三角形，∴DM NP ⊥，又因为AN ⊥平面MNP ，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图：可得()0,0,0D ，()1,0,0P ，()1,0,0N -，()M ，()1,0,3A -，()B，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，()2AB =-，()2,0,3AP =-，根据00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n AB n AP ，得20230⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x z x z ，解得2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，122DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CD 与平面ABP 所成角为θ，则sin cos ,3142220CD n n CD n θ⋅==⋅-++=，故直线CD 与平面ABP所成角的正弦值sin θ=直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，[0.]2πϑ∈）m n ，是平面法向量121212222222111222|x x +y +|sin |cos a |=+y +z ++y z z b x y z θ=，x 【变式训练】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，(1)证明：//EF 平面PCD .(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC =∠︒，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)35【分析】（1）取PD 的中点G ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面DEF 的法向量，再求线面角.（1）证明：取PD 的中点G ，连接CG ，EG .因为E ，F 分别为PA ，BC 的中点，所以EG AD ∥，1=2EG AD ，又底面ABCD 为菱形，所以CF AD ∥，2CF AD =1所以EG CF ∥，EG CF =，所以四边形EGCF 为平行四边形，所以EF CG ∥.又CG ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（2）因为PD ⊥平面ABCD ，120ADC =∠︒，所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.因为2,4AD PD ==，所以()0,0,0D ，)F，()0,2,0A ，()0,1,2E ，则()0,1,2DE =，)DF =，)2,0AF =-，设平面DEF 的法向量(),,m x y z =，则200y z +=⎧⎪=，令1z =，得()0,2,1m =-，设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ，则sin m AFm AF θ⋅===【题型二】二面角基础【典例分析】如图，在四棱锥P ABCD -中，ABP △是直角三角形，90APB ∠=︒，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60BAD BAP ∠=∠=︒，24AB CD ==.(1)证明：AB DP ⊥；(2)若平面ABCD ⊥平面ABP ，求平面ABP 与平面CDP 的夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，取AE 中点F ，由题可得AB DF ⊥，AB FP ⊥，进而可得AB ⊥平面DFP ，即得；（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法即得.（1）如图，取AB 中点E ，连接DE ，EP ，取AE 中点F ，连接DF ，FP ，由题意可知，ADE 和AEP △为全等的等边三角形.因为AB DF ⊥，AB FP ⊥，且DF FP F ⋂=，所以AB ⊥平面DFP ，又因为DP ⊂平面DFP ，所以AB DP ⊥.（2）因为平面ABCD ⊥平面ABP ，且DF AB ⊥，所以DF ⊥平面ABP .以F 为坐标原点，FP ，，FD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0P ，(3D ，(3C ，(3,0,3PD =-，(3,3PC =，平面ABP 的一个法向量(3FD =.设平面CDP 的一个法向量(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3303230z y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()1,0,1n =，所以2cos ,2FD n FD n FD n ⋅==⋅，所以平面ABP 与平面CDP 的夹角的正弦值为22.【提分秘籍】基本规律二面角（法向量的方向角，[0.]ϑπ∈）n 是平面法向量121212222222111222|x x +y +||cos ||cos m |=+y +z ++y z z n x y z θ=，x【变式训练】如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)255【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；（1）证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，又AB Ì平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以AC =又4SA SC ==，所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB 平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD .（2）解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =，所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则有()()()()((0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,,A B C D S E ，易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-，设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩0220y x y ⎧=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则)m =，设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则cos m n m n θ⋅==⋅u r r u r r SAC 与平面EAC所成夹角的余弦值为.【题型三】异面直线所成的角【典例分析】如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BA C △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11DC 上的点，且1DE D F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF所成的角的余弦值为10，求a 的值.【答案】(1)证明见解析；(2)4．【分析】（1）由正方体性质证明1B D ⊥平面11A BC ，1B D 与平面11A BC 的交点即为重心O ，从而证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得a 值．(1)设1111A C B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，则111DD A C ⊥，又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,AC A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC V 的中心也是重心，所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意22122cos ,1114a a DM EF DM EF DM EF a a -+⋅<>===+⨯++解得：24a =（负值舍去）．【提分秘籍】基本规律（1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角(0.]2πϑ∈）121212222222111222|x x +y +|cos |cos a |=+y +z ++y z z b x y z θ=，x【变式训练】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）设1C B 与1B C 的交点为E ，连接DE ，由三角形中位线定理可证得1//DE AC ，从而可得1//AC 平面1CDB ；（2）由1//DE AC 可得CED ∠为1AC 与1B C 所成的角（或其补角），在CDE △中，解三角形可求得cos CED ∠，即为所求．(1)证明：设1C B 与1B C 的交点为E ，连接DE ，∵四边形11BCC B 为正方形，∴E 是1BC 的中点，又D 是AB 的中点，∴1//DE AC ．又DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1//AC 平面1CDB ．(2)解：∵1//DE AC ，∴CED ∠为1AC 与1B C 所成的角（或其补角）．在CDE △中，111111,22222ED AC CD AB CE CB ======，∴2222221222cos 23CE DE CD CED CE DE ⎛⎫⎫+- ⎪⎪+-∠===⋅．∴异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为23．【题型四】给角求角（值）1：线面角【典例分析】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD时，求二面角F EA D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PF PC λ=，其中01λ≤≤，利用已知条件求出λ的值，然后利用空间向量法可求得二面角F EA D --的余弦值.(1)证明：因为AB AD ⊥，//BC AD ，则BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥，PA AB A =，PA 、AB Ì平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PBC ⊥平面PAB .(2)解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,4,0D 、()0,2,1E 、()002P ,,，设()()2,2,22,2,2PF PC λλλλλ==-=-，()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--，其中01λ≤≤，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =，由已知可得cos ,u BF u BF u BF⋅<>==⋅，解得12λ=，所以，F 为PC 的中点，即()1,1,1F ，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()0,2,1AE =，()1,1,1AF =，则200m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=++=⎩，取1y =，可得()1,1,2m =-，易知平面ADE 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以，cos ,m n m n m n⋅<>==⋅F EA D --的平面角为钝角，故二面角F EA D--的余弦值为.【变式训练】如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC BAD ∠=∠=︒，F 为PA 中点，PD =112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形．(1)求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角A BC P --的大小；(3)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为30°？若存在，求出FQ 的长；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)4π(3)存在，FQ =【分析】（1）首先以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量1n ，利用0AP n ⋅=，即可证明线面垂直；（2）分别求平面BCP 和ABC 的法向量2n 和3n ，利用公式23cos ,n n <>，即可求解；（3）首先利用向量共线，设点)11222Q λλλ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，，，利用线面角的向量公式，即可求得λ的值.(1)证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，()000D ，，，()100A ，，，()110B ，，，()020C ，，，(022E ，，(002P ，，，12022F ⎛ ⎝⎭，，，则()120AC =-，，，平面DEF 的一个法向量()1n x y z =，，，(022DE =，，，12022DF ⎛= ⎝⎭，，，由1122012022n DE y z n DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =，得()12222n =-，，，((112222020AC n ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=，1AC n ∴⊥，//AC ∴平面DEF ；(2)设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =，(1,1,2PB =-，()1,1,0BC =-uu u r，由22200n PB x y z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，解得(22n =设平面ABC 的一个法向量()30,0,1n =，2323232cos ,2n n n n n n ⋅∴<>==由图可知二面角A BC P --为锐二面角，二面角A BC P --的大小为4π；(3)设存在点Q 满足条件，由(022E ，，12022F ⎛ ⎝⎭，，，设()01FQ FE λλ=≤≤，1212(,,)(,2,)2222Q Q Q x y z λ-=-整理得)211222Q λλλ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，，，)2112122BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为30°，2222511sin |cos ,|||62||||219107BQ n BQ n BQ n λπλλ-⋅∴=<>===-+，则21λ=，由01λ≤≤，得1λ=，即点和E 点重合，故在线段EF 上存在一点Q ，且19FQ EF ==【题型五】给角求角（值）2：二面角【典例分析】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PD 上.(1)若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；(2)若2PA =，24PD AB ==，若二面角E AC B --的大小为56π，试求:PE ED 的值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE ，利用中位线的性质可得出//OE PB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PE PD λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合λ的取值范围可求得λ的值，即可得解.（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 为矩形，O ∴为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，则//OE PB ，因为OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，因此，//PB 平面ACE .（2）解：由题设PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥，所以，AD ==，则()C 、()D 、()002P ,,、()0,0,0A ，设()()2,2PE PD λλλ==-=-，其中01λ≤≤，则(),22AE AP PE λ=+=-，()AC =，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则()20220m AC x m AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y λ=-，可得))1,m λλ=--，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，由题可得cos ,2m nm n m n⋅<>===⋅，因为01λ≤≤，解得23λ=，此时2PE ED=.【变式训练】如图，在四棱锥E ABCD -中，BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3BE =，AE =C ，D 都在平面ABE 的上方.(1)证明：平面BCE ⊥平面ABCD ；(2)若BC BE ⊥，且平面CDE与平面ABE 所成锐二面角的余弦值为46，求四棱锥E ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)2【分析】(1)先证AB ⊥平面BCE ，再证明平面BCE ⊥平面ABCD .(2)设AD 长为t ，建立空间直角坐标系，计算两个待求平面的法向量，代入公式求出t 的值，然后计算四棱锥的体积.(1)//BC AD AB BC AB AD ⎫⇒⊥⎬⊥⎭，又22210AB BE AE +==所以AB BE ⊥，BC BE B =，所以AB ⊥平面BCE ，又AB Ì平面ABCD所以，平面BCE ⊥平面ABCD .(2)因为BC BE ⊥，结合(1)问易得AB BC BE 、、两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系设AD =t ()0t >，则：()001C ，，，()300E ，，，()01D t ，，所以()301CE =-，，，()011CD t =-，，，设平面CDE 的法向量为()n x y z =，，由00CE n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()3010x z y t z -=⎧⎨+-=⎩令3z =则()1333n t =-，，又CB ⊥平面ABE 所以取平面ABE 的法向量为()001m =，，cos n m n m n m ⋅===，解得3t =或1t =-(舍).即3AD =，所以四边形ABCD 的面积ABCD S ，由题知BE AB BE BC ⊥⊥，，AB BC B ⋂=，BE ∴⊥平面ABCD所以BE 为四棱锥E ABCD -的高，所以四棱锥E ABCD -的体积为1123233ABCD V S BE =⋅=⨯⨯=.故四棱锥E ABCD -的体积为2.【题型六】探索性动点型1：线面角【典例分析】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，E 是线段1DD 上的动点．(1)求证：AC BE ⊥；(2)是否存在点E ，使得直线AC 与平面1BC E 所成角为45°，若存在，求出DE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，74DE =.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.（1）如图，连接1D B ，DB ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵1D D ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴1D D AC ⊥．又AC DB ⊥，1D D DB D =，∴AC ⊥平面1D DB ，又BE ⊂平面1D DB ，AC BE∴⊥（2）假设存在这样的点E ，使得直线AC 与平面1BC E 所成角为45°．设()02DE λλ=≤≤，如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，()0,0,E λ．∴()1,1,0AC =-，()1,1,BE λ=--，()11,0,2BC =-．设平面1BC E 的法向量为(),,m x y z =，则120,0,m BC x z m BE x y z λ⎧⋅=-+=⎨⋅=--+=⎩令2x =，则1z =，2y λ=-．∴平面1BC E 的一个法向量为()2,2,1m λ=-．∴()2222sin 45cos ,24212m AC m AC m ACλλ⋅-+-︒====+-+⨯，解得74λ=．∴存在这样的点E ，当74DE =时，直线AC 与平面1BC E 所成角为45°．【变式训练】在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，AB AD ⊥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，6PA =2PC =，E 是PB 上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，E 点为PB 上靠近B 点的三等分点【分析】（1）首先证明BC ⊥面PAC ，再结合线面垂直的判断定理，证明PC ⊥面ABCD ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，求平面EAC 的法向量n ，利用1sin cos ,3n AP θ=<=>，即可求得λ的值.(1)在ADC 中：1AD DC ==，90ADC ∠=︒，所以2AC =在ABC 中：2AC ，2AB =，45BAC ∠=︒，由余弦定理有：222cos452BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=2222BC AB AC BC ∴=+，所以90ACB ∠=︒，所以BC AC⊥①又因为BC PA ⊥②，由①②，PA AC A =，所以BC ⊥面PAC ，所以BC PC ⊥③.在PAC △中：AC =2PC =，PA PC AC ⊥④，由③④，AC BC C =，所以PC ⊥面ABCD .(2)以A 为原点，以AD ，AB ，竖直向上分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则有()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()1,1,2P ，设()()1,1,2,,2BE BP λλλλλ==-=-，则(),2,2AE AB BE λλλ=+=-，()1,1,0AC =，()1,1,2AP =，设(),,n x y z =r为面EAC 的法向量，则有：00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得(),,1n λλλ=--，设所求线面角为θ，则有in s ,s co AP n θ=><23AP nAP n⋅===｜｜｜｜，解得23210λλ+-=，所以13λ=.所以E 点为PB 上靠近B 点的三等分点，满足条件.【题型七】探索性动点型2：二面角【典例分析】如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点.【分析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）假设存在点E 满足题意，根据题中条件，先求出AD 的长，再以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，得到()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，分别表示出平面PEB 与平面SAD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出13λ=，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点，所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点，所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意.在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高，设AD m =，则2SP m =，ABCD S m =矩形，所以113323S ABCD ABDD V S SP m -=⋅=⋅=矩形，所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()11100n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x ，则)1,,1n λ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r，所以121212cos ,n n n n n n ⋅==10=，因为01λ≤≤，所以13λ=，所以存在点E ，位于AS 的靠近A点的三等分点.【变式训练】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且正方形ABCD 边长为2，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°.【答案】（1）证明见解析；（2）点F 为BC 中点.【分析】（1）先根据线面垂直性质与判定定理得AE ⊥BC ，再根据等腰三角形性质得AE ⊥PB ，最后根据线面垂直判定定理得结果；（2）先建立空间直角坐标系，利用F 坐标，结合空间向量数量积求二面角，再根据条件列方程解得结果.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∵ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又PA ∩AB =A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴AE ⊂平面PAB ，∴AE ⊥BC ，∵PA =AB ，E 为线段PB 的中点，∴AE ⊥PB ，又PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ，∴AE ⊥平面PBC ；（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-uu u r，设F (2，λ，0)(0≤λ≤2)，∴(2,,0)AF λ=，设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩，令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩，∴(,2,)n λλ=-，设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2222200x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩，∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴223cos302224m n m nλλ⋅+︒===⨯+u r r u r r ，解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°.【题型八】翻折中的角度【典例分析】如图（一）四边形ABCD 是等腰梯形，DC AB ∥，2DC =，4AB =，60ABC ∠=︒，过D 点作DE AB ⊥，垂足为E 点，将AED 沿DE 折到A ED '位置如图（二），且A C 22'=．(1)证明：平面A ED '⊥平面EBCD ；(2)已知点P 在棱A C '上，且12A P PC '=，求二面角C EP D --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4214【分析】（1）根据勾股定理证明A E EC '⊥，再根据线面垂直的判定证明A E '⊥面EBCD ，进而得到平面A ED '⊥平面EBCD ；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系E xyz -，分别求得平面CEP 和平面EPD 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，DE AB ⊥，∴DE AE ⊥，∴A E DE '⊥2DC =，4AB =，60ABC ∠=︒，∴3BE =，2BC AD ==，3DE =在EBC 中，知7EC =，∵1A E AE '==，∵A C 22'=，∴222A E EC A C ''+=A E EC '⊥，EC ，DE ⊂面EBCD ，EC DE E =，∴A E '⊥面EBCD ∵A E '⊂面A ED '，∴面A ED '⊥面EBCD(2)由（1）知A E '⊥面EBCD ，ED EB ⊥∴以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E xyz-∴()0,0,1A '，()3,0D ，()3,0C ，()2,3,1CA '=--设∵12A P PC '=，∴23CP CA ='，∴23CP CA '=，∴23233EP EC CP ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭设()1111,,x n y z =是面CEP 的法向量，∴1100n EP n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111112203320x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令1x =12y =-，10z =，)12,0n =-设()2222,,n x y z =是面DEP 的法向量，∴2200n EP n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22222200x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴20y =令21z =-，∴21x =，()21,0,1n =-，cos θ==由图知，二面角C EP D --的余弦值为锐二面角，余弦值14【变式训练】如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点且满足//DE BC ，记DEBCλ=.将△ADE 沿DE 翻折到△MDE 的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC的中点．(1)当EN ∥平面MBD 时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B -MD -E 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B MD E --的正弦值大小．【答案】(1)12λ=(2)【分析】（1）首先取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，再结合线面平行的性质即可得到12λ=（2）利用空间向量法求解即可.(1)取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，因为MN CN =，MP BP =，所以NP ∥BC ，又DE ∥BC ，所以NP ∥DE ，即N ，E ，D ，P 四点共面，又EN ∥平面BMD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD ＝DP ，所以EN ∥PD ，即NEDP 为平行四边形，所以NP ＝DE ，则DE ＝12BC ，即λ＝12.(2)取DE 的中点O ，连接MO ，则MO ⊥DE ，因为平面MDE ⊥平面DECB ，平面MDE ∩平面DECB ＝DE ，且MO ⊥DE ，所以MO ⊥平面DECB ，如图建立空间直角坐标系，不妨设2BC =，则()M ，(),0,0D λ，)()1,0B λ-，所以(),0,MD λ=，)()11,0DB λλ=--，设平面BMD 的法向量为(),,m x y z =，则0(1))0MD m x z DB m x y λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，即,x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令x =)1,1m =-.又平面EMD 的法向量()0,1,0n =，所以cos ,m n m n m n⋅==即随着λ值的变化，二面角B MD E --的大小不变．且25sin ,5m n ==.所以二面角B MD E --.【题型九】角度范围与最值【典例分析】在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面VAB .(1)求证：平面VBC ⊥平面VAB ；(2)若VA VB ⊥，2AB BC =，求平面VCD 与平面VAB 所成锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理作答.（2）在平面VAB 内过V 作VA AB ⊥于O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，有BC AB ⊥，因平面ABCD ⊥平面VAB ，平面ABCD 平面VAB AB =，BC ⊂平面ABCD ，则BC ⊥平面VAB ，又BC ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面VAB .(2)在平面VAB 内过V 作VO AB ⊥于O ，而平面ABCD ⊥平面VAB ，平面ABCD 平面VAB AB =，则VO ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过O 作Ox AB ⊥，有,,Ox OB OV 两两垂直，以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =，则4CD =，又VA VB ⊥，设π(0)2BAV θθ∠=<<，于是有2cos VA θ=，sin sin 2VO VA θθ==，因此有(0,0,sin 2)V θ，2(4,2cos ,0)D θ-，2(4,2cos ,sin 2)DV θθ=-，而//DC OB ，直线DC的方向向量(0,1,0)a =，设平面VCD 的法向量为(,,)n x y z =，则242cos sin 200n DV x y z n a y θθ⎧⋅=-++=⎨⋅==⎩，令4z =，得(sin 2,0,4)n θ=，显然，平面VAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面VCD 与平面VAB 所成锐二面角大小为α，则有||cos |cos ,|||||n m n m n m α⋅=〈〉==π02θ<<，02πθ<<，0sin 21θ<≤，则cos α=≤sin 21θ=，即π4θ=时取“=”，cos 0α>，所以平面VCD 与平面VAB所成锐二面角的余弦值的取值范围是.【变式训练】1.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，2APD π∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面PCD l =．(1)求证：l ⊥平面PAD ；(2)设M 为l 上一点，求PC 与平面MAD 所成角正弦值的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)6【分析】（1）先由//AB CD 证得CD //平面PAB ，再由线面平行的性质得//l CD ，最后由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD 的法向量，求出PC ，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.(1)由题意知//AB CD ，因为AB Ì平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以CD //平面PAB ．因为平面PAB ⋂平面PCD l =，CD ⊂平面PCD ，所以//l CD ；因为CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ．又//l CD ，所以l ⊥平面PAD ；(2)取AD 中点O ，连接PO ，由△PAD 为等腰直角三角形知PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ．所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有()()()()0,1,0,0,1,0,0,0,1,2,1,0A D P C -，设PM t =，则(),0,1M t ，则有(),1,1AM t =，()0,2,0AD =，设平面MAD 的一个法向量(),,n x y z =，则有00n AM n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩．即020tx y z y ++=⎧⎨=⎩，令1x =有()1,0,n t =-，()2,1,1PC =-，设PC 与平面MAD 所成角为α，则sin cos ,n PC n PC n PCα⋅=<>=⋅令2t m +=，2t m =-，则sin α=当52m =即12t =时，sin α有最小值6，即PC 与平面MAD2.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥.(1)证明：BF DE ⊥；(2)求当面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥1E BDB -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)16.【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.(1)因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，AB Ì底面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为1111,A B AB BF A B ⊥∥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，1BB BF ⊂，平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B .所以1,,BA BC BB 两两垂直.以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.所以111(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2),(1,1,0),(0,2,1)B A C B A C E F .由题设(,0,2)(02)D a a ≤≤.（1）因为(0,2,1),(1,1,2)BF DE a ==--，所以0(1)211(2)0BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥；(2)设平面DFE 的法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,1),(1,1,2)EF DE a =-=--，所以m EF m DE ⎧⊥⎨⊥⎩，即0(1)20x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩.令2z a =-，则(3,1,2)m a a =+-.因为平面11BCC B 的法向量为(2,0,0)BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则22||63|cos |||||222142214m BA m BA a a a a θ⋅===⋅⨯-+-+.当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以min (sin )θ==112B D =，三棱锥1E BDB -的体积1111213226V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【题型十】距离与长度（体积）【典例分析】在矩形ABCD中，2==AD AB 点E 是线段AD 的中点，将△ABE 沿BE 折起到△PBE 位置（如图），点F 是线段CP 的中点．(1)求证：DF ∥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离．【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.(1)设PB 的中点为G 点，连接GF 和GE ，因为点G 、点F 分别为PB 和PC 的中点，所以GF BC ∥且12GF BC =，又DE BC ∥且12DE BC =，所以GF DE ∥且GF DE =，所以四边形GFDE 为平行四边形，所以DF GE ∥，又GE ⊂平面PBE ，DF ⊄平面PBE ，所以DF ∥平面PBE ；(2)由二面角P BE C --的大小为2π可知，平面PBE ⊥平面ABCD ，取BE 得中点O ，连接PO ，则PO BE ⊥，PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()()()()0,1,0,0,0,1,1,2,0,2,1,0A P C D ---，所以()()1,2,1211PC PD =--=--，，，，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r，则2020PC n x y z PD n x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-+-=⎩，令1x =则()1,1,3n =--，又()2,2,0AD =-，所以点A 到平面PCD 的距离为AD n d n⋅==.【提分秘籍】向量计算点到距离公式（棱锥等的高）方法一：直接法（直接做出高）方法二：等体积转化法方法三：建系向量计算法121212|x x +y +|d=||sin |||cos PA n |=|n|y z z PA PA θ=∙，规律【变式训练】1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，23BAC π∠=，D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，23AG AD =，过点G 作EF BC ∥，分别交AB ，AC 于点E ，F .(1)证明1A G EF ⊥；(2)若二面角1A A E F --的大小是3π，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】(1)证明见解析；6【分析】（1）先由1AA EF ⊥及AD EF ⊥证得EF ⊥平面11AA D D ，即可证明1A G EF ⊥；（2）建立空间直角坐标系，设1AA h =，分别求出平面1A AE 和1A EF 的法向量，由二面角1A A E F --的大小是3π解出h ，再计算体积即可.(1)由已知得1AA ⊥平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以1AA EF ⊥，又AB =AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥，又EF BC ∥，故AD EF ⊥.因为1AA ，AD 是平面11AA D D 内的两条相交直线，所以EF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1A G EF ⊥；(2)依题意23AG AD =，又EF BC ∥，所以22,33AE AB AF AC ==.由直棱柱性质和题设，11111,,D A D B D D 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AA h =，则111331313,0,0,,0,,,0,,,,2266A A h B h C h E h F h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(,,)m x y z =是平面1A AE 的法向量，()11130,0,,,33A A h A E h ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，11013033A A m zh A E m x y zh ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =(3,1,0)m =.设111(,,)n x y z =是平面1A EF 法向量，123130,,3EF A E h ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111110103EF n y A E m x y z h ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取13x =，则1(3,0,n h =，因为二面角1A A E F --的大小是3π，所以1cos ,2m n ==，解得h =所以三核柱111ABC A B C -的体积111122624ABC V S CC =⋅=⨯⨯⨯⨯=.2.ABCDE 中，已知AC BC ⊥，ED AC ∥，且22AC BC AE ED ====，DC DB =(1)求证：平面BCD ⊥平面ABC ；(2)线段BC 上是否存在点F ，使得二面角B AE F --的余弦值为3，若存在，求CF 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，65CF =【分析】（1）证面面垂直，先证其中一个平面内的直线AC 垂直另一个平面BCD ；（2）由第一问结论，建立合适的坐标系，用空间向量求解即可.(1)取AC 中点G ，连接EG，因为ED AC ∥，12CG AC ED ==，所以EG CD ∥，所以四边形EDCG 为平行四边形，所以EG DC ==又因为112AG AC ==，2AE =，所以222AG EG AE +=，所以AG EG ⊥，又因为CD EG ∥，所以AC CD ⊥.因为AC BC ⊥，BC ，CD 是平面BCD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BCD ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCD .(2)解法一：在平面BCD 内过点C 作BC 的垂线l ，因为AC ⊥平面BCD，所以l ､CA ，CB 两两相互垂直，故以C 为坐标原点.如图所示，建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，(D ，(E ，设在线段BC 上存在点()()0,,002F t t ≤≤，使二面角B AE F --22则(2AE =-，()2,2,0AB =-，()2,,0AF t =-设平面AEF 的法向量()1111,,n x y z =.则1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112020x y z x ty ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令12y =，则1x t =，)1222t z -=，所以)1222t n t ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则222222220220AE n x y AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即2222220220x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩不妨令21x =，21y =，20z =，所以()21,1,0n =所以()121221222222cos ,32222n n t n n n n t t ⋅+===⋅-⋅++.化简得：21568600t t -+=，解得65t =或103（舍去），故60,,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以65CF =.所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为23.解法二：取BC ､AB的中点O ､H ，连接OD ，OH ，因为DB DC =，O 是BC 中点，所以DO BC ⊥，又因为DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD 且交于BC ，所以DO ⊥平面ABC ，因为H 是AB 中点，即OH AC ∥，所以OH BC ⊥，故DO ，OH ，BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，OH ，OB ，OD uuu r为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(D，(E .设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使二面角B AE F --的余弦值为3，则(AE =-，()2,2,0AB =-，()2,1,0AF t =-+.设平面AEF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()111110210x y x t y ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令12y =，则11x t =+，)112t z -=，所以)112t n t ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.又因为12ED AC ∥，12OH AC ∥，所以OH DE ∥，所以四边形DEHO 为平行四边形，即EH DO ∥，因为DO ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以EH CH ⊥，又因为AC BC =，H 是AB 中点，所以CH AB ⊥，因为EH ，AB 为平面ABE 内的两条相交直线，所以CH ⊥平面ABE ，故CH 是平面ABE 的一个法向量，因为()1,1,0CH =，所以111cos ,3||CH CH CH n n n ⋅==⋅.化简得：2153870t t -+=，解得15t =或73（舍去），故10,,05F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以16155CF =+=，所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为3.解法三：取BC､AB 的中点O ､H ，连接OD ，OH ，因为DB DC =，所以DO BC ⊥，又因为DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD 且交于BC ，所以DO ⊥平面ABC .因为12ED AC ∥，12OH AC ∥，所以OH DE ∥，所以四边形DEHO 为平行四边形，即EH DO ∥，因为DO ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以EH CH ⊥，又因为AC BC =，H 是AB 中点，所以CH AB ⊥，因为EH ，AB 为平面ABE 内的两条相交直线，所以CH ⊥平面ABE ，假设在线段BC 上存在点F，使二面角B AE F --的余弦值为3，过F 作FM AB ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABE ，过M 作MN AE ⊥于点N ，连接NF ，则FNM ∠为二面角B AE F --的平面角.设()201FB x t =<≤，则FM BM ==，AM =，所以2NM x =-，在Rt FMN 中，NF ==所以cos 3MN FNM NF ∠===.化简得215440x x +-=，解得5x =或23-（舍去），即45FB =，所以625CF FB =-=，所以存在点F ，当65CF =时，二面角B AE F --的余弦值为3培优第一阶——基础过关练1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)35【分析】（1）取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，则由三角形中位线定理可得1//,2EG AD EG AD =，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF 为平行四边形，从而得//.EF CG 然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得,,DF DA DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，然后利用空间向量求解即可(1)证明：取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，因为E ，F 分别为PA ，BC 的中点，所以1//,2EG AD EG AD =，。

第七章万有引力与宇宙航行7.1行星的运动 ....................................................................................................................... - 1 -7.2万有引力定律 ................................................................................................................... - 6 -7.3万有引力理论的成就...................................................................................................... - 14 -7.4宇宙航行 ......................................................................................................................... - 21 -7.5相对论时空观与牛顿力学的局限性.............................................................................. - 30 -7.1行星的运动一、地心说和日心说开普勒定律1．地心说地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他星体都绕地球运动。

2．日心说太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

[注意]古代两种学说都是不完善的，因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运动，并且行星的轨道是椭圆，其运动也不是匀速率的。

鉴于当时人们对自然科学的认识能力，日心学比地心说更进一步。

空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。

通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。

本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。

一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。

常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。

在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。

余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。

2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。

通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。

常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。

（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。

可以通过点乘法计算向量之间的夹角。

（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。

可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。

3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。

通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。

三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。

二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。

常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。

对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。

欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。

高考空间尺度变化的考查地理学科是关于空间的学科，空间尺度变化是地理学科研究的特殊视角；提高对空间尺度的敏感性，能够根据不同空间尺度从不同角度对问题进行分析；空间尺度的变化意味着思考角度的变化。

空间尺度有大中小尺度，大尺度一般关注整体，忽略细节，注重“普适性”；小尺度一般关注“特殊性”，注重细部特征的探究。

如果一组题中多问出现同类型问题，那么基本上就是在考查空间尺度的变化，需要从空间尺度大小的角度来思考问题的差异。

一般情况下区位条件类的设问、分布特征类的设问最容易出现空间尺度变化的考查，设问特点都是最后的设问方向都是一样的，但前面的限定范围不一样，这时就要有非常的敏感性。

从这个角度考虑，我们平时在设置问题时就要有意识的从尺度变化角度训练学生的思维。

下面提供的题都是体现空间尺度由大到小变化进行思考，尺度越小，思考角度越细微，内容越“特殊”，越具体。

（2014年全国卷一）37.(22分)阅读图文资料，完成下列要求。

沙特阿拉伯人口主要集中在沿海和内陆绿洲地区。

21世纪初，该国甲地发现便于开采、储量丰富的优质磷酸盐矿(位置见下图)。

初期开采的矿石运往乙地加工。

2013年，该国在甲地附近筹建磷酸盐工业城，使其成为集开采、加工于一体的国际磷酸盐工业中心。

(1)分析沙特阿拉伯建设国际磷酸盐工业中心的优势条件。

(8分)(2)分析在甲地附近建设磷酸盐工业城需要克服的不利地理条件。

(8分)参考答案(1)沙特阿拉伯(靠近亚洲、非洲、欧洲市场)濒临海洋，产品运输方便；磷酸盐矿品位高，储量大，易开采；油气资源丰富，能源成本低；资金雄厚。

(2)高温干燥，淡水资源短缺，施工环境差；地处偏远地区，人口稀少，劳动力缺乏；地区开发历史短，工业与基础设施薄弱。

（2018年全国卷二）36．阅读图文资料，完成下列要求。

（24分）数据中心是用特定设备在互联网上传输、存储数据信息的场所。

数据中心的规模以设备运行耗能的多少来衡量，规模越大，运营成本越高。

2020年小升初数学专题复习训练—空间与图形图形与位置（2）知识点复习一．根据方向和距离确定物体的位置【知识点归纳】1．确定观察点，建立方向标；2．用量角器确定物体方向；3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置；4．找出物体具体位置，标上名称．【命题方向】例：（1）以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，距离是4千米．（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，距离是2千米（3）客轮在灯塔西偏北35°的方向上，距离是3千米．请画出客轮的位置．分析：（1）由图意可知：以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而A岛与灯塔的图上距离为4厘米，于是就可以求出A岛与灯塔的实际距离．（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而货轮与灯塔的图上距离为2厘米，于是就可以求出货轮与灯塔的实际距离．（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，而客轮与灯塔的实际距离是3千米，于是可以求出客轮与灯塔的图上距离，再据“客轮在灯塔西偏北35°的方向上”即可在图上标出客轮的位置．解：（1）以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，所以A岛与灯塔的实际距离为：4×1=4（千米）；（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，所以货轮与灯塔的实际距离为：2×1=2（千米）；（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，而客轮与灯塔的实际距离是3千米，所以客轮与灯塔的图上距离为：3÷1=3（厘米）；于是标注客轮的位置如下图所示：．故答案为：4点评：此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义．二．比例尺【知识点归纳】1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺分类：比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法：用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：500000001．（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式：图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 【命题方向】例1：图上6厘米表示实际距离240千米，这幅图的比例尺是（ ） A 、1：40000 B 、1：400000 C 、1：4000000 分析：比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺． 解：240千米=24000000厘米， 比例尺为6：24000000=1：4000000． 故选：C ．点评：考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 例2：把线段比例尺，改为数值比例尺是（ ）A 、110B 、1：100000C 、1：1000000解：因为10千米=1000000里面，则1里面：1000000里面=1：1000000；答：改成数值比例尺为1：1000000．故选：C．点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．三．图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）【知识点归纳】单位换算：在比例尺计算中要注意单位间的换算：1公里=1千米=1×1000米=1×100000厘米图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零；千米换厘米，在千的基础上再加两个零．【命题方向】例1：在比例尺是1：30000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.6厘米，一辆汽车按3：2的比例分两天行完全程，两天行的路程差是（）千米．A、672B、1008C、336D、1680．=33600000（厘米）；33600000厘米=336（千米）；故选：C．点评：此题应根据图上距离、比例尺和实际距离的关系，先求出全程，进而运用按比例知识进行解答即可．例2：一幅图的比例尺是1：5000000，下面图（ ）是这幅图的线段比例尺．分析：题干中的数值比例尺是已知的，可根据比例尺的概念（图上距离：实际距离=比例尺），把数值比例尺转换成线段比例尺即可得出答案．解：这幅图的比例尺是1：5000000，地图上1厘米的距离相当于地面上5000000厘米的实际距离． 因为5000000厘米=50千米，所以地图上1厘米的距离相当于地面上50千米的实际距离． 故选：C ．点评：注意：图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位．四．应用比例尺画图 【知识点归纳】 1．方法：在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在图纸上．要确定图上距离和相对应的实际距离的比． 2．比例尺公式：图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺=图上距离÷实际距离． 【命题方向】例：街心花园的直径是5米，现在它的周围修一条1米宽的环形路，请按2501的比例尺画好设计图，并求出路面的实际面积．分析：先根据比例尺求出街心花园的直径和1米宽的环形路在图形上的长度，再在设计图上画出图形；根据圆环的面积公式即可求出路面的实际面积． 解：5÷250=0.02（m ）=2cm ， （5+1×2）÷250=0.028（m ）=2.8cm ． 5+1×2=7（m ），3.14×[（7÷2）2-（5÷2）2] =3.14×6=18.84（m2）．答路面的实际面积18.84m2．作图如下：点评：考查了应用比例尺画图，圆环的面积．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．同步测试一．选择题（共8小题）1．小东和小辰分将学校的正方形花坛画了下来，如图．如果小东是按1：a的比例尺画的，那么小辰按（）的比例尺画的．A．1：B．1：3a C．1：3D．1：2．在一幅地图上，4厘米表示实际距离16千米，这地图比例尺是（）A．1：4B．1：4000C．1：400000D．1：4003．如图，小明家在A点处，那么下面哪句话能准确地表述出小明家的方向？（）①小明家在北偏东45°方向上．②小明家在东南方向上．③小明家在东偏北45°方向上．④小明家在东北方向上．A．①②B．①②③C．②③④D．①③④4．如果请你将你们教室的黑板按一定的比例缩小后，画在3分米×3分米的白纸上，你会选择下面第（）号比例尺．A．10：1B．1：10C．1：10005．在比例尺是1：100000的平面图上，实际距离是1000m，在图上是（）A．1m B．1dm C．1cm6．小明家在学校的东偏南30°方向，小红家在学校的正东方向，两家与学校的距离是300米．则小红家位于小明家（）方向上．A．北偏东15°B．东偏北60°C．西偏南75°D．北偏东30°7．学校操场的长是200米，把它画在比例尺是1：10000的图上，应画（）A．2分米B．2厘米C．2毫米8．图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（）A．东偏南30°方向500米处B．南偏东60°方向500米处C．北偏西30°方向500米处D．西偏北30°方向500米处二．填空题（共8小题）9．前项是1的比例尺是把实际距离，后项是1的比例尺是把实际距离．10．淘淘来到实验楼，看到一楼中厅的校园沙盘后驻足观赏，发现标注沙盘的比例尺是1：240，而且在沙盘上南门到主楼大约是45cm，那么淘淘回家后告诉妈妈：进校门后大约要走米才能进入主楼．11．用的比例尺把一个2米长的零件画在设计图上，图纸上的零件长．12．小明家在超市的北偏东30°方向上，距离700米，超市就在小明家的偏°的方向上，距离米．13．实际距离是图上距离的4000000倍，这幅地图的比例尺是．图上距离是实际距离的，这幅地图的比例尺是．14．一种长方形零件，画在比例尺是10：1的平面图上，长是30厘米，宽是16厘米，这个零件的实际长是厘米．15．如图：A点在O点的偏度的方向上，距离是米．16．一个零件长8毫米，比例尺是20：1，画在图纸上的长是毫米．三．判断题（共5小题）17．一张比例尺是5：1的精密零件图纸，如果在图纸上量得长 2.5mm，那么它表示实际的长度是12.5mm．．（判断对错）18．把线段比例尺，改成数值比例尺是1：3000000．（判断对错）19．因为“图上距离：实际距离＝比例尺”，所以“实际距离＝图上距离×比例尺”．（判断对错）20．知道了物体的方向就能确定物体的位置．．（判断对错）21．电影院在小明家的西偏南40°方向600米处，那么小明家就在电影院南偏西40°方向600米处．．（判断对错）四．操作题（共3小题）22．下面是菲菲家附近的平面图．（1）用数对表示学校、公园和商场的位置．（2）菲菲从学校出发向正北走400m，再向正东走700m就到家了．张亮从公园出发向正西走600m，再向正南走100m就到图书馆了．请在图中标出菲菲家和图书馆的位置，并用数对表示．23．某市新建一个长方形运动场，长240m，宽120m，请在下面图中画出运动场的平面图．（比例尺：1：4000）24．按要求完成下面各题．①以市政府为观测点，青少年宫在偏°的方向上，距离是米．②博物馆在市政府的东偏南30°的方向400米处．请你在平面图上标出博物馆的位置．五．应用题（共4小题）25．学样要建一个长100米，宽60米的长方形操场．请先算一算，再在下面画出操场的平面图．（比例尺1：2000）26．在同一幅地图上，量得甲、乙两地的直线距离是10cm，甲、丙两地的直线距离是15cm．如果甲、乙两地的实际距离是1200km，那么甲、丙两地的实际距离是多少？27．看图完成下面各题．（1）小东家到健身中心的图上距离是6cm，则小东家到健身中心的实际距离是多少米？（2）游乐场在小东家西偏南45°的方向上，实际距离是500m，请在图中标出游乐场的位置．28．在一幅比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是3.6厘米．如果一辆摩托三轮车以每小时30千米的速度在上午8点从甲地出发，问什么时间能够到达乙地？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】2厘米是6厘米的，所以小东选择的比例尺是小辰的；据此解答即可．【解答】解：2÷6＝＝1：a答：小辰按1：a的比例尺画的．故选：A．【点评】解答本题关键是明确比例尺越小，单位长度表示的实际距离越大．2．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．【解答】解：16千米＝1600000厘米，4：1600000＝1：400000；答：这幅地图的比例尺是1：400000．故选：C．【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．3．【分析】根据地图上确定位置的方法，上北下南，左西右东，来判定小明家的位置即可．【解答】解：根据图上确定方向的方法，可以判断小明家的方向应该是东北方向，所以②是错误的．根据图上的角度可知，小明家的方向东偏北和北偏东都是45°，所以，①、③、④都对．故选：D．【点评】本题主要考查地图上确定方向的方法．4．【分析】我们教室的黑板长为：为300cm、宽为140cm，已知图上距离、实际距离，求比例尺，用比例尺＝图上距离：实际距离，统一单位代入数据，算出两个比例尺，即可解决问题．【解答】解：3分米＝30厘米30：300＝1：1030：140≈1：5所以应选比例尺即1：10．故选：B．离，灵活变形列式解决问题．5．【分析】要求甲乙两城的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可．【解答】解：1000米＝100000厘米，100000×＝1（厘米）；答：在图上是1厘米；故选：C．【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．6．【分析】根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以学校的位置为观测点，小明家在学校的东偏南30°方向，小红家在学校的正东方向，两家与学校的距离是300米．以图上1厘米代表实际距离100米的线段比例尺即可画出学校、小明家、小红的位置．学校、小红家、小家是以学校为顶点的等腰三角形，根据等腰三角形两个底角相同的特征及三角形内角和定理，以小明家的位置为观测点，学校的方向与小红家方向之间的平角是（180°﹣30°）÷2＝75°，学校在小明家西偏南30°方向，也就是西偏北30°方向，从而推出小红家在小明家东偏北15°方向．【解答】解：小明家在学校的东偏南30°方向，小红家在学校的正东方向，两家与学校的距离是300米．则小红家位于小明家北偏东15°方向上．故选：A．【点评】此题考查的知识点有：根据方向和距离确定物体的位置、等腰三角形的性质，三角形内角和定理、比例尺的应用等．7．【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上的长即可．【解答】解：200米＝20000厘米，20000×＝2（厘米）答：应画2厘米；故选：B．离，灵活变形列式解决问题．8．【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答．【解答】解：图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的西偏北30°方向500米处；故选：D．【点评】本题主要考查了学生对位置相对性的掌握情况，画图更容易解答．二．填空题（共8小题）9．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，前项是1的比例尺是把实际距离缩小，后项是1的比例尺是把实际距离放大据此解答．【解答】解：因为比例尺＝图上距离：实际距离，所以前项是1的比例尺是把实际距离缩小，后项是1的比例尺是把实际距离放大．故答案为：缩小，放大．【点评】本题考查了比例尺的意义，即比例尺＝图上距离：实际距离．10．【分析】图上距离与比例尺已知，求实际距离，用图上距离除以比例尺即可．【解答】解：45÷＝10800（厘米）10800厘米＝108米答：进校门后大约要走108米才能进入主楼．故答案为：108．【点评】本题主要是灵活利用比例尺的意义解决问题，注意单位的换算．11．【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出图上距离．【解答】解：2米＝200厘米200×＝4（厘米）答：图纸上的零件长4厘米．故答案为：4厘米．【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．12．【分析】根据题意，利用方向的相对性，小明家在超市的北偏东30°方向上，距离700米，则超市就在小明家的南偏西30°的方向上，距离700米．做题即可．【解答】解：小明家在超市的北偏东30°方向上，距离700米，超市就在小明家的南偏西30°的方向上，距离700米．故答案为：南；西；30；700．【点评】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法．13．【分析】实际距离是图上距离的4000000倍，即图上1厘米代表实际距离4000000厘米，根据比例尺的意义，这幅地图的比例尺是1厘米：4000000厘米＝1：4000000．图上距离是实际距离的，即代表图1厘米代表实际距离200厘米，根据比例尺的意义，这幅地图的比例尺是1厘米：200厘米＝1：200．【解答】解：实际距离是图上距离的4000000倍，这幅地图的比例尺是1：4000000．图上距离是实际距离的，这幅地图的比例尺是1：200．故答案为：1：4000000，1：200．【点评】此题是考查比例尺的意义及求法．比例尺＝图上距离：实际距离．数值比例尺前、后项长度单位要统一；根据比的基本性质，比的前项要化成1．14．【分析】这是一个放大的比例尺，图上距离是实际距离的10倍，用图上距离除以10即可求出实际距离．【解答】解：30÷10＝3（厘米）答：这个零件的实际长是3厘米．故答案为：3．【点评】此题考查了图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．15．【分析】相邻两个方向的夹角是90°，把北与西的夹角平均分成3份，每份是90°÷3＝30°．根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点O的位置为观测点，点A在北偏西30°方向或西偏北60°方向．点A以点O的距离为4个单位长度．根据图中所标注的线段比例尺，一个单位长度为200米，即可求出点A到点O的实际距离．【解答】解：如图200×4＝800（米）答：A点在O点的北（或西）偏西（或北）30（或60）度的方向上，距离是800米．故答案为：北（或西），西（或北）30（或60），800．【点评】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及线段比例尺的灵活应用．16．【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出图上距离．【解答】解：8×＝160（毫米）答：长160毫米．故答案为：160．【点评】此题是考查比例尺的应用．关键记住图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，还要注意长度单位的换算．三．判断题（共5小题）17．【分析】要求这个零件实际长，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可．【解答】解：2.5÷＝0.5（毫米）答：这个零件实际长0.5毫米．故答案为：×．【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．18．【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可将线段比例尺改写成数值比例尺．【解答】解：30千米＝3000000厘米比例尺＝1：3000000原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．19．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．【解答】解：因为图上距离：实际距离＝比例尺，所以实际距离＝图上距离÷比例尺，原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．20．【分析】确定物体的位置要有三个步骤：（1）定观察点，（2）量角度，（3）算距离，据此即可进行解答．【解答】解：因为找清观察点，量出物体所在的方向（角度），再算出与观察点的距离，即可确定出物体所处的位置，所以说，知道了物体的方向就能确定物体的位置，说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要考查确定物体位置的主要条件．21．【分析】两个物体的位置是相对的，分别以它们为观测中心时，看到对方的方向相反，角度和距离相等，据此即可解答问题．【解答】解：由分析可知：电影院在小明家的西偏南40°方向600米处，那么小明家就在电影院东偏北40°方向600米处，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要考查两个物体位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等．四．操作题（共3小题）22．【分析】（1）根据数对确定位置的方法：先列后行，确定学校、公园、商场的位置．（2）根据实际距离和比例尺，计算各点之间的图上距离，结合图上确定方向的方法及题目信息完成作图，并用数对表示．【解答】解：（1）学校（3，3）公园（7，5）商场（8，2）（2）400÷100＝4（格）700÷100＝7（格）600÷100＝6（格）100÷100＝1（格）菲菲家的位置为：（10，7）图书馆的位置为：（1，4）如图所示：【点评】此题主要考查用数对确定位置的方法以及线段比例尺的意义．23．【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可分别求出长方形运动场的长、宽、然后即可画出这个长方形运动场的平面图．【解答】解：240m＝24000cm，120m＝12000cm24000×＝6（cm）12000×＝3（cm）即画长方形运动场的长是6cm，宽是3cm．画图如下：【点评】画平面图的关键一是根据实际距离及比例尺求出图上距离；二是方向的确定．24．【分析】①从图上可以看出市政府距离少年宫的图上距离4个200米，由此即可得出少年宫在市政府在东偏北35°的方向上，距离是800米．②在平面图中画出东偏南30°的方向，实际距离400米处，即2个200米，画两段即可，再标出博物馆的位置．【解答】解：①200×4＝800（米）以市政府为观测点，青少年宫在东偏北35°的方向上，距离是800米；②400÷200＝2（厘米）故答案为：东，北，35，800．【点评】此题考查了利用方向和距离表示物体位置的方法，五．应用题（共4小题）25．【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出学校操场的图上的长、宽即可画出它的平面图．【解答】解：100米＝10000厘米，60米＝6000厘米，10000×＝5（厘米）6000×＝3（厘米）即学校操场的图上长是5厘米，宽是3厘米，画图如下：【点评】此题主要是考查比例尺的应用．根据比例尺求出图上距离即可画图．注意平面图是按一定比例画的，标数据时仍可标注实际距离．26．【分析】图上距离和实际距离已知，根据“图上距离：实际距离＝比例尺”求出这幅地图的比例尺，再根据关系式：图上距离÷比例尺＝实际距离，解决问题．【解答】解：1200km＝120000000cm10：120000000＝1：1200000015÷＝180000000（厘米）180000000厘米＝1800千米答：甲、丙两地的实际距离是1800千米．【点评】此题考查了关系式：图上距离：实际距离＝比例尺，图上距离÷比例尺＝实际距离．27．【分析】（1）根据图上距离与比例尺，计算实际距离：6÷＝150000（厘米），150000厘米＝1500米．（2）利用实际距离和比例尺，计算图上距离：500米＝50000厘米，50000×＝2（厘米）．然后根据图上确定方向的方法确定游乐场的位置．【解答】解：（1）6÷＝150000（厘米）150000厘米＝1500米答：小东家到健身中心的实际距离是1500米．（2）500米＝50000厘米50000×＝2（厘米）游乐场的位置，如图所示：【点评】本题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义．28．【分析】图上距离和比例尺已知，首先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲、乙两地的距离，然后根据“时间＝路程÷速度”求出三轮摩托车行驶的时间，最后根据“起始时刻+行驶时间＝结束时刻”求出到达乙地的时间．【解答】解：3.6×2000000＝7200000（厘米）7200000厘米＝72千米72÷30＝2.4（小时）2.4小时＝2小时24分钟上午8点+2小时24分钟＝上午10点24分答：10点24分能够到达乙地．【点评】此题应根据图上距离、比例尺和实际距离的关系和速度、路程、时间之间的关系的综合应用．。

考点3.2 空间向量与空间角的计算问题空间向量与空间角的计算问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的空间角问题在高考中逐步成为热点。

通过具体的问题背景，考察空间角、空间向量等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。

本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现空间向量与空间角的计算问题的实际应用。

解决基于问题情境的空间向量与空间角的计算问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。

解题要点：根据题目要求，建立立体几何模型，利用几何法或向量法进行实际问题分析求解。

基础知识a ，b ，a ，b >|＝a b a b与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平的法向量为n ，则sin θ＝|cos<a ,n >|＝a n a n的平面角为θ，平面α，β的法向量分别1n ，2n ，则|cos θ|＝|cos<1n ,2n >|＝1212n n n n空间向量与空间角的计算问题实际应用 （1） 单选题1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意可知//m CD 、AB m ⊥． 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选：B ．2．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值ABCD【答案】D【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan(0)PHPAHAH xθ=∠==>，故当1x=tanθ，故选D．3．（2020·山东临沂市·高二期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同.若重力加速度g取29.8m/s，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A．2.25N B．2.45N C．2.5N D．2.75N【答案】B【分析】根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等可构造方程求得结果.【详解】由题意知：8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为T，则8cos6019.8T=⨯，解得： 2.45T=（N）.故选：B.4．（2020·济南市·山东省实验中学高二期中）空间直角坐标系O xyz-中，经过点()000,,P x y z，且法向量为(),,m A B C=的平面方程为()()()000A x xB y yC z z-+-+-=，经过点()000,,P x y z且一个方向向量为()(),,0nμυωμυω=≠的直线l的方程为000x x y y z zμυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z-+-=，经过()0,0,0的直线l的方程为321x y z==-，则直线l与平面a 所成角的正弦值为（）AB．35CD．7【答案】B【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值. 【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z ==-，故其方向向量为()3,2,1m =-， 故直线l 与平面a35==，故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.5．（2020·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为0Ax By Cz D +++=（,,,A B C D R ∈，且A ，B ，C 不同时为零），点()000,,P x y z 到平面α的距离d =，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P ABCD -中，底面中心O 到侧面PAB 的距离d 等于（ ） ABC ．2D ．5【答案】B 【分析】欲求底面中心O 到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A ，B ，P 的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】以底面中心O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示：则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)O A B P -，设平面PAB 的方程为0Ax By Cz D +++=，将点A ，B ，P 的坐标代入计算得0A =，B D =-，12C D =-，所以方程可化为102Dy Dz D --+=，即220y z +-=，所以d ==． 故选：B.【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．（2） 多选题6．（2020·长沙市·湖南师大附中）如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园.设备启动后，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年国庆，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，以下结论正确的有（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．线段AB 在水平地面上的正投影的长度为定值；C ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为37D ．β与水平地面所成角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，当02πθ<<时，θδ+为定值【答案】ACD 【分析】计算出OA 判断A ，考虑AB 分别与水平面平行和垂直时在水平面上的投影可判断B ，由OA 最大时，得线面角最大，从而得其正弦值判断C ，结合直观图可判断D ． 【详解】A．∵OB β⊥，∴OB AB ⊥，∴OA ，∴点A 在以O 的球面运动，A 正确；B ．由题意知A 在平面β内绕点B 作圆周运动，当AB 垂直于水平面时，投影长度为0，当AB 平行于水平面时，投影长度为AB ，∴线段AB 在水平地面上的正投影长度范围为[0,]AB ，B 错误；C ．当AB α⊥时，直线OA 与平面α的所成的角的正弦值为最大值，此时线面角为AOB ∠，sinAB AOB OA ∠===，C 正确． D ．画出该模型的直观图，∵β与水平面所成的角为θ，且02πθ<<，∴DCE θ∠=，∵直线OB 与水平面所成的角为δ，且//FC OB ，∴FCG δ∠=， ∵OB CD ⊥，∴FC CD ⊥，∴2FCG DCE π∠+∠=，即θδ+为定值，定值为2π，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查考查以实际问题为背景的立体几何题，明确线面关系，线面角的求解是解题关键，考查空间想象能力．运算与推理能力．7．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，则下列命题是真命题的有（ ）. A ．已知(1,3,2)a θ=-，(4,0,2)b θ=，则0a b ⋅= B ．已知(,,0)3a x y π=，(0,0,)3b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．已知(1,0,0)3OA π=，(0,1,0)3OB π=，(0,0,1)3OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC 【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可. 【详解】(1,3,2)(4,0,2)(32)(42)421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误；如图所示，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故B 正确； 根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()()()()()111222111222121212121212,,,,,,a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k x x y y z z θθθ+=+=+++++=+++++=+++，故C 正确；由已知可得三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积214122S =⨯⨯⨯=D 错误. 故选：BC. 【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.8．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）A ．若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B ．若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D ．若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线 【答案】ABC 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确. 对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =，故选：ABC 【点睛】本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.（3） 填空题9．（2016·上海金山区·高三一模）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB 1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________________． 【答案】【解析】试题分析：黑电子狗爬行的路径为111111AA A D DC C C CB BA →→→→→，黄电子狗爬行的路径为111111AB BB B C C D D D DA →→→→→，周期均为6，因此黑“电子狗”爬完2015段即爬完第5段，此时位于B 点，黄“电子狗”爬完2014段即爬完第4段，此时位于1D ,1BD 考点：1．数列周期；2．异面直线；3．空间两点间距离10．（2019·全国高三其他模拟（文））半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．【分析】先求出BC ，BG ，BF 的长度，在BFA ，求出正四面体的高AF ，在Rt BFO 中，求BO ；Rt BFA 中，求cos BAF ；EAO 中，由余弦定理求EO 即可. 【详解】 解：正四面体的棱长12BC =，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O ，F 为底面BCD 的中心，G 是边CD 中点，E 是半正多面体的一个顶点23BG BC BF BG ====AF ∴===设OA OB R ==，OF AF R R =-=在Rt OBF 中，222OB BF OF =+，2248)R R =+，R =Rt ABF中，cos 123AF BAF AB ∠===EAO中，cos cos 3EAO BAF ∠=∠= 由余弦定理，(222222cos 82822OE AE AO AE AO EAO =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯=OE =【点睛】考查半正多面体的外接球的半径的求法，中档题.11．（2021·江苏宿迁市·高二期末）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a 、b 、c 及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，则该晶胞的对角线1AC 的长为__________.【分析】数形结合以及使用向量的方法，可得11AC AB AD AA =++，然后先平方再开方可得结果.【详解】如图所示：所以1111=+AC AC CC AB AD CC AB AD AA =++=++ 依题可知：1=21AB AA AD ==，， 11=60,90,18060A AB A AD BAD αβγ∠=∠=∠=-== 所以22221111=+2+22AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ++⋅⋅+⋅所以21=411+221cos 60+221cos 60211cos90AC ++⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯则21=10AC ，故1=10AC12．（2020·全国高三专题练习（理））我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)=-n 的直线方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，即2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)=--m 的平面的方程为___________．【答案】220x y z +--=【解析】试题分析：根据法向量的定义，若n 为平面α的法向量，则n ⊥α，任取平面α内一点P （x ，y ，z ），则PA ⊥n ，∵PA =（1-x ，2-y ，3-z ），n =(-1，-2，1)，∴（x -1）+2（y -2）+（3-z ）=0，即x+2y -z -2=0，故答案为x+2y -z -2=0．考点：本题主要考查类比推理的概念和方法，向量的坐标运算．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的坐标运算类似，因此可以利用求平面曲线方程的办法，通过构造向量，利用向量的运算确定空间平面方程．13．（2020·福建省泉州市泉港区第一中学高二期中）如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值.【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D ,设11BQ B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈. ()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-.()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----,()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ . 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.（4） 解答题14．（2018·上海市南洋模范中学高三期末）已知111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⨯⋅=++---，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一个平行四边形，(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-（1）试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积，说明()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD -体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ⨯⋅221424(1)(1)0=⨯⨯+⨯⨯+-⨯-⨯202-⨯⨯4(1)1-⨯-⨯(1)24--⨯⨯＝48．122(1)140AP AB ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，1422100AP AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD ==，24(1)2406AB AD ⋅=⨯+-⨯+⨯=， 222sin ()ABCD S AB AD BAD AB AD AB AD =∠=-⋅== 6AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA -==⨯． ∴()3P ABCD AB AD AP V -⨯⋅=，猜想：()AB AD AP ⨯⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。

2024学年江西省上饶市“山江湖”协作体高二物理第二学期期末统考模拟试题 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、下列哪位物理学家（科学家）没有获得过诺贝尔物理学奖（ ）A ．普朗克B ．密立根C ．卢瑟福D ．康普顿2、如图甲所示的变压器电路中，电压表为理想电表，变压器原、副线线圈的匝数比为3:1，a,b 端输入稳定的交流电压如图乙所示，L 1、L 2两个灯泡均正常发光，电压表的示数为55V ，则L 1、L 2两个灯泡的额定功率P 1、P 2之比为A ．1:3B ．2:3C ．1:1D ．4:33、如图所示，平面直角坐标系的第I 象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里.磁感应强度为B ，一质量为m 、电荷量为q 的粒子以速度v 从O 点沿着与y 轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A 点时速度方向与x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则A ．粒子一定带正电B ．粒子由O 到A 的弧长对应的圆心角为30°C ．粒子由O 到A 经历的时间为D ．粒子A 点与x 轴的距离为 4、一单摆静止于平衡位置，现使摆球分别获得水平初速()1212v v v v >、在竖直平面内做小角度摆动，两次的周期与振幅分别为12T T 、和12A A 、，则（ ）A ．1212,T T A A =>B ．1212,T T A A =<C ．1212,T T A A >=D ．1212,T T A A <=5、如图所示，三只完全相同的灯泡a、b、c分别与电阻R、电感L、电容C串联，再将三者并联，接在220 V，50 Hz 的交变电压两端，三只灯泡亮度相同．若只将交变电压的频率改为60 Hz，则（）A．三只灯泡亮度不变B．三只灯泡都将变亮C．a亮度不变，b变亮，c变暗D．a亮度不变，b变暗，c变亮6、已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的1/3时，它沿斜面已下滑的距离是（）A．L/3 B．L/3 C．L/6 D．L/9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。