矢量场散度和旋度的物理意义

矢量场散度和旋度的物理意义1993年第1期击安矿业学院学孩JOURNALOFXl，ANMININGINSTITUTE矢量场散度和旋度的物理意义黄国良王瑞平(基础部)舒秦摘要本文首先从流速场矿(二，，，:)出发，详细地说明了任一矢量场育(二，，，:) 散度和旋度的物理意义。

以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方法。

关键词矢量场，散度，旋度在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋藏在地下几百米深的磁性盲矿体。

这是因为在矿体周围存在着磁场。

物探工作者经常要测定、分析各种场(如电场、磁场等)的分布、变化规律，从而找到场源(如带电体、磁性体等)。

矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。

本文着重说明它们的物理意义。

矢量场的散度矢量函数A=A(x，百，之)所确定的场称为矢量场。

如电场E(x，，，幼和流速场V(x，万，幻都是矢量场。

通t以不可压缩流体的稳定流速场V(x，百，幻为例，来说明任一矢量场通量的物理意义”’。

如图1所示。

S为流速场V(x，刀，幻中的任意曲面，在面积元dS内的流速场可以看成均匀流速场。

因此，在1秒钟内通过ds的流体的流量，即体积流量dQ二V韶eo:8=V·ds通过曲面S哟体积流量。

=J:节.d亨二J:vdscoso可见，通过任意曲面s\的体积流量口在数值上等于通过曲面s的流线的数量。

本文1991年3月23日收到西安矿业学院学报1993年由特殊到一般，任一矢量场A(x，y，z)通过任意曲面S的场线的数量，称为该矢量场通过曲面S的通量，用价A表示，即，仁牙·。

犷·{。

，ascos“J舀沙。

如图2所示。

若S为封闭曲面，则矢量场A通过封闭曲面的通量图1体积流量的计算卜少:分·d亨=J::因为在S:面上，0总是大于90“，在污万·d犷+JsZ万·d言面上，8总是小于90所以通过S:的通量为负，通过S:的通量为正。

2通.是矢t场在空间△丫内玻散性的皿度由上可知，流逮场节(二，，，:)通过封闭曲面s钓体积流量价、有下列三种情况:1)，一弧六一d八b从S内有流量价、发散出来，的发散源，如泉源。

图2通过封闭曲面S的通量如图3(a)所示。

既然有流量流出，说明s内一定有涌出流体(a)价、>0(b)功<O图3通过封闭曲面S的体积流量(e)动、2)，、=币。

护.礴<。

J0有流量功、汇聚到S内，如图3(b)所示。

既然有流量叻，流进s内，说明s内一定有吸进流体的汇聚源，如渗洞。

源，3)币、二币。

矿.d亨二。

JS流进S内的流量等于流出S钓流量，也没有吸进流体的汇聚源。

如图3(c)所示。

亦说明S内既没有涌出流体的发散由特殊到一般，如果矢量场A通过封闭曲面S的通量娇手:升‘外O第1期黄国良等矢圣场嵌度和旋度的物理意义宁台到矢量场A在空间△v(△v是s包围的空间)内是发散的，如果人·乡:了·d六。

则矢量场A在空间△V内是汇聚的;如果，、=币。

了.d亨=。

则矢量场A在空间么V内既不发散，也不汇聚。

因此通量是矢量场在空间△V内聚散性的量度。

散度是矢l场在空间某点康做性的，度设p(x，，，幻为矢量场A(x，，，:)中任一点。

作封闭曲面S包围尸点，s包围的空间为△V。

当△v，。

，且空间收缩为尸点时，极限1工寸。

亡号里。

五丽岁:通’。

“称为矢量场A在尸点的散度，用divA表示，即diV了·△渺。

命手:了·d亨可见，散度是通量对体积的变化率，且平均变化率在数一值上等于单位体积中发‘出的场线数量。

在直角坐一际系中，矢量场A(x，，，:)在尸(x，百，:)点的散摩divA(x，，，才)0A二.万牙勺.OA，，aA:.甲一巴于~，.一d百dz=(;丢·;命·了备)·(儿了·‘序+A;)=甲·A例1半径为R，带电量为q(q>。

)的均匀带电球体的球心位于原点，澡球体的介电常数为:，求球内各点电场强度丑的散度。

解:由电学知，球内任一点p(x，封，幻的电场强度E=，一，、一4兀心R名r(r《R)式中r是P点的位置矢量‘知~》~‘如一今r=xf+，夕+zk球内各点电场强度E的散度仪西安护业李院学报1993羊甲·E=v.(盗责今1q4兀￡Rs甲·r=蠢节(器+一鼠+贵)1q4兀‘RS.3>O守·E>。

，说明电场E在球内各点是发散的，且在球内各点均有发散源(正电荷)。

2平面矢量场的旋度旋度最早是通过研究水流的涡旋建立起来的概念。

河水流动时，由于水有内摩擦力，因而靠两岸速度较小，河中间速度较大。

故漂在水面上的救生圈一边顺流而下，一边还会旋转，这说明水中有涡旋，如图4所示。

丸1环流是区城酩内有无润旋的t度de回·吻，一v.V!飞.…。

Vab.--一一一一一一叫一~一一-~~~~~~，月~.月，~，.月....月........................图4河水中的涡旋在平面流速场V(x，妇中作有向封闭曲线L，则流速场V沿L的环流(图4) .d心犷r..J币辛·JL节Jdl+JIdl+O一Vi‘‘了+J。

d辛·d了+丁d.矿·d了dl+0.至r..JV一一4ld=V:·a石一Vl·cd铸O在均匀流速场V(x，砂中，由于V:=V:，所以V沿L的环流中L称示。

环流不等于零，在区域△S内无涡旋。

由特殊到一般，说明在区域△s(△s为L所包围的区域)内有涡旋;环流等于零，说明对于任一平面矢量场A(x，砂，如果币交·JLdl铸0说明在区域△S内有涡旋;如果手:〕d了=“第1期黄国良等.矢t场散度和旋度的物理意义说明在区域△s内无涡旋。

因此环流是平面矢量场A在区域△S内有无涡旋的量度。

2.2旋度是矢且场在某点渴旋强度的皿度环流的大小与封闭曲线L所包围的面积△s有关，所以不能用环流的大小来量度涡旋的强弱。

而用环流与面积△S之比，即平均涡旋强度上币辛.d寸△5JL来量度△S区域内的涡旋强度。

当△S，o，且收缩到尸点时，用极限1工之，寸lim毕二一①V·dl△g书。

△SJ‘来量度p点处的涡旋强度。

此极限称为平面流速场V在p点的旋度，用甲xV表示，即_之二1工之，寸VXV=11m-;we石甲y.Q‘八Sse)0止30JL可见，旋度.是环流对面积的变化率。

由特殊到一般，任一平面矢量场直在p点的旋度_分二1丈寸，寸VXA=lim二下丙-甲人.u‘八5一月卜0之、0JL在直角坐标系中，平面矢量场A(x，妇在p(x，妇点的旋度VxA(x例2某河水的速度场妇·(势一肾)犷00908070V(x，，)速度分布见图征。

=(0.1，一0.0019名)1m.5，试研究此速度场的涡旋特0自︸n甘00肉U﹄U确b巴Jd人，nd乙，1︵日︶卜解:、V的旋度7·辛·(豁一焉)了=(0.0029一0.1)k分别以，二0，10，…，10om代入上式，可求出场内各点的旋度值。

V=0图5速度分布和涡旋特征西安犷亚学院学报i的3今庵，.....目曰少厄..曰....，..记叭旧—~一.--一--一户一~~，~~~...~碑一一~~~~~心.一~~一~一~~..一~~户~.‘~少附裹速魔场V的汤能特征一一一一~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~百(m)01020304050607080邹.100旋度值(，一勺涡旋方向涡旋强度一0。

1一0.舫一0。

佣一0。

04一0。

0200。

020一040。

060。

080。

1旋度为负，涡旋沿顺时针方向旋度为正，涡旋沿逆时针方向旋度值越大，涡旋越强;越靠近河岸，涡旋越强3空间矢量场的旋度水池中卜的水漏掉时，会形成涡旋，如图6所示。

以p点为回心，作两个圆周L:和L:，两圆周的面积相等，均为△s，它们的法线二:，称:的方向与L:，L:的绕向符合右手螺旋法则。

显然乡::六d林少L:六‘了除以△S，得去步，:六‘几命手;:六‘了图6水池中的涡旋可见，同一点p绕，，方向的平均涡旋强度大于绕二:方向的平均涡旋强度。

为了量度场中任意一点的涡旋强度，必须把△s取得很小，同时为了能比较不同点的涡旋强度，应使L的空间取向能得瓢最大的环流。

在图6中，流速场V沿Ll的环流最大。

现在，可以得到任一空间矢量场A旋度的定义:矢量场A在p点的旋度7xA是一个矢量，其大小为当面积△S趋于零时单位面积上A的最大环流，其方向为当面积△S的取向使得环流为最大时该面积八S的法线方向(法线方向的单位矢量，的方向与不的绕向符合右手螺旋法则)，即一二寸，.1一厂碑工六J寸、V入入二。

聋sm0~丽丸”岁L人’u‘J。

、::在直角坐标系中，矢量场A(x’如幼在尸(x，，，幻点的旋度心引J川司wel叫。

一叨A.-卜一、，六，、}OV入乃、X，百，2)=lwe石，~!Vx}Al二(号一盟);·(签一箫)了·(一静一号)了第1期黄国良等矢量场傲度和旋度的物理意义~~~~~~~~~~~~~目...~~叫..口卜叫.卜.~~~~几~~~~~~~一.........目....白......口...白......... 例3绕定轴Z转动的刚体的角速度为。

(图7)。

求刚体上任一点P的线速度V的旋度’“’。

解:点p的位置用位置矢量护来确定:=xi+万i+zk角速度由力学知，。

二。

k点P的线速度一无勿一·!o.‘参V二口X了-知-备=一。

百i+。

x7劣g之图7绕定轴Z转动的刚体V的旋度{_了了了…7、辛一{共李票{}。

x。

百“‘}{一。

，“x”}二Zok=2~勺卜毋可见，速度场V的旋度甲xV与刚体的旋转角速度。

之间有着密切的联系。

参考文献1张秋光.场论.北京:地质出版社，1983:19~962同济大学.高等数学.北京:人民教育出版社，197乐167 PHYSICALMEANINGOFDIVERGENCEANDCURLINVECTORFIELDHuansGuoliangWangRuipingshuqinABSTRAeTStarti雌fromfieldoffluidveloeityV(x，，，z)，theIn.anin‘ofdiv此ene。

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