锐角三角函数
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- 1 - 第18讲 锐角三角函数
考点1 锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的
正弦
sinA=A的对边斜边=ac
余弦
cosA=A的邻边斜边=bc
正切
tanA=AA的对边的邻边=ab
考点2 特殊角三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sinα 12 22 32
cosα 32 22 12
tanα 33
1 3
考点3 解直角三角形
解直角三角形常用的关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则 三边关系 a2+b2=c2
两锐角关系 ∠A+∠B=90°
边角关系 sinA=cosB=ac
cosA=sinB=bc
tanA=ab
1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶3∶ - 2 - 2;含45°角的三角板三边比为1∶1∶2.
2.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.
命题点1 锐角三角函数的意义
例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=(
)
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.
1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是( )
A. 45 B. 35 C. 34 D. 43
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )
A. 45 B. 35 C. 34 D. 43
3.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .
命题点2 特殊角的三角函数值
例2 (2014·舟山)计算：8+(12)-2-4cos45°.
【解答】
方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则. - 3 -
1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=32,cosB=12,则∠C= .
2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°-2)160(tan的值是( )
A.23-2 B.0 C.23 D.2
命题点3 解直角三角形
例3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，则AB的长为 .
【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.
方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.
1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，AB=92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为 .
2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=32,求sinB+cosB的值.
3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 13，AD=1.求BC的长.
- 4 - 命题点4 解直角三角形的应用
例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1米，参考数据：3=1.7)
【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.
【解答】
方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.
1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？(2≈1.414，精确到1米)
3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.
1.(2013·天津)tan60°的值等于( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2 - 5 - 2.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A. 34 B. 43 C. 35 D. 45
3.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3 (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )
A.9 m B.6 m C.63 m D.33 m
4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是( )
A.2 B.8 C.25 D.45
5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
6.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为( )
A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 125
7.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .
8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=12；③tanA=33；④tanB=3，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)
9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为
米(用含α的代数式表示). - 6 -
10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为
m(结果保留根号).
11.(2014·内江)计算：2tan60°-|3-2|-27+(13)-1.
12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.
16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A. 31010 B. 12 C. 13 D. 1010
17.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )
A. 23 B. 34 C. 43 D. 32
18.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： - 7 -
sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= ;
(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B= .
图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.
(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA= 513,求sinB.
- 8 - 参考答案
各个击破
例1 D
题组训练 1.B 2.B 3.12
例2 原式=22+4-4×22=22+4-22=4.
题组训练 1.60° 2.B
例3 3＋3
题组训练 1.6
2.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝32，
∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，
在Rt△BCD中，BC＝2286＝10，
∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC = 45.
∴sinB＋cosB＝75.
3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB= 13，AD=1，
∴AB=3，∴BD=2231=22.
∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.
∴BC=22+1.
例4 过B点作BE⊥DC于E点，DC的延长线交地面于F.
∵BA⊥AF，DF⊥AF，
∴四边形ABEF为矩形，BE=2.7.
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，tan∠CBE=CEBE,
∴CE=BE·tan30°=9310；
在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，BE=2.7,
∴DE=2.7，DC=2.7- 9310≈1.2.
