锐角三角函数

一点通教育

学习改变命运，勤奋成就未来！ 初三数学冲刺班讲义

让孩子更优秀

第 1 页 共 5 页 第三讲：锐角三角函数（一）

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。

sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

考点一：锐角三角函数的定义

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）

A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）

A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE△DFA≌△；

广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名

授课日期

第 2 页 共 14 页

第一部分：知识点回顾

1．边与边关系：a2＋b2＝c2

2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°

3．边与角关系，sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cota＝ba

4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角

叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝ACBC，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，

坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

第二部分：自我评测

知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高

特殊三角函数的值

坡度计算

三角函数的实际应用

第三部分：例题剖析

例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m，求AB.

解法：设AB = x，在Rt△BAD中，tantanABxDA，

在Rt△ABC中，tantanABxCA

∵ CA = CD + DA

∴ tantanxxm 通过解方程求出知数x的值 课题 锐角三角函数的实际应用

教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；

2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

第 3 页 共 14 页 B C l D

进取高效自信

书不记，熟读可记；义不精，细思可精。1 / 2 A

B C a b 锐角三角函数讲义

学生：年级：初三学科：数学上课时间：11／25

目标：理解锐角三角函数的意义，熟记特殊角的三角函数值，会利用锐角三角函数解直角三角形

重点：锐角三角函数解直角三角形

考点1 锐角三角函数的概念

直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

(3)边角之间关系

例1 如图1，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(

)

(A)3310 (B) (C) (D)1010

考点2 特殊角的三角函数值

特殊直角三角形

 30 60 45

sin 12 32 22

cos 32 12 22

tan 33 3 1

例2 (1)（2014包头）计算sin245°＋cos30°tan60°，其结果是( )

(A)2 (B)1 (C)52 (D)54

(2)（2014凉山州）在△ABC中，若1cos2A＋（1－tanB）2＝0，则∠C的度数是( )

( A)45° (B)60° (C)75° ( D)105°

考点3 解直角三角形

例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）

考点4 解非直角三角形

例4（2014济宁）如图4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为_______．

考点5 应用解直角三角形的知识解决实际问题

例5（2014聊城）如图6，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观，在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，LDBC＝75°，又已知AB＝100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．(tan60°≈1.73，tan75°≈3.73)

北师大版九年级下册第一章1.1锐角三角函数

课例点评

本节课是一节数学概念课，主要学习锐角三角函数中“正切三角函数”的概念。直角三角形作为一种特殊三角形，它的三条边满足勾股定理确定的等量关系，它的两个锐角互为余角，边角之间也有确定的对应关系，锐角三角函数的概念确定的正是直角三角形的边角之间的等量关系。这些关系是解直角三角形的重要依据，是解决一些简单实际问题的数学原理。锐角三角函数的概念既有“函数性”，也有“关系性”， “函数性”是指直角三角形中，两条直角边的比与锐角之间的对应关系；“关系性”是指锐角三角函数概念的定义式揭示的边角之间的等量关系，利用这个等式可以在已知两个量的条件下，求出第三个量。学习锐角三角函数，要使学生理解概念的本质属性，经历概念形成的过程，在这样的过程中发展学生的抽象思维、推理能力和几何直观。同时，在运用概念解决问题的过程中，让学生体会数学与生活的联系，发展其应用意识和模型思想。可见，锐角三角函数概念蕴含多个数学核心素养，具有重要的教育价值。

经验和研究表明，教师对内容的理解、把握决定了教师教学目标的设计，影响教师教学设计的方向和策略，从而影响教学的效果。观察课堂教学的有效性，关键是分析教师对教学内容的理解是否准确、深刻，对学习对象的分析是否具体而有针对性，教学目标是否明确而准确，教学设计是否合理而有效。

白燕星老师所执教的这节“正切三角函数”概念课，整体反映出对教学内容理解的透彻、深刻，对学情分析具体、准确，具有教学目标明确、教学策略合理、教学达标有效等鲜明的特点。同时，体现了以数学知识学习为载体，发展学生学科素养的特点。其主要亮点如下。

首先，本节课在引入中，揭示了研究直角三角形的基本思路，点明了研究的目标，渗透了研究几何图形的一般方法，为后续研究其他几何图形做了良好的铺垫。

其次，白老师设计的概念形成过程，充满探究的意味，引导学生从现实情境到数学本质、从特殊到一般、从具体到抽象层层深入，分析概念的本质，发展数学思考。从探究梯子的倾斜程度入手，让学生主动参与学习活动，在分析梯子陡缓的过程中积累了解决问题的经验，得出了倾斜角和铅直高度与水平宽度的比值都会影响梯子的陡缓，不仅获得了问题的结论，也使学生体会了数学与生活的联系。整个探究过程学生积极讨论，主动发言，课堂气氛热烈、数学思维活跃。接下来，从含有30°、45°、60°等特殊角的直角三角形入手，计算并思考锐角和比值之间的对应关系，再利用几何画板展示更多的实例，将特殊图形中发现的结论推广到一般图形中，最后，利用相似三角形的判定和性质证明了这个关系的正确性，使学生比较深刻地认识了比值与角度的函数对应关系，揭示了概念的“函数性”。 学习过程中渗透了从特殊到一般、从具体到抽象、从猜想发现到推理证明的研究方法，学生非常受益，促进学生理性精神的形成。在明晰概念时，揭示了概念的“关系性”，借助概念应用过程，重点让学生体会这个等量关系的作用，为后续解直角三角形奠定了基础；本节课中，例题与习题的设计也颇有层次，题目与目标有良好的针对性，进一步促进本节目标的落实，保证了知识技能目标和过程性目标的同时达成。