锐角三角函数

知人善教 培养品质 引发成长动力 第 1 页 共 1 页 星火教育一对一辅导教案

学生姓名 性别 年级 9年级 学科 数学

授课教师 李碧瑶 上课时间 年 月 日 第（ ）次课

共（ ）次课 课时： 课时

教学课题 锐角三角函数的认识

教学目标 1. 掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义；

2. 记牢30°、45°、60°角的三角函数值；

3. 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4. 运用三角函数的关系化简或求值。

教学重点与难点 1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.

2.添加辅助线解直角三角形

课后作业

详见教案

提交时间 2014 年 12 月 12 日 学科组长检查签名：

知人善教 培养品质 引发成长动力 第 2 页 共 2 页

（注意咯，下面可是黄金部分！）

知识点1 正切

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan.

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tanA没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A的大小有关，与所在直角三角形的大小无关；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④任意锐角A，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大．

【例1】在Rt△ABC中，∠C=90º,AC=5,AB=13,求tanA和tanB.

【变式】在Rt△ABC中，∠C=90º,BC=3,tanA=125，求AC.

一、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时：

1.正弦值随着角度的增大而增大；

2.余弦值随着角度的增大而减小；

3.正切值随着角度的增大而增大。

4.锐角三角函数值都是正值.

5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；

6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°0。

二、锐角三角函数：

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。 正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

三、锐角三角函数的关系式：

同角三角函数基本关系式

tanα·cotα=1

sin2α·cos2α=1

cos2α·sin2α=1

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

(sinα)2+(cosα)2=1

1+tanα=secα

锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式 cos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1

sin2A=2sinA•cosA tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）

三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a

cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa =4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°)

完整版)锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数

锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。

具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。

在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.

另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。

解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。因此，△ABE和△DFA是全等三角形。

接下来，求sin∠EDF的值。由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.

例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。根据三角函数的定义，可以得到：

sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4

cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4