机器人雅可比矩阵求法

g2o计算雅可比矩阵
G2O (Generalized 2nd-Order Optimization) 是一个通用的二阶优化库，可以用于解决各种优化问题，包括机器人定位、图形重建、传感器融合等。

在G2O中，雅可比矩阵的计算通常用于描述误差项的偏导数，对于非线性优化问题，雅可比矩阵的自动求导可以提高优化的速度。

假设有误差函数E(x)，其中x是优化变量，E(x)的雅可比矩阵J(x)可以计算如下：
首先计算E(x)关于x的梯度（或者偏导数）：
gradE = [E_x1, E_x2, ..., E_xn]
然后，J(x)就是gradE的转置：
J(x) = [E_x1, E_y1, ..., E_z1;
E_x2, E_y2, ..., E_z2;
...
E_xn, E_yn, ..., E_zn]
注意：这里的E_xi表示E(x)关于第i个优化变量的偏导数。

在G2O中，可以使用内置的函数来自动计算雅可比矩阵，这样可
以避免手动编写雅可比矩阵的计算代码，提高代码的效率和准确性。

具体的计算方法可以参考G2O的官方文档和示例代码。

6轴机械臂雅可比矩阵公式
雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是一个描述多维空间向量函数局部切空间的线性映射。

在机器人学中，雅可比矩阵通常用于描述关节空间和笛卡尔空间之间的映射关系。

一个n关节的机械臂的每个关节的变换可以用一个4x4的齐次变换矩阵来表示，总共有n个齐次变换矩阵。

对于一个n关节的机械臂，其雅可比矩阵J是一个4x6n的矩阵，可以表示为：
J = [T1 T2 ... Tn]
其中Ti是第i个关节的齐次变换矩阵。

对于一个6轴机械臂，其雅可比矩阵J可以表示为：
J = [T1 T2 T3 T4 T5 T6]
具体地，如果第i个关节的齐次变换矩阵为：
Ti = [R(ai) 0; 0 1] [Ti-1]
其中R(ai)是一个3x3的旋转矩阵，表示绕ai轴的旋转，Ti-1是i-1关节的齐次变换矩阵，那么第i个关节的雅可比矩阵Ji可以表示为：
Ji = [R(ai) 0; 0 0] [Ji-1]
其中Ji-1是i-1关节的雅可比矩阵。

因此，对于一个6轴机械臂，其雅可比矩阵J可以表示为：
J = [R(a1) 0; 0 0] [R(a2) 0; 0 0] [R(a3) 0; 0 0] [R(a4) 0; 0 0] [R(a5) 0; 0 0] [R(a6) 0; 0 0]
其中R(ai)是绕ai轴的旋转矩阵，可以通过欧拉角、轴角或四元数等表示方法得到。

雅可比矩阵用来描述机器人末端速度（在基坐标系或末端坐标系下）与关节速度之间的关系。

雅可比矩阵构建e J q q x ()∙∙=当选择好末端位姿的描述方式后，雅可比矩阵的行数和列数就确定了。

求取计算雅可比矩阵的方法有多种，如：1对位姿方程求导；2通过连杆速度递推计算得到；3通过连杆速度分析构造得出；4通过微分变换关系构造得出。

微分变换法矢量积法通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例1/9）Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s c T 111101000000100001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s l s c T 221122200000100001⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l T 223100010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例2/9）c s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续3/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯11001∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θv 11000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续4/9）1221211221122122222112122122212222222210000100000000001112T R Z R Z c s R Z s c Z c s s c ∙∙-∙∙∙∙⎡⎤ω=ω+=ω+⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤=ω+=-ω+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθ+θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续5/9）()()()12211111111111211122112211212212222221000000000010010000101T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c s c l -∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭θθ212110l c ∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续6/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续7/9）()()()T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c l c s c 13322222222222322233223322312332333312331000000010010001012-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯=⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤ ⎪⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭θθθθl s l s l c l l c l 121212212211100()010()11211200100∙∙∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦θθθθθθθθT R Z R Z R Z c s c s s c Z s c 133232232233223323323333333323332333331200000000000010011123∙∙∙-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤ω=ω+=ω+=ω+=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-ω+=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∙∙∙+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθθ++θθθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续8/9）3300123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥∙∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦++θθθl s v l c l 12331221()1120∙∙∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθθθl s l c l l v 121222300010020011∙∙⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθl s v l c l l 1231222012∙∙⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθc s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l s J l c l l 12312220⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）c s l s l s c l s c l s l s J s c l c l l l s s l c c l c l c l s l s l s l c l c l c 121212121211222122120121212221122121221221211212212112122120----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦l s l s l s J l c l c l c 11212212011212212---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦矢量积法对于移动关节，雅克比矩阵的第 i 列计算如下：雅可比矩阵的第i 列对应第i 关节引起的末端速度和角速度。

六自由度机械臂雅可比矩阵计算机械臂雅可比矩阵是一个非常重要的概念，用于描述机械臂末端位移与关节位移之间的关系。

它可以用于控制机械臂的运动，实现准确的位置控制和轨迹跟踪等任务。

在本文中，我们将详细介绍六自由度机械臂雅可比矩阵的计算方法。

六自由度机械臂是指具有6个可独立运动的关节的机械臂。

常见的六自由度机械臂包括SCARA机械臂、工业机器人等。

对于一个六自由度机械臂，其雅可比矩阵是一个6行6列的矩阵，其元素表示机械臂末端位移在每个关节角度变化下的变化率。

雅可比矩阵的计算方法有两种常见的方法：几何方法和微分方法。

几何方法是一种基于末端位姿和关节角度的几何关系计算雅可比矩阵的方法。

具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。

2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。

3.将末端坐标系的位姿表示为关节坐标系的位姿，通过一系列的正向变换矩阵计算得到。

4.根据位姿的变换关系，通过求导的方法计算出末端位置向各个关节变量的偏导数。

5.通过逆向传播的方法计算各个偏导数，得到雅可比矩阵。

微分方法是一种基于速度和力学关系计算雅可比矩阵的方法。

具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。

2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。

3.基于运动学关系，计算出末端速度和各个关节速度之间的关系，得到雅可比矩阵的第一部分。

4. 根据Newton-Euler动力学方程，计算出末端力和各个关节力之间的关系，得到雅可比矩阵的第二部分。

5.将第一部分和第二部分相加，得到雅可比矩阵。

无论使用几何方法还是微分方法，都需要根据具体的机械臂的结构和运动学参数进行计算。

在实际应用中，可以使用数值方法或符号计算方法来求解雅可比矩阵。

数值方法可以通过数值逼近法来计算雅可比矩阵，但计算结果可能不够精确。

机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵是一种用于分析机器人运动学的方法。

它是一
个m x n矩阵，其中m是机器人的关节数，n是要求输出的目标点坐标数。

矩阵中的每一行对应于一个机器人关节，每一列对应一个目标点
坐标。

矩阵的每个元素都是一个实数，表示该关节的角度或目标点的
坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依赖性。

通
过解雅可比矩阵，可以求出所需的机器人关节的角度值，从而实现机
器人末端外型的控制。

通常来说，雅可比矩阵是由机器人的齐次变换矩阵计算得来的，
如下所示：
T_01=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)
T_02=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)
T_03=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)*T (θ6)
这里，T (θi)是一个4x4变换矩阵，代表第i个关节的关节转动，θi是该关节的角度。

现在，我们可以用下面的公式来计算雅可比矩阵：
J(θ)=(dT_0j/dθ1)T_01^-1+(dT_0j/dθ2)T_02^-
1+(dT_0j/dθ3)T_03^-1
这里，j=1,2,3，分别对应3个目标点的坐标值，即x、y、z。

可以看到，雅可比矩阵是一个m×n维矩阵，其中m是机器人的关
节数，n是要求输出的目标点坐标数。

它的元素表示每个关节的角度或
目标点的坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依
赖性。

只要解雅可比矩阵，就可以获得机器人末端各个关节的角度值，从而将机器人移动到特定的目标位置。