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机器人雅可比矩阵ppt课件

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第3章雅可比矩阵和动力学分析ppt课件

第3章雅可比矩阵和动力学分析ppt课件

n x o x
ny ox
nz ox
( p n)x ( p o)x
( p n)y ( p o)y
( p n)z 0
(
p

o)z

0
z6x6



ax 0
ax 0
ax 0
( pa)x nx
( pa)y ny
(
p a)z nz

y6 f6 (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
可写成：Y＝F(X) 将其微分，得：
dy1

f1 x1
dx1

f1 x2
dx2

f1 x6
dx6
dy2

f 2 x1
dx1

f 2 x2
dx2

f 2 x6
dx6

dy6
四、雅可比矩阵的构造法
n个关节机器人，雅可比矩阵是6×n矩阵。
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 V
的传递比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速 度 qi 对手爪角速度ω 的传递比。
V J q*q J (q)*q
将J分块为：
q1
V




V

v


x
y
z
x
y
z T
• q 与 V 之间的线性映射关系称为
雅可比矩阵J。
x

y
z
x


y


J
q1 q 2 q n

z

机器人运动学雅可比矩阵

机器人运动学雅可比矩阵
通过雅可比矩阵，可以计算出使机器人末端执行器按照特定轨迹运动的关节变量变化，从而实现机器人的轨迹规划。
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆

第五章 机器人雅可比

第五章 机器人雅可比

(5.18)
第五章
第二节
5.3 雅可比矩阵的构造法
• 1、概述 • 2、矢量积的方法 • 3、微分变换法
第五章
既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即
雅可比矩阵
J (p )
1、概述
V J (q )q
D J (q )dq
其中:q是关节空间位移矢量
x l1c1 l2 c12 y l1 s1 l2 s12
平面2R机械手的运动学方程为：
求其雅可比矩阵。 其雅可比矩阵为：
平面2R机械手
解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12 l2 s12 l2c12
i
0 d 0 dd i ,δ 1
0 0 , 0
抓手相应的微分运动矢量为
T dx T nz d y oz T d z a z dd T 0 i x T y 0 T 0 z
第五章
第二节
对于任何3维矢量 p [ px , py , pz ]T ，其反对称矩阵 定义为:
0 S ( p ) pz p y pz 0 px py px 0
S (p )
(5.16)
它具有以下性质： （1） S ( p ) p , S ( p ) p ； （2） T S ( p ) ( p )T , T S ( p ) ( p )T ；
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0

34机器人运动学雅可比矩阵

34机器人运动学雅可比矩阵

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
3.4 机器人的雅可比矩阵
1、 微分运动与速度
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。
机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。
前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：

n

Rmn
fm

n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 ：基准坐标系 Oe xe ye ze ：指尖坐标系
ze
z0
Pe
Oe
ye
xe
O0
r f ( )
r r1, r2,
, rm T Rm1
1,2 , , n Rn1
rj f j (1,2, ,n ) j 1, 2, , m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新

机器人运动分析中的矩阵变换(PPT52页)

机器人运动分析中的矩阵变换(PPT52页)
1
▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
oz
az
0
0
0
ddi
对于移动关节
nz
oz
T
Ji
az
0
0
0
对于转动关节
(P n)z
(
P
0)
z
T
Ji
(
P
a) nz
z
oz
az
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比 有6列。此处用矢量积法计算J(q)
J ( q) J1 J2
J6
ny oy ay
( (
P P
n) o)
z z
d d
x y
(
P
a) nz
z
d
z
x
oz
y
az z
简写为：
T d RT RT S(P) d
T
0
RT
其中，R是旋转矩阵
nx ox ax
R
ny
oy
a
y
.
nz oz az
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：

02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)

02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)

动学方程中的关节变量进行微分计算而得到的雅可比矩阵。
•
•
x q e J (q)
J --雅可比矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
在操作空间中描述机器人末端的位姿，在关节空间中描述 关 节的角度：
对于转动关节
对于移动关节
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
末端位姿的描述方法：
方向余弦
欧拉角
RPY角
3
3Z 3
2 3
R
1
2 2
3
3Z 3
2 3
R
T
2 2
3
3Z 3
c3 s3
0
s3 c3 0
0
0 2 2
•
3
3Z 3
c3 s 3
1
0
s3 c3 0
0 0
0
0
0
1
•
1
0
•
2
•
3
0 1
•1
0
•
2
•
3
3v3
3 2
R
2v2 2 2
2 3
R
1
2v2 2 2
3
3v
l1s2 l1c2
l2
•
0
l2
1
•
2
c12 s12 0
0 3
R
s
12
c12
0
0 0 1
3J
l1s2 l1c2
l2
0
l 2
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）
0
J
c12
s 12
s12 l1s2
c12
l1c2
l2

机器人雅可比矩阵ppt课件

机器人雅可比矩阵ppt课件

Tdx Tdy
dnpnnpd dopoopd
Tdz dapaapd
T T
x y
n o
T
z
a
ppt精选版
pa
d
Td
o {T} n
33
Tdx Tdy
dnpnnpd dopoopd
Tdz dapaapd
合并写为
T T
x y
n o
写成C=J(q) q，式子两边同除以时间的微分， C J (q)q
上式中，雅可比矩阵 J(q)是 m×n 的偏导数矩阵
C1
q1
C2
J
(q)
q1
Cm
q1
C1 q2
C1 qn
C2 q2
C2
qn
Cm Cm
q2
qn
ppt精选版
24
注意道，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 C/q 是 q 的函数。可以把雅可比矩阵看作是 q 的速度 变换到 Ċ 的变换矩阵，在任何特定时刻，q 具有某一特 定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q 已 改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时 变的线性变换矩阵。
C 再对时间求导，得到： C J q J q
J 是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q 。
ppt精选版
25
用系统的运动方程替代 q ，得到
C J q J W(Q Qˆ )
设 C 为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C
的速度）必须满足J q ＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q | J q 0

机器人雅可比矩阵分析79页PPT

机器人雅可比矩阵分析79页PPT

谢谢！
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
机器人雅可比矩阵分析 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿

机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度

机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度
? 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
角速度 ? 的传递比，因此将 J 分块为：
?V?
??? ??
?
?J i1 ??J a1
Ji2 Ja2
? ?
?q?1 ?
J in Ja2
三逆雅可比矩阵及奇异性雅可比矩阵的奇异性由此可见当雅可比矩阵的行列式为0时既使手爪的速度为一个定值关节速度也将趋于无穷大最终结果会导致关节及该关节的驱动装置损坏
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
? ? V
?
?v?
???
? ?
?
x?
y?
z? ? x
?y
?z T
? q? 与 V之间的线性映射关系称为
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。

微分运动及雅可比矩阵PPT课件

微分运动及雅可比矩阵PPT课件

0 0
0 0
0.1 0
0.1 0
dz
x
0 0 1 0 0 0 0 0.1 y
0 0 0
0
0
1 0.2
0.2
z
第7页/共66页
由例题可知： 刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量
和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移 动组成；后者由绕三轴的微分转动组成。 雅克比矩阵的构造： 一、矢量积分法； 二、微分变化法。
0 0
0
1
l2 s12 l 2 c12
0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1
例3.1 给定某一时刻的机器人雅克比矩阵如下， 计算给定关节的微分运动，求机器人手坐标系 的线位移微分运动和角位移微分运动。
第15页/共66页
2 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
第1页/共66页
让我们计算一下B点的速度
VB VA VB/ A
根据物理学中的相关公式，可以得到
VVBBYX
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
co
s1
l2
co
s(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
12
接下来让我们对B点的位置方程求微分
X B l1 cos1 l2 cos(1 2 ) YB l1 sin1 l2sin(1 2 )
SCARA四自由度机器人的结构和运动具有如下特点：
四个关节，四个关节中有三个是转动关节（关节1、2、
4），一个是移动关节（关节3）。根据速度传递法可
推导出雅可比矩阵如下：

机器人学-雅可比矩阵的定义含义PPT共28页

机器人学-雅可比矩阵的定义含义PPT共28页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
机器人学-雅可比矩阵的定义含义
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普 尼厄斯

机器人雅可比矩阵79页PPT

机器人雅可比矩阵79页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
机器人雅可比矩阵
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿

机器人雅可比矩阵课件

机器人雅可比矩阵课件

雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得人形机器人的雅可比矩 阵。
人形机器人控制
通过雅可比矩阵，可以实现对人形机器人的控制，例如轨 迹跟踪和力控制。同时，还可以进行步态规划和平衡控制 等高级应用。
05
雅可比矩阵的优化与 控制
雅可比矩阵的优化算法
基于梯度下降法的优化算法
利用梯度下降法，通过迭代计算出雅可比矩阵的最优解，使得机器人的运动轨迹 更加平滑和准确。
基于运动学的方法
通过已知的关节变量和运动学模型计算雅可比矩阵 优点：简单、易于计算
缺点：仅在理想情况下考虑了关节变量对雅可比矩阵的影响，忽略了动力学效应
基于动力学的方法
根据动力学模型和已 知的关节变量计算雅 可比矩阵
缺点：计算复杂度较 高，需要更多的计算 资源
优点：考虑了动力学 效应，更准确
基于逆向运动学的方法
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机 械臂的雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂 的控制，例如轨迹跟踪和力控制。
人形机器人的雅可比矩阵求解
人形机器人模型建立
建立一个具有多个自由度的人形机器人模型，包括多个旋 转关节和多个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定人形机器人的末端位置和姿态，求解人形机器人 各关节的旋转角度。
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机械臂的 雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂的控制 ，例如轨迹跟踪和力控制。
四自由度机械臂的雅可比矩阵求解
四自由度机械臂模型建立
建立一个四自由度的机械臂模型，包 括四个旋转关节和三个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定机械臂的末端位置和姿态， 求解机械臂各关节的旋转角度。

雅可比矩阵ppt课件

雅可比矩阵ppt课件
67
动力学普遍方程 的补充：
A
问题的引出
M
m1g m2g
O
BF
m3g
MA
m1g m2g
O
B
m3g
问题1：系统在图示位 置平衡，用什么方法求 F与M的关系？
38
机器人的奇异点讨论：
39
斯坦福机械手的运动学奇点：
40
斯坦福机械手的运动学奇点示例 （讨论theta 5=0的特殊情况）
（theta 5=0时两轴线重合）
41
通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例：
42
43
通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明：
44
2.2 机器人静力分析
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和 力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力 和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操 作臂力控制的基础。
velocity of 0P3org. (c) For what joint values is the manipulator at a singularity? What motion is restricted at this singularity?
66
2.3 机器人动力学方程 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法、拉格 朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯 逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力学研 究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。
2 63
64
2. You are given that a certain RPR manipulator has the following transformation matrices, where {E} is the frame of the end ffector.

02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)

02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)

i1
i
i
i1
i1
i1v i1
R i1 i
i
vi
i ωi
Pi i1
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续7/9）
•
•
•
3 3 3 2R 2 2
3
3Z 3
2 3
R
1
2 2
3
3Z 3
2 3
R
T
2 2
3
3Z 3
c3 s3
0
s3 c3 0
0
0 2 2
•
3
3Z 3
c3 s 3
1
0
s3 c3 0
2
s2 c
2
0
0
1 1
•
2Z
2
2
0 0 1
c
2
s
2
s2 c
2
0
0
0 0
0
•
2
0
0 0
0
0 1 • 1
1
•
1
•
2
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续5/9）
2v 2
2 1
R
1v1 1 1 1P 21 2 NhomakorabeaR
1
1v1 1 1 1P2
J --雅可比矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
在操作空间中描述机器人末端的位姿，在关节空间中描述 关 节的角度：
对于转动关节
对于移动关节
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
末端位姿的描述方法：
方向余弦
欧拉角
RPY角
原点坐标
旋转矩阵
齐次矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）

逆运动学与速度雅可比.正式版PPT文档

逆运动学与速度雅可比.正式版PPT文档
例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知
以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ1，θ2，…θ6（代数法）
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
开链操作机位姿逆解实例
解：1）求θ1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
2）求θ3
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3）求θ2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
求逆小结
求逆解：
1) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 2) 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于
一个的变量公式； 3) 技巧：利用三角方程进行置换
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ)的多解(多值)问题
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.2
1. 对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］T反映关
节空间的微小运动。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第讲逆运动学与速度雅可比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
5.1 工业机器人的运动学方程简介 • 运动方程
– 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具)上的坐标系 (也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的 运动方程。
• 正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置 和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节，取d为 关节变量。
xyll11csions11ll22scions1122
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JiAjqpABTxiqBqjp
，i=1,刚2,…体的,6齐; 次j=变1,换2,矩…阵,n，。描述刚体之间
的空间位姿关系。
.
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y1(u1,u2, ,un)
y2 (u)
ym(u)
y2 (u1, u2 ,
ym (u1, u2 ,
y
l2
l1 1 x
(x,y) 2
将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导, 则得其雅可比矩阵为
.
对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵 的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：
(singular configuration)
操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上） 操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）
设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。
x1 f1(q1,q2,K ,q6) x f (q) x2 f2(q1,q2,K ,q6)
求微分， x f q q
M
x6 f6(q1,q2,K ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
.
.
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2s12
机器人技术基础
第四章 机器人雅可比矩阵 (Manipulator Jacobian)
课程的基本要求: 掌握运动和力雅可比矩阵的物理 含义及基本的求解方法
.
4.1 雅可比矩阵的定义
.
回顾：基本概念
刚体位姿描述和齐次变换
齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 齐次变换和齐次变换矩阵的运算
操作臂运动学
连杆参数、连杆坐标系 连杆变换和运动学方程 机器人关节空间与操作空间
.
例4.1
y
l2
l1 1 x
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位
(x,y) 2
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的 秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸 直(2 ＝0)或完全缩回(2 ＝180)时，机械手末端丧失了 径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手 在操作空间的自由度将减少。
xJ(q)q 关节速度向操作速度的映射关系。进 行机器人操作臂的速度分析。
式中，x称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作
xx(q) 速度，q 为关节速度；操 作作 臂J (臂 的q)的 位是运 移动 关6×学 系n方 ，的程 建偏，立导描了述操数机作矩器空阵人间，操与称
为操作臂的雅可比矩阵关。节空它间的的第映i行射关第系j列。元素为
度运动，求相应的关节速度 q 1 2T
解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
J1(q)l1l1 2s2 l1c l1 2c 1l2 2 c12l1sl1 2s 1l2 2s1 2
于是得到与末端速度 x& [1,0]T 相应的关节速度
反解为
1lc11s22; 2l2cs12
c12 l1s2
.
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq(q)q) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
.
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
.
雅可比矩阵在机器人中的应用
.
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq ，根据力学关系，建立微分约束方
程，基于物理仿真。
.
下面通过一个简单例子介绍约束动力学方法。一个2 D
粒子被强制绕单位圆周运动，设计一个标量行为函数 C(q)
来表达约束。例如可规定约束为
C(q) 1 (q q 1) 2
.
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度 q 1 2T
解：由
可以看出，只要
机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,
相应的关节速度即可解出
qJ1(q)x
对于平面2R机械手，运动学方程为
.
平面2R机械手的速 度反解
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
C=0
Ċ=0
C=0
C=0 合法位置 Ċ=0 合法速度
C=0 合法加速度
fC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C q
约束力 fC ： 限制为法线方向； 与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
图5.9 粒子运动满足约束函数C，并 绕圆周运动。
图5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
.
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
xx(q)
运动学正解
q
关节空间
操作空间 xx(q)
运动学反解
.
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
.
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
操作臂的雅可比矩阵 J (q)，建立了从
当2＝0； 2＝180时，机械手
在水平位置，
1lc11s22; 2l2cs12
c12 l1s2
qJ1(q)x
.
例：物理仿真中的雅可比矩阵
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x)xx1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
,un)
, un )
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u yuy11
y1 u2
uy1n
y相对于u的偏导数定义为
uyuuuyyy m 12(((uuu)))yuyuuym 11211
y1 y1
u2
un
y2 u2
y2
un
J(u)Rmn
yJ(u)u
ym u2
ym un
.
根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：