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雅可比(Jacobian)矩阵2008-12-05 11:29在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:Rn→Rm 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。
这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y i(i=1,...,m)表示的如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。
在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
在动态系统中考虑形为x' = F(x)的动态系统，F : R n→ R n。
如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。
系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。
雅可比行列式如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。
于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。
例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点具有反函数。
这称为反函数定理。
更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p 点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。
三种坐标间转换的雅可比矩阵数值导数计算方法说实话三种坐标间转换的雅可比矩阵数值导数计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。
我最早的时候，就想着按照书上的公式直接来计算。
我把三种坐标，比如说直角坐标、极坐标还有柱坐标的转换公式找出来，然后就硬着头皮对着雅可比矩阵的定义去套。
结果那叫一个惨啊，到处都是错。
不是这里少个系数，就是那里符号弄反了，简直就是一团乱麻。
后来我就想，能不能从简单的例子入手呢。
我就先从二维的坐标转换开始，像直角坐标和极坐标这种简单的情况试试。
我把这个看成是一个小的旅程，坐标就像是地图上的不同标记点。
计算雅可比矩阵就像是找出从一个标记点到另一个标记点最准确的路径。
我先慢慢算每个元素的导数，就像是一小步一小步谨慎地往前走。
这个时候我就发现，我的老问题还是在，有些导数的求法我是按照常规的一元函数求导来的，但是这里是多元的情况，有变量的依赖关系没考虑好。
那行呗，我就重新审视这些关系。
找了一块大白纸，把变量之间的关系画成小的流程图一样的东西。
比如说，在极坐标里，半径r和角度theta 是两个坐标，它和直角坐标x和y有关，x等于rcostheta，y等于rsintheta。
那这里求雅可比矩阵的时候，对于theta求r的偏导数就不是简单的单独对某个变量求导了，要考虑r和theta的复合关系。
这就像是走一条岔路很多的路，要清楚哪条岔路对最终的方向有影响。
然后我在计算数值导数的时候，我一开始把步长取得太大了。
这就像拿着一把太大刻度的尺子去量特别精密的东西，误差大得不行。
后来我就不断调整这个步长，试了很多次，一点点试出比较合适的步长。
我还试过把三种坐标转换都拆分成好几个中间步骤来计算雅可比矩阵，想着这样可以降低难度。
但是这样做就像把一条连续的道路切断了，中间衔接的时候又出问题了，数据对不上。
最后我总结出来一个小经验。
当计算这个雅可比矩阵的数值导数的时候，一定要先把坐标转换公式里变量间的关系琢磨透彻，从简单的维度开始理解透彻再往复杂扩展。
三重积分球坐标变换公式雅可比行列式英文版The Jacobian determinant is a key concept in multivariable calculus, particularly when dealing with transformations between coordinate systems. In the context of triple integrals, the Jacobian determinant plays a crucial role in converting integrals from one coordinate system to another.Consider a triple integral in spherical coordinates, where the integrand is a function f(r, θ, φ) and the volume element is given by dV = r^2 sin(φ) dr dθ dφ. To convert this integral to Cartesian coordinates, we need to calculate the Jacobian determinant of the transformation from spherical to Cartesian coordinates.The Jacobian determinant for the transformation from spherical coordinates (r, θ, φ) to Cartesian coordinates (x, y, z) is given by the formula:J = |∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ)|To calculate this determinant, we need to find the partial derivatives of x, y, and z with respect to r, θ, and φ. These partial derivatives can be expressed in terms of the unit vectors in each coordinate system:∂x/∂r = sin(φ) cos(θ)∂x/∂θ = -r sin(φ) sin(θ)∂x/∂φ = r cos(φ) cos(θ)∂y/∂r = sin(φ) sin(θ)∂y/∂θ = r sin(φ) cos(θ)∂y/∂φ = r cos(φ) sin(θ)∂z/∂r = cos(φ)∂z/∂θ = 0∂z/∂φ = -r sin(φ)By calculating the determinant of the Jacobian matrix formed by these partial derivatives, we can obtain the Jacobian determinant J. This determinant will then be used to convert the volume element dV = r^2 sin(φ) dr dθ dφ in spherical coordinates to the corresponding volume element in Cartesian coordinates.In summary, the Jacobian determinant is a powerful tool in transforming integrals between different coordinate systems, allowing us to work with a variety of mathematical problems in a more convenient and efficient manner.完整中文翻译雅可比行列式是多元微积分中的一个关键概念，特别是在处理坐标系之间的变换时。
雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
六自由度机械臂雅可比矩阵计算机械臂雅可比矩阵是一个非常重要的概念，用于描述机械臂末端位移与关节位移之间的关系。
它可以用于控制机械臂的运动，实现准确的位置控制和轨迹跟踪等任务。
在本文中，我们将详细介绍六自由度机械臂雅可比矩阵的计算方法。
六自由度机械臂是指具有6个可独立运动的关节的机械臂。
常见的六自由度机械臂包括SCARA机械臂、工业机器人等。
对于一个六自由度机械臂，其雅可比矩阵是一个6行6列的矩阵，其元素表示机械臂末端位移在每个关节角度变化下的变化率。
雅可比矩阵的计算方法有两种常见的方法：几何方法和微分方法。
几何方法是一种基于末端位姿和关节角度的几何关系计算雅可比矩阵的方法。
具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。
2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。
3.将末端坐标系的位姿表示为关节坐标系的位姿，通过一系列的正向变换矩阵计算得到。
4.根据位姿的变换关系，通过求导的方法计算出末端位置向各个关节变量的偏导数。
5.通过逆向传播的方法计算各个偏导数，得到雅可比矩阵。
微分方法是一种基于速度和力学关系计算雅可比矩阵的方法。
具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。
2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。
3.基于运动学关系，计算出末端速度和各个关节速度之间的关系，得到雅可比矩阵的第一部分。
4. 根据Newton-Euler动力学方程，计算出末端力和各个关节力之间的关系，得到雅可比矩阵的第二部分。
5.将第一部分和第二部分相加，得到雅可比矩阵。
无论使用几何方法还是微分方法，都需要根据具体的机械臂的结构和运动学参数进行计算。
在实际应用中，可以使用数值方法或符号计算方法来求解雅可比矩阵。
数值方法可以通过数值逼近法来计算雅可比矩阵，但计算结果可能不够精确。
雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵是一种用于分析机器人运动学的方法。
它是一
个m x n矩阵，其中m是机器人的关节数，n是要求输出的目标点坐标数。
矩阵中的每一行对应于一个机器人关节，每一列对应一个目标点
坐标。
矩阵的每个元素都是一个实数，表示该关节的角度或目标点的
坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依赖性。
通
过解雅可比矩阵，可以求出所需的机器人关节的角度值，从而实现机
器人末端外型的控制。
通常来说，雅可比矩阵是由机器人的齐次变换矩阵计算得来的，
如下所示：
T_01=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)
T_02=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)
T_03=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)*T (θ6)
这里，T (θi)是一个4x4变换矩阵，代表第i个关节的关节转动，θi是该关节的角度。
现在，我们可以用下面的公式来计算雅可比矩阵：
J(θ)=(dT_0j/dθ1)T_01^-1+(dT_0j/dθ2)T_02^-
1+(dT_0j/dθ3)T_03^-1
这里，j=1,2,3，分别对应3个目标点的坐标值，即x、y、z。
可以看到，雅可比矩阵是一个m×n维矩阵，其中m是机器人的关
节数，n是要求输出的目标点坐标数。
它的元素表示每个关节的角度或
目标点的坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依
赖性。
只要解雅可比矩阵，就可以获得机器人末端各个关节的角度值，从而将机器人移动到特定的目标位置。
二重积分雅可比行列式雅可比行列式是在二重积分中的一种非常重要的工具，它在计算坐标变换后的积分时起到了至关重要的作用。
本文将介绍雅可比行列式的概念、计算方法以及其在二重积分中的应用。
首先，我们来了解一下雅可比行列式的定义。
在二维平面上，我们常常需要进行坐标变换，例如从直角坐标系转换到极坐标系。
当我们进行这种变换时，坐标系中的点会发生变化，其对应的面积也会发生变化。
而雅可比行列式就是用来衡量这种变化的比例因子。
具体来说，设在平面上有由直角坐标系(x, y)到另一种坐标系(u, v)的变换规则给出。
我们可以把这个变换规则写成如下的形式：u = f(x, y)v = g(x, y)其中，f和g是连续可微的函数。
那么在变换之后的坐标系中，一个面积元素dudv的大小是多少呢？这个问题就可以通过雅可比行列式来回答。
雅可比行列式的定义为：J = |∂(u, v)/∂(x, y)|其中，∂(u, v)/∂(x, y)表示变换规则的偏导数矩阵。
对于二维平面上的变换，它可以写成如下的形式：J = |∂u/∂x ∂u/∂y||∂v/∂x ∂v/∂y|这个行列式的值描述了坐标变换对面积的影响，它告诉我们在坐标变换之后，一个微小的面积元素dxdy会变成多大。
接下来，我们来看一下如何计算雅可比行列式。
首先，我们需要计算每个变换坐标的偏导数。
然后，将这些偏导数组成一个2×2的矩阵，再计算该矩阵的行列式，即可得到雅可比行列式的值。
雅可比行列式的计算方法如下：J = ∂u/∂x * ∂v/∂y - ∂u/∂y * ∂v/∂x通过计算雅可比行列式，我们可以得到坐标变换对面积的影响。
在实际问题中，我们常常需要将积分从一个坐标系转换到另一个坐标系。
而这就需要用到雅可比行列式。
雅可比行列式在二重积分中的应用非常广泛。
在进行变量替换时，我们需要根据具体的变换规则，计算出雅可比行列式的值，并将其作为变换的比例因子加入到积分式中。
这样，我们就可以正确地计算出变换后的积分结果。
第九章开式链机构§9-1 开式链机构的特点及功能由开式运动链所组成的机构称为开式链机构,简称开链机构.一、特点1、开式运动链的自由度较闭式运动链多，要使其成为具有确定运动的机构，就需要更多的原动机；2、开式运动链中末端构件的运动与闭式运动链中任何构件的运动相比，更为任意和复杂多样。
二、应用利用开式运动链的特点，结合伺服控制和电子计算机的使用，开式链机构在各种机器人和机械手中得到了广泛的应用。
机器人的应用是多方面的：制造业中，完成产品的生产从单一品种大批量生产逐步向多品种小批量生产过度；在微电子工业和制药工业中，为避免人工介入而造成的污染，用机器人代替人完成某些操作；在深水资源开发、卫星空间回收及外层空间活动中，机器人已成为不可或缺的工具；机器人还可用于矿产开采、排险救灾及各种军事用途。
实例：a) 喷漆机器人 b) 装配机器人 c) 搬运机器人三、机器人与传统自动机的区别由连杆、凸轮等闭式链机构所组成的一般自动机，用于多次完成同样的作业----- 固定自动化；由开式链机构所组成的机器人和机械手，可在任意位置、任意方向和任意环境下单独地或协同地进行工作，是一种灵活的、万能的、具有多目的、多用途的自动化系统------ 柔性自动化。
机器人与传统自动机的区别在于前者具有更大的万能性和多目的的用途，易于调整来完成各种不同的劳动作业和智能动作，包括在变化之中以及没有事先说明的情况下的作业。
§9-2 开式链机构的结构分析本节以机器人操作器为例，介绍开式链机构的组成和结构。
一、操作器的组成操作器是机器人的执行系统，是机器人握持工具或工件、完成各种运动和操作任务的机械部分，由机身、臂部、腕部和手部（末端执行器）组成。
机身：用来支持手臂并安装驱动装置等部件，常把它与臂部合并考虑。
臂部：操作器的主要执行部件，其作用是支撑腕部和手部，并带动它们在空间运动，从而使手部按一定的运动轨迹由某一位置达到另一指定位置。
腕部：连接臂部和手部的部件，其作用主要是改变和调整手部在空间的方位，从而使手爪中所握持的工具或工件取得某一指定的姿态。
手部：操作器的执行部件之一，其作用是握持工件或抓取工件。
二、操作器的自由度操作器的自由度：在确定操作器所有构件的位置时所必须给定的独立运动参数的数目。
操作器的主运动链通常是一个装在固定机架上的开式运动链。
操作器中的运动副：仅包含单自由度运动副——转动关节和移动关节。
自由度计算公式：操作器的自由度：操作器中第I个运动部件的自由度操作器臂部的运动称为操作器的主运动，臂部各关节称为操作器的基本关节。
臂部自由度组合及运动图形1）直线运动2）回转运动3）直线运动与回转运动结论：为了使操作器手部能够达到空间任一指定位置，通用的空间机器人操作器的臂部应至少具有3个自由度；为了使操作器的手部能够到达平面中任一指定位置，通用的平面机器人操作器的臂部应至少具有2个自由度。
腕部的自由度：用来调整手部在空间的姿态。
为了使手爪在空间取得任意的姿态，在通用的空间机器人操作器中其腕部应至少有3个自由度。
一般情况下，这3个关节为轴线相互垂直的转动关节。
为了使手爪在平面中能取得任意要求的姿态，在通用的平面机器人操作器中其腕部应至少有一个转动关节。
手部运动的自由度一般不计入操作器的自由度数目中。
结论：1）通用的空间机器人操作器的自由度大于等于6（位置3个，姿态3个），其中转动关节大于等于3；2）通用的平面机器人操作器的自由度大于等于3（位置2个，姿态1个），其中转动关节大于等于1；3）仅用移动关节不可能建立通用的空间或平面机器人。
冗余自由度操作器的自由度大于6时，手爪可绕过障碍到达一定的位置。
三、操作器的结构分类1、直角坐标型（直移型）三个基本关节：均为移动关节运动图形：长方体优点：结构简单，运动直观性强，便于实现高精度。
缺点：占据空间大，相应的工作范围小。
实例：2、圆柱坐标型（回转型）三个基本关节：2个移动关节，一个转动关节；运动图形：空心圆柱优点：运动直观性强，占据空间较小，结构紧凑，工作范围大。
缺点：受升降机构的限制，一般不能提升地面或较低位置的工件。
实例：3.球坐标型（俯仰型）三个基本关节：移动关节1个，转动关节2个。
运动图形：空心球体优点：由于其具有俯仰自由度，能完成从地面提取工件的任务，工作范围扩大了。
缺点：运动直观性差，结构较复杂，臂端的位置误差会随臂的伸长而放大。
实例：4.关节型（屈伸型）三个基本关节：均为转动关节运动图形：球体优点：占据空间小，工作范围大，可绕过障碍物运送或提取工件。
缺点：运动直观性差，驱动控制比较复杂。
实例：§9-3 开式链机构的运动学一.研究的主要问题1、正向运动学问题（直接问题）给出关节参数、、，求，，给出操作器的一组关节参数，确定其末端执行器的位置和姿态，可获得一组唯一确定的解。
2、反向运动学问题（间接问题给出末端执行器的位置和姿态，，，求关节参数、、。
对于工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，确定一组关节参数，使末端执行器达到规定的位置和姿态，有解的存在性（解的存在与否表明其操作器是否能达到所要求的位置和姿态）和多重解（对应与工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，可能存在着多组关节参数，每一组关节参数都可以使末端执行器达到这一规定的位置和姿态）的问题。
3、工作空间工作空间：指在机器人运动过程中，其操作器臂端所能达到的全部点所构成的空间，其形状和大小反映了一个机器人的能力。
可达到的工作空间机器人末端执行器至少可在一个方位上能达到的空间范围。
灵活的工作空间机器人末端执行器在所有方位上均能达到的空间范围。
二.平面两连杆关节型操作器1、正向运动学问题已知各关节的位置坐标、和其各阶导数、（关节速度）和、（关节加速度），求操作器臂端B点的位置、、，速度、和加速度、。
位置分析姿态角=+速度分析（对位移方程求导）：雅可比矩阵操作器的雅可比矩阵是关节速度和操作器臂端的直角坐标速度之间的转换矩阵。
操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。
2、反向运动学问题已知操作器末端执行器的位置、、速度、和加速度、，求解操作器各关节的位置参数、；运动参数、（关节速度）和、（关节加速度）。
位置分析*如果不满足约束条件，说明给定的臂端目标位置过远，已超出了该操作器的工作空间。
则*既可保证求出所有的解，又保证了求出的角度在正确的象限内。
* 角可在任一象限内，它取决与、的符号。
故则“+”：<0时；“-”：>0时速度分析* 操作器各关节的速度，可通过其雅可比矩阵的逆矩阵和给定的操作器臂端的直角坐标系中的速度求得。
一个矩阵有逆的充要条件是其行列式的值不为零，即当：两连杆伸直共线：两连杆重叠共线时，不存在。
意味着在该操作器工作空间的边界上，操作器将不再是一个2自由度的操作器，而变成了仅具有一个自由度的操作器。
这样的位置称为操作器的奇异位置。
在奇异位置，有限的关节速度不可能使臂末端获得规定的速度（类似与曲柄滑块机构的“死点”位置）。
该式表明：在奇异位置，为了使臂末端具有规定的速度，要求关节速度必须达到无穷大；在奇异位置附近，为了使臂末端具有规定的速度，需要有限的但却非常高的关节速度、（正比于）。
3、工作空间可达到的工作空间* 在工作空间内的每一点，末端执行器可取得两个可能的姿态；* 在工作空间边界上的每一点，末端执行器只能有一个可能的姿态。
灵活工作空间*在圆心点，末端执行器可获得任意姿态。
平面三连杆关节型操作器1、正向运动学问题已知操作器各连杆长度、、；各关节的位置坐标、、；关节速度、、，求操作器臂端末端执行器的位置坐标、和姿态角。
位置分析速度分析雅可比矩阵：操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。
2、反向运动学问题已知操作器末端执行器的位置、和末端执行器的姿态，求解操作器各关节的位置参数、、。
位移分析思路：将三连杆问题转化为两连杆问题。
利用前述方法求得、后，最后计算关节角：其速度问题可通过式9-18两边同乘一个得到。
讨论* 对应于工作空间的一个目标点，可解出两组关节角，其所对应的末端执行器的姿态相同，出现多重解的问题；* 当操作器有多重解时，系统必须选择其中一个解。
选取原则：一般情况下，选择使每个关节运动量最小的解；有障碍物时，应避免与之碰撞；在存在多重解时，必须求出所有可能的解，然后根据具体情况加以选择。
3、工作空间重要结论：* 对于关节型操作器而言，如果各连杆长度相等，而腕部连杆的长度设计的尽可能短的话，其工作空间的形状和尺寸则可以大大改善；* 人的手臂：上臂长度=下臂长度。
腕部长度。
