2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高一下学期5月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省名高一下册5月联合测评数学模拟试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{sin },2,0x A y y x B y y x ====≤∣∣，则A B ⋂=（）A ．(,0]-∞B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．(]0,12．已知i 为虚数单位，复数i(2i)z a =-的虚部与实部互为相反数，则实数a =（）A ．1-B ．2-C ．1D ．23．立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（）A ．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面B ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一条直线的两条直线平行4．已知向量,a b 满足||2,||3,0a b a b ==⋅= ，则||a b +=（）A B ．1C ．5D 5．点P 在以坐标原点为圆心，半径为1的圆O 上逆时针作匀速圆周运动，起点为圆O 与x轴正半轴的交点，点Q 为(0)y x =≤与圆O 的交点，记点P 运动到点R ，使得2sin 3ROQ ∠=（点R 在第二象限），则点R 的坐标为（）A ．2,66⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,66⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．215523,66⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D ．215523,66⎛ ⎝⎭6．将函数()cos f x x x =+向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到一个偶函数，则实数ϕ的最小值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AB BC BB ⊥==，过点A 作直线l 与11A C 和1B C 所成的角均为α，则α的最小值为（）A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒8．在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，ABC △的面积为3,2AC CB ⋅∈，则()()c a b c b a +-+-的取值范围为（）A ．8,8)-B ．+C ．(12-D ．(12-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，则（）A ．复数23i z =-在复平面内对应的点位于第四象限B ．|12i |5-=C ．232023i+i +i i1++=-D ．1z =-，则4z z ⋅=10．已知向量(cos ,sin )([0,])a b θθθπ==∈，则（）A ．若a b ∥，则6πθ=B ．a b ⋅ 的最小值为1-C ．||||a b a b +=- 可能成立D ．||a b - 的最大值为311．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1BC 上的动点，则（）A ．DP ∥平面11AB DB ．1D P CP +C ．直线DP 与平面ABCD 、平面11DCC D 、平面11ADD A 所成的角分别为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++=D ．点C 关于平面11AB D 的对称点为M ，则M 到平面ABCD 的距离为4312．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,,3,,3a b c a A O π==为ABC △的外心，则（）A ．若ABC △有两个解，则3c <<B ．OA BC ⋅的取值范围为[-C ．BA BC ⋅的最大值为9D ．若,B C 为平面上的定点，则A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若53,5,sin 9a b B ===，则cos A =______________．14．已知点()()()()0,2,2,3,3,3,6,7A B C D ，则AB 在CD上的投影向量为______________．（用坐标表示）15．已知函数()f x 满足(1)1y f x =+-为奇函数，则函数()f x 的解析式可能为______________（写出一个即可）．16．已知正三棱锥A BCD -的侧棱长为32BAC BAD CAD π∠=∠=∠=．过顶点A 作底面BCD 的垂线，垂足为E ，过点E 作侧面ABC 的垂线，垂足为F ，过点F 作平面ABD 的垂线，垂足为G ，连接相关线段形成四面体AEFG ，则四面体AEFG 的外接球的表面积为______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知||3,||2a b == ，向量,a b 的夹角为60,23,2c a b d ma b ︒=+=-，其中m ∈R ．（1）若c d∥，求实数m 的值；（2）若c d ⊥，求实数m 的值．18．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为3sin ,,,2sin tan Ca b c A C B=．（1）求B 的大小；（2）若B 为锐角，求sin sin sin A B C ++的取值范围．19．（12分）意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，AB 为半圆的直径，,C D 为半圆弧上的点，4,60AB CBA BAD =∠=∠=︒，阴影部分为弦,,BC CD DA 与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径AB 所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．（1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；（2）计算该几何体的体积．20．（12分）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如图，经过测量2,6,4,4AB BC CD DA ====，中间AC 是一条道路，其面积忽略不计．（1）求3cos 4cos B D -的值；（2）,ABC ACD △△的面积分别记为12,S S ，求2212S S +的最大值．21．（12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，2,,PA AB M N ==分别为,PA PC 的中点．（1）证明：平面PBD ⊥平面BMN ；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的正弦值；（3）求该四棱锥被平面BMN 所截得的两部分体积之比12V V ，其中12V V <．22．（12分）（1）已知函数()(0,)af x x x a x=+>∈R ，指出函数()f x 的单调性．（不需要证明过程）；（2）若关于θ的方程22sin 2sin 22cos sin 24sin 2(sin cos )044k k k k ππθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有实数解，求实数k 的最大值．数学答案与评分细则题号123456789101112答案DBDABCCBACDBCACDABD一、选择题1．D [1,1],(0,1],(0,1]A B A B =-=∴⋂= ．2．B 2i z a =+ 且20,2a a +=∴=-．3．D根据四个基本事实可知前三个都是立体几何中的基本事实．4．A 由||a b +== ．5．B ()()cos 120,sin 120R R x ROQ y ROQ =∠+=∠+︒︒ 且5cos 3ROQ ∠=，2,66R R x y -+∴==．6．C将函数()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭向右平移(0)ϕϕ>个单位长度得到函数2sin 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由函数2sin 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数得到()62k k z ππϕπ-=+∈，又0ϕ>，min 23πϕ∴=．7．C 111,AC A C B CA ∴∠ ∥为异面直线11A C 和1B C 所成的角，又11AC B A B C ==，160B CA ∴∠=︒，过点C 作直线l 的平行线l '，则l '与1B CA ∠的角平分线重合时，α取得最小值30︒．8．B由133sin 22sin ABC S ab C ab C==⇒=△．3cos 3cos()cossin tan C AC CB ab C ab C C Cπ∴⋅=-=-=-=-∈ ，从而255tan ,,3362312C C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-⇒∈⇒∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22222()()()22cos 2c a b c b a c a b c a b ab ab C ab ∴+-+-=--=--+=-+，6(1cos )2cos 22(1cos )6tansin 2C Cab C ab ab C C --+=-==∈+．9．ACD A 对，23i z =-对应的点坐标为(2,3)-在第四象限；B 错，|12i |-=C 对，()4414243*i i i i 0n n n n n ---+++=∈N ，故23202323i i i i i i i 1++++=++=- ；D 对，2||4z z z ⋅==．10．BC A 错，若a b ∥，则sin 2sin 03πθθθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．又[0,],3πθπθ∈∴=．B对，cos 2sin 6a b πθθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ，当θπ=时，min ()1a b ⋅=- ；C 对，由选项B 可知，当56πθ=时，0a b ⋅= ，则||||a b a b +=-；D错，||a b -== ，当θπ=时，max ||a b -=．11．ACD A 对，平面1BC D ∥平面11AB D DP ⇒∥平面11AB D ；B 错，将平面11DC B 和平面1BC C 展开到同一个平面，连接1D C 即为所求最小值．用余弦定理或者过1D 作1CC延长线的垂线，再用勾股定理均可得出1D C =C 对，当P 为B 或1C 时，易求得222sin sin sin 1αβγ++=；当P 为1BC 线段中间的点时，过P 作与平面ABCD 、平面11DCC D 、平面11ADD A 平行的平面，构成一个新长方体，其长、宽、高分别设为,,a b c，则222222sin sin sin 1αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=；D 对，因为1A C ⊥平面11AB D ，且垂足为1AC 上靠近1A 的三等分点，则C 关于平面11AB D 的对称点M 为把1CA 延长13倍，于是M 到平面ABCD 的距离为43．12．ABD A对，有两解的情形为3332c c c <<⇒<<；B对，由正弦定理32sin sin 3a R A π===，得外接圆半径R =，于是cos ,,[OA BC Ra OA BC OA BC ⋅=〈〉=〈〉∈-；C 错，法一：用投影向量求解：当BA 在BC 上的投影向量模最大且与之同向，取得BA BC⋅ 的最大值，此时,OA BC BA BC ⋅ ∥最大值为39322⎛+=+ ⎝法二：转化到圆心：max 99()()22BA BC BC BO OA BC OA ⋅=⋅+=+⋅=+ ；D 对，由正弦定理知A的优弧上运动，但是由两段优弧拼接成葫芦状，所以长度为423π=．三、填空题13．3在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =可解出1sin 3A =，又AB <，故22cos 3A =．14．68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1),(3,4)AB CD ==，由投影向量公式可得．15．()f x x =取()f x x =，则(1)1(1)1y f x x x =+-=+-=符合题意．16．3π正三棱锥A BCD -为正方体的一个墙角，E 为等边BCD △的中心．因为平面ABC ⊥平面,ABD FG ⊥平面ABD ，则G 在AB 上．知四面体AEFG 为鳖臑模型，则AE 即为外接球的直径，即232,432R R S R ππ====．（本题也可以把立体图形放在正方体中，更方便理解各个垂足所在的位置）四、解答题17．（1）a 与b 不共线，∴由24233m c d m -⇒=⇒=-∥．5分（2）22426(34)273603c d ma b m a b m m ⋅=-+-⋅=-=⇒=．10分18．（1）由3sin 3sin cos 2sin tan sin C C BA CB B==2sin sin sin cos A B C B C B ⇒-=．3分又sin cos cos sin sin()sin ,2sin sin B C B C B C A A B A +=+=∴=．4分(0,)sin 0A A π∈⇒≠，则3sin 2B =，又(0,)3B B ππ∈⇒=或23B π=．6分（2）∵角B 是锐角，由（1）得2,33B C A ππ==-．7分23sin sin sin sin sin cos3226A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9分2510,,,,sin ,1,sin sin3666622A A A A C πππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈∴+∈∴+∈∴+∈ ⎪⎪ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦⎝ ．11分sin sin sin A B C ∴++的取值范围是332⎦．12分19．（1）该几何体中间空心部分为一个圆柱和两个等高的圆锥拼接而成的组合体，且圆柱的上下底面分别为两个圆锥的底面．该旋转体为球体挖去上述组合体而形成的几何体．（写出“圆柱”、“圆锥”、“球”中一项给1分，两项给3分）3分（2）连接BD ，则AD BD ⊥．分别过,C D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ．60,4BAD AB ∠=︒=，则2,1AD DF AF ===．同理2,1,4112BC CE BE EF ====--=，即2CD =．6分体积为球的体积，碱去两个圆锥的体积，减去圆柱的体积3224182212333V ππππ=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=．12分20．（1）在,ABC ADC △△中，2,6,4AB BC AD CD ====，根据余弦定理，2222cos 43624cos 4024cos AC AB BC AB BC B B B =+-⋅=+-=-．同理，在ADC △中，23232cos AC D =-．所以4024cos 3232cos B D -=-，化简得3cos 4cos 1B D -=．5分（2）由（1）有3cos 1cos 4B D -=．由题意()22222111sin 26sin 36sin 361cos 22S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7分同理可得，ADC △的面积2S ，222222(8sin )6464cos 644(3cos 1)6036cos 24cos S D D B B B ==-=--=-+．10分令cos B x =，则()()22222123616024362434S S x x x x x +=-++-=-++，所以，当1cos 6x B ==时，2212S S +取得最大值，最大值为98．12分21．（1）连AC ，并取AC 中点O ，连PO ．ABCD AC BD PA PC AC PO PO BD O AC PBD PO PBDBD PBD ⇒⊥⎫⎪=⇒⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎭正方形平面平面平面．MN AC MN PBD PBD BMN MN BMN ⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭又∥平面平面平面平面．4分（2）设PO 与MN 相交于点F ，则F 为PO 的中点，延长BF 交PD 于点E ，连接,EM EN ．由BC =2BD =，则PBD △为等边三角形．因为平面PBD ⊥平面BMN ，所以P 到平面BMN 的距离等于P 到直线BE的距离．,,222BF PF PB =====．5分在PBF △中，用余弦定理，得2222cos 72PBF +-∠=．则sin 14PBF ∠==．则P 到直线BE的距离sin 27d PB PBF =∠=⨯=．7分直线PB 与平面BMN所成角的正弦值217sin 214d PBθ===．8分（此问若直接说明PBF ∠为所求的角，从而计算也可给8分；或者用等体积法求距离均可．）（3）过E 作EH BD ⊥于H ，设DH x =，则,1,2EH OH x OF ==-=，1OB =，由OF BO EH BH =3122x=-，解出23DH x ==．即E 点为PD 上靠近P 点的三等分点．9分在PBE △中，BE ==四棱锥P ABCD -的高PO =，则13P ABCD V -==10分四边形BMEN的对角线垂直，则11111323279P BMEN V BE MN d -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=，下方几何体体积35399P ABCD P BMEN V V V --=-=-=下，所以1215539V V ==．12分22．（1）当0a =时，()f x x =在(0,)+∞上单调递增；1分当0a <时，()af x x x =+在(0,)+∞上单调递增；3分当0a >时，()af x x x=+在上单调递减，在)+∞上单调递增．5分（2）0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则2cos sin ,sin 21442x x ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则原方程化简为43210x kx kx kx ++++=．7分因为320x x x ++>，则方程进一步转化为242321111x x x k x x x x x++=-=-++++．10分令1t x x =+，由（1）及x ∈知t ⎡∈⎢⎣．则221(1)211t k t t t -⎡⎤=-=-+--⎢⎥++⎣⎦，由（1）知关于t 的函数在⎡⎢⎣单调递减，所以当2t =时，k 的最大值为23-．12分。

湖北省武汉市第一中学2021-2022学年高一下学期5月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．36
B ．665．已知,l m 是两条不同的直线，α命题是（
）
A ．若,//l αββ⊥，则l α⊥C ．若,//,//m l l m αβ⊂，则/α6．我国数学家张益唐在“孪生素数数，就是指两个相差2的素数，例如2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（
二、多选题
三、填空题
(1)求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试成绩的众数，平均分和方差．
19．一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中地依次随机摸出2个球．(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果是2个红球，n 个绿球，已知取出的少?
20．如图所示，在正三棱柱11ABC A B -(1)证明：直线1AB //平面1DC B ；
(2)求直线1A D 与平面1DC B 所成的角的余弦值，
21．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，为DO 上一点，APC ∠(1)证明：平面PAB ⊥平面
(1)若F为1
BB的中点，试确定点
(2)在（1）的条件下，求截面
(3)设截面AFEG的面积为
变动时，求
2
12
S
S S的取值范围．。

2023年湖北新高考协作体高一5月联考高一数学参考答案1-5：CABBD 9.AC 10.BCD 11.6-8：CDB CD 12.ACDπ−∆∆−−∆===∠==+−⋅⋅=∴=+∴⊥⊥=∴⊥⊂∴⊥⊥=∴⊥⊥=∴⊥⊥∴∠−−∆==∠==∆−−=−+=⊥=⋅=⨯⨯=∆===∠=∴∠=∴=⋅∠===P ABC ABC PAB C PAB P ABC ACDA ABC AB BC AD ABC AC AB BC AB BC AB AC BC BC AC BC AP AP AC A BC APC BC ABC APC ABC A B ACE E EF AB F PA PC PE AC APC ABC APC ABC AC PE ABC EF AB PFE P AB C Rt PFE PE EF PFE PE EF B C Rt ABC AB O O PE P ABC O O R R R R O C D PE ABC V S PE PAB PA PB AB PAB PAB S PA AB PAB C APBd V V d D 在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面，故对取的中点点，过点点作于点，，，平面平面，平面平面，平面，又，是二面角的平面角，在中，，，，故错在中，取的中点，过点作的平行直线，则三棱锥的外接球的球心在这条直线上，设外接球的半径为，则，算得，故外接球的表面积为，故对由平面，在中，，，，由余弦定理得，，设点到平面的距离为，由可得故对222222''22212..21602cos603...1234tan 233..14112545..13133212312.122cos 34sin 7412sin 74.217..13. ，−−24)( 14．3 15.191316.−π(10817.（1）=k 6（5分）（2）⎝⎭⎝⎭⎪⎪∈−∞−−⎛⎫⎛⎫k 33,,688（10分）()18.:1//// .////,//?·················································//.?··········ABCD AD BC AD ADE BC ADE BC ADE FB ED FB ADE BCBF B BC BF BCF ADE BCF EA EAD EA BCF ⊂⊄=⊂∴⊂∴证明在正方形中，，又由平面，平面，故平面，同理可证平面，又，平面，平面平面， 4分又平面，平面·················································6(2),.222.,,,BD AC O OE OF AB ED FB AB BC AD ED ABCD AC ABCD ED AC AC BD ED BD D ED BD BDEF AC BDEF OE OF BDEF AC OE AC OF ======⊥⊂⊥⊥=⊂⊥⊂⊥⊥分如图，连接交于，连接设，则由平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以，所以222······························3.?········12EOF E AC F EOF OF OE EF EF OE OF OE OF E AC F EAC FAC ∠−−=======+⊥−−⊥是二面角的平面角，9分在三角形中，，所以，所以，---11分二面角是直二面角，即证平面平面分19.解（1）sin 2sin ,2sin cos sin ,B C B B C =∴=sin 2cos cos sin ,(0,)2,563C c B B B b c b B B C πππ⇒===⇒=>∴∈⇒==···························································分（2）,2A π=,36C B ππ==111sin sin sin 222222cos112ACEABEABCSS SA A AC AE AB AE AC AB A A AB AC AE+=+=⇒+= ⇒12cos 453AE==AE ====. )914ABES−=````````````````````````````````12分20.【解析】（1） 证明：如图所示，连接BD 。

高一数学试卷试卷满分150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1. 下列说法正确的是（ ） A. 三点可以确定一个平面B. 一条直线和一个点可以确定一个平面C. 四边形是平面图形D. 两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【解析】【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可. 【详解】对于A ，不共线的三点确定一个平面，故选项A 错误；对于B ，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B 错误； 对于C ，空间四边形不是平面图形，故选项C 错误；对于D ，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D 正确. 故选：D.2. 在中，AC =1，，BC =3，则的面积为（ ）ABC A AB =ABC AA.B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用余弦定理求出AB 边所对角的余弦，进而求出其正弦即可作答.【详解】在中，由余弦定理得：，ABC A 2221cos 22AC BC AB C AC BC +-===⋅而，于是得，0C π<<3C π=所以的面积为. ABC A 11sin 1322ABC S AC BC C =⋅=⋅⋅=A 故选：BA. 若，，则 m n ⊥n α∥m α⊥B. 若，，则 m β∥βα⊥m α⊥C. 若，，，则 m β⊥n β⊥n α⊥m α⊥D. 若，，，则 m n ⊥n β⊥βα⊥m α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A 选项错误； m n ⊥//n αm α⊥//m αm α⊂当，时，可能有，但也有可能或，故选项B 错误； //m ββα⊥m α⊥//m αm α⊂当，，时，必有，从而，故选项C 正确； m β⊥n β⊥n α⊥//αβm α⊥在如图所示的正方体中，1111ABCD A B C D-取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，m 11B C n 1CC βABCD α11ADD A m n ⊥n β⊥βα⊥但不成立，故选项D 错误； m α⊥故选：C.4. 在中，，则（ ） ABC A 24,3,sin 3a b A ===B =A.B.C.或D.或6π3π6π56π3π23π【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理可求sin B ，根据大边对大角可求B 的范围，由此可求B 的大小.【详解】根据正弦定理得，， 23sin 13sin sin sin 42ab b A B AB a⨯=⇒===，，，.a b > A B ∴>2B π∴<6B π∴=故选：A.5. 如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与1111ABCD A B C D -2AB =11BC BB ==P 1AC BP 所成角的余弦值为（ ）1ADA.B.C.D.13【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D DA x DC y 1DD z 与所成角的余弦值．BP 1AD 【详解】在长方体中，，，为的中点， 1111ABCD A B C D -2AB =11BC BB ==P 1AC 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∴D DA x DC y 1DD z ，2，，，0，，，2，， (1B 0)1(1A 1)(0C 0)，，0，，，0，， 11(,1,)22P (1A 0)1(0D 1)，，，，0，，1(2BP =- 1-1)21(1AD =- 1)设异面直线与所成角为， BP 1AD θ则．11||cos ||||BP AD BP AD θ⋅===⋅异面直线与． ∴BP 1AD 故选：．D【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6. 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）A. B.C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得. 【详解】大圆柱表面积为 2215π10215π750π⨯+⨯⨯=小圆柱侧面积为，上下底面积为102πr ⨯22πr 所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大. 2750π20π2πr r +-=5r 故选：D7. 已知在中，，则的形状是（ ） ABC A 22+,B A C b ac ==ABC A A. 直角三角形 B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】【分析】根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论.2B A C =+B π=2【详解】解：因为， 2B A C =+所以，所以，3A B C B π++==3B π=则，2222cos b a c ac B =+-即，所以， 22ac a c ac =+-()20a c -=所以，a c =所以为等腰三角形， ABC A 又，所以为等边三角形.3B π=ABC A 故选：D.8. 与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）A.B.C. D.2-2+-+【答案】C 【解析】【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. R【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长S ABC -AB BC AC ===3SA SB SC ===设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中O R S N ABC A AB 点，连接，过点作垂足为，则，设，OM O OH SC ⊥H OM OH R ==ON h =在中，Rt CMB A CM ===因为为的中心，则，， N ABC A 23NC MC ==13MN MC ==在中即； Rt OMN A 222OM ON MN =+222R h =+在中，，即，Rt SNC A 222SN SC NC =-1SN ==在中，，则Rt ONC A 222OC ONNC =+OC ===；在中，，则，Rt OSH A 222SH OS OH =-SH =在中，，则， Rt OCH A 222HC OC OH =-HC =又因为，化简得， SH HC SC +=3+=)1R h =-由得解得. )2221Rh R h ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩2240R -+=R =故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上）9. 如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的1111ABCD A B CD -,M N 11A D 1AA 是（ ）A. 1//C M ACB.1BD AC ⊥C. 与所成的角为 1BC AC 60 D. 与为异面直线 CD BN 【答案】BCD【分析】由异面直线定义可知AD 正误；证得平面后，利用线面垂直性质可知B 正确；由AC ⊥1BDD 可知所求角为，由长度关系可得，知C 正确.11//AC AC 11BC A ∠1160BC A ∠=【详解】对于A ，平面，，，平面，//AC 1111D C B A 11//AC AC 1111AC C M C = 1C M ⊂1111D C B A 与是异面直线，A 错误；1C M ∴AC 对于B ，，，，平面，1AC DD ⊥ AC BD ⊥1BD DD D = 1,BD DD ⊂1BDD 平面，又平面，，B 正确；AC ∴⊥1BDD BD ⊂1BDD 1AC BD ∴⊥对于C ，，即为异面直线与所成的角，11//AC A C ∴11BC A ∠1BC AC ，为等边三角形，，C 正确； 111BC AC A B == 11A BC ∴A 1160BC A ∴∠= 对于D ，，平面，，平面，//CD AB //CD 11ABB A AB BN B Ç=BN ⊂11ABB A 与为异面直线，D 正确.CD ∴BN 故选：BCD .10. 在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列关系式恒成立的是（ ） ABC A A.B. cos cos c a B b A =⋅+⋅22sin1cos 2A BC +=+C.D.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-【答案】ABC 【解析】【分析】由得，结合正弦定理可判断A ；由二倍角sin sin()C A B =+sin sin cos sin cos C A B B A =⋅+⋅公式得计算可判断B ；由余弦定理化角为边可判断C ；由两角和的正切公22sin1cos()2A BA B +=-+式化简可判断D.【详解】，则，结合正弦定理得sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+sin sin cos sin cos C A B B A =⋅+⋅，故A 正确；cos cos c a B b A =⋅+⋅，故B 正确； 22sin 1cos()1cos(π)1cos 2A BA B C C +=-+=--=+，故C 正确；()22222222cos cos 22a c b b c a c a B b A ac bc a b ac bc +-+-⋅⋅-⋅=⋅-⋅=-，故D 错误.tan tan tan()tan(π)tan 1tan tan A BA B C C A B+=+=-=--11. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段S ABCD -E M N BC CD SC P MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）.A. B. C. 面 D. 面EP ⊥AC EP BD ∥EP ∥SBD EP ⊥SAC 【答案】AC 【解析】 【分析】如图所示，连接､相交于点，连接，，由正四棱锥性质可得底面，，AC BD O EM EN SO ⊥AC BD ⊥进而得到，可得平面，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面SO AC ⊥AC ⊥SBD //EMN 平面，进而得到平面，随即可判断A ；由异面直线的定义可知不可能；由A SBD AC ⊥EMN //EP BD 易得C 正确；由A 同理可得：平面，可用反证法可说明D . EM ⊥SAC 【详解】如图所示，连接､相交于点，连接，.AC BD O EM EN 由正四棱锥，可得底面，，所以. S ABCD -SO ⊥ABCD AC BD ⊥SO AC ⊥因为，所以平面， SO BD O ⋂=AC ⊥SBD 因为，，分别是，，的中点， E M N BC CD SC 所以，，而，//EM D //MN SD EM MN N ⋂=所以平面平面，所以平面，所以，故A 正确； //EMN SBD AC ⊥EMN AC EP ⊥由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B 不正确； EP BD //EP BD 平面平面，所以平面，因此C 正确；//EMN SBD //EP SBD 平面，若平面，则，与相矛盾，EM ⊥SAC EP ⊥SAC //EP EM EP EM E = 因此当与不重合时，与平面不垂直，即D 不正确. P M EP SAC 故选:AC .【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.12. 在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正1111ABCD A B C D -,M N ABCD 11BCC B 确的是（）A. 平面与的交点是的中点 1D MN 11B C 11B CB. 平面与的交点是的三点分点 1D MN BC BCC. 平面与的交点是的三等分点 1D MN AD ADD. 平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1 1D MN 【答案】BC 【解析】【分析】取的中点，延长，，并交于点，连并延长分别交于，连BC E DE 1D N F FM ,BC AD ,P Q 并延长交与，平面四边形为所求的截面，进而求出在各边的位置，利1,D Q PN 11B C H 1D HPQ ,,P Q H 用割补法求出多面体的体积，即可求出结论.11QPHD C CD 【详解】如图，取的中点，延长，，并交于点， BC E DE 1D N F 连接并延长，设，，FM FM BC P ⋂=FM AD Q ⋂=连接并延长交于点.连接，，PN 11B C H 1D Q 1D H 则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示.1D HPQ 1D MN，111111////,22NE CC DD NE CC DD == 为的中位线，为中点，连，NE ∴1DD F ∆E ∴DF BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒三点共线，取中点，连，,,A B F ∴AB S MS 则， 12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==，22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=为中点， E DF11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===分别是正方形的中心，N 11BCC B 11113C H BP C B ∴==所以点是线段靠近点的三等分点， P BC B 点是线段靠近点的三等分点， Q AD D 点是线段靠近点的三等分点. H 11B C 1C 做出线段的另一个三等分点， BC P '做出线段靠近的三等分点，11A D 1D G 连接，，，，， QP 'HP 'QG GH 1H QPP Q GHD V V '--=所以 111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1. 1D MN 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 中，，，BC 边上的中线，则__________． ABC A 7AC =4AB = 3.5AD =BC =【答案】 9【解析】【分析】在中分别利用余弦定理并结合求解出的长度，,ADC ADB A A cos cos 0ADB ADC ∠+∠=CD 则的长度可求. BC 【详解】因为，22221474cos 27CD AD CD ACADC AD CDCD-+-∠==⋅， 2222154cos 27BD AD BD AB ADB AD BD BD-+-∠==⋅又，所以， ,cos cos 0CD BD ADB ADC =∠+∠=21622407CD CD-=所以，所以， 92CD =29BC CD ==故答案为：.9【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用余弦定理结合“互补的角的余弦值之和为零”列出相关长度满足的方程，然后可完成计算.14. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O 1，E 和F 是底面圆周上两点，PEF !面积的最大值为______． 【答案】2 【解析】【分析】依题意求出母线长和的范围，进而可得面积的最大值. EPB ∠PEF !【详解】依题意可得圆锥的母线，所以，显然，则轴截面2l ==2PE PF ==3APO π∠=△的顶角，所以，故当时，面积有APB 223APB APO π∠=∠=20,3EPB π⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦2EPB π∠=PEF !最大值. 11sin 2212222PE PF π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=故答案为：2.【点睛】关键点点睛：求出母线长和的范围是解决本题的关键点. EPB ∠15. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.【解析】【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，过A 1作下底面的投影，垂足为M ，上底面对角线长， 11AC =AC =()1112AM AC A C =-=可得正四棱台的高1A M ==所以正四棱台的体积()14163V =+=.16. 过正方体顶点A 作平面，使//平面，和的中点分别为E 1111ABCD A B C D -αα11A B CD 11A D 11D C 和F ，则直线EF 与平面所成角为______. α【答案】## π630︒【解析】【分析】根据平行关系分析可得直线EF 与平面所成角等于直线与平面所成角，再结合α11AC 11A B CD 垂直关系分析可得直线与平面所成角为，运算求解即可.11AC 11A B CD 11OAC ∠【详解】因为//平面，则直线EF 与平面所成角等于直线EF 与平面所成角， α11A B CD α11A B CD 连接，设，连接， 111,AC BC 11B C BC O = 1A O 因为和的中点分别为E 和F ，则//，11A D 11D C EF 11AC 所以直线EF 与平面所成角等于直线与平面所成角， 11A B CD 11AC 11A B CD 又因为平面，平面，则， 11A B ⊥11BCC B 1BC ⊂11BCC B 111A B BC ⊥且为正方形，则，11BCC B 11B C BC ⊥，平面，1111B C A B B = 111,B C A B ⊂11A B CD 所以平面，1BC ⊥11A B CD 且平面，则， 1A O ⊂11A B CD 11BC AO ⊥故直线与平面所成角为，11AC 11A B CD 11OAC ∠则， 11111111111111221in 2s BC AC C OAC AC AC AC O ∠====且为锐角，则， 11OAC ∠11π6OA C ∠=所以直线EF 与平面所成角为. απ6故答案为：. π6四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表,P Q P Q 面上，从点到点的最短路径长． P Q【答案】（1）；（2）．)25a π【解析】【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积. （2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最,P Q P Q 短路径长．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积())21122S a a π=⨯⨯=()()22224S a a a ππ=⨯=，23S a π=∴几何体表面积为．)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．P Q则．PQ ===∴、两点间在侧面上的最短路径长为．P Q 18. 在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，. ABC A cos cos 3cos b A a B c A +=（1）求；cos A （2）若，求面积的最大值. 2a =ABC A 【答案】（1） 1cos 3A =（2 【解析】【分析】（1）根据题意利用正项定理边化角，结合三角恒等变换分析运算； （2）根据余弦定理结合基本不等式可得，进而可求面积. 3bc ≤【小问1详解】因为，cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得， sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=则，所以. ()sin 3sin cos A B C A +=sin 3sin cos C C A =又因为，则，()0,πC ∈sin 0C ≠可得，即. 13cos A =1cos 3A =【小问2详解】由（1）知，可得A 为锐角，， 1cos 03=>A sin ==A 由余弦定理可知，2221cos 23b c a A bc +-==因为，则，2a =2233122b c bc +-=可得，当且仅当时等号成立，22212336bc b c bc +=+≥b c ==解得， 3bc ≤所以. 11sin 322ABC S bc A =≤⨯=A ABC A 19. 已知正三棱柱中，，是的中点.111ABC A B C -2AB =M 11B C（1）求证：平面；1//AC 1A MB （2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的P 1AC 1AC ABC 21P A MB -体积．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平1AB 1A B N MN 1//MN AC 行的判定定理可证得结论成立；（2）利用线面角的定义可求得的长，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距1CC P 1A MB 1C 1A MB 离，可得出，结合锥体的体积公式可求得结果. 11111P A MB C A MB B A C M V V V ---==【小问1详解】证明：连接交于点，连接，1AB 1A B N MN因为四边形为平行四边形，，则为的中点， 11AA B B 11AB A B N ⋂=N 1AB 因为为的中点，则，M 11B C 1//MN AC 平面，平面，故平面.1AC ⊄Q 1A MB MN ⊂1A MB 1//AC 1A MB 【小问2详解】解：因为平面，与平面所成的角为， 1CC ⊥ABC 1AC ∴ABC 1CAC ∠因为是边长为的等边三角形，则，ABC A 22AC =平面，平面，，则， 1CC ⊥ ABC AC ⊂ABC 1CC AC ∴⊥11tan 2CC CAC AC∠==所以，，124CC AC ==平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，1//AC Q 1A MB 1P AC ∈P 1A MB 1C 1A MB因为为的中点，则， M 11B C 11111211222A MC A B C S S ===△△则. 1111111111433P A MB C A MB B A C M A C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△20. 记的内角、、的对边分别为、、，已知. ABC A A B C a b c cos cos b A a B b c -=-（1）求；A（2）若点在边上，且，，求. D BC 2CD BD =cos B =tan BAD ∠【答案】（1）π3A =（2）tan BAD ∠=-【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求222b c a bc +-=cos A A 得角的值；A （2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用sinB sinC BAD θ∠=2π3CAD θ∠=-ABD △ACD A 正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求. sin θcos θtan θ【小问1详解】解：因为，cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得，22222222b c a a c b b a b c bc ac+-+-⋅-⋅=-化简可得，由余弦定理可得， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，. 0πA <<π3A =【小问2详解】解：因为，则为锐角，所以，，cos B =B sin B ===因为，所以，， πA BC ++=2π3C B =-所以，，2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 33322C B B B ⎛⎫=-=-=+=+⎪⎝⎭设，则， BAD θ∠=2π3CAD θ∠=-在和中，由正弦定理得，ABD △ACDA sin sin BD ADB θ==πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为， 2CD BD =(π3sin 3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1sin 3sin 2θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以，.tan tan BAD θ∠===-21. 在四棱锥中，，，平面，P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD ，分别为，的中点，．E F PD PC 2PA AB =（1）求证：平面平面； PAC ⊥AEF （2）求二面角的余弦值． E AC B --【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）应用勾股定理求，由线面垂直的性质知，即可求，结合已知及勾股逆定PD PA AC ⊥PC 理知，根据线面垂直的判定有面，最后由线线平行及面面垂直的判定即可证平面CD AC ⊥CD ⊥PAC 平面；PAC ⊥AEF （2）过作，若是中点，连接，由线面垂直判定有面，可E EH AD ⊥G AC ,,EH HG EG AC ⊥EHG 知是二面角的平面角，则二面角为，再根据已知求EGH ∠E AC D --E AC B --EGH π-∠EGH ∠的余弦值，即可得二面角的余弦值．E AC B --【详解】（1）由题意，设，则，，， AB a =2PA AC a ==4AD a =CD =∴，又平面，面，PD ==PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD∴，则在△中，，PA AC ⊥Rt PAC PC =在△中，，则，又面，有， PCD 222CD PC PD +=CD AC ⊥CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，故有面，又，分别为，的中点，即， AC PA A ⋂=CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD ∴面，又面，则平面平面；EF⊥PAC EF ⊂AEF PAC ⊥AEF （2）过作，易知为中点，若是中点，连接，E EH AD ⊥H AD G AC ,,EH HG EG ∴，，，故面，即是二面角的GH AC ⊥EH AC ⊥GH EH H ⋂=AC ⊥EHG EGH ∠E AC D --平面角，∴由图知：二面角为，E AC B --EGH π-∠易知，则面，面，所以， //EH PA EH ⊥ABCD GH ÌABCD EH GH ⊥在△中，，，则，Rt EHG EH a =GH =2GE a =∴，则二面角的余弦值为. cos EGH ∠=E AC B --cos()EGH π-∠=22. 如图，在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向 km 处，另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向，且与点A 相距10 km ，研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站.（1）若CP=4 km ，求此时在P 处观察全岛所张视角∠APB 的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大，问点P 应选址何处？【答案】（1 （2）点P 应选址在点C 正东方向处 8km 【解析】【分析】（1）求出，，，在中，设，应用正弦30CAP ∠=︒8km AP =120PAB ∠=︒BAP △APB θ∠=定理求出；（2）设出，表达出，利用tan θ=km CP x =tan BPC ∠=tan APC ∠=正切差角公式得到的最大值，得到此时CP 的长.tan θ=tan θ【小问1详解】设，由题意知，，，，所以APB θ∠=AC CP ⊥AC =4km CP =30yAB ∠=︒，即，，,在tan CAP ∠==30CAP ∠=︒8km AP =1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒BAP △中，，10km AB =由正弦定理得，，即， ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒-()108sin sin 60θθ=︒-化简得，即， 13sin θθ=tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角. APB ∠【小问2详解】 过点B 作BD ⊥CP 于点D ，设，km CP x =由（1）得，当时，点P 在点D 的右侧，，则， 5x >()5km PD x =-tan BD BPC PD ∠==当时，点P 在点D 的左侧，，则. 05x <<()5km PD x =-tan BD BPC PD ∠=-=又，则当，且时， tan APC ∠=0x >5x ≠有. ()tan tan BPC APC θ=∠-∠==当时，点P 与点D 重合，5x =tan tan CD CAD AC θ=∠==所以tan θ=令，则， 4x t+=)tan 4t θ===>因为，则， 14424t t +≥=0tan θ<≤=1444t t =>即，时取等号，此时. 12t =8x =tan θ因为为锐角，所以当时取最大值.θ8x =θ答：点P 应选址在点C 正东方向处 8km 【点睛】解三角形，求解角度最值问题，可以求解三角函数的最值，进而求出角度的最值，这部分知识常常和其他知识相结合来考察，比如基本不等式，三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角面积公式等.。

2022-2023学年湖北省新高考高一下册5月联考数学模拟试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|14A x x =<≤，(){}2|ln 23B x y x x ==--，则A B ⋂等于（）A.(]3,4B.()[,11,)∞∞--⋃+C.()3,4 D.(](),14,-∞-+∞ 【正确答案】C【分析】确定()(),13,B =-∞-+∞ ，再计算交集得到答案.【详解】(){}{}()()22|ln 23230,13,B x y x x x xx ∞∞==--=-->=--⋃+，{}|14A x x =<≤，则()3,4A B ⋂=.故选：C2.已知点()1,2P 在角α的终边上，那么cos 2α的值是（）A.35- B.35C.45-D.45【正确答案】A【分析】确定5cos 5α=，再根据二倍角公式计算得到答案.【详解】点()1,2P 在角α的终边上，则5cos 5α==，223cos 22cos 1155αα=-=-=-.故选：A.3.已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果.【详解】若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选.B本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题.4.在ΔABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =A.6π B.3πC.23π D.56π【正确答案】B【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式可把题设条件转化为23sin sin 2B B =，从而得到sin 2B =，再依据a b >得到0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而3B π=.【详解】因为sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，故3sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=即()sin sin cos sin cos sin 2B A C C A B +=，故2sin sin 2B B =，因为()0,B π∈，故sin 0B >，所以sin 2B =，又a b >，故AB >，从而0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，故选B.在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.5.在正方形ABCD 中，已知1AB =，点P 在射线CD 上运动，则PA PB ⋅的取值范围为（）A.[]0,1 B.[)1,+∞C.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算及二次函数最值求解.【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则()(00)(10)(1)1,,,,,A B P x x ≤，所以()1,PA x =-- ，()1,1PB x =--，所以()()()211(1)1PA PB x x x x ⋅=--+-⨯-=-+ ()213124x x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，所以当12x =时，PA PB ⋅ 取得最小值34.所以PA PB ⋅的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D6.已知复数z 的实部和虚部均为自然数，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足23z ≤≤的点Z 的个数为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】C【分析】设i z a b =+，得到2249a b +≤≤，再依次列举得到答案.【详解】设i z a b =+，,N a b ∈，23z ≤≤，即2249a b +≤≤，当0a =时，2b =或3b =；当1a =时，2b =；当2a =时，0b =，1b =或2b =；当3a =时，0b =.综上所述：共有7个点满足条件.故选：C7.已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，EF ⊥平面PAC ，则球O 的体积为（）A.8B.4C.2D.【正确答案】D【分析】根据条件，得到,,PA PB PC 两两垂直，将三棱锥-P ABC 放入正方体中，计算外接球半径，再计算体积得到答案.【详解】E 、F 分别是PA 、AB 的中点，则EF PB ∥，EF ⊥平面PAC ，则PB ⊥平面PAC ，,PA PC ⊂平面PAC ，故PB PA ⊥，PB PC ⊥，根据条件可知，PAB PAC ≅△△，故PA PC ⊥，所以,,PA PB PC 两两垂直，将三棱锥-P ABC 放入正方体中，如图所示：因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以正方体的边长为2，故外接球半径222622R ++==，所以球O 的体积34π6π3V R ==.故选：D.8.定义：若()(),1,g x x k f x x kf x k k ⎧≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则称()f x 是函数()g x 的k 倍伸缩仿周期函数.设()()sin πg x x =，且()f x 是()g x 的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的[]1,x m ∈，都有()8f x ≥-，则实数m 的最大值为（）A.12B.563 C.643D.883【正确答案】B【分析】确定函数解析式，得到)12,2kk x +⎡∈⎣时，()π2sin 2kk x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，考虑3k ≤和4k =两种情况，得到不等式π1sin 162x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，解得答案.【详解】()()sin π,122,22x x f x x f x ⎧≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当[)2,4x ∈时，[)1,22x ∈，故()π22sin 22x x f x f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当)12,2kk x +⎡∈⎣时，N k ∈，()π2sin 2kk x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)ππ,2π2kx ∈，故()2,0kf x ⎡⎤∈-⎣⎦，当3k ≤时，()8f x ≥-恒成立；当4k =时，[)16,32x ∈，()π16sin 816x f x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，即π1sin 162x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，故π7π166x ≤，即563x ≤，即实数m 的最大值为563.故选：B.关键点睛：本题考查了函数的新定义，不等式恒成立问题，三角函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的类周期性质确定函数的解析式是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数1x 、2x 是关于x 的方程2450x x ++=的两个根，则下列说法正确的是（）A.124x x +=-B.124i x x +=-C.125x x =D.125ix x =【正确答案】AC【分析】解方程得到12i x =-+，22i x =--，代入选项计算得到答案.【详解】2450x x ++=，则()221x +=-，则2i x =-±，不妨取12i x =-+，22i x =--，对选项A ：122i 2i 4x x +=-+--=-，正确；对选项B ：122i 2i 4x x +=-+--=-，错误；对选项C ：()()122i 2i 415x x -+--=+=，正确；对选项D ：()()122i 2i 415x x -+--=+=，错误；故选：AC.10.已知一个矩形ABCD ，用斜二测画法得到其直观图A B C D ''''的周长为2，设AB x =，BC y =，下列说法正确的是（）A.xy 的最大值为1B.112x y +的最小值为94C.+的最大值为2D.xy x y ++的最大值为178【正确答案】BCD【分析】根据斜二测画法可得12yx +=，再有均值不等式及重要不等式判断ABC ，由二次函数求最值判断D.【详解】由斜二测画法知，,2y AB A B x B C ''''===，又A B C D ''''的周长为2，所以1A B B C ''''+=，即12yx +=，对A ，0,0x y >>，12y x ∴+=≥，即12xy ≤，当且仅当1,12x y ==时等号成立，所以A 错误；对B ，111111222224y y x x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭55942244y x x y =++≥+=，当且仅当22y x x y =时，即23x y ==时等号成立，故B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可知，2222+≥⎝⎭，即2212x y +≤=⎝⎭，所以1≤2≤，当且仅当=1,12x y ==时等号成立，故C 正确；对D ，23(1)112222y y y xy x y y y y ++=-+-+=-++，其中220,220x y y x =->=->，即解得02y <<，由二次函数图象开口向下，对称轴方程为32y =可知，当取对称轴时，xy x y ++的最大值为233317212338⎛⎫ ⎪⎝⎭-+⨯+=，故D 正确.故选：BCD11.已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-()0,0πA ϕ><<，若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（）A.将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象B.函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若函数()()0g x θθ+≥为偶函数，则θ的最小值为7π12【正确答案】CD【分析】根据图像确定2A =，2π3ϕ=得到()f x 和()g x 的解析式，根据平移法则得到A 正确，代入验证得到B 正确，举反例得到C 错误，计算最小值为π12θ=，D 错误，得到答案.【详解】根据图像()y f x =的最大值为3，且0A >，故2A =，()02cos 12f ϕ=-=，故1cos 2ϕ=-或3cos 2ϕ=（舍），0πϕ<<，故2π3ϕ=，即()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对选项A ：()o 12π2c s 23y f x x ⎪=++⎛⎫= ⎝⎭，向左平移π12得到π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 2123323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，正确；对选项B ：当π6x =-时，2π2π3x -=-，故()y g x =关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，正确；对选项C ：π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对选项D ：()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数，则2ππ2π32k θ-=+，Z k ∈，解得7ππ122k θ=+，Z k ∈，当1k =-时，θ有最小值为π12，错误.故选：CD.12.如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB CD AB AD CD ===∥，.将△ACD 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且⊥AP BC .下列结论正确的是（）A.平面APC ⊥平面ABCB.二面角P AB C --的大小为45C.三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为5πD.点C 到平面APB 的距离为7【正确答案】ACD【分析】根据面面垂直的判定定理判断A ，利用二面角平面角的定义，作出二面角的平面角并证明，计算正切值即可判断B ，根据球的性质确定圆心位置，再由勾股定理及球的面积公式求解判断C ，利用等体积法求出点到面的距离判断D.【详解】△ABC 中，2AB =，1BC AD ==，60ABC ∠=，由余弦定理可得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=o ，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥.∵BC AP ⊥，AP AC A ⋂=，,AP AC ⊂平面APC ，∴BC ⊥平面APC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面APC ⊥平面ABC ，故A 对；取AC 的中点E 点，过点E 作EF AB ⊥于点F ，如图，∵PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面APC ⊥平面ABC ，平面APC ∩平面ABC AC =，PE ⊂平面APC ，∴PE ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，PE AB ∴⊥，又∵EF AB ⊥，,,PE EF E PE EF =⊂ 平面PEF ，AB ∴⊥平面PEF ，而PF ⊂平面PEF ，AB PF ∴⊥，∴∠PFE 是二面角P AB C --的平面角，在Rt △PFE 中，13323,·sin sin 30,tan 2243PE PE EF AE FAE PFE EF ==∠=︒=∠==，故B 错；在Rt △ABC 中，取AB 的中点O '，过O '点作PE 的平行直线，如图，由PE ⊥平面ABC 可知OO '⊥平面ABC ，又O '为底面ABC 的外接圆圆心，则三棱锥-P ABC 的外接球的球心O 在这条直线上，设外接球O 的半径为R ，过O 作OK O E '∥交PE 于K ，易知四边形OO EK '为矩形，则在Rt AOO '△与Rt PKO △中，KE OO '===，12PK KE PE OO PE '=+=+====，12=+，解得254R =，故外接球O 的表面积为254π4π5π4S R ==⋅=，故C 对；由PE ⊥平面ABC ，11313332212P ABC ABC V S PE -=⋅=⨯⨯=△.在△PAB 中，1,2PA PB AB ===，由余弦定理得3cos ,4PAB ∠=∴717sin ,sin 424PAB PAB S PA AB PAB ∠==⋅∠=△，设点C 到平面APB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=可得7d =，故D 对.故选：ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a b += ，()1,2b = ，且a b，则非零向量a 的坐标为______.【正确答案】()2,4--【分析】设(),a x y = ，根据模长得到()()22125x y +++=，根据平行得到2x y =，解得答案.【详解】设(),a x y = ，()1,2b = ，则()1,2a b x y +=++ ，()()22125a b x y +=+++= ，ab，则2x y =，解得24x y =-⎧⎨=-⎩或0x y =⎧⎨=⎩（舍），即()2,4a =-- .故答案为.()2,4--14.在《九章算术》中，堑堵指底而为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1A A B A ==111ABC A B C -的体积最大时，阳马11B A ACC -的体积为______.【正确答案】3【分析】确定228AC BC +=，根据均值不等式得到4AC BC ⋅≤，考虑取等条件，再计算体积得到答案.【详解】AB =，则228AC BC +=，故2282AC BC AC BC +=≥⋅，4AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==时等号成立，111112ABC A B C V AC BC AA BC -=⋅⋅=⋅≤，故2AC BC ==时，堑堵111ABC A B C -的体积最大为，此时阳马11B A ACC -的体积为1822233V =⨯⨯=.故答案为.315.在△ABC 中，已知2,5,60AB AC BAC ==∠=︒，P 是△ABC 的外心，则APB ∠的余弦值为______.【正确答案】1319【分析】根据余弦定理计算BC =3R =，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】2222cos604251019BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-=，故BC =，设ABC 的外接圆半径为R ，则2sin 603BC R ==︒，APB △中，22224213cos 1219R R APB R R +-∠==-=.故答案为.131916.农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转π2（如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为______.【正确答案】(108π-【分析】C 是AB 的中点，连接PC ，DC ，确定球心在平面PAC 内，设为O ，设球半径为R ，四边形OPEQ 为正方形，边长为R ，根据等面积法得到3R =到答案.【详解】如图所示：C 是AB 的中点，连接PC ，DC ，PC =，60PCD ∠=︒，则3PD =，CD =根据对称性，球心在平面PAC 内，设为O ，设球半径为R ，当球体积最大时，球与平面ABCD ，平面PAD ，平面PBD 和直线PC 相切，设切点分别为G ，P ，Q ，F ，平面O P Q 与直线交于点E ，则四边形OPEQ 为正方形，边长为R ，PDC △中，OG OF R ==，OE =，根据等面积法：1111332222R R ⨯=⨯+⨯，解得3R =球的体积((3344ππ3330V R =-==-.故答案为.(108π-关键点睛：本题考查了旋转体的内接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中确定四边形OPEQ 为正方形，边长为R ，再根据等面积法确定半径是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量1232a e e =-，124b e ke =+ ，其中()11,0e = ，()20,1e = ，（1）若a b ⊥，求实数k 的值；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求实数k 的取值范围【正确答案】（1）6k =（2）88,,633⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）确定()3,2a =- ，()4,b k = ，根据垂直得到0a b ⋅=，计算得到答案.（2）根据夹角为锐角得到0a b ⋅>，再排除共线的情况得到答案.【小问1详解】()11,0e = ，()20,1e = ，()12323,2a e e ==--，()124,4k b e ke =+= ，a b ⊥，则()()3,24,1220b k k a =-=⋅⋅-= ，解得6k =.【小问2详解】a 与b 的夹角为锐角，则()()3,24,1220a b k k ⋅=-⋅=->，即k 6<.当a 和b 共线时，324k =-⨯，83k =-，此时向量夹角为0，不满足，综上所述.88,,633k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB==（1）证明：EA ∥平面BCF ；（2）证明：平面EAC ⊥平面FAC .【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由线面平行证明面面平行，再由面面平行的性质证明线面平行即可；（2）作出二面角的平面角，利用勾股定理证明二面角的平面角为直角，即可得面面垂直.【小问1详解】在正方形ABCD 中，//AD BC ，又由AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，故BC //平面ADE .∵//FB ED ，同理可证FB //平面ADE ，又∵BC BF B = ，BC ，BF ⊂平面BCF ，∴平面ADE //平面BCF ，又∵EA ⊂平面ADE ，∴//EA 平面BCF 【小问2详解】如图，连接BD 交AC 于O ，连接OE ,OF .设22AB ED FB ===，则2AB AD BC CD ====由ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED AC ⊥，又AC BD ⊥，且ED BD D = ，ED ，BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，又OE ，OF ⊂平面BDEF ，所以AC OE AC OF ⊥⊥，，所以∠EOF 是二面角E AC F --的平面角，在三角形EOF 中，223,OF OB FB =+=()222263OE OD ED EF BD ED FB =+==+-=，，所以222EF OE OF =+，所以OE OF ⊥，二面角E AC F --是直二面角，即证平面EAC ⊥平面FAC .19.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3,3b c ==，且2B C =.∠BAC的平分线交BC 于点E .（1）求角C ；（2）求△ABE 的面积.【正确答案】（1）π3（2）)9314-【分析】（1）根据二倍角正弦公式及正弦定理求解；（2）利用ACE ABE ABC S S S +=△△△及面积公式，化简求出.【小问1详解】∵sin2sinC B =，2sin cos sin B B C ∴=，sin2cos cossin 2C c B B B b ∴===∴=，∵π0,2c b B ⎛⎫>∴∈ ⎪⎝⎭，ππ63B C ∴==，【小问2详解】∵πππ236A CB ===，，，如图，又ACE ABE ABCS S S +=△△△111sin sin sin 22222A A AC AE AB AE AC AB A ∴⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅2cos112A AB AC AE∴+=，12cos 453AE ︒+=AE =，)1363222AE -∴===，)914ABE S -∴=△.20.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，2DC AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB ⊥底面ABCD ，PB AB AD ==，（1）求证：PD BC⊥（2）线段BC 上是否存在点E ，使得平面PAD ⊥平面PDE ？若存在，求直线PE 与平面PAD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）存在，22211【分析】（1）连接BD ，确定BD BC ⊥，PB BC ⊥，得到BC ⊥平面PBD ，得到线线垂直.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设点E 的坐标为()1,1,0λλ+-+，计算平面PAD 和平面PDE 的法向量，根据向量垂直确定13λ=，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示，连接BD ，设1PB AB AD ===，则2CD =，ABD △为等腰直角三角形，2BD =，又45BDC ∠=︒，2DC =，故224222222BC =+-⨯=，所以222BD BC CD +=，故BD BC ⊥，又PB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，故PB BC ⊥，PB BD B ⋂=，,PB BD ⊂平面PBD ，故BC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故BC PD ⊥.【小问2详解】方法一：空间向量法如图，以D 为原点，DC 方向为x 轴，DA方向为y 轴，BP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设1PB AB AD ===，则2CD =.则各点坐标为：()0,0,0D ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()1,1,1P ，假设存在，设(),,E x y z ，BE BC λ=，即()()()1,1,1,1,0,,0x y z λλλ--=-=-，所以1,1,0x y z λλ=+=-=则点E 的坐标为()1,1,0λλ+-+.设()1111,,n x y z = 和()2222,,n x y z =分别为平面PAD 和平面PDE 的法向量.()0,1,0DA = ，()1,0,1AP = ，110n DA n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100y x z =⎧⎨+=⎩，令11x =，得10y =，11z =-，()11,0,1n =-；()1,1,1DP = ，()1,1,0DE λλ=+-+ ，220n DP n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()222220110x y z x y λλ++=⎧⎨++-+=⎩，令21x λ=-，得21y =+λ，22z =-λ，()21,1,2n =-+-λλλ，平面PAD ⊥平面PDE ，故12n n ⊥ ，即120λλ-+=，解得13λ=，故42,,033E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,133PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设直线PE 与平面PAD 夹角为θ，则1111·2223sin 11||||n PEn PE +=== θ，综上所述：线段BC 上存在点E ，使得平面PAD ⊥平面PDE ，直线PE 与平面PAD所成角的正弦值为11.方法二：几何法假设存在，如图，作BFPD ⊥，垂足为F ，连接EF ，作FG PD ⊥，垂足为F ，PD BE ⊥，PD BF ⊥，BE BF B = ，,BE BF ⊂平面FBE ，故PD ⊥平面FBE，EF ⊂平面FBE ，故FE PD ⊥，又GF PD ⊥，EF ⊂平面PDE ，GF ⊂平面ADP ，平面PDE 平面ADP PD =，故GFE ∠为二面角A PD E --的平面角，90GFE ∠=︒，1PB =，BD =，故PD =，在直角三角形PDB 中，6sin 3BF PB DPB =⋅∠=，3cos 3PF PB FPB =⋅∠=，直角三角形PAD 中，1AD =，AP =，PD =，tan 6GF PF APD =⋅∠=，作GG AB '⊥，垂足为G '，21cos 22PF PG AP APD ===∠，故12GG '=，设BE x =，又12BG '=，135G BE ∠='︒，由余弦定理：2222212cos13524G E G B BE G B BE x x '=+-=+''︒⋅⋅+，又//GG PB '，故GG G E '⊥'，2222122GE GG G E x x =+=++''，EB PD ⊥，EB BD ⊥，PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PDB ，故EB ⊥平面PDB ，BF ⊂平面PDB ，故EB BF ⊥，故222223EF EB BF x =+=+.90GFE ∠=︒，222GF FE GE +=，故2212216322x x x ++=++，解得3x =.故3PE =，3EF =，EF PD ⊥，平面PAD ⊥平面PDE ，EF ⊂平面PDE ，平面PAD ⋂平面PDE PD =，故EF ⊥平面PAD ，设直线PE 与平面PAD 夹角为θ，则222sin 11EF PE θ==，所以线段BC 上存在点E ，使得平面PAD ⊥平面PDE ，直线PE 与平面PAD 所成角的正弦值为1121.已知()()2cos cos sin f x x x x x=+-（1）若()12f x =，求5πsin 46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）将函数()f x 的图象向右平移π12个单位得到函数()y h x =的图象，若函数()()sin cos 5y h x k x x =+++在π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有4个零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）78（2）72,2⎛-- ⎝【分析】（1）化简得到()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，确定1sin 264πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得到25πsin 412sin 26π6x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.（2）取得()2sin 2h x x =，设sin cos t x x =+，确定1t ≤≤()223g t t kt =++，()g t在1t ≤<有两个零点，计算得到答案.【小问1详解】()22cos cos sin 2cos 22sin 26πf x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，若()12f x =，即1sin 264πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，225π17sin 4cos 4cos 2212sin 212636648πππx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()ππ2sin 22sin 212126πh x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()221h x t =-，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ3π444x ≤+≤，πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故1t ≤≤，原方程变为()22215230kt t t kt +-+=++=，1t ≤≤，令()223g t t kt =++，1t ≤≤，原方程有4个零点，而方程π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦至多两个根，故1t ≤<，且()g t在1t ≤<有两个零点，则()221230122Δ4230230g k k k g ⎧=++≥⎪⎪<-<⎪⨯⎨=-⨯⨯>⎪⎪=++>⎪⎩，解得2k -<<-72,2k ⎛∈-- ⎝.22.函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()321f x x ax bx =+++.（1）若函数()y f x =的对称中心为()1,2-，求函数()y f x =的解析式.（2）由代数基本定理可以得到：任何一元*(N )n n ∈次复系数多项式()f x 在复数集中可以分解为n 个一次因式的乘积.进而，一元n 次多项式方程有n 个复数根（重根按重数计）.如设实系数一元二次方程()2210200a x a x a a ++=≠，在复数集内的根为1x ，2x ，则方程22100a x a x a ++=可变形为()()2120a x x x x --=，展开得：()222122120a x a x x x a x x -+=则有()12120212 a a x x a a x x ⎧=-+⎨=⎩，即11220122 a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，①若0a =，方程()f x k =在复数集内的根为1x 、2x 、3x ，当[]0,1k ∈时，求333123x x x ++的最大值；②若32a b =-=-，，函数()y f x =的零点分别为1x 、2x 、3x ，求222123111x x x ++的值.【正确答案】（1）()3231f x x x x =+++（2）①0，②10【分析】（1）确定()()12g x f x =--为奇函数，根据()()12120f x f x ---+--=得到2602240a ab -=⎧⎨--=⎩，解得答案.（2）①根据根与系数的关系确定1230x x x ++=，代入计算得到33312333x x x k ++=-，根据范围得到最值.②取1x t=变换得到322310t t t --+=，得到根与系数的关系，确定()()21231213232221231112t t t t t t t t t x x x ++=++-++，计算得到答案.【小问1详解】()()12g x f x =--为奇函数，则()()12120f x f x ---+--=恒成立.即()()()()()()3232111111114x a x b x x a x b x --+--+--++-++-++-++=，整理得：()()2262240a x a b -+--=恒成立，故2602240a ab -=⎧⎨--=⎩，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.【小问2详解】①若0a =，则()31f x x bx =++，由题有()0f x k -=的三个实根为1x ，2x ，3x .设()()()()31231x bx k x x x x x x ++-=---，展开得()()()3321231213231231x bx k x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-+++++-，故1230x x x ++=，则()()()33312312311133x x x k bx k bx k bx k ++=--+--+--=-，又[]0,1k ∈，故[]333,0k -∈-，综上：当[]0,1k ∈时，333123x x x ++的最大值为0；②3,2a b =-=-时，()32321f x x x x =--+，由()0f x =有323210x x x --+=，同时除以3x 得2332110x x x--+=，令111t x =，221t x =，331t x =，由题知123,,t t t 是方程322310t t t --+=的三个根，则()()()32123231t t t t t t t t t --+=---，展开得123121323123231 t t t t t t t t t t t t ++=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩，则()()222123123121323221232211124610t t t t t t t t t t t t x x x ++=++=++-++=+=.。

2021-2022年高一下学期第二次月考（5月月考）数学（文）试题 Word版含答案一、选择题（共60分，每小题5分）1．函数)12lg(21)(-+-=x x x f 的定义域为 （ ）A ．B ．C ．D ．2．等差数列中，14101619150a a a a a ++++=，则（）A ．15B ．30C ．40D ．503．已知锐角满足，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个5．在的对边分别为，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则（ ）A. B. C. D.6．已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）A ．B ．C ．D ．7．设是等差数列的前n 项和，若（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列的各项均为正数，且，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A ．B ．C ．D ．9．在等差数列中，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．右图是函数在上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将的图像上的所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变11、如图：D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=，从C 、D 两点测得A 点仰角分别β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．12、已知-9,,-1四个实数成等差数列，-1五个实数成等 比数列，则=( )A.8B.-8C.±8D.二、填空题（共16分，每小题4分）13. 已知向量, , .则的值为 ;14．数列的前项和，则它的通项公式是_____15．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．16．已知的三个内角所对的边分别为给出以下命题：①若，则一定是锐角三角形；②若，则一定是等边三角形；③若，则一定是钝角三角形；④若cos()cos()cos()1A B B C C A ---≥，则一定是等边三角形，其中正确的命题是___________三、解答题（本题满分74分）17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，其中，（1）求此数列的通项公式；（2）求此数列的前项和公式。

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。

高一年级5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复平面内复数所对应的点为，则（）z ()2,1-i z +=A. 2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义，根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，进而2i z =-2i z =+i 22i z +=+==故选：C2. 已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +ABACABAC（ ） A. B.C.D.()2,2-()2,2-()2,2()2,2--【答案】D 【解析】【分析】求向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求，结合投影向量的定义求在上的,AB AC m AB AC投影向量的坐标.【详解】因为，，，()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +所以，()()6,2,2,2AB m AC m =--=-因为与共线，AB AC所以，()()()62220m m -⨯---⨯=所以，，，4m =()2,2AB =-- ()2,2AC =所以在上的投影向量为， AB AC AB AC AC AB AC AB AC AC ⋅⋅⋅==-所以在上的投影向量的坐标为. ABAC()2,2--故选：D.3. 已知，，，则，的夹角为（ ）3a b ⋅=2a = 22a b -= a bA.B.C.D.π3π62π35π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角.b a b【详解】因为，22a b -=所以，故，224a b -= 444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=又，， 3a b ⋅=2a = 所以b =所以，又，cos ,a b a b a b⋅===⋅[],0,πa b ∈ 所以，即，的夹角为，π6,a b = ab π6故选：B.4. 某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石凳的体积为（ ）（单位）60cm 3cmA. 180000B. 160000C. 140000D. 120000【答案】A 【解析】【分析】利用割补法，结合几何体的体积公式运算求解. 【详解】正方体的体积为， 3606060216000cm ⨯⨯=切去的每个四面体的体积为， 3113030304500cm 32⨯⨯⨯⨯=所以该石凳的体积为. 321600084500180000cm -⨯=故选：A.5. 在中，角、、的对边分别是，，，已知，且ABC A A B C a b c sin cos 2sin cos A C C A =222a c b -=，则（ ）b =A. 9B. 6C. 3D. 18【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求即可. b 【详解】设的外接圆半径为， ABC A R 因为，sin cos 2sin cos A C C A =所以， 22222222222a a b c c c b a R ab R cb+-+-⨯=⨯⨯所以， 222222222a b c c b a +-=+-所以，又， 22233a c b -=222a c b -=所以，260b b -=所以或（舍去）， 6b =0b =故选：B .6. 如图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，A B C 1A 1B 1C 11130AC B ∠=︒，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为11160A B C ∠=︒C B 45︒1BB 1CC B A 45︒，则，两点到水平面的高度差为（ ）A C 111ABC 11AA CC -A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由条件解三角形求可得C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F AF结论.【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为， C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F 则，1111,CE C B BF B A ==设，11A B x =在中，由，，可得，111A B C △11130AC B ∠=︒11160A B C ∠=︒11190C A B ∠=所以，112B C x =因为与的差为10，所以，1BB 1CC 10BE =在中，，，， CEB A 90CEB ∠=o 10BE =45BCE ∠=o 所以，10CE =故，所以，210x =5x =在中，，，， AFB △90AFB ∠= 5BF =45ABF ∠=o 所以，5AF =所以，两点到水平面的高度差， A C 111A B C 1115AA CC BE AF -=+=故选：A.7. 在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则ABC A 2BA =4BC =D AC BE AC ⊥E H BE （ ）HD CA ⋅=A.B. 8C.D. 68-6-【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一： ()()()12HD CA HB BD CA HB CA BD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=-- 法二：将特殊到，则 H B ()()12HD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=--故选：C8. 在中，已知，，点在边上，且，，则ABC A 30B =︒3AC =D AB 3BD =DA DC =A ∠=（ ） A.B.C.或 D.或 π3π6π3π9π6π18【答案】C 【解析】【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得，进而结合三角函数的性335π2cos 2sin 26CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭质，由角的范围即可得关系式求解.【详解】设，∴，，， A θ∠=DCA θ∠=2BDC θ∠=5π26BCD ∠θ=-则，0520,512206πθπθπθ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪->⎪⎩中，BDC A 33π5π5πsin sin 22sin 2666CD CD θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，ADC △()33sin 3sin sin π2sin22cos CD CD θθθθθ=⇒==-故， 335ππ5πcos sin 2sin sin 25π2cos 6262sin 26CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又，， πππ,2122θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭5π5π20,66θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴或，则或， π5π226θθ-=-π5π2π26θθ-+-=π3θ=π9故选：C二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ）az A. 由，类比为：a a -=z z -=B. 由，类比为：a b a b +≤+1212z z z z +≤+C. 由，类比为22a a = 22z z =D. 由，类比为：a b a b ⋅≤⋅1212z z z z ⋅≤⋅【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可. 【详解】设，，则， i z x y =+,R x y ∈i z x y -=--所以，A 正确；z -==z =，，C 错误；()2222i 2i z x y x y xy =+=-+2222z x y ==+设，12i,i z a b z c d =+=+所以，，()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++12z z =因为复数与实数不能比较大小，故D 错误，，()()22222221222z z a c b d a b c d ac bd +=+++=+++++，()2222212zz a b c d +=++++因为，(()2222222224a c a d b c b d =+++，()()222222242ac bd a c b d abcd +=++由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 22222a d b c abcd +≥ad bc =所以，22ac bd ≥+故，又，()()221212z z zz +≤+12120,0z z z z +≥+≥所以，B 正确； 1212z z z z +≤+故选：AB.10. 在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） ABC A A B C a b c A. “”是“是等腰三角形”的充分不必要条件 sin2sin2A B =ABC A B. “”是“”的充要条件sin sin A B >A B >C. 若，，则60A =︒2a =ABC AD. 若，，则周长的最大值为6 60A =︒2a =ABC A 【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数的性质即可判断A ，由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在中由可得或，所以或ABC A sin2sin2A B =22A B,=22πA B +=,A B =π2A B +=，所以为等腰三角形或者为直角三角形，故“”是“是等腰三角形”的既不充ABC A sin2sin2A B =ABC A 分也不必要条件，故A 错误，对于B,由正弦定理可得,故“”是“”的充要条件，故sin sin A B >⇔a b >⇔A B >sin sin A B >A B >B 正确，对于CD,，时,则由余弦定理得，则，当且仅60A =︒2a =224=c b bc +-224=24bc c b bc bc ++³Þ£当时取等号，故故C 正确， b c =11sin 422bc A £´=又，当且仅当()()()()2222224==34=34344b c c b bc b cbc b c bc b c b c ++-+-Þ+-Þ+-£Þ+£时取等号，故，故D 正确，b c =6a b c ++≤故选：BCD11. 矩形中，，，动点满足，，，则下ABCD 2AB =4=AD P AP AB AD λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈列说法正确的是（ ）A. 若，则的最小值为41λ=DPB. 若，则的面积为定值 1μ=ABP AC. 若，则满足的点不存在 12μ=PA PB ⊥ P D. 若，，则的面积为 13λ=23μ=ABP A 83【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的坐标，依次判断各选项即可.P 【详解】以点为原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，A ,AB AD,x y 则，()()()0,0,2,0,0,4A B D 所以，()()2,0,0,4AB AD ==因为，AP AB AD λμ=+ 所以，故点的坐标为，()2,4AP λμ=P ()2,4λμ对于A ：因为，所以点的坐标为，，1λ=P ()2,4μ[]0,1μ∈所以，()2,44DP μ=-所以，当且仅当时取等号，2DP =≥1μ=所以当时，取最小值，最小值为2，A 错误；1μ=DP对于B ，因为，所以点的坐标为， 1μ=P ()2,4λ所以点到边的距离为， P AB 4所以的面积，B 正确； ABP A 12442S =⨯⨯=对于C ，因为，所以点的坐标为， 12μ=P ()2,2λ所以，， ()2,2PA λ=-- ()22,2PB λ=--若，则，化简得，PA PB ⊥24440λλ-++=210λλ-+=方程无实数根，即满足的点不存在，C 正确；210λλ-+=PA PB ⊥P 对于D ，因为，，所以点的坐标为， 13λ=23μ=P 28,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的面积为，D 正确； ABP A 1882233⨯⨯=故选：BCD.12. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） 18πA. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的内切球的体积为C. 该圆锥的外接球的表面积为D. 该圆锥的内接正方体的棱长为48π18-【答案】AC 【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径，由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A ：设圆锥底面半径为，母线为,则侧面积为， r l 12π618π32r r ⋅⋅=⇒=，故圆锥体积为，故A正确；=21π33V =⨯⨯=对于B ：由于,所以,62l r ==60ABO ∠= 如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,,故内切球半径，,C O OO BCO B ¢¢@A A 3tan30r '=⋅︒=故内切球的体积为，故B 错误；34π3⨯=对于C ：外接球的球心为半径, ,MR 则满足：，∴，故C 正确；()2223R RR =+⇒=(24π48πS =⨯=对于D ：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为，a，故D 错. a =⇒=-故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______. ()()221i z m m m m =-+-∈R 1iz+【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的除法运算即可化简求解.0m =【详解】为纯虚数，则且，故，()()221i z m m m m =-+-∈R 2=0m m -210m -≠0m =则，所以，故的虚部为， i z =-()()()i 1i i 1i ===1i 1i 1i 1i 2z -----+++-1i z+12-故答案为： 12-14. 中，，，，则______. ABC A π6B ∠=AB =2AC =BC =【答案】2或4 【解析】【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅又，，， π6B ∠=AB =2AC =所以，2680BC BC -+=所以或，满足构成三角形. 2BC =4BC =故答案为：2或415. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的3π表面积为______. 【答案】 2π23+【解析】【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可. 【详解】由已知可得该几何体为底面半径为，高为的圆柱的，如下图： 1116所以该几何体的表面积， 2112π22π12π12663S =+⨯⨯⨯+⨯⨯=+故答案为：. 2π23+16. 如图所示，中，，以的中点为圆心，为直径在三角形的ABC A AB AC ==2BC =BC O BC 外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，BC P BOP θ∠=[]0,πθ∈PA PB ⋅______.cos θ=【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用单位圆以及向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算，由数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】法一：如图建立平面直角坐标系，得，，，()0,2A -()10B ,()cos ,sin P θθ()()cos ,2sin 1cos ,sin 12sin cos PA PB θθθθθθ⋅=---⋅--=+-∴为锐角且，()1sin cos 11PA PB θθθϕ⋅=+=+-≤ ϕ1tan 2ϕ=此时πcos sin 2θϕθϕ-=⇒=-==法二：()()11PA PB PO OA PO OB PO OB OA PO OP OB OA OP ⋅=+⋅+=+⋅+⋅⋅=--⋅，以下同上.π1cos 12cos 2θθ⎛⎫=++⋅⋅+ ⎪⎝⎭12sin cos θθ=+-故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，，.(),2a m =- ()4,b m m =-)c = m ∈R （1）若，且方向相反，求实数的值；a b ∥m （2）若与的夹角为，求实数的值.a c120︒m 【答案】（1）2 （2）0【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解，（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】由与平行得：，a b ()224280m m m m m ⋅=-⋅-⇒+-=∴或，()()2402m m m -+=⇒=4m =-当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；2m =()2,2a =- ()2,2b =- a b当时，，，方向相同，不满足要求；4m =-()4,2a =-- ()8,4b =--故. 2m =【小问2详解】，22cos120a c⋅=-=⨯︒，平方得：， 2-=2223440m m m -+=+⇒-=∴或，0m=m =,所以不符合要求,故舍去； 20-<m =∴0m =18. 某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆40cm 100cm 40cm 柱孔的底面半径为.计算时取3.14.10cm π（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，27000cm 请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】（1）3195440cm （2）4升 【解析】【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积； （2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积. 【小问1详解】由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，21401600S ==2210010000S ==40h =所以正四棱台的体积； (221140401002080003V =⋅⋅+=由已知圆柱的底面半径，高，10r =40h '=所以圆柱的体积；22π10404000π4000 3.1412560V =⋅⋅=≈⨯=故该预制件的体积 320800012560195440cm V =-=故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. 3195440cm 【小问2详解】作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：A AM CD ⊥M由已知，， 10040302DM -==40AM =， 50=故该预制件的表面积，()22240100504010042π102π104025600600π2S +⨯=++⨯-⋅+⨯⨯=+∴，225600600 3.1427484cm S ≈+⨯=，274847000 3.94÷≈≈所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19. 已知，是夹角为的两个单位向量.1e 2e60︒（1）若，求实数的值；()()1212423e ke ke e +⊥-k （2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.12e e λ- 122e e +λ【答案】（1）或；1k =6k =-（2） 115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量垂直的性质列方程，利用数量积运算化简方程求的值； k （2）结合向量夹角公式列不等式求的取值范围. λ【小问1详解】因为，()()1212423e ke ke e +⊥- 所以，又，是夹角为的两个单位向量.()()12124230e ke ke e +⋅-= 1e 2e 60︒所以，化简得 ()21832121102k k k -+-⨯⨯⨯=2560k k +-=所以， ()()160k k -+=所以或； 1k =6k =-【小问2详解】因为两向量与的夹角为钝角，12e e λ- 122e e +所以，且向量与不共线，()()121220e e e e λ-⋅+< 12e e λ- 122e e +由，可得，()()121220e e e e λ-⋅+< ()12211102λλ-+-⨯⨯⨯<所以， 54λ<当向量与平行时，， 12e e λ- 122e e + ()121212122t e e t e e tλλλ=⎧-=+⇒⇒=-⎨-=⎩ 实数的取值范围是. λ115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足ABC A A B C a b c ()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=．（1）求角；A（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长． D BC AD =BAC A BC E 43AE =a 【答案】（1）2π3（2） 【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取cos A A 值范围可得出角的值；A （2）根据为的中点，有，从而得到，再根据D BC ()12AD AB AC =+ ()2312b c bc +-=，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值． ABE AEC ABC S S S =+A A A ()43bc b c =+a 【小问1详解】由，()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=则，所以，()2cos cos 0b c bc A b ac B +⋅+⋅=()2cos cos 0b c A a B ++=则由正弦定理得，即， ()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B ++=所以，即， ()sin 2sin cos 0A B C A ++=sin 2sin cos 0C C A +=又，则，所以，得， ()0,πC ∈sin 0C ≠12cos 0A +=1cos 2A =-又，所以． ()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由为的中点，则，即，D BC ()12AD AB AC =+12AD AB AC =+ 所以，即，即，222242cos π3AD b c bc =++⋅ ()222123b c bc b c bc =+-=+-()2312b c bc +-=由是的角平分线，所以， AE BAC ∠π3BAE CAE ∠=∠=又，则， ABE AEC ABC S S S =+A A A 12π1π1πsin sin sin 232323bc c AE b AE ⋅=⋅⋅+⋅⋅所以，得， ()bc AE b c =⋅+()43bc b c =+所以，解得，()()2412b c b c +-+=6b c +=8bc =由余弦定理得， ()22222π2cos 368283a b c bc b c bc =+-⋅=+-=-=故a =21. 在正三棱柱中，，为线段上的动点，设，111ABC A B C -AB =12AA =F 11A B 111A F A B λ=.[]0,1λ∈（1）当时，求三棱锥的体积； 12λ=1F ACC -（2）求的最小值，并求取最小值时的值. 1AF FC +λ【答案】（1 （2）7， 213λ=【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可；（2）将矩形沿展开，使之与共面，利用余弦定理求，即得的最小11A B BA 11A B 111A B C 1AC 1AF FC +值，利用正弦定理求，再求，由此的值. 11sin A AC ∠1A F λ【小问1详解】 当时，得出为的中点，则 12λ=F 11A B(1111111121112223F ACC F AC A A FC A A B C A V V V V ----====⨯⨯=【小问2详解】将矩形沿展开，与共面，11A B BA 11A B 111A B C如图所示，，11150C A A ∠=︒∴，17AC ==故的最小值为71AF FC +中，由正弦定理得：11C A A △11111117sin 1sin150sin 2C A C A A AC A AC ∠∠=⇒=⇒=︒因为， ()110,30A AC ∠∈∴， 1113cos 14A AC ∠==所以11tan A AC ∠=∴， 1112tan A F A AC ∠=⋅=则. 111213A F AB λ===22. 已知在中，为边上的点，且，.ABC A D AB 13AD DB =2BC =（1）若，，求边的长； 4AB =2sin 3CDB ∠=AC （2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数23CD DB =CDB θ∠=()0,πθ∈ABC A S θ最大值.()y S θ=【答案】（1（2），；16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈165【解析】【分析】（1）由条件求，根据正弦定理求，由此可求，再由余弦定理求DB sin DCB ∠cos DBC ∠AC ；（2）设，根据余弦定理用表示，结合三角形面积公式用表示的面积， 3DB t =θ2t θABC A 方法一：利用正弦函数的范围求函数的最大值，()y S θ=方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得，结合基本不等式求其最大值.232tan225tan12y θθ=+【小问1详解】由，，则，13AD DB =4AB =3DB =在中，， BCD △23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=∵，∴， ()0,πDCB ∠∈π2DCB ∠=∴； 2cos sin 3DBC CDB ∠∠==在中，由余弦定理得：ABC A AC ==【小问2详解】由，设，则， 23CD DB =3DB t =2CD t =∵，∴，13AD DB =AD t =在中，由余弦定理得：，BCD △2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-的面积， ABC A 244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==-A ∴，.16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈法一：（※）16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-，其中，()13y θϕ⇒+=cos ϕ=sin ϕ=∴(222sin 16916144y y θ+⇒≤+∴，又，所以，当且仅当时等号成立， 222516y ≤0y >1605y <≤()sin 1θϕ+=所以当时， 512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====函数取最大值，最大值为16sin 1312cos y θθ=-165故函数最大值为. ()y S θ=165法二：∴ 222232sin cos16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，22232sin cos32tan22225sincos25tan1222θθθθθθ==++()0,πθ∈所以，32161525tan2tan2y θθ=≤=+当且仅当，即，即取最大值，125tan2tan2θθ=1tan25θ=5tan 12θ=故函数最大值为. ()y S θ=165【点睛】.。

2021-2022年高一下学期5月月考数学含答案考生注意：1、试卷所有答案都必须写在答题卷上。

2、答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有10 题，每题5分，共50分）1. 下列语句中，是赋值语句的为（）A. m+n=3B. 3=iC. i=i²+1D.i=j=32. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（）A.M>NB. M<NC. M=ND. 无法确定3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（）A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定D．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（）A. B. C. D.5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（）A. 20,15,15B. 20,16,14C. 12,14,16D. 21,15,146. 如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A. i>10B. i<10C. i>11D. i<117. 设a、b是正实数，给定不等式：①＞；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+＞2，上述不等式中恒成立的序号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2 cd的最小值是( )．9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB 的最小值为（）A. B.-1 C. D. 110. 给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（）A.4900B.4901C.5000D.5001二、填空题：（本大题共有5 题，每题5分，共25分）11. 已知x、y的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.712. 已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是13. 如果运行下面程序之后输出y的值是9，则输入x的值是输入xIf x＜0 Theny=（x+1）*（x+1）Elsey=（x-1）*（x-1）End if输出yEnd14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（b-c）cosA=acosC，则cosA=15. 设a+b=2，b＞0，则+ 的最小值为三、解答题（本大题共有6 题，共75 分）16. 已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的解集为非空集{x|n＜x＜5}（1）求实数m和n的值（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．（2）求关于x的不等式loga17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．18. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为x1，x2，…，xxx，y1，y2…yxx，（1）求出数列{xn }，{yn}（n≤xx）的通项公式；（2）求数列{xn +yn}（n≤xx）的前n项的和Sn．19. 在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC= ，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？21. 各项为正数的数列{an }满足＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m、n，使得向量=（2an+2，m）与向量=（−an+5，3+an）垂直？说明理由．1~5 CAADB 6~10 ADDCB11. 2.6 12. [-1,1] 13.-4或4 14. 15.16.解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）（3分）∴（1分）（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增由loga（-nx2+3x+2-m）＞0得x2+3x-3＞1（2分）即 x2+3x-4＞0x＞1 或 x＜-4（1分）2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0得：（2分）即4132132122xx x-<<⎧⎪⎨---+<>⎪⎩或（1分）（1分）∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a＜1时原不等式的解集为：321321(4,,1)22---+-)(（1分）17. 解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9 ∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=21018. 解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤xx）．数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，∴yn +1=3•2n-1，∴yn=3•2n-1-1，（n≤xx）．（Ⅱ）∵xn +yn=3n-1+3•2n-1-1=，（n≤xx）．∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3•2n-1）-n=+3•2n-3-n=3•2n+（n≤xx）．19.解：（1）由cosC＝得sinC＝sinA＝sin(180°−45°−C)＝(cosC+sinC)＝由正弦定理知BC＝•sinA＝1022•＝3（2）AB＝•sinC＝1022•＝2, BD＝AB＝1由余弦定理知CD＝222cosBD BC BD BC B+-=＝20. 解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x•+100x+30000+y=1250•+100（x-2+2）+30000+=31450+100（x-2）+≥31450+2=36450，当且仅当100（x-2）=，即x=27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.21. 解：（1）当n=1时，＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1当n=2时，＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；（2）由＝4Sn −2an−1…①，＝4Sn+1−2an+1−1…②②-①，得−＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0∵数列{an }的各项为正数，∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列∴数列{an }的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；（3）∵向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）∴结合（2）求出的通项公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）若向量⊥，则•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0化简得m=4（n+1）+16+∵m、n是正整数，∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使⊥符合题意综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）垂直．38420 9614 阔40291 9D63 鵣\Up30830 786E 确•30468 7704 眄21622 5476 呶36719 8F6F 软9c27258 6A7A 橺1。

2021年高一下学期5月检测数学试题（解析版）本卷分填空题（共70分）和解答题（共90分）.满分160分，考试时间为120分钟.一、填空题：本大题共l4小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线与直线垂直，则_____________.答案或提示：直线与直线相互垂直，2年级 高一 高二 高三 人数800600600现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为___________. 答案或提示：.3．某程序框图如图所示， 若输出的，则自然数___▲_____.答案或提示：由题意，可列表如下： S 0 1 3 6 10 … k 1 2 3 4 5 … 由上表数据知，时，循环结束，所以的值为.4．在等比数列中，已知,,则__________. 答案或提示：31232634531283567222237892855402040540a a a a a q a a a a q a q a q a q a a a a a ⎧==⎧⎪ ∴⇒===2⇒===⎨⎨==⎪⎩⎩5．△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，不等式的解集为，则_____. 答案或提示：不等式的解集为,可以看作是一元二次方程的两实根，或（与矛盾，舍去！），由余弦定理，222222cos 24224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=， .6．如果实数，则的最大值为___________.答案或提示：可以变为 ，其中可以看作是不等式组表示的平面区域内的点与点之间连线的斜率，作出不等式组表示的平面区域如图所示，点与点之间连线的斜率最大，即.7．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是_______.答案或提示：分截距均为0和不为0两种情形考虑，当截距均为0时，设直线方程为， 点在直线上，得，当截距不为0时，设直线方程为，点在直线上，得，可求得直线方程为或.8．设是等差数列的前n 项和，若,则____________. 答案或提示：数列成等差数列，且11111323112265325362a da d a d a d a d ⨯++=⇒=⇒=⨯++ .9．若实数、满足，则的取值范围是______________. 答案或提示：解：()()22114422222(22)xyx y x y x y +++=+⇒+=+()()22222222(22)222222(22)xy x y x y x y x y x y +-⋅⋅=+⇒⋅⋅=+-+()22222(22)022220222(22)22x y x y x y x y x y⎛⎫++<⋅⋅≤⋅ ∴<+-+≤⎪⎝⎭ 又2222002222x yxyxy++> ∴<+-≤，即.10．过点且到点距离相等的直线的一般式方程是_____________.答案或提示：考虑两种情形，当直线斜率不存在时，直线方程为符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式，得221|21||23|211k k k k k =⇒-=+⇒=-++，综上诉述，所求直线方程为.11．三条直线053,082,01=-+=+-=++y ax y x y x 能围成三角形，则的取值范围是 ．答案或提示：分三直线两两互相平行或三直线相交于一点两类情形考虑，可分别求得 ，即实数的取值范围是.12．已知函数则满足不等式的x 的取值范围是 ．答案或提示：当时，，此时2222(())(log )log (log )1log 24f f x f x x x x ==>⇒>⇒>，当时，，此时，矛盾，舍去！ 当时，此时，矛盾，舍去！综上所述，实数的取值范围是.13．若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是答案或提示：考查倾斜角和斜率的概念和关系. 此题倾斜角为钝角等价于斜率小于，从而得到： ； 答案：14．定义在R 上的，满足且，则的值为_______________． 答案或提示：令，得222(00)(0)2[(0)][(0)]0(0)0f f f f f +=+⇒=⇒= 令，得2221(01)(0)2[(1)]2[(1)](1)(1)2f f f f f f +=+⇒=⇒=或 （与已知条件矛盾，舍去！）令，得2211(1)()2[(1)]()(1)()22f m f m f f m f m f m +=+=+⇒+-=，故数列可看作是以为首项，以为公差的等差数列，即，于是.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）已知两条直线12:60,(2)320,l x my l m x y m ++==-++= 求为何值时两条直线：(1)相交； (2)平行； (3)重合； (4)垂直. 答案或提示：（1）由，得23(2)0230(3)(1)01m m m m m m m --≠⇒--≠⇒-+≠⇒≠-且（2）由，得 （3）由，得 （4）由，得. 16．（本小题满分14分）为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ (3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.答案或提示：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为频率= 所以121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. 17．（本小题满分14分）已知满足约束条件，它表示的可行域为. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值；（3）已知点的坐标为为坐标原点，是可行域内任意一点，求 的取值范围；（4）求的取值范围.答案或提示：由题意，作出可行域如右上图所示， （1）经过点时，；经过点时，.（2）表示区域内的点与坐标原点连线距离的平方2222max min 22228,()211z z d ∴=+====+（3）()()()22212215OA OP ,x,y x y,|OA|⋅=-⋅=-=+-=经过点时，， 经过点时，，从而的取值范围是 （4）353(2)113222x y x y y z x x x ++++--===++++，且表示区域内的点与点连90100 110 120 130 140 150 次数o 0.000.000.010.010.020.020.02频率/组距 0.030.03线的斜率点与点连线的斜率为， 点与点连线的斜率为的取值范围是，于是的取值范围是18．（本小题满分16分）已知向量＝(，)，＝(，)，定义函数＝ (1)求的最小正周期；(2)若△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及的大小. 答案或提示：(1)f (x )＝p·q ＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，cos x )＝sin x cos x ＋3cos 2x …2分 ＝12sin 2x ＋3·1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32 ＝sin(2x ＋π3)＋32.………………………………………4分∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.…………………………………6分(2)∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，…………………………………7分 又c 2＋ac －a 2＝bc.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.………………………………10分又∵0<A<π，∴A ＝π3.…………………………………12分f (A )＝sin(2×π3＋π3)＋32＝sin π＋32＝32.…………………………14分19．（本小题满分16分）如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为, （1）按下列要求写出函数的关系式：①设，将表示成的函数关系式； ②设，将表示成的函数关系式，（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值. 答案或提示：（1）①因为 ， ，所以，……………………… 2分所以.…………………4分 ②因为，，，所以…………… 6分 所以，即，……………… 8分（2）选择23sin cos )62y πθθθθ=-=+-，…… 12分 ………………………… 13分所以.……………………………………… 14分 20．（本小题满分16分）设为数列的前项之积，满足．(1)设，证明数列是等差数列，并求和； (2)设求证：． 答案或提示：(1)∵，∴…………………………………2分 ∴，∵ ∴. ………………4分 ∵∴，∴， ∴，∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴，…………………6分∴，∴…………………………… 8分 (2)2221222211123(1)n n S T T T n =+++=++++， ∵2221111111123(1)2334(1)(2)22n n n n +++>+++=-+⨯⨯+++……………………………11分∴ ……………………………12分 当时，222211111123(1)223(1)n n n +++<++++⨯+，……………………………14分 当时，，…………………15分∴.………………………………16分20731 50FB 僻 34126 854E 蕎 w.c26174 663E 显22879 595F 奟Y21986 55E2 嗢24388 5F44 彄22155 568B 嚋。