第2讲 常用逻辑用语 高中数学 北师大(2019) 必修 第一册 同步讲义

第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q 不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定a b>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若a=-b，则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

2019-2020年高中数学第一章《常用逻辑用语》全部教案北师大版1-2一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合三、教学过程（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？（二）、探析新课1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

新教材高中数学：§2常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题的必要条件、充分条件与充要条件．(重点)1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．1．命题(1)命题的定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句．(2)命题的两种形式：“若p，则q”和“p是q”．(3)“⇒”的意义：当命题“若p，则q”是真命题时，就说由条件p推出结论q，记作p⇒q.思考1：命题可以是疑问句吗？提示：不可以，疑问句不涉及真假，更无法判断真假．2．必要条件与充分条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考2：(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q(2)等价3．充要条件(1)一般地，如果有p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考3：如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件吗？提示：是．1．下列语句是命题的是( )A．正方形是矩形B．作直线ABC．x是整数D．明天会下雨吗A[D不是陈述句，B、C无法判断真假．]2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C3．使x>1成立的一个充分条件是( )A．x>0 B．x<0C．x>2 D．x<2C[只有x>2⇒x>1，其他选项均不能推出x>1.]4．如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？[解]如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件．必要条件、充分条件的判断【例1】 指出下列各题中p 是q 的什么条件． (1)p ：x ＝1，q ：x 2＝1；(2)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (3)p ：a >b ，q ：ac >bc .[思路点拨] 求解本题需注意以下两点： (1)分清条件和结论；(2)准确判断命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假． [解] (1)x ＝1⇒x 2＝1，但x 2＝1x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p 是q的必要不充分条件．(3)a ＞bac ＞bc ，ac ＞bc a ＞b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．用定义判断必要条件、充分条件要注意 (1)分清条件与结论；(2)既要考虑由条件能否推出结论，即充分性；也要考虑由结论能否推出条件，即必要性．[跟进训练]1．指出下列各题中p 是q 的什么条件 (1)在△ABC 中，p ：AB ＝AC ，q ：∠B ＝∠C ； (2)p ：x ＝2，q ：x >1； (3)p ：a >b ，q ：ab>1.[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p 是q 的充要条件． (2)x ＝2⇒x >1，但x >1x ＝2，故p 是q 的充分不必要条件． (3)当b <0时，由a >b ，可得a b<1，由a b>1，可得a <b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．必要条件、充分条件的应用 [探究问题]记集合A ＝{}x |p ()x ，B ＝{}x |q ()x ， 1．若A ⊆B ，则p 是q 的什么条件？A ⊇B 呢？提示：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件．若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件． 2．若p 是q 的充分条件，则集合A 与B 有何关系？p 是q 的必要条件呢？ 提示：若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .若p 是q 的必要条件，则A ⊇B .【例2】 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 从以下两点考虑： (1)从集合角度认识条件与结论的关系； (2)由集合之间的包含关系，寻找m 满足的条件．[解] 由p 是q 的充分不必要条件，得集合{x |－2≤x ≤10}是集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >1－m 1－m <－21＋m ≥10 ，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >1－m 1－m ≤－21＋m >10 ，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.1．把本例中的“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的必要不充分条件，得集合{} |x 1－m ≤x ≤1＋m 是集合{x |－2≤x ≤10}的真子集，当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝∅，即m <0时，符合题意； 当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ≠∅，即m ≥0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥01－m >－21＋m ≤10 ，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥01－m ≥－21＋m <10，解得0≤m ≤3.综上得，实数m 的取值范围是m ≤3.2．本例中，是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] 若p 是q 的充要条件，则{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝{} |x －2≤x ≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－21＋m ＝10 ， 由于该方程组无解，所以实数m 不存在．利用必要条件与充分条件求参数的取值范围 (1)化简p 与q ；(2)把p 与q 之间的关系转化为相应集合之间的关系； (3)利用集合之间的关系建立不等式； (4)解不等式求参数的取值范围．充要条件的探求与证明【例3】 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ca<0. [思路点拨] 从“充分性：条件⇒结论”与“必要性：结论⇒条件”两个方面证明． [证明] ①必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即c a<0.②充分性：由c a<0，得ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x 1，x 2，由一元二次方程根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，所以两根异号．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.1.数学概念的定义通常是充要条件的形式，既是概念的判断依据，又给出了概念的性质．2.证明命题条件成立的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).提醒：证明时，要分清条件与结论．[跟进训练]2．求证：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＋d ＝0. [证明] 充分性：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ×13＋b ×12＋c ×1＋d ＝0成立，故x ＝1是方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一个根为1，∴a ＋b ＋c ＋d ＝0，综上所述，关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＋d ＝0.1．必要条件与充分条件的判断方法(1)定义法：通过判断原命题与其逆命题的真假来判断．这是基本方法．(2)集合法：利用条件与结论对应的集合之间的关系来判断，这种方法有一定的局限性． 2．必要条件与充分条件的应用利用必要条件与充分条件可以使问题得到转化，有助于找到解题思路．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件． ( ) (2)q 不是p 的必要条件时，pq .( ) (3)若q 是p 必要条件，则当q 成立时，p 也成立． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．下列选项中，p 是q 的充要条件的是( ) A ．p ：3x ＋2>5，q ：－2x －3>－5 B ．p ：a >2，b <2，q ：a >bC ．p: 四边形的对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有唯一解D [若a ≠0，则方程ax ＝1有唯一解x ＝1a；若方程ax ＝1有唯一解，则a ≠0.选项A 、B 、C 可举反例排除．]3．在判断定理中，条件是结论的________条件． [答案] 充分4．已知p ：x －3<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． [解] 由x －3<0，得x <3；由2x －3<m ，得x <m ＋32，因为p 是q 的充分不必要条件，所以集合{} |x x <3真包含于集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x x <m ＋32，所以3<m ＋32，解得m >3.。