《流体力学》连续方程推导的巧方法
施春华,高庆九,李忠贤
(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)
摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系
在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123]
对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式
流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”
(流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1]
(1)
一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之
则增大。其算子形式的通用表达式[1]
(2)
两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
(3)
2 柱坐标系欧拉连续方程
基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简单的 欧拉连续方程的推导见图1。
如图1所示,柱坐标系体积元控制体ABCDEFGH,径向方向r,圆周切向方向θ,垂直方向z,径向速度Vr,圆周切向速度V θ,垂直速度w,则径向线微元AB 表达为dr,切向线微元AD 表达为rd θ,垂直微元GC 为dz,体积微元dV=rd θdrdz 。
由径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF(面积rd θdz)所引起的质量通量均可表达为ρVr* rd θdz,但r 坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿径向r 方向不尽相同
就表达了质量通量在穿越面元ADHE 和BCGF 时沿径向r 方向的梯度,乘以
dr 后得它表示了径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即径向速度Vr 引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,由切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE(面积rdθdr )所引起的质量通量均可表 达为ρV θdrdz,但θ坐标值在两面元处不同,质量通量沿切向θ方向的梯度描述为∂(ρV θdrdz)/θ∂,而（∂(ρV θdrdz)/θ∂）d θ则描述了切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量,即切向速度V θ引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,垂直速度w 垂直穿越面元EFGH 和ABCD(面积rd θdr)所引起的质量通量均可表达 为ρwrd θdr,但z 坐标值在两面元处不同,质量通量沿z 方向的梯度描述为∂(ρwrd θdr)/∂z,
而（∂(ρwrdθdr)/∂z）dz则描述了垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量,即垂直速度w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在3个正交的方向r、θ和z上运动,所以流体单位时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为
,式中r、θ和z相互独立,密度ρ则是空间的函数,体积微元dV=rdθdrdz,故有
(4)对于该控制体单位时间的质量变化,又可以描述为（∂ρ/t∂）dV,由于在质量通量的表达中,把流出控制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因此
即(5)
表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。
3 球坐标系欧拉连续方程
球坐标系中取一体积元控制体ABCDEFGH如图2所示[4] 。
坐标系中经度λ,纬度φ,球径向r;沿纬圈方向线微元AB为rcosφdλ,速度为u;沿经圈方向线微元DA为rdφ,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。体积元ABCDEFGH为
dτ=r^2*cosφdλdφdr。沿纬圈方向穿越面元AEHD和BFGC的质量通量均可表达为
ρurdφdr,这两个面元上质量通量沿λ方向的梯度表示为∂(ρurdφdr)/∂λ,乘以dλ后（∂(ρurdφdr)/∂λ）dλ就描述了纬圈速度u穿越面元AEHD和BFGC后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
由于λ、φ和r相互独立,且体积元ABCDEFGH为dτ=r^2*cosφdλdφdr,故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(6)
同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(7)
沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(8)
根据质量守恒,整个体积元单位时间内净流失的质量是沿3个方向流失质量之和,应等于该体积元单位时间的质量减小量（∂ρ/t∂）dτ，故
