《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法

流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。

不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。

自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。

连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。

连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。

有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。

圆柱坐标系连续性方程推导在流体力学中，连续性方程是描述流体在空间中连续流动的重要方程之一。

它表达了质量守恒的原则，即单位时间内通过一给定区域表面的流体质量的净流入率等于该区域内流体质量的减少率。

本文将推导圆柱坐标系下的连续性方程。

圆柱坐标系简介圆柱坐标系是一种常见的三维坐标系，特点是以一个固定点O为原点，以一根固定轴作为z轴，然后引入以原点为中心的极坐标系。

在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用径向距离r、极角ϕ和z坐标来表示。

圆柱坐标系下的流体流动考虑一个在圆柱坐标系下的流体流动问题。

假设流体在该坐标系下的速度场为V(r, ϕ, z)，其中V分别表示径向、极角和z方向的速度分量。

为了推导连续性方程，我们需要考虑一个控制体，即一个包围着流体的任意闭合曲面。

控制体的内部可以包含若干流体微团。

质量守恒原理根据质量守恒原理，单位时间内通过控制体表面的净流入率等于控制体内部质量的减少率。

在圆柱坐标系下，我们将质量守恒原理表达为如下形式：$$\\frac{\\partial M}{\\partial t} + \\oint \\rho V \\cdot \\vec{n} ds = 0$$其中，M表示控制体内部质量，$\\rho$表示流体的密度，V表示流体速度，$\\vec{n}$表示控制体表面的法向量，ds表示控制体表面的面积元素。

连续性方程推导根据质量守恒原理，我们可以将控制体内部质量表示为质量密度与体积的乘积：$$M = \\iiint_V \\rho dV$$其中，$\\iiint_V$表示对整个控制体内部进行体积积分。

将质量守恒原理中的控制体内部质量代入上式，并利用散度定理将面积积分转化为体积积分，可以得到如下形式的连续性方程：$$\\frac{\\partial}{\\partial t} \\iiint_V \\rho dV + \\iiint_V \ abla \\cdot(\\rho V) dV = 0$$其中，$\ abla \\cdot (\\rho V)$表示流体速度矢量的散度。

柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。

本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。

[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分[中图分类号]：O13 [文献标识码]：A [文章编号]: 1672-1452(2015)**-****-041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。

在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。

在电动力学课本[3]中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。

但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。

现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。

本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。

此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。

建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。

2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的分量()z y x ,,与柱坐标系的分量()z ,,ϕρ有如下的转换关系：222y x +=ρ（1） x =ϕρcos （2） y =ϕρsin（3） z z =（4）（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得ϕρρcos ==∂∂xx（5）ϕρρsin ==∂∂yy（6）（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得1sin cos =∂∂-∂∂xx ϕϕρϕρρϕϕsin -=∂∂x（7）同理可知， ρϕϕcos =∂∂y（8）假设所研究的函数为),,(z y x f f =由于z 关于x ，y 是独立的变量，故ρϕϕϕρϕϕρρsin cos ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f x f x f x f （9）同理 ρϕϕϕρϕϕρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f y f y f y f（10）利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导2222222222222222222cos sin 2sin sin cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ρϕϕϕρϕρρϕϕρϕϕϕρϕρρϕρϕϕρϕϕϕϕρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂f f f f f f f f f f f f x f x x f x xf （11）类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。

传热学论文一邓佳丽1102610103论文一 对柱坐标、球坐标系中导热微分方程的推导邓佳丽 1102610103哈尔滨工业大学市政环境工程学院 建筑环境与设备工程摘要：在傅里叶定律基础上，借助热力学定律，把物体内个点的温度联系起来，建立起温度场通用的微分方程，即导热微分方程，它也是我们专业的基础公式之一，是极其重要的。

Abstract ：In YeDingLv FFT basis ，With the laws of thermodynamics ，Within a point of the object of temperature connected ，Establish temperature field of general differential equation, namely heat conduction differential equation, it is also the foundation of our professional formula one, is extremely important.关键词：球坐标系 柱坐标系 推导 应用Key words ：Ball coordinate system Cylindrical coordinate system Derivation Application 引言 ：在傅里叶定律中确定了热流密度矢量和温度梯度的关系，但要确定热流密度矢量的大小 ，还应进一步知道物体内的温度场，即t=f(x,y,z,τ)。

为此目的像其他数学问题一样，首先要找到描述上式的微分方程。

从进行导热过程的物体中分割出一个微元体dxdydz dv =，微元体的三个边分别平行于 x ，y 和z 轴，根据能量守恒，转化定律和傅里叶定律，对微元体进行热平衡分析，便建立在直角坐标系中的导热微分方程式：λρρλτv v aq t a c q z t y t x t c t +∇=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222222 式中： ca ρλ= 为扩散率， v q 为内热源强度， 所以从柱体，球体中取出一个微元体，进行导热微分方程式的推导。

一、曲线坐标系下连续性方程的推导曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导一、曲线坐标系下连续性方程的推导首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。

在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则m τρδτ=⎰()1.1为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。

根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立()0dm ddt dtτρδτ==⎰()1.2根据公式：()()d div dttττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.3，得 ()()0dm ddiv dt dtt ττρρδτρδτ∂⎛⎫==+= ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.4因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：()0div tρρ∂+=∂v()1.5()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。

下面将写出它在曲线坐标下的形式。

因为()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a()1.6所以()()()()1232313121231231v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦v()1.7将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：()()()12323131212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦()1.8二、曲线坐标系下N S -方程的推导首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。