重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

专题19 立体图形的直观图一、单选题1．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135【试题来源】2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过 【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行于x 、z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，直角变为45或135进行判断，即可得出结论．【解析】对于A 选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A 选项正确； 对于B 、C 选项，由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变， 平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B 选项正确，C 选项错误； 对于D 选项，在平面直角坐标系中，90xOy ∠=，在斜二测画法中，45x O y '''∠=或135，D 选项正确．故选C ． 2．如图，水平放置的三角形的直观图，D 是A B ''边上的一点且13D A A B ''''=，//A B Y '''轴，//C D X '''轴，那么C A ''､C B ''､C D ''三条线段对应原图形中的线段CA ､CB ､CD 中A ．最长的是CA ，最短的是CB B ．最长的是CB ，最短的是CAC ．最长的是CA ，最短的是CDD ．最长的是CB ，最短的是CD【试题来源】河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】直接利用斜二测画法求解． 【解析】因为//A B Y '''轴，//C D X '''轴， 所以在原图中，,2,AB CD AB A B CD C D ''''⊥==，所以22222222222,2CB CD BD CD B D CA CD AD CD A D ''''=+=+=+=+， 因为13D A A B ''''=，所以CB CA CD >>，故选D 3．如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是A ．B ．C ．8D ．16【试题来源】山西省吕梁市汾阳中学、孝义中学、文水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】由斜二测画法的原则：横等纵半，，写出直观图面积即可．【解析】若斜二测画法所得正方形如下图A’B’C’D’，根据横等纵半知4A B C D ''''==，2A D B C ''''==且45A D C '''∠=︒，所以直观图的面积sin 45S A B A D ''''=⋅⋅︒=B ．4．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，1B O C O ''''==，12A O ''=，那么原ABC 的面积是AB ．12C ．1D ．2【试题来源】福建省三明市三地三校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【分析】由直观图求出原图三角形的高，即可求解．【解析】由直观图中12A O ''=，2B C ''=知原图中1212AO =⨯=，且AO BC ⊥，2BC =，所以原ABC 的面积是面积为1121122BC OA ⨯⨯=⨯⨯=，故选C5．如图，一个正方形OABC 在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC 的面积为A ．1B ．4C ．1或4D ．不能确定【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2） 【答案】C【分析】由题意，111O A =或111O C =，可得正方形OABC 的边长为1或2，即可求出正方形OABC 的面积．【解析】由题意，111O A =或111O C =，所以正方形OABC 的边长为1或2， 所以正方形OABC 的面积为1或4．故选C6．如图直角'''O A B △是一个平面图形的直观图，斜边''4O B =，则原平面图形的面积是A ．B ．C ．4D【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】A【分析】根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解．【解析】由题意可知'''O A B △为等腰直角三角形，''4O B =，则O A ''=，所以原图形中，4OB =，OA =故原平面图形的面积为142⨯⨯=A7．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1，1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A ．2+B 122C ．22+D ．1+【试题来源】陕西省西安市阎良区2019-2020学年高一上学期期末 【答案】A【分析】先判断原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，1，代入梯形的面积公式计算．【解析】平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为11的的等腰梯形，∴原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为1+∴原平面图形的面积22S ==+A ．8．如图，A B C '''是ABC 的直观图，其中//,//A B O x A C O y ''''''''，且1A B A C ''''==，那么ABC 的面积是A ．1B ．C ．8D 【试题来源】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据斜二测画法的原则，确定原三角形的形状，以及边长，即可求出三角形的面积． 【解析】根据斜二测画法可得，原图形中，//AB Ox ，//AC Oy ，则AB AC ⊥， 又1AB A B ''==，22AB A C ''==，所以ABC 的面积是112ABCS AB AC =⨯=， 故选A ．9．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为A ．4B ．6C ．8D ．2+【试题来源】陕西省西安中学2020-2021学年高一上学期期末 【答案】C【分析】根据斜二测画法求解． 【解析】直观图如图所示：由图知原图形的周长为13138OA AB BC CO +++=+++=，故选C10．某水平放置的OAB 用斜二测画法得到如图所示的直观图O A B '''△，若O B A B '''='，则OAB 中A ．90OBA ∠=︒B ．OB BA =C ．OB OA =D ．OB OA >【试题来源】重庆市2020-2021学年高二上学期期末联合检测数学（康德卷）试题 【答案】D【分析】90OBA ∠≠，所以选项A 错误；OB BA ≠，所以选项B 错误； OB OA >，所以选项C 错误，选项D 正确．【解析】设O B A B x '''='=，所以45B A O '''∠=，所以O A ''=，所以在OAB 中，90,90BOA OBA ∠=∴∠≠，所以选项A 错误；由题得2OB x =，BA ==，所以OB BA ≠，所以选项B 错误；因为2,OB x OA ==，所以OB OA ≠，OB OA >所以选项C 错误，选项D 正确．故选D11．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的 A ．12倍 B ．14倍C ．2倍 D 倍【试题来源】江苏省徐州市第一中学2020-2021学年高三上学期期末 【答案】D【分析】根据斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='即可得出答案．【解析】斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='所以S S '==故选D 12．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是A ．2B ．1CD ．【试题来源】江苏省苏州市工业园区园区三中2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解．【解析】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=D 13．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中∠A ′等于 A ．45° B ．135° C ．90°D ．45°或135°【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】D【分析】根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案【解析】因∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，故∠A ＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x ′O ′y ′＝45°或135°，即∠A ′＝45°或135°．故选D ． 14．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是 A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B ．正方形的直观图为平行四边形 C ．梯形的直观图不是梯形D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】B【分析】根据斜二测画法的方法：平行于y 轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断．． 【解析】由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°； 当线段与x 轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x 轴平行， 当线段与x 轴平行时，线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变．故选B ．15．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【试题来源】江西省吉安市省重点中学2020-2021学年高二年级（10月）联合考试（文） 【答案】A【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示．2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ，故选A ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．16．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【试题来源】宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高一上学期期末考试 【答案】B【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解． 【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+B ．17．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是A B ．2C D ．【试题来源】江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】D【分析】根据直观图画出原图可得答案．【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =，1OA =，则图形OABC 的面积是 故选D18．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为A ．2B ．C ．3D ．【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】D【分析】在斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点有2A C，根据斜二测法的画图原则：纵半横不变，得222AC A C ，1OA =，即可知最长边BC 的长度．【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：所以222AC A C ，1OA =，所以最长边BC =，故选D 19．如图，A O B '''为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为A ．9B ．10C ．11D ．12【试题来源】广西崇左高级中学2020-2021学年高一12月月考【答案】D【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解．【解析】由直观图可得，在OAB 中，23,4OA O A OB O B '''='===，且OA OB ⊥，所以5AB ==，所以OAB 的周长为34512++=．故选D ．20．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为A ．10B ．12C ．14D ．16【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（文）【答案】C【分析】按直观图画法可知原四边形的边长，进一步可求原四边形的周长．【解析】由直观图与原图形的关系，可知原四边形为矩形，边3OA =，边4OC =， 所以原四边形周长为14．故选C21．如图是水平放置的三角形的直观图，2AB BC ==，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则ABC 在原图中的对应三角形的形状和面积分别为A B ．等腰三角形；2C ．直角三角形；4D ．直角三角形；8【试题来源】浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期12月第三次月考【答案】C【分析】利用斜二测画法的定义和过程，可判断三角形的形状，以及利用边长求面积．【解析】根据斜二测的直观图的画法可知，原图中，AB BC ⊥，并且原图中2BC =，4AB =，所以ABC 在原图中的对应三角形的形状是直角三角形，面积12442S =⨯⨯=．故选C 22．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 的面积是A B ．2C ．D ．4 【试题来源】江西省余干县新时代学校2020-2021学年高一上学期阶段测试（二）【答案】C【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得原三角形的面积．【解析】由直观图可知，原三角形BC 边长为2，BC 边上的高为所以ABC 的面积是122⨯⨯= C ． 23．若边长为2的正111A B C △是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是ABC ．D ．【试题来源】【新东方】418【答案】D【分析】先画出该直观图，由题中条件，根据斜二测画法，求出原图形的高，以及底边长，进而可求出原图形的面积．【解析】因为直观图是由斜二测画法作出的，图中1145A OC ∠=，因为111A B C △是边长为2的正三角形，11120OA C ∠=，在11OA C 中，由正弦定理可得12sin120sin 45OC =，解得1OC =根据斜二测画法的特征，可得原水平放置的三角形的高为12OC =，底边长等于112A B =，所以原图形的面积为122⨯=D ． 24．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为A BC ．D ．【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】C【分析】在直观图中求出三角形的高，利用斜二测画法的规则求出原三角形中三角形的高后，利用面积公式可得结果．=角形的高为=122⨯=C 25．利用斜二测画法得到：①三角形的水平放置的直观图是三角形；②平行四边形的水平放置的直观图是平行四边形；③矩形的水平放置的直观图是矩形；④菱形的水平放置的直观图是菱形．以上结论正确的是A ．①B ．①②C ．③④D ．①②③④【试题来源】陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期12月月考【答案】B【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x 轴的线段长度不变，平行y 轴的线段长度减半，直角变为45或135判断．【解析】由斜二测画法的规则可知因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；因为直角变为45或135，所以矩形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴的线段长度不变，所以④是错误，故选B ． 26．一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，则原图形的面积为A 2B ．2C 2D 2 【试题来源】安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中（理）【答案】D【分析】先计算出直观图的面积，再根据原图面积S 与直观图的面积S '的关系为S ='，即可求解． 【解析】平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，212S a '∴=，则原图形的面积2212S a ==．故选D ． 27．下列命题中正确的是A ．正方形的直观图是正方形B ．平行四边形的直观图是平行四边形C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2）【答案】B【分析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项C ，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．【解析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形，故A 错误；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C ，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C 错误；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D 错误．故选B ．28．若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为A ．12B ．6C ．D 【试题来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高一上学期期末考试（理）【答案】C【分析】根据图象，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【解析】根据图象可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，作A M O B '⊥''，则211O M '=-=，由'''4A O B π∠=，得''A O =2''AO A O ==，''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，原四边形AOBC 的面积为11()(12)22S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=C29．已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为A ．2B ．6C ．2D ．8【试题来源】河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末【答案】D【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可．【解析】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD ==，AC =在Rt ABC 中， 3BC ===，又AD BC =，所以四边形ABCD 的周长为23218⨯+⨯=，故选D30．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=，//B C O A ''''．则原平面图形的面积为A ．32B ．62C ．322D ．34【试题来源】【新东方】绍兴qw119【答案】A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【解析】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，所以2A B OB '''==O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，所以1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = 所以其面积为1(21)22322S =+⨯=A 【名师点睛】本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=． 二、多选题1．利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AB【分析】根据斜二测画法的概念选择．【解析】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选AB ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题．2．水平放置的ABC 的直观图如图所示，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 是一个A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边互不相等的三角形D 【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 过关斩将 第八章【答案】AD【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可．【解析】由题中图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥．2A O ''=，AO ∴=1B O C O ''''==，2BC ∴=，2AB AC ==，ABC ∴为等边三角形．ABC ∴的面积为122⨯=AD ． 3．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D ′为B ′C ′的中点，且A ′D ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，那么在原平面图形ABC 中A ．AB 与AC 相等B ．AD 的长度大于AC 的长度C ．AB 的长度大于AD 的长度D ．BC 的长度大于AD 的长度【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册【答案】AC【分析】首先根据斜二测画法的直观图还原几何图形，根据实际图形的长度关系判断选项．【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xoy ，//BC x 轴，并且BC B C ''=，点D 是BC 的中点，并且作//AD y 轴，即AD BC ⊥，且2AD A D ''=，连结,AB AC ，所以ABC 是等腰三角形，AB AC =，AB 的长度大于AD 的长度，由图可知BC B C ''=，2AD A D ''=，由图观察，12A DBC ''''>，所以2B C AD ''''<，即BC AD <．故选AC【名师点睛】本题考查由直观图还原实际图形，判断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属于基础题型．三、填空题1．已知水平放置的四边形ABCD ，按照斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′D ′如图所示，其中A ′D ′＝2，B 'C '＝4，A ′B ′＝1，则DC 的长度是___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】【分析】根据直观图画出原图，并计算出DC 的长．【解析】画出原图如下图所示，由图可知DC ==【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的直观图和原图的对应关系，属于基础题． 2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x轴．已知四边形ABCD 的面积为2，则原平面图形的面积为___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题 【答案】28cm【分析】根据平面图形中，原图面积与直观图面积之间的关系即可求解． 【解析】设原图面积为S ，直观图面积1S ，根据直观图面积与原图面积的关系1S =，因为1S =容易解得8S =，故答案为28cm ．【名师点睛】本题考查斜二侧画法中直观图与原图面积之间的关系，属基础题．3．如图所示，直观图四边形''''A B C D 是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________．【试题来源】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文）【答案】2+【分析】根据斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解析】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底1AD =，高2''2AB A B ==，下底为1BC =+22=+2+ 【名师点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础． 4．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中1O A O B ''''==，2O C ''=，则ABC 面积为___________．【试题来源】安徽省合肥168中学2019-2020学年高二（上）期中数学（文）试卷题【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积． 【解析】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；ABC 中，1OA O A ''==，1OB O B ''==，2OC O C ''==，且OC AB ⊥，所以ABC 的面积为11·222ABC S AB OC ∆==⨯= 【名师点睛】本题主要考查利用斜二测画法作直观图，考查直观图面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．如图，梯形''''A B C D 是一平面四边形ABCD 按照斜二测画法画出的直观图，其中''//''A D B C ，''2A D =，''4B C =，''1A B =，则原图形DC 边的长度是___________．【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】．【分析】画出原图，根据斜二测画法，由边的关系，即可得解． 【解析】如图，做DH BC ⊥与H ，由题意可得2AD =，4BC =，2AB =，2,2DH HC ==，由勾股定理可得222228,DC DC =+==【名师点睛】本题考查了直观图和原图的关系，考查了斜二测画法，计算量不大，属于基础题．6．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为___________．【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（理） 【答案】14【解析】因为平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图，且'''45AO C ∠=︒，所以四边形OABC 是矩形，且3,4OA OC ==， 所以四边形OABC 的周长为2(34)14⨯+=，故答案为147．水平放置的ABC 的斜二测直观图'''A B C 如图所示，已知''3,''2A C B C ==，则ABC 的面积为___________．【试题来源】安徽省蚌埠市田家炳中学2020-2021学年高二上学期12月月考（文） 【答案】6【解析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示；ABC ∴的面积为132262⨯⨯⨯=．故答案为6．8．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是___________(填序号)．【试题来源】【新教材精创】 练习 苏教版高中数学必修第二册 【答案】①②【分析】根据斜二测画法的特点进行判断即可．【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 故答案为①②9．四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形A B C D ''''，那么四边形ABCD 的面积为___________．【试题来源】贵州省遵义市航天高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】2+【分析】根据四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，可得原图是上底为1，下底为1+2的直角梯形，即可求出原图四边形ABCD 的面积．【解析】由题意知直观图如图：1A D ''=，1D C ''=，45D A B '''∠=，过点D 作D O A B '''⊥于点O ，所以2A O '=，所以121A B ''=+=，原图如图：1AB =2AD =，1CD =，所以梯形ABCD 面积为11222+⨯=+，故答案为2+【名师点睛】本题主要考查了斜二测画法作图规则，属于逆用题型．10．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），45ABC ∠=，112AD BC ==，则该平面图形的面积为___________．【试题来源】江西省赣州市会昌县会昌中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）【答案】2【分析】根据题中条件，先求出直观图的高，得出直观图中的AB 的长，再由斜二测画法的特征，得出原图形为直角梯形，根据梯形面积公式，即可求出结果．【解析】在直观图中，过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点D 作DF BC ⊥于点F ， 因为45ABC ∠=，112AD BC ==，所以1EF AD ==，则12BE CF ==，因此2cos 452BE AB ==， 又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，AB BC ⊥，//AD BC ，即原图为直角梯形，且高为直观图中AB 的2倍，所以该平面图形的面积为()11222S =⨯+=．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查由直观图求原图的面积，熟记斜二测画法的特征即可，属于基础题型．11．已知ABC 的斜二测直观图如图所示，则ABC 的面积为___________．【试题来源】山西省朔州市怀仁县大地学校2019-2020学年高二上学期第一次月考 【答案】2【分析】求出斜二测直观图的面积，再由斜二测直观图的面积与原图的面积关系即可得解． 【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图的面积1212sin 4522S '=⨯⨯⨯=，所以ABC 的面积22S '===．故答案为2． 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O A B C ''''，且2O A ''=，1O C ''=，A B ''平行于y '轴，则这个平面图形的面积为___________．【试题来源】安徽省马鞍山二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试（文）【答案】【分析】根据斜二测画法的规则原图是水平放置的一个直角梯形，画出图象求解即可． 【解析】根据斜二测画法的规则可知水平放置的图形OABC 为一直角梯形，如图：由题意可知上底为2OA =，高为AB =213BC =+=，所以该图形的面积()1322S =⨯+⨯=；故答案为 13．如图，A B C D ''''是一个平面图形ABCD 的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形ABCD 的面积等于___________．【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷360【答案】。

重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列函数在定义域上为增函数的是（ ）A ．()ln f x x x =B ．()ln f x x x =+C ．()cos f x x x=-D ．()2e xf x x =迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若1A ，2A 分别为曲线C 的左、右顶点，M ，N 两点在直线6x =上，且11MA F NA F Ð=Ð.连接1A M ，2A N 分别与C 交于点P ，Q ，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.22．已知函数()()2ln 3R f x x x ax x a =--Î有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <.(1)求a 的取值范围；(2)若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围.16．(,2e]-¥【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t 的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案【详解】由题意得()()ln ,(0),t f x t x x f x x¢=>\=，()2g x x ¢=，设公切线与曲线()ln f x t x =切于点11(,ln )x t x ，与曲线()2g x x =切于点222(,x x 则2122112ln 2t x x t x x x x -==-，则122t x x =，212212ln x x x t x -=，当20x =时，0=t ，函数()ln f x t x =与()2g x x =的图象存在公切线0y =，符合题意；）可得，()()122,0,2,0A A -,)6,m ，因为11MA F NA F Ð=Ð，则()6,N m -，1:A M y m。

重庆市重庆一中2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题 10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1.直线10ax y +-=与直线2320x y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．23 B ．1- C ．2-D ．32- 2.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则()P A B =（ ）A.13 B.23 C.12D.56 3.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，则圆的方程是（ ）A ．2240x y x +-= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x +--= D ．22230x y x ++-= 4.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球．．．的表面积为（ ） A.43πB ．16πC ．4πD ．323π5.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2=32xf x x xf e '++，则()2f '的值等于（ ）A.2-B.222e - C.22e - D.222e --6.已知α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是不重合的直线，给出下列命题：①a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；②//ab ac c b ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭。

其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．07.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（ ）A.3π+B.23π+C.3π+D.23π+8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A.(1,2] B.(1,2) C.[2,)+∞ D.(2,)+∞ 9.（原创）若函数1111sin(2)([0,]),2y x x π=+∈函数223y x =+,则221212()()x x y y -+-的最小值为( )A.12+ B.12 C.2D.2(15)72π-10.（原创）若对定义在R 上的可导函数()f x ，恒有(4)(2)2(2)0x f x xf x '-+>，（其中(2)f x '表示函数()f x 的导函数()f x '在2x 的值），则()f x （ ）A.恒大于等于0B.恒小于0C.恒大于0D.和0的大小关系不确定第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。

重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。

重庆南开中学高2020级2020～2020学年度高二（上）期中 数 学 试 题第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．双曲线112422=-y x 的焦距为 （ ）A ．4B ．2C ．D ．2．若抛物线22y px =的焦点为()2,0，则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2 C. 4 D ．4-3．已知圆22:(1)2x y -+=，则过点(2,1)作该圆的切线方程为 （ ）A ．10x y --=B ．250x y +-= C. 2x = D ．30x y +-=4．若一个椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为 （ ）A. 45B. 35C. 25D. 155．已知双曲线222=-y x ，过定点)0,2(P 作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条6．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到左准线的距离为152，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．10B ．6C ．12D ．147．方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，则双曲线15322=-+-k y k x 的焦点坐标为 （ ） A ．)2,0(± B ．)0,2(± C. )82,0(+±k D ．)0,82(+±k8．已知抛物线y px =22的焦点为F ，P Q ,为抛物线上两点，若PQF ∆为边长为2的正三角形，则p 的值是 （ ）A ．2±B ．3±1 D ．19．过双曲线22221(,0)x y b a a b-=>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点，若222QF PF =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 610. 设抛物线y x =24的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点， 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ，若32PF =，则弦长AB 等于 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知椭圆方程为 x y +=22:165，则椭圆的右准线方程为 12．已知圆C x x y -+=221:21 ，圆C x x y -+=222:40，则圆C 1与圆C 2相交的弦长为13．已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，则PF PM + 的最小值是14．已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F (2,0)的直线交椭圆于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与(3,1)a =-r 共线, 则该椭圆的长半轴长为15．已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=。

2020-2021学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x||x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为()A. 3B. 4C. 7D. 82.若定义在R上的函数f(x)不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是()A. ∀x∈R，f(x)+f(−x)≠0B. ∀x∈R，f(x)=f(−x)C. ∃x0∈R，f(x0)+f(−x0)≠0D. ∃x0∈R，f(x0)=f(−x0)3.“绿水青山就是金山银山”，某城市发起了“减少碳排放行动”，通过增加植树面积，逐步实现碳中和，为调查民众对减碳行动的参与情况，在某社区随机调查了90位市民，每位市民对减碳行动给出认可或不认可的评价，得到如图所示的列联表、经计算K2的观测值k=9，则可以推断出()附：A. 该社区居民中约有99%的人认可“减碳行动”B. 该社区居民中约有99.5%的人认可“减碳行动C. 在犯错率不超过0.005的前提下，认为“减碳行动“的认可情况与年龄有关D. 在犯错率不超过0.001的前提下，认为“减碳行动“的认可情况与年龄有关4.函数f(x)=lg(x2−2x−3)的单调递减区间是()A. (−∞,−1)B. (−∞,−3)C. (−3,1)D. (−1,1)5.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于53的概率为()A. 29B. 37C. 1625D. 796.点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n的图象上，则函数g(x)=√n−x+√x−m的值域为()A. [0,√2]B. [1,√2]C. [√2,2]D. [2,3]7.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且f(x+2)=f(x+1)−f(x).若f(1)=12，则f(2021)=()A. −14B. −12C. 14D. 28. 设M k ={y|k 2x 2−kxy +2=0,1k 2≤x ≤2}，其中k =2，3，…，2022，则所有M k 的交集为( )A. [2,4√2]B. [2√2,92]C. [2,+∞)D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 若a ，b 为非零实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( )A. b a >abB. 1ab 2>1a 2bC. a −1a >b −1bD. 12a−b >13a−b10. 若随机变量X 服从两点分布，且P(X =0)=25，记X 的均值和方差分别为E(X)和D(X)，则下列结论正确的是( )A. E(X)=35B. E(5X +3)=6C. D(X)=45D. D(5X +3)=6511. 定义在(−1,1)上的函数f(x)满足f(x)−f(y)=f(x−y1−xy )，且当x ∈(−1,0)时，f(x)<0，则有( )A. f(x)为奇函数B. f(x)为增函数C. f(12)+f(13)>f(56)D. 存在非零实数a ，b ，使得f(a)+f(b)=f(12)12. 若直线y =ax +b 与曲线y =2x−1−21−x 相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，且|AB|=|BC|=√132，则下列结论正确的是( )A. x 1+x 2+x 3=3B. y 1+y 2+y 3=3C. a +b =0D. a −b =3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ∈R ，函数f(x)={x 2−4,x >2|x −3|+a,x ≤2.若f[f(√5)]=4，则a =______． 14. 若函数f(x)在R 上可导，且f(x)⋅f′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数______． 15. 设正实数a ，b 满足a +2b =ab ，则3a−2+1b−1的最小值为______．16. 若函数f(x)=(e x −ax)(ax 2−x +4a)在(0,+∞)内恒有f(x)≥0，则实数a 的取值范围为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记函数f(x)=√−x 2+4x −3的定义域为A ，函数g(x)=2x+1,x ∈(0,m)(m >0)的值域为B ．(1)当m =2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A “是“x ∈B “的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x 2+6x +1．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)={f(x)+1,x >02,x ≤0，解不等式g(x +6)>g(101−x )．19. 乡村振兴战略是党的十九大提出的一项重大战略，是关系全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务，为实现乡村振兴，降低农产品产后损失率，多地区大范围推广农产品的产地源头分级，解决农产品出村进城“最初一公里”的问题，在这一举措之下，越来越多的农产品走由大山走出县城和市扬，形成了东西南北“农货大流通“的趋势．丹东草莓、云南雪莲果、广西百香果、新疆小红杏、大凉山软籽石榴等边远地方的水果纷纷走红，从“小水果“，变成了“大产业“，持续推动当地产业发展，激发脱贫内生动力，某地区某当季水果即将上市，根据单个重量、果径、外观、甜度等对其进行综合评分，将水果按评分分为A ，B 两个等级． 评分 [84,100] [0,84) 等级 A 等B 等对当季水果评分数据抽取调查，分组并整理得到如图所示的频率分布直方图，由频率分布直方图，评分近似服从正态分布N(μ,σ2)，经计算，样本的平均值μ=76.3，方差σ=7.7．(1)从该地区随机抽取20个当季水果，用5表示A 等的水果个数，求P(ξ≥1)及与ξ的数学期望；(2)分级前水果价格为15元/kg ，能够销售总产量的70%；分级后4级水果价格为20元/kg ，能够完全销售：B 级水果价格为12.5元/kg ，能够销售80%，根据正态分布，估计分级后当地每吨水果增收了多少元？附，若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544，0.841320=0.032．20. 已知函数f(x)=ax 2+1x+b是奇函数．(1)若关于x 的方程f(x)+2ax +1=0在(0,+∞)上有解，求实数a 的取值范围；(2)若不等式log 2[f(x)−√2]<12的解集为(x 1,x 2)，且x 1>0，x 1x 2+x 2x 1=1a 2，求实数a 的值．21. 已知抛物线C ：y 2=4x 的顶点和焦点分别为O ，F ，过F 作直线l 交C 于A ，B 两点．(1)求证：以AB 为直径的圆与直线x =−1相切；(2)设(1)中的切点为M ，直线OM 交C 的另一点为N.若|MN|=38|AB|，求直线AB 的方程．+(a−1)x，其中a>0．22.已知函数f(x)=lnx+ax(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)−(2a−1)x在(0,1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x//x|≤1,x∈Z}={x|−1≤x≤1,x∈Z}={−1,0，1}，∴A的子集个数为23=8．故选：D．求出集合A，再求出集合A的子集个数．本题考查子集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)是奇函数，则∀x∈R，f(−x)=−f(x)，即f(−x)+f(x)=0，因为定义在R上的函数f(x)不是奇函数，则∃x0∈R，f(x0)+f(−x0)≠0．故选：C．利用奇函数的定义域，结合命题的否定进行分析，即可得到答案．本题考查了奇函数定义的理解与应用，含有量词的命题的否定的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C×100%≈66.7%，【解析】解：该社区居民中认可“减碳行动”的比例为20+4020+20+40+10故选项A，B错误；因为K2的观测值k=9>7.879，9<10.828，所以在在犯错率不超过0.005的前提下，认为“减碳行动“的认可情况与年龄有关，故选项C正确，选项D错误．故选：C．由列联表中的数据，计算该社区居民中认可“减碳行动”比例关系，即可判断选项A，B，再由K2的观测值，对照临界表中的数据，比较判断选项C，D．本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是正确理解卡方的含义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由x2−2x−3>0，即(x+1)(x−3)>0，解得x<−1或x>3，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，令t=x2−2x−3(x<−1或x>3)，y=lgt，因为二次函数t=x2−2x−3在(−∞,−1)单调递减，在(3,+∞)上单调递增，又y=lgt在定义域内为单调递增函数，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)．故选：A．先求出函数f(x)的定义域，然后利用二次函数的单调性、对数函数的单调性以及复合函数单调性的判定法则进行分析，即可得到答案．本题考查了复合函数单调性的判断，主要考查了一元二次不等式的求解，二次函数的单调性、对数函数的单调性以及复合函数单调性的判定法则的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：设从区间(0,1)与(1,2)中各随机取出的数为x，y，则试验的所有结果构成区域为Ω={(x,y)|0<x<1，1<y<2}，其面积为SΩ=1×1=1，设事件A表示两数之和大于53，则构成的区域为如图所示的阴影部分，对于直线x+y=53，当x=0时，y=53，当y=1时，x=23，所以阴影部分的面积为S A=1−12×23×(53−1)=79，则P(A)=S ASΩ=791=79．故选：D．设从区间(0,1)与(1,2)中各随机取出的数为x ，y ，求出试验的所有结果构成区域的面积，求出两数之和大于53对应区域的面积，然后利用几何概型的概率公式求解即可．本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：∵点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 的图象上， ∴{m −1=1f(m)=m n =8， 解得m =2，n =3，∴函数g(x)=√n −x +√x −m =√3−x +√x −2， ∴{3−x ≥0x −2≥0，∴2≤x ≤3，∴x =2或x =3时，函数g(x)=√n −x +√x −m 取最小值1， 当x =2.5时，函数g(x)=√n −x +√x −m 取最大值√2， ∴函数g(x)=√n −x +√x −m 的值域为[1,√2]. 故选：B ．由点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 的图象上，求出m =2，n =3，从而函数g(x)=√n −x +√x −m =√3−x +√x −2，推导出2≤x ≤3，进而得到x =2或x =3时，函数g(x)=√n −x +√x −m 取最小值1，当x =2.5时，函数g(x)=√n −x +√x −m 取最大值√2，由此能求出函数g(x)=√n −x +√x −m 的值域． 本题考查函数的值域的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：因为f(x +1)为偶函数， 则f(−x +1)=f(x +1)(∗)， 因为f(x +2)=f(x +1)−f(x)①， 则f(x +3)=f(x +2)−f(x +1)②，①+②可得，f(x +3)=−f(x)，则f(x +6)=−f(x +3)=f(x)， 故函数f(x)的周期为6，在(∗)中，令x =1，则f(0)=f(2)，在①中，令x=0，则f(2)=f(1)−f(0)，即2f(2)=f(1)，又f(1)=12，所以f(2)=14，所以f(2021)=f(336×6+5)=f(5)=−f(2)=−14．故选：A．利用已知的恒等式结合赋值法，求出函数f(x)的周期性，结合f(x+1)为偶函数，利用赋值法求出f(2)的值，然后由周期性，将f(2021)转化为−f(2)，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了偶函数定义的应用，函数周期性定义的运用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得：y=kx+2kx ，1k2≤x≤2∴1k ≤kx≤2k，∴M k=[2√2,1k+2k]，且1k+2k在[2,+∞)上递增，∵k=2时，1k +2k=92，∴所有M k的交集是[2√2,92]，故选：B．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．9.【答案】BD【解析】解：由于a，b为非零实数，且a>b，所以a−b>0，对于A：ba −ab=b2−a2ab=(b−a)(b+a)ab，当a和b都为正数时，A错误；对于B：1ab2−1a2b=a−ba2b2>0，故B正确；对于C：a−1a −b+1b=(a−b)+a−bab=(a−b)(1+1ab)，只有当1+1ab>0时，选项C才正确，故C错误；对于D：对于函数y=2x和y=3x，当x>0时，2x<3x，则12x >13x，由于a−b>0，所以12a−b>13a−b，故D正确．故选：BD．直接利用不等式的性质的应用，函数的单调性的应用，作差法的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，函数的单调性的应用，作差法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=25，∴P(X=1)=1−25=35，∴E(X)=0×25+1×35=35，故A正确；E(5X+3)=5E(X)+3=5×35+3=6，故B正确；D(X)=(0−35)2×25+(1−35)2×35=625，故C错误；D(5X+3)=25D(X)=25×625=6，故D错误．故选：AB．推导出P(X=1)=1−25=35，从而E(X)=35，进而求出E(5X+3)，D(X)，D(5X+3)，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查两点分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：因为f(x)−f(y)=f(x−y1−xy)，令x=y=0，可得f(0)−f(0)=f(0)，则f(0)=0，令x=0，可得f(0)−f(y)=f(−y)，故f(y)+f(−y)=0，所以函数f(x)为奇函数，故选项A正确；设−1<x1<x2<1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1−x 21−x 1x 2)， 因为−1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 21−x 1x 2<0且x 1−x 21−x 1x 2+1=(1+x 1)(1+x 2)1−x 1x 2>0，故−1<x 1−x 21−x 1x 2<0，所以f(x 1−x 21−x1x 2)<0，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1−x 21−x 1x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 故函数f(x)在(−1,1)上为增函数， 故选项B 正确；令x =57，y =13，因为f(x)−f(y)=f(x−y1−xy )， 则f(57)−f(13)=f(12)， 即f(12)+f(13)=f(57)，因为57<56，且函数f(x)在(−1,1)上为增函数， 所以f(12)+f(13)<f(56)， 故选项C 错误；令x =a ，y =−b ，则f(a)−f(−b)=f(a)+f(b)=f(a+b1+ab )， 假设存在非零实数a ，b ，使得f(a)+f(b)=f(12)， 则f(a+b1+ab )=f(12)，因为函数f(x)在(−1,1)上为增函数， 所以a+b1+ab =12，整理可得a =1−2b 2−b，因为−1<a <1，则−1<1−2b 2−b<1，故(1−2b 2−b )2<1，解得−1<b <1， 故a 、b 有解，所以存在非零实数a ，b ，使得f(a)+f(b)=f(12)， 故选项D 正确． 故选：ABD ．利用恒等式，令x =y =0，求出f(0)，再令x =0结合奇函数的定义，即可判断选项A ，利用函数单调性的定义，即可判断选项B ，令x =57，y =13，结合函数的单调性，即可判断选项C ，假设存在非零实数a ，b ，由函数单调性可得a+b1+ab=12，通过分析求解可得a ，b 有解，从而判断选项D ． 本题考查了抽象函数的理解与应用，函数奇偶性与单调性的判断，对于抽象函数问题，常运用赋值法进行研究，考查了逻辑推理能力、转化归能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)=2x −2−x ，则f(−x)=2−x −2x =−(2x −2−x )=−f(x)， 故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点成中心对称，将函数f(x)的图象向右平移一个单位，可得曲线y =2x−1−21−x 的图象， 所以曲线的y =2x−1−21−x 图象关于点(1,0)成中心对称，直线y =ax +b 与曲线y =2x−1−21−x 相交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， 因为|AB|=|BC|，且A ，B ，C 三点在同一直线y =ax +b 上， 则点B 为A ，C 的中点，所以|x 2−x 1|=|x 2−x 3|，由|AB|2=|x 2−x 1|2+|y 2−y 1|2，|BC|=|x 2−x 3|2+|y 2−y 3|2， 所以|y 2−y 1|=|y 2−y 3|，则函数y =2x−1−21−x 的图象上，自变量x 增量相同时，函数值的增量也相同， 由y′=2x−1ln2+21−x ln2=ln2(2x−1+12x−1)>0， 则y =2x−1−21−x 在R 上单调递增， 设t =2x−1，当x >1时，t =2x−1>1，由y =t +1t 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 由复合函数的单调性法则，可得y′在(1,+∞)上单调递增，故函数y =2x−1−21−x 在(1,+∞)上，当x 增大时，图象越来越陡峭，由对称性可得，y =2x−1−21−x 的图象在(−∞,1)上，当x 增大时，图象越来越平缓， 若直线y =ax +b 不过点(1,0)，则A ，B ，C 三点均不是点(1,0)，则当自变量x 增量相同时，函数y =2x−1−21−x 的增量不相等，不符合题意；若直线y =ax +b 过点(1,0)，根据直线y =ax +b 与y =2x−1−21−x 均关于点(1,0)对称， 故点B 为对称中心点，则A ，C 关于点(1,0)成中心对称， 所以x 2=1，x 1+x 3=2，y 2=0，y 1+y 3=0， 则x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0，故选项A 正确，选项B 错误；由点(1,0)在直线y =ax +b 上，可a +b =0， 故选项C 正确；不妨设C 在B 的右方，即x 3>1， 则y 3=a(x 3−1)=2x 3−1−21−x 3， 故a =2x 3−1−21−x 3x 3−1，由题意可得，|BC|2=|x 3−1|2+y 32=(x 3−1)2+(2x 3−1−21−x 3)2=134，令t =x 3−1>0，则t 2+(2t −2−t )2=134，令ℎ(t)=t 2+(2t −2−t )2=t 2+4t +4−t −2(t >0)，且ℎ(1)=134，则ℎ′(t)=2t +4t ln4−4−t ln4=2t +lng4(44−4−t )， 当t >0时，4t >1，则0<4−t <1， 故ℎ′(t)>0，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增， 由t 2+(2t −2−t )2=134，可得t =1，即x 3=2，所以a =22−1−21−22−1=32，则b =−32，则a −b =3， 故选项D 正确． 故选：ACD ．先判断出函数y =2x−1−21−x 的图象关于点(1,0)对称，确定点B 为对称中心，A ，C 关于点(1,0)成中心对称，再对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数图象变换的应用，函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵a ∈R ，函数f(x)={x 2−4,x >2|x −3|+a,x ≤2．f[f(√5)]=4，∴f(√5)=5−4=1，f[f(√5)]=f(1)=|1−3|+a =4， 解得a =2．故答案为：2．推导出f(√5)=5−4=1，f[f(√5)]=f(1)=|1−3|+a=4，由此能求出a的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】f(x)=x2(答案不唯一)【解析】解：不妨取f(x)=x2，则f(x)在R上可导，且f′(x)=2x，则f(x)f′(x)=x2⋅2x=2x3在R上单调递增，符合题意．所以满足上述条件的一个函数为f(x)=x2．故答案为：f(x)=x2(答案不唯一)．利用基础初等函数进行分析，然后求出f′(x)，再判断f(x)⋅f′(x)是否为单调函数即可．本题属于开放性问题，答案不唯一，考查了函数单调性的判断与应用，导函数的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】√6【解析】解：因为正实数a，b满足a+2b=ab，所以2a +1b=1，化简可得(a−2)(b−1)=2，∴a>2且b>1，∴a−2=2b−1，∴3a−2+1b−1=3a−2+a−22≥2√3a−2⋅a−22=√6，当且仅当3a−2=a−22，即a=2+√6取等号，所以3a−2+1b−1的最小值为√6．化简已知条件，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，注意等号成立的条件．16.【答案】[14,e]【解析】解：f(x)=(e x−ax)(ax2−x+4a)(x>0)，设g(x)=e x−ax，ℎ(x)=ax2−x+4a，即g(x)ℎ(x)≥0，当a=0时，当x>0时，f(x)=−xe x<0，不满足题意，当a<0时，当x→+∞，g(x)→+∞，ℎ(x)→−∞，此时不满足g(x)ℎ(x)≥0恒成立，故也不满足题意，当a>0，对于ℎ(x)=ax2−x+4a，△=1−16a2，若△=1−16a2≤0，即a≥14时，当x>0时，ℎ(x)≥0恒成立，故g(x)=e x−ax≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≤e xx在(0,+∞)上恒成立，设φ(x)=e xx ，则φ′(x)=(x−1)exx2，当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)>0，故φ(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，故φ(x)≥φ(1)=e，故此时14≤a≤e，当△=1−16a2>0，即0<a<14时，由g′(x)=e x−a，当x>0时，e x>1，故此时g′(x)=e x−a>0，则g(x)=e x−ax在(0,+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=1，而ℎ(x)=ax2−x+4a的对称轴是x=12a>0，且△>0，ℎ(0)=4a>0开口向上，故ax2−x+4a=0有2个不相等的正实数根x1，x2，当x1<x<x2时，ℎ(x)<0，此时g(x)ℎ(x)<0，不合题意，综上，实数a的取值范围是[14,e]，故答案为：[14,e]．设g(x)=e x−ax，ℎ(x)=ax2−x+4a，即g(x)ℎ(x)≥0，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．17.【答案】解：(1)由−x2+4x−3≥0，解得：1≤x≤3，∴A=[1,3]，又函数y=2x+1在区间(0,m)上单调递减，∴y∈(2m+1,2)，即B=(2m+1,2)当m=2时，B=(23,2)，∴A∩B=[1,2)；(2)首先要求m >0，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴B ⊊A ，即(2m+1,2)⊊(1,3)， 从而2m+1≥1，解得：0<m ≤1．【解析】(1)把m =2代入，利用根式内部的代数式大于等于0求解x 的范围可得A ，求解指数函数的值域得到B ，取交集得答案；(2)利用根式内部的代数式大于等于0求解x 的范围可得A ，由(1)可得B ，再由“x ∈A “是“x ∈B “的必要不充分条件，得B ⫋A ，转化为两集合端点值间的关系求解m 的范围．本题考查函数定义域、值域的求法，考查充分必要条件的判断及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．18.【答案】解：(1)∵2f(x)−f(−x)=x 2+6x +1 ①，∴用−x 代换x ，可得2f(−x)−f(x)=x 2−6x +1 ②， 由①②求得f(x)=x 2+2x +1．(2)∵g(x)={f(x)+1,x >02,x ≤0={x 2+2x +2,x >02,x ≤0，由不等式g(x +6)>g(101−x )可得，当0<101−x <2时，应有 x +6≤0或x +6≥2，求得x ≤−6； 当101−x ≤0时，应有x +6>2，求得x >1；当101−x ≥2时，应有x +6>101−x ，求得−4<x <−1．综上可得，不等式的解集为{x|x ≤−6，或−4<x <−1，或x >1}．【解析】(1)把已知方程中的x 换成−x ，又得到一个方程，解方程组，求得f(x)． (2)化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．本题主要考查求函数的解析式，不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，因为平均值μ=76.3，方差σ=7.7，所以μ+σ=84，且P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，所以P(X≥84)=1−0.68262=0.1587，则P(ξ≥1)=1−(1−0.1587)20=1−0.841320=0.968，因为ξ～B(20,0.1587)，所以E(ξ)=20×0.1587=3.174；(2)分级前每顿收入为15×1000×70%=10500元，分级后每顿收入为：20×1000×0.1587+12.5×1000×0.8413×80%=3178413=11587元，因为11587−10500=1087元，所以分级后当地每顿水果增收了1087元．【解析】(1)μ+σ=84，且P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，先求出P(X≥84)，由独立事件的概率求解P(ξ≥1)，再利用二项分布的数学期望计算公式求解即可；(2)先求出分级前每顿收入，然后再求出分级后每顿收入，作差即可得到答案．本题考查了正态分布的理解与应用，二项分布的概率公式以及二项分布的数学期望计算公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2+1x+b的定义域为{x|x≠−b}，因为函数f(x)是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以−b=0，即b=0，所以f(x)=ax2+1x =ax+1x，又f(−x)=−ax−1x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，当x>0时，方程f(x)+2ax+1=0⇔3ax+1x+1=0⇔3ax2+x+1=0，题意转化为方程3ax2+x+1=0在(0,+∞)上有解，(i)当a=0时，方程3ax2+x+1=0的解为−1，不满足题意；(ii)当a>0时，此时−16a<0，则函数y=3ax2+x+1在(0,+∞)上单调递增，当x>0时，3ax2+x+1>3a⋅02+0+1=1恒成立，所以方程3ax2+x+1=0在(0,+∞)上无解，不满足题意；(iii)当a<0时，此时−16a>0，则Δ=12−12a⩾0，解得a⩽112，又a<0，所以a<0．综上所述，a的取值范围为(−∞,0)．(2)不等式log2[f(x)−√2]<12⇔0<f(x)−√2<√2⇔√2<f(x)<2√2，结合题意显然可得a≠0，当a<0时，函数f(x)的图象大致如下此时不等式√2<f(x)<2√2的解集是两个区间的并集，不可能是一个区间，故不满足题意．当a>0时，函数f(x)的图象大致如下当x>0时，ax+1x ⩾2√a，当且仅当x=√1a时，等号成立，因为不等式√2<f(x)<2√2的解集为(x1,x2)，x1>0，所以√2<2√a<2√2，且方程ax+1x=2√2的两个解分别为x1，x2．所以12<a<2，方程ax2−2√2x+1=0的两个解分别为x1，x2．由韦达定理可得x 1+x 2=2√2a,x 1x 2=1a，所以x 1x 2+x 2x 1=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=8a 21a−2=1a 2，解得a =4±√142，又12<a <2，所以a 无解．【解析】(1)根据奇函数的定义域关于原点对称可求出b =0，再验证f(x)是奇函数；于是题意转化为方程3ax 2+x +1=0在(0,+∞)上有解，分a =0，a >0，a <0三种情况讨论即可得答案；(2)不等式log 2[f(x)−√2]<12等价于√2<f(x)<2√2，数形结合可得√2<2√a <2√2，且方程ax +1x =2√2的两个解分别为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2=2√2a,x 1x 2=1a ，代入x 1x 2+x 2x 1=1a 2，解得a =4±√142，又12<a <2，所以a 无解．本题考查函数的奇偶性，考查方程根的分布问题，考查对数型不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则圆心坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)，又|AB|=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2， 所以半径r =|AB|2=x 1+x 22+1，则圆心到直线x =−1的距离d =x 1+x 22−(−1)=x 1+x 22+1，故d =r ，则以AB 为直径的圆与直线x =−1相切； (2)解：由题意可得，M(−1,y 1+y 22)，F(1,0)，设直线AB ：x =ty +1，联立方程组{y 2=4xx =ty +1，可得y 2−4ty −4=0，所以y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4， 故M(−1,2t)，所以k OM =2t−0−1−0=−2t ， 故直线OM 为y =−2tx ，联立方程组{y 2=4x y =−2tx，可得t 2x 2−x =0，故N(1t2,−2t)，所以|MN|2=(1+4t2)(−1−1t2)2=(1+4t2)(1+t2)2t4，|AB|2=(x1+x2+2)2=[t(y1+y2)+4]2=16(1+t2)2，因为|MN|=38|AB|，所以|MN|2=964|AB|2，故(1+4t2)(1+t2)2t4=964⋅16(1+t2)2，整理可得9t4−16t2−4=0，解得t2=2，则t=±√2，所以直线AB的方程为x−√2y−1=0或x+√2y−1=0．【解析】(1)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出圆心的坐标和圆的半径，然后利用圆心到直线的距离距离公式，即可证明；(2)由题意，得到点M的坐标，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理以及点M，从而求出直线OM的斜率，设直线OM的方程，与抛物线联立，求出|MN|，|AB|，然后利用已知的关系式进行化简求解，即可得到答案．本题考查了抛物线定义和几何性质的应用，直线与圆、抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=1x −ax2+(a−1)=(a−1)x2+x−ax2=[(a−1)x+a](x−1)x2，x>0；当a≥1时，(a−1)x+a恒大于0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a=12时，f′(x)=−(x−1)22x2≤0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减；当0<a<12时，f′(x)=a−1x2(x−a1−a)(x−1)，且a1−a<1，所以f(x)在(0,a1−a)单调递减，在(a1−a,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减；当12<a<1时，f′(x)=a−1x2(x−a1−a)(x−1)，且a1−a>1，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,a1−a)单调递增，在(a1−a,+∞)单调递减；(2)g(x)=lnx+ax−ax，且g(1)=0，g′(x)=1x −ax2−a=−ax2+x−ax2，△=1−4a2；当Δ≤0，即a≥12时，g′(x)恒小于等于0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，故g(x)>g(1)=0，在(0,1)上无零点．当Δ>0，即0<a<12时，方程−ax2+x−a=0有两个不相等的实数根m，n(m<n)，由韦达定理有m+n=1a>0,mn=1，故0<m<1<n；所以g(x)在(0,m)单调递减，在(m,1)上单调递增，又因为当x→0时，g(x)→+∞，且g(m)<g(1)=0，所以g(x)在(0,m)上有且仅有一个零点，在(m,1)上无零点．综上所述，a的取值范围为(0,12)．【解析】(1)f′(x)=[(a−1)x+a](x−1)x2(x>0)，分a≥1，a=12，0<a<12，12<a<1四种情况讨论；(2)g′(x)=1 x −ax2−a=−ax2+x−ax2，△=1−4a2；分Δ≤0，和Δ>0两种情况讨论函数g(x)在(0,1)上的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数．本题考查含参函数的单调性讨论，考查函数零点个数问题，考查分类讨论思想，属于综合题．第21页，共21页。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

重庆南开中学高2022级高二（上）数学测试（9.20) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上. 已知直线x-2y+a=0与圆O:x 2+y 2=2相交于A,B 两点（O 为坐标原点）,则“a=5”是“OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.命题∀x >0，ln x ≥1−1x 的否定是（ ）A. ∃x ≤0，ln x ≥1−1xB.∃x ≤0，ln x <1−1xC.∃x >0，ln x <1−1xD.∃x >0，ln x >1−1x3.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为 A.16π B.27π C.36π D.54π4.已知命题p ：ab ≠0是a ≠0的充分条件；命题q:若x ∈R 则x +1x ≥2,则下列命题为假命题的是A.p⋁(−q )B.(¬p )⋁qC.p ∧(¬q )D.(¬p )∧(¬q )5.6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为6.连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为A.112B. 16C. 14D.137.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙。

鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为A.8(6+6√2+√3)B.6(8+8√2+√3)C.8(6+6√3+√2))D.6(8+8√3+√2)8.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上表二丈，无广，高一丈，问积几何，刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分，请将答案填写在答题卡相应的位置上9.下列命题中，错误的是（)A.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形B.若a>b,x∈R,则ba <b+xa+xC. △ABC中，若A>B,则sinA>sinBD.函数f(x)=2√x2+4的最小值为210.已知A(x1，y1),B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为θ。