2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题(解析版)

重庆市2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A． B． C．D．2．命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是（）A．∀x＜0，x2＜0 B．∀x≥0，x2＜0 C．∃x＜0，x2＜0 D．∃x ≥0，x2＜03．若p是假命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是假命题 D．￢q是假命题4．已知两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0，则两直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．45．若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．26．已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的（）条件．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（）A．4B．2C．4D．39．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．310．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的体积为（）A．36πB．34πC．32πD．30π11．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．212．已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2，•=0，则点G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若x2＜2，则”的逆否命题是．14．已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．15．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA=2，底面的边AC=2，则由该三棱锥的表面积为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E： +=1 （a ＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线的方程为3x﹣4y+2=0．（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且求这个点到直线的距离．18．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD．19．命题p：A={x||x﹣a|≤4}，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求点G到平面PAB的距离．21．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为，（1）求圆C的方程；（II）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．22．已知椭圆C：的离心率为，且过点P（1，），F为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．B．4．A．5．A．6．B．7．B．8．A9．A．10．D．11．A．12．A．二、填空题13．解：命题“若x2＜2，则”的逆否命题是“若|x|≥，则x2≥2”．故答案为：“若|x|≥，则x2≥2”．14．解：由截距式，可得直线的方程为=1．故答案为=1．15．解：正三棱锥V﹣ABC中，侧棱长VA=2，底面三角形的边长AC=2，可得底面面积为：×2×2×sin60°=3，侧面的侧高为：=1，故每个侧面的面积为：×2×1=，故该三棱锥的表面积为3+3×=6．故答案为：6．16．解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．三、解答题17．解：（1）设与直线3x﹣4y+2=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，解得c=2，∴所求直线方程为4x+3y+2=0．（2）联立，得，∴直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点为A（1，0），点A（1，0）到直线3x﹣4y+2=0的距离：d==1．18．证明：（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA．（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD．19．解：（1）命题p：A={x||x﹣a|≤4}=[a﹣4，a+4]，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}=[2，3]．∵A∩B=∅，∴a+4＜2，或a﹣4＞3，解得a＜﹣2，或a＞7．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）．（2）q是p的充分不必要条件，则a﹣4≤2，3≤a+4，解得1≤a≤6，∴实数a的取值范围是[1，6]．20．（1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD ∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，又ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴GB⊥AD，∴GB⊥平面PAD．（2）解；设点G到平面PAB的距离为h，△PAB中，PA=AB=a∴面积S=•a•a=a2，∵v G﹣PAB=V A﹣PGB=a2×h=a2×a，∴h=a．21．解：（I）设圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2因为圆心C到直线l的距离：d==，所以：r2=+=1，即r=1，圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；（II）当切线的斜率不存在时，显然x=2为圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即：kx﹣y﹣2k+3=0由=1，解得k=，所以切线方程为y﹣3=（x﹣2），即3x﹣4y+6=0综上：所求的切线方程为x=2和3x﹣4y=6=0．22．解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，∴，所以a=2c，b=c．…设椭圆方程为，又点P（1，）在椭圆上，所以，解得c=1，…所以椭圆方程为．…（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），…由，消去y整理，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，…由题意知△=（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得．…设M（x1，y1），N（x2，y2），则①，②．因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|=|MN|，所以2x1=x2+4 ③…由①③消去x2得x1=④将x2=2x1﹣4代入②得x1（2x1﹣4）=⑤将④代入⑤，整理化简得36k2=5，解得，经检验成立．…所以直线l的方程为y=（x﹣4）．…。

2019-2020学年重庆七中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1.若直线经过(1,0)A 、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 120︒【答案】C【解析】【分析】由直线经过(0,1),(3,4)A B ,两点,能求出直线AB 的斜率，从而能求出直线AB 的倾斜角.【详解】Q 直线经过A(1,0)，两点，∴ 直线AB 的斜率k ==,设直线的倾斜角为a ,tan a ∴=,[0,)a π∈Q ，2a π≠,60a ︒∴=,∴ 直线AB 的倾斜角60a ︒=.故选: C.【点睛】本题考查的是两点间的斜率公式及直线的倾斜角，是基础题.2.若a ，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 异面或相交【答案】D【解析】【分析】可举例说明它们的位置关系，以正方体为载体，列举出所在位置关系，能求出结果．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，AB 与BC 相交，11A B 与BC 是异面直线，11//AB A B ，AB 与1AA 相交，11A B 与1AA 是相交直线，a ∴，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 位置关系是异面或相交．故选：D ．【点睛】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题．3.圆A ：224210x y x y ++++=与圆B ：222610x y x y +--+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含 【答案】C【解析】【分析】 先分别求出圆A 和圆B 的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，由此能够判断两圆的位置关系． 【详解】Q 圆A ：224210x y x y ++++=的圆心坐标()2,1A --，半径12r ==， 圆B ：222610x y x y +--+=的圆心坐标()1,3B，半径23r ==，5AB ∴==， 125AB r r =+=Q ， ∴圆A 与圆B 外切． 故选：C ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，解题时要掌握圆的圆心坐标和圆半径的求法，要注意两点间距离公式的灵活运用． 4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ） 的A. 643πB. 1283πC. 64πD.【答案】A【解析】【分析】设底面半径为r ，母线为l ，由轴截面是等腰直角三角形得l =，代入S rl π=侧求出r 和l ，再求出圆锥的高，代入体积公式计算．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，Q 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r ∴l =，由题意得，侧面积2S rl r π===侧，解得4r =，l ∴=4h ==，∴圆锥的体积2116444333V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题．5.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（）A. ()()22314x y -++=B. ()()22314x y ++-=C. ()()22114x y -+-=D. ()()22114x y +++=【答案】C【解析】【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题．【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ，点()1,1B -在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题．6.下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥．正确的命题是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④ 【答案】C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n αP 知，存在直线b α⊂内，使n b P ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥P ， ，正确．故正确命题为①④，选C.7.直三棱柱111ABC A B C -中，若90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值等于（ ）A. B. 25 C. 45 D. 【答案】C【解析】【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【详解】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,A 0，0)，1(0,B 0，2)，(0,B 0，0)，1(0,C 1，2)，1(1,AB =-u u u r 0，2)，1(0,BC =u u u u r 1，2)，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则111145AB BC cos AB BC θ⋅===⋅u u u r u u u u r u u u u u u r u r ． ∴异面直线1AB 与1BC 所成角余弦值为45． 故选：C ．【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，解题关键就是建立空间直角坐标系，考查运算求解能力，是基础题． 8.已知直线2x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，则a 的值为（ ） A. 2B. C. 4 D. 8 【答案】D【解析】【分析】联立直线方程与圆的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量的坐标运算求得C 的坐标，代入圆的方程求解a 值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,.C x y 联立222x y x y a+=⎧⎨+=⎩，化为22440x x a -+-=， 的Q 直线2x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点，()16840a ∴∆=-->，解得2a >．122x x ∴+=，121242y y x x ∴+=--=．()()()121200,2,2,.OC OA OB x x y y x y ∴=+=++==u u u r u u u r u u u r2200448a x y ∴=+=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆相交问题、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9.已知点A 为圆22(3)(2)1x y ++-=上的点，点B 的坐标为()1,1，P 为x 轴上一动点，则AP BP +的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，结合对称性，由两点间的距离公式求解．【详解】如图，设圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心为C ，则()3,2C -，半径1r =． 点()1,1B 关于x 轴的对称点()'1,1B -，连接'B C ，交圆C 与A ，交x 轴于P ，则AP BP +的最小值为'14B C r -==．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为12+ B. 122+ C. 32 D. 122+ 【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为12=， 而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为122+ 考点：点、线、面间的距离计算11.已知点(),P x y 是直线20(0)kx y k ++=>上一动点，P A 、PB 是圆C ：2220x y x +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 2B.C. D. 12【答案】D【解析】【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出PC 的最小值，即圆心到直线的距离，利用点到直线的距离求解即可．【详解】圆C ：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=，圆心()1,0C ，半径为1.如图，PA PB =Q ，CB PB ⊥，CA PA ⊥，122PACB S PA CA PA ∴=⋅⋅⋅=四边形． 2PACB S ≥Q ，2PA ∴≥．22221PC PA CA PA =+=+Q ，25PC ∴≥，即点Cd ∴==()2210k -=，解得：12k =． 故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．12.在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =锥S ABC -外接球的体积是( )A.B. 12πC. 24πD. 【答案】A【解析】【分析】先判断SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直，得到球的半径为三棱锥对应的正方体的体对角线的一半，求出半径，用球的体积公式求出即可．【详解】M Q ，N 分别是棱SC 、BC 的中点， //MN SB ∴，MN AM ⊥，可得SB AM ⊥，取AC 中点P ，连接,SP BP ，由,SA SC BA BC ==得,SP AC BP AC ⊥⊥，而SP BP P =I ，则AC ⊥平面SBP ，SB ⊂平面SBP ，∴SB AC ⊥，AM AC A =Q I ，SB ∴⊥平面SAC ，SA Q 、SC ⊂平面SAC ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，易证SAB SAC ∆≅∆，SA SC ∴⊥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．侧棱SA =∴正三棱锥S ABC -的外接球的直径为：2R ==R =，故正三棱锥S ABC -外接球的体积是343R π=，故选：A ．【点睛】考查了三棱锥外接球的半径的计算和体积公式，中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知两条直线1l ：210x ay +-=，2l ：40x y -=，且12//l l ，则满足条件a 的值为______．【答案】-2【解析】【分析】利用两直线平行得到24a =-，从而求出a 的值．【详解】由于直线12l l //，则()1421a ⨯-=⨯，解得2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查两直线平行与直线一般方程之间的关系，考查转化能力与变形能力，属于基础题．14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．【答案】6π 【解析】【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB ,所以直线11A C ⊥平面11BB D D ,所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于MBC 1∠,设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，所以1MC =1BC ， 所以1111sin 2MC MBC BC ∠==, 所以16MBC π∠=【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可．15.如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______．【答案】 (1). 68.π (2).140.3π 【解析】【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：5=， 21142822S ππ=⨯⨯=球，2)35(55S ππ=+⨯=圆台侧，25S π=圆台底． 故所求几何体的表面积为：8352568ππππ++=圆台的上底面积14S π=，下底面积225S π=所以14254523V πππ⎡⎤=⨯=⎣⎦圆台 又314162233V ππ=⨯⨯=半球 所以，旋转体的体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球 故答案为：68π；1403π． 【点睛】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是基础题． 16.已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______【答案】3【解析】【分析】根据题意，由A 、B 的坐标分析AB 中点的坐标以及AB 的值，进而求出以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C 与圆O 有交点，进而可得2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ， 若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩， 又由0m >，解可得：3m 7≤≤，即m 的最小值为3；故答案为：3．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题）17.已知直角ABC V 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上． （1）求点C 的坐标；（2）求ABC V 的斜边中线的方程．【答案】（1）C ()2,0；（2）4320x y ++=.【解析】【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C 的坐标．（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．【详解】（1）直角ABC V 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -， 顶点C 在x 轴上，设(),0C m ， 则02021311AB CB k k m ++⋅=⋅=----，求得2m =，故C ()2,0．（2）斜边AC 的中点为1(,0)2M -，BM 的斜率为0241312+=---， 故BM 的方程为41032y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4320x y ++=． 【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．18.如图, 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是AC 的中点.(1)求证: 平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(2)若AA 1, AB =2, 求三棱锥A -BEC 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）通过面面垂直的性质证明BE ⊥平面ACC 1A 1即可得证；（2）三棱锥A -BEC 1的体积即三棱锥C 1- ABE 的体积，便于求解.【详解】（1）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ABC ∆为正三角形，E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11ACC A ，交线为AC ，BE ⊆平面ABC ，所以BE ⊥平面ACC 1A 1， BE ⊆平面BEC 1，所以平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；（2）三棱锥A -BEC 1的体积11111121332A BEC C ABE ABE V V S CC --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯= 所以三棱锥A -BEC 1的体积6【点睛】此题考查立体几何中面面垂直的证明和三棱锥体积的求法，用到面面垂直的性质和三棱锥体积的转化.19.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程；（2）若直线()500ax y a -+=≠与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22(1)25-+=x y ；（2） 存在实数34a =，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意圆心在x 轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M 的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 与半径r 相等，列出关于m 的等式，求出等式的解即可得到m 的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；（2）假设符合条件实数a 存在，由a 不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为1-，由直线50ax y -+=的斜率表示出直线l 的斜率，再由P 的坐标和表示出的斜率表示出直线l 的方程，根据直线l 垂直平分弦AB ，得到圆心M 必然在直线l 上，所以把M 的坐标代入直线l 方程中，得到关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，把求出的a 的值代入确定出直线l 的方程，经过检验发现直线50ax y -+=与圆有两个交点，故存在．【详解】（1）设圆心为()(),0M m m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径5， 所以42955m -=，即42925m -=．即42925m -=或42925m -=-， 解得272m =或1m =， 因为m 为整数，故1m =，故所求的圆的方程是22(1)25-+=x y ； 的（2）设符合条件的实数a 存在，0a ≠Q ，则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为()124y x a=-++，即240x ay a ++-=． 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上．所以10240a ++-=，解得34a =． 检验：当34a =时，直线AB 的方程为34200x y -+=， 圆心到直线AB45=<，合乎题意.故存在实数34a =，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．根据直线l 垂直平分弦AB 得到圆心M 必然在直线l 上是解本题第二问的关键．20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =．()1若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；()2若90PAB ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．【答案】()1证明见解析；()12.3【解析】【分析】 ()1取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，推导出四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ，由此能证明//AE 平面PCD ；()2以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B PD C --的余弦值．【详解】()1证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，E Q ，F 分别为PB ，PC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==，//AD BC Q ，且1AD =，//EF AD ∴，且1EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴，AE ⊄Q 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，//AE ∴平面PCD ．()290PAB ∠=o Q ，PA AB ∴⊥，Q 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，PA ∴⊥平面ABCD ，//AD BC Q ，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，则AP 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()0,1,0D 、()0,0,1P ，()0,1,1DP =-u u u r ，()1,0,1BP =-u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()1,1,0DC =u u u r ，设平面BDP 的法向量(),,n x y z =r ，则00n BP x z n BD x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,1,1n =r ，设平面PCD 的法向量(),,m a b c =u r ，则00m DP b c m DC a b ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1a =，得()1,1,1u r m =--， 设二面角B PD C --的平面角为θ，则13m n cos m nθ⋅⋅===u r u r r r ， ∴二面角B PD C --的余弦值为13． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=o 在棱SD 上．（I ）当3SE ED =时，求证SD ⊥平面;AEC（II ）当二面角S AC E --大小为30o 时，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ) ．【解析】【详解】（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒，易知CA AD ⊥，又SA ⊥平面ABCD ，所以CA ⊥平面SAD ,∴SD AC ⊥，在直角三角形SAB中，易得SA =在直角三角形SAD 中，，2SD =，又3SE ED =，∴，可得AE==∴SD AE ⊥，又∵，∴SD ⊥平面AEC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA SA ⊥,CA AE ⊥，可知EAS ∠为二面角E AC S --的平面角，30EAS ∠=o ，此时为SD 的中点.过A 作AF CD ⊥,连结SF ,则平面SAF ⊥平面SCD ,作AG SF ⊥,则AG ⊥平面SCD ,连结EG ,可得AEG ∠为直线AE 与平面SCD 所成的角．因为AF =,SA =,所以AG ==.在Rt AGE ∆中，，直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得())()(0,0,0,,0,1,0,A C D S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有30,,44E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，易得0{0SD AC SD AE ⋅=⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，从而SD ⊥平面ACE ．(Ⅱ)由AC ⊥平面SAD ，二面角E AC S --的平面角30EAS ∠=︒.又30ASD ∠=︒，则为SD 的中点，即10,2E ⎛⎝⎭, 设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =则0,{0.n DC y n SD y ⋅=-=⋅=-=u u u r u u u r ，令1z =,得()n =，从而011cos ,AE n AE n AE n⋅+⋅===u u u r u u u r u u u r 直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.考点：本小题主要考查线面垂直的证明和线面角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：解决空间立体几何问题可以用传统的方法证明也可以用向量方法来证明，用传统方法证明时，要把证明所用的定理的条件摆清楚，缺一不可，用向量方法时，运算量比较大.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆()()221:314C x y ++-=和圆()()222:454C x y -+-=．（1）若直线l 过点()4,0A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程．（2）设P 为平面上的点，满足：存在过P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）0y =，或724280x y +-=；（2）51,22⎛⎫-⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C截得的弦长为弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程．【详解】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l Q 被1C e截得的弦长为1d ∴==d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠则直线2l 方程为：1()y b x a k -=--1C Q e 和2C e 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，1C ∴e 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+-因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩ 解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2【点睛】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．。

2019-2020学年重庆市南开中学高二（上）第一次月考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列的前4项分别是1，3，6，10，则这个数列的一个通项公式是()A. a n=n2+1B. a n=n2−1C. a n=n(n+1)2D. a n=n(n−1)22.在等差数列{a n}中，a4+a8=0，a3+a6=9，则公差d=()A. 92B. −92C. 3D. −33.已知等比数列{a n}的各项均为正，5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比是()A. 12B. 2 C. 13D. −24.在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b=()A. √6B. 2√6C. 3√6D. 4√65.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是()A. 8B. 2√17C. 6√2D. 2√196.等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6+a7−a9=18，则S6−S3=()A. 18B. 27C. 36D. 457.在△ABC中，∠A=60°，BC=√10，D是AB边上的一点，CD=√2，△BCD的面积为1，则AC的长为()A. 2√3B. √3C. √33D. 2√338.已知S n是各项不为0的数列{a n}的前n项和，a n+2a n+1=a n+2+a n+1a n+1+a n，a2a10=3a3a8，则S3a1=A. −139B. −13 C. 139D. 139.数列{a n}满足a2=1，|a n+1−a n|=1n(n+2)，若a2n+1>a2n−1，a2n+2<a2n(n∈N∗)，则数列{(−1)n a n}的前2018项的和为()A. 20182019B. 10092019C. 20172018D. 1008201810.设甲、乙两楼相距10m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()A. 10√33m，403√3m B. 10√3m，20√3mC. 10(√3−√2)m，20√3mD. 10√3m，403√3m11.已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p(n∈N∗)，若S5=31，则实数p的值为()A. 1B. 0C. −1D. −212.在△ABC中，b2=a2+c2−ac，若AC=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n=pn2−2n，n∈N∗，b n=a1+2a2+3a3+⋯+na n1+2+3+⋯+n，若数列{b n}是公差为2的等差数列，则数列{a n}的通项公式为________．14.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，则ab=______ ．15.在△ABC中，若b=acosC，则△ABC的形状是________．16.设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，S n=2S n−1+n−2(n≥2)，则a n=_____;S n=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知在等差数列{a n}中，a1=31，S n是它的前n项和，S10=S22．(1)求S n；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．18.已知在△ABC中，a=3√2，c=6，∠B=45°，(1)求边b的长．(2)求△ABC的面积．19.已知正项数列{a n}满足a2−a1=5，且对任意n∈N∗，√a n+1−√a n=1．(I)求数列{a n}的通项公式；(II)设bn =√a n2n，求数列{b n}的前n项和T n．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且2bcosB=acosC+ccosA．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．21.某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成30°角(即北偏西60°)的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示)，在码头O北偏东60°方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船．(1)如果O和A相距6海里，求可疑船倍截获的P点的轨迹；(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上)，则O、A之间的最大距离是多少海里？22.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=(√a n+1+1)2−1(n∈N∗).(1)求证：数列{√a n+1}是等差数列．(2)设S n 为数列{(−1)n 2n+1a n+n+1}的前n 项和，若不等式−92S 2n <m−20192对一切n ∈N ∗恒成立，求正整数m 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数列的通项公式，属于基础题．由数列的前几项猜测通项是要注意观察第n项与项数n的关系，找到一般规律写出通项依次求出四个选项中的前四项a1,a2,a3,a4，与1，3，6，10比较可得正确选项．【解答】解：A、数列的前4项分别为：1，3，7，13，故A错误；B、由通项可知a1=0，故B错误；C、由通项可知数列前4项为：1，3，6，10，故C正确；D、由通项可知a1=0，故D错误；故选C．2.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式是基础题．由已知a4+a8−(a3+a6)=3d得答案．【解答】解：∵a4+a8−(a3+a6)=3d=−9，∴d=−3．故选D．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等数列和等比数列的综合运用，利用各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列{a n}的公比．解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，∴2a2=5a3+3a4，∴3q2+5q−2=0，∵q>0，∴q=13，故选：C．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．由已知及正弦定理即可求得b=asinBsinA的值．【解答】解：∵∠A=45°，∠B=60°，a=2，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：b=asinBsinA =2×sin60°sin45°=√6．故选A．5.答案：D解析：解：在△ABC中，∵已知a=4，b=6，C=120°，则由余弦定理可得c2=a2+b2−2ab⋅cosC= 16+36−48×(−12)=76，∴c=√76=2√19，故选：D．由条件利用余弦定理求得c的值．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式，即可得出结论．解：由题意，设公差为d，则2a1+10d+a1+6d−a1−8d=18，∴a1+4d=9，∴S6−S3=a1+3d+a1+4d+a1+5d=27．故选：B．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，是中档题．在△BDC中，通过三角形的面积及同角三角函数关系求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠DBC，即可求解sin∠DBC，然后在△ABC中，由正弦定理可求AC．【解答】解：因为S△BCD=1，所以12×CD×BC×sin∠DCB=1，即sin∠DCB=√55，所以cos∠DCB=2√55，在△BCD中，cos∠DCB=CD2+BC2−BD22CD×BC =2√55，得BD=2，所以cos∠DBC=BD2+BC2−CD22BD×BC =3√1010，所以sin∠DBC=√1010．在△ABC中，由正弦定理，可知BCsin∠A =ACsin∠ABC，可得AC=BCsin∠ABCsin∠A =2√33．故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的定义、性质以及前n项和公式.解题的关键利用已知条件确定出数列{a n}为等比数列，再利用等比数列的性质及前n项和公式求解即可．【解答】解：∵a n+2a n+1=a n+2+a n+1a n+1+a n，∴a n+2a n+1+a n+2a n=a n+2a n+1+a n+12，∴a n+12=a n a n+2，∴数列{a n }是等比数列，由等比数列性质知，a 2a 10=a 62，a 3a 8=a 5a 6，∴a 62=3a 5a 6， 由已知a 6≠0， ∴q =a 6a 5=3，∴S 3a 1=a 1(1−33)1−3a 1=13．故选D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查了数列递推关系及其单调性、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．数列{a n }满足a 2=1，|a n+1−a n |=1n(n+2)，则a n+1−a n =±1n(n+2)，利用n 为偶数时，a 2n+2<a 2n (n ∈N +)，n 为奇数时，，可得：n 为偶数时，a n+1−a n =−1n(n+2)，n 为奇数时，a n+1−a n =1n(n+2)，再由裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n }满足a 2=1，|a n+1−a n |=1n(n+2)， 则a n+1−a n =±1n(n+2)，∴a n+2−a n+1=±1(n+1)(n+3)． ∴a n+2−a n =±1n(n+2)±1(n+1)(n+3)，∵1n(n+2)>1(n+1)(n+3)，n 为偶数时，a 2n+2<a 2n (n ∈N +)， ∴a 2n+2−a 2n =−1n(n+2)±1(n+1)(n+3)，n 为奇数时，a 2n+1>a 2n−1，∴a 2n+1−a 2n−1=1n(n+2)±1(n+1)(n+3)， 综上可得：n 为偶数时，a n+1−a n =−1n(n+2)， n 为奇数时，a n+1−a n =1n(n+2)．∴数列{(−1)n a n }的前2018项的和为(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2018−a 2017)=11×3+13×5+⋯+12017×2019=12[(1−13)+(13−15)++⋯+(12017−12019)]=12×(1−12019)=10092019．故选B．10.答案：D解析：【分析】作出示意图，根据三角函数的定义即可求出两楼高．本题考查了解三角形的实际应用，作出图形是解题关键，属于基础题．【解答】解：设甲，乙两楼为AB，CD，由题意可知BC=10，∠ACB=60°，∠DAE= 30°，∵tan∠ACB=ABBC=√3，∴AB=10√3，由AE=BC=10，tan∠DAE=DEAE =√33，∴DE=10√33，∴CD=CE+DE=AB+DE=40√33．故选D．11.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p(n∈N∗)，所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=−p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=−p，∴a2=−2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=−p，a2=−2p，∴a3=−4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=−p，a2=−2p，a3=−4p，∴a4=−8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=−p，a2=−2p，a3=−4p，a4=−8p，∴a5=−16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=−31p，∴p=−1．故选C．由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．本题是中档题，考查数列求法，递推关系式的应用，考查计算能力，本题由于考查项数和比较少，所以直接解答半径简洁，否则需要研究数列的特征，然后求解．12.答案：C解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．利用基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：∵b2=a2+c2−ac，AC=2√3=b，∴12≥2ac−ac，即ac≤12，当且仅当a=c=2√3时取等号，此时B=60°．∴△ABC面积．故选C．13.答案：a n=3n−72解析：【分析】本题考查的是数列的通项公式，属于基础题．【解答】解：由S n=pn2−2n，n∈N∗可知，当n=1时，a1=S1=p−2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2pn−p−2，a1=p−2符合上式，所以对任意的n∈N∗均有a n=2pn−p−2，则a n+1−a n=2p，因而数列{a n}是公差为2p的等差数列，a2=3p−2，b1=a1=p−2，b2=a1+2a21+2=7p−63，则b2−b1=7p−63−(p−2)=2，得2p=3，p=32，a1=−12，所以数列{a n}的通项公式为a n=−12+(n−1)×3=3n−72，n∈N∗．故答案为a n=3n−72．14.答案：2解析：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB，∵sin(B +C)=sinA ，∴sinA =2sinB ，利用正弦定理化简得：a =2b ，则a b =2．故答案为：2．已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 15.答案：直角三角形解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．【解答】解：b =acosC 由正弦定理得：sinB =sinAcosC∵B =π−(A +C)，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC =sinAcosC +cosAsinC∴cosAsinC =0又A ，C ∈(0,π)，∴cosA =0，A =π2∴△ABC 是直角三角形．故答案为直角三角形． 16.答案：{1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗; 2n −n,n ∈N ∗．解析：【分析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式、等比数列求和，属于较难题．推导出a n =S n −S n−1=S n−1+n −2,n ≥2，从而a n+1=S n +n −1，进而a n+1+1=2(a n +1)，由此得到{a n +1}是从第二项开始，公比为2的等比数列，由此可求出a n 的通项公式，由分组求和以及等比数列的求和公式即可求出S n 的值．【解答】解：因为S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =2S n−1+n −2(n ≥2)，所以a n =S n −S n−1=S n−1+n −2,n ≥2①，所以a n+1=S n +n −1②，当n =2代入可得a 2=1，②−①，得：a n+1−a n =a n +1，所以a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2(a n +1)，所以a n+1+1a n +1=2,n ≥2，所以{a n +1}是从第二项a 2+1开始，公比为q =2的等比数列，所以a n +1=(a 2+1)·q n−2 =2n−1，(n ≥2)，所以a n =2n−1−1,n ≥2，即a n ={1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗, S n =1+2×(1−2n−1)1−2−(n −1) =2n −n,(n ≥2).而S 1=1，即S n =2n −n,n ∈N ∗，故答案为{1, n =12n−1−1, n ≥2n ∈N ∗; 2n −n,n ∈N ∗． 17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=31，S 10=S 22．∴10×31+10×92d =22×31+22×212d ，解得d =−2．∴S n =31n +n(n−1)2×(−2)=32n −n 2．(2)由(1)可得：S n =−(n −16)2+256，利用二次函数图象性质，故当n =16时，S n 有最大值，为256．解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=31，S 10=S 22.可得10×31+10×92d =22×31+22×212d ，解得d.即可得出．(2)由(1)利用二次函数图象性质，即可得出S n 的最大值． 18.答案：解：(1)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2accosB =18+36−36=18．故b =3√2．(2)△ABC 的面积S =12acsinB =12×3√2×6×sin45°=9．解析：(1)由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =18，从而解得b =3√2．(2)求△ABC 的面积S =12acsinB =12×3√2×6×sin45°=9．本题考查的知识点是解三角形，考察三角形的面积公式的应用，考察余弦定理的应用，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由题得：{a 2−a 1=5 √a 2−√a 1=1，解得：a 1=4，a 2=9．由n∈N∗，√a n+1−√a n=1得：{√a n}成等差数列，公差为1，首项为2．√a n=√a1+(n−1)=n+1，即：数列{a n}的通项公式a n=(n+1)2(n∈N∗).(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n=n+12n，∴T n=b1+b2+⋯+b n=22+32+⋯+n+12①，1 2T n=222+323+⋯+n+12n+1②，①−②得：12T n=1+(122+123+⋯+12n)−n+12n+1，即：12T n=1+14(1−(12)n−1)1−12−n+12n+1，化简得：T n=3−n+32n．解析：(Ⅰ)由n∈N∗，√a n+1−√a n=1得：{√a n}成等差数列，公差为1，结合首项为2可得数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n，再由错位相减法求T n．本题考查了等差数列的通项公式与等比数列前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=12，由B∈(0,π)，可得：B=π3．(Ⅱ)∵b=2，B=π3，∴由余弦定理可得ac=a2+c2−4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2−4≥2ac−4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而S△ABC=12acsinB≤12×4×√32=√3．故△ABC面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cos B的值，进而可求B的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意知点A(6cos3°,6sin30°)，即A(3√3,3)；设走私船能被截获的点为P(x,y)，则|OP|=2|AP|，即√x2+y2=2√(x−3√3)2+(y−3)2，整理得：(x−4√3)2+(y−4)2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以(4√3,4)为圆心，以4为半径的圆；(2)由题意知，直线l的方程为y=−√33(x−40)，即√3x+3y−40√3=0；设|OA|=t，则A(√32t,12t)(t>0)，设走私船能被截获的点为P(x,y)，则|OP|=2|AP|，∴√x2+y2=2√321 2整理得：(x−2√33t)2+(y−23t)2=49t2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C(2√33t,23t)为圆心，以23t为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥r；即|√3×2√33t+3×23t−40√3|√3+9≥23t，整理得t2−30√3t+450≥0，解得t≤15(√3−1)或t≥15(√3+1)(不合题意，舍去)，∴O，A之间的最远距离是15(√3−1)海里．解析：(1)由题意知点A坐标，设点P(x,y)，利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；(2)求得直线l的方程，设|OA|=t、点P(x,y)，利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．本题考查了轨迹方程的求解以及直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．22.答案：解：(1)证明：∵a1=0，a n+1=(√a n+1+1)2−1，∴a n+1+1=(√a n+1+1)2>0，∴√a n+1+1=√a n+1+1，即√a n+1+1−√a n+1=1，∴数列{√a n+1}是公差为1的等差数列；(2)∵a1=0，∴√a1+1=1，∴√a n+1=1+(n−1)=n，∴a n=n2−1，∴(−1)n2n+1a n+n+1=(−1)n2n+1n2+n=(−1)n2n+1n(n+1)=(−1)n1n+1+(−1)n1n，∴S2n=−1−12+12+13−13−14+...−12n−1−12n+12n+12n+1=−1+12n+1>−1，∵−92S2n<m−20192对一切n∈N∗恒成立，∴−92×(−1)≤m−20192，解得m≥2028，∴正整数m的最小值为2028．解析：本题考查不等式的恒成立问题、等差数列的通项公式、等差数列的判定与证明、裂项相消法，属于中档题．(1)由a n+1=(√a n+1+1)2−1，得出√a n+1+1=√a n+1+1，即可证出结果；(2)求出a n，得出(−1)n2n+1a n+n+1=(−1)n1n+1+(−1)n1n，求出S2n，利用不等式恒成立的知识点，即可求出结果．。

2019～2020学年重庆一中高中二年级第一学期期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题)1.已知等差数列的公差为2,且是与的等比中项,则等于A. 6B. 4C. 3D.2.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,,则b等于A. B. 6 C. D. 93.若双曲线的渐近线方程为,则其离心率为A. B. 2 C. 3 D.4.已知直线：与：平行,则与的距离为A. B. C. D.5.已知抛物线C：的焦点为F,是抛物线上一点,且,则A. 2B.C. 4D.6.椭圆上一点M到左焦点的距离是2,N是的中点,O为坐标原点,则的值为A. 4B. 8C. 3D. 27.已知双曲线方程为,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为A. B.C. D.8.若圆C：与圆E：有公共点,则r的范围A. B. C. D.9.若点O与点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 810.过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B两点在B的上方,且l与准线交于点C,若,则A. 2B.C. 3D.11.设是双曲线的一个焦点,,是C的两个顶点,C上存在一点P,使得与以为直径的圆相切于Q,且Q是线段的中点,则C的渐近线方程为A. B. C. D.12.设A,B分别是双曲线的左右顶点,设过的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的于S,T两点,且,则的面积A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知1,,2,且,则______.14.已知定点,点P是圆上的动点,则AP的中点C的轨迹方程______.15.在正方体中,E分别为的中点,则AE与所成角的余弦值为______16.设抛物线的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若,则直线l的方程为______.三、解答题(本大题共6小题)17.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.求A.若,,求的面积.18.如图,在三棱柱中,底面,,,,,点E,F分别为与AB的中点.证明：平面；求与平面AEF所成角的正弦值.19.已知过点的圆M的圆心为,且圆M与直线相切.求圆M的标准方程；若过点且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,若的面积为,求直线l的方程.20.如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,,点E为棱PC的中点.Ⅰ证明：；Ⅱ求BE的长；Ⅲ若F为棱PC上一点,满足,求二面角的余弦值.21.设抛物线C：的焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过点.求抛物线C的方程；若直线与抛物线C交于R,S两点,点N为曲线E：上的动点,求面积的最小值.22.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为,离心率为.求椭圆C的方程；如图,过点的动直线l交椭圆C于M,N两点,直线l的斜率为,A为椭圆上的一点,直线OA的斜率为,且,B是线段OA延长线上一点,且过原点O作以B为圆心,以为半径的圆B的切线,切点为令,求取值范围.答案和解析1.【试题参考答案】B【试题解答】解：等差数列的公差d为2,且是与的等比中项,可得,即,则,故选：B.运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程即可得到所求值.本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.2.【试题参考答案】C【试题解答】解：,,,由正弦定理,可得.故选：C.由已知利用正弦定理即可求解b的值.本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.3.【试题参考答案】D【试题解答】本题主要考查双曲线的性质,要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式.根据双曲线渐近线的方程,确定a,b的关系,进而利用离心率公式求解.【解答】解：双曲线的渐近线方程为,,即,,离心率.故选D.4.【试题参考答案】D【试题解答】解：直线：与：平行,可得,则由两平行直线的距离公式可得,则与的距离为,故选：D.直线：与：平行,即可得到a,然后利用平行线之间的距离公式求解即可.本题考查两平行直线的距离公式的运用,考查运算能力,属于基础题.5.【试题参考答案】D【试题解答】本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查准线方程的运用,注意定义法解题,属于基础题.抛物线C：的准线方程为,由抛物线的定义可得,A到焦点的距离即为A到准线的距离,解方程即可得到所求值.【解答】解：抛物线C：的准线方程为,由抛物线的定义可得,A到焦点的距离即为A到准线的距离,即有,可得,解得,解得.故选：D.6.【试题参考答案】A【试题解答】解：根据椭圆的定义得：,由于中N、O是、的中点,根据中位线定理得：,故选：A.首先根据椭圆的定义求出的值,进一步利用三角形的中位线求得结果.本题考查的知识点：椭圆的定义,椭圆的方程中量的关系,三角形中位线定理.7.【试题参考答案】A【试题解答】解：以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为,,可得,,相减可得,且,,则弦所在直线的斜率,可得弦所在的直线方程为,即为.故选：A.设弦的端点的坐标分别为,,代入双曲线的方程,作差,结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式,可得弦所在直线的斜率,由点斜式方程可得所求直线方程.本题考查双曲线的方程和运用,考查点差法求直线方程,以及化简运算能力,属于基础题.8.【试题参考答案】C【试题解答】解：圆C方程为：,圆心,半径为r,圆E方程为：,圆心,半径,圆C：与圆E：有公共点,,即,解得：,故选：C.先求出两圆的圆心和半径,因为两圆有公共点,所以圆心距大于等于两半径差的绝对值小于等于两半径之和,列出不等式即可求出r的取值范围.本题主要考查了圆与圆的位置关系,是基础题.9.【试题参考答案】C【试题解答】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值,考查了综合应用能力、运算能力,属于中档题.先求出左焦点坐标F,设,根据在椭圆上可得到、的关系式,表示出向量、,根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.【解答】解：由题意,,设点,则有,解得,因为,,所以,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,故选：C.10.【试题参考答案】A【试题解答】解：根据题意,设,,作AM、BN垂直准线于点M、N,则有,,若,则有,即,又由,则有,即有,变形可得,即,故选：A.根据题意,设,,作AM、BN垂直准线于点M、N,由分析可得,又由平行线的性质分析可得,即可得,变形可,即可得答案.本题考查抛物线的几何性质,注意利用平行线的性质得到,考查运算能力,属于中档题.11.【试题参考答案】C【试题解答】解：由于O为的中点,Q为线段的中点,则由中位线定理可得,,由与以线段为直径的圆相切于点Q,则,,由双曲线的定义可得,,即有,由,由勾股定理可得,即,则,即.的渐近线方程为.故选：C.运用中位线定理,可得,,再由双曲线的定义,以及直线和圆相切的性质,运用勾股定理得到,则C的渐近线方程可求.本题考查双曲线的定义和性质,考查双曲线渐近线方程的求法,考查直线和圆相切的条件,以及中位线定理和勾股定理的运用,考查运算能力,是中档题.12.【试题参考答案】A【试题解答】解：双曲线的左右顶点为,,,可得直线PA的方程为,PB的方程为,联立可得,解得或,代入可得,即有,联立可得,解得或,代入,可得,即,设,由M,N,Q三点共线,可得,即有,将M,N的坐标代入化简可得,解得,即,设过Q的直线方程为,联立双曲线方程,可得,设,,可得,,恒成立,,可得,代入韦达定理可得,解得,可得.故选：A.求得双曲线的左右顶点,设出直线PA,PB的方程,联立双曲线的方程,求得M,N的坐标,设,运用M,N,Q三点共线的条件,以及向量共线的条件,求得,设过Q的直线方程,联立双曲线方程,运用韦达定理和三角形的面积公式,计算可得所求值.本题考查双曲线的方程和性质,直线方程和双曲线方程联立,求交点和运用韦达定理,考查直线恒过定点,以及三角形的面积的求法,考查化简运算能力,属于难题.13.【试题参考答案】解：,,且,,解得,故1,,2,,,,,故答案为：【试题解答】由垂直可得数量积为0,进而可得x值,可得向量的坐标,由模长公式可得. 本题考查向量的数量积的运算,涉及向量的垂直和模长的求解,属基础题.14.【试题参考答案】【试题解答】解：设,,由题意知：,化简得,故C的轨迹方程为.故答案为：.设,,列出方程组,消去参数,,即可得到C的轨迹方程.本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.15.【试题参考答案】【试题解答】解：以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体中棱长为2,则0,,2,,2,,0,,2,,,设AE与所成角为,则,与所成角的余弦值为.故答案为：.以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AE与所成角的余弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.【试题参考答案】【试题解答】解：抛物线的焦点为,准线方程为,若,可得,即有,,可得AB的中点M的纵坐标为,设,,则,过F的直线l的方程设为,代入抛物线的方程可得：,即有,解得,所以直线l的方程为.故答案为：.求得抛物线的焦点坐标和准线方程,由抛物线的定义求得P的坐标,得到AB中点M的纵坐标,设直线l为,代入抛物线的方程消去x,利用根与系数的关系求得k的值即可.本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题,也考查了中点坐标公式和直线与抛物线位置关系应用问题,是中档题.17.【试题参考答案】解：由.利用正弦定理可得：.,即,可得.,.由余弦定理可得：,可得：,化为：,解得：,.【试题解答】由利用正弦定理可得：再利用和差公式、三角函数求值即可得出.由余弦定理可得：,化简解得可得.本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.【试题参考答案】解：证明：如图,连接,在三棱柱中,E为的中点.又因为F为AB的中点,所以；又平面,平面,所以：平面.解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则0,,4,,0,,2,,所以,0,,2,.设平面AEF的法向量为y,,则且,令,得0,.记与平面AEF所成,则.【试题解答】连接,利用中位线性质即可得证；建立空间直角坐标系,求出平面的法向量以及直线的方向向量,再带入公式即可求解. 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,进而得到空间中点、线、面的位置关系,利于建立空间之间坐标系,利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题,属于中档题.19.【试题参考答案】设圆M的标准方程为：,则圆心M到直线的距离为,由题意得,解得或舍去,所以,所以圆M的方程为.设直线l的方程为,则圆心M到直线l的距离为,,又点到直线l的距离为,,解得,,则直线的方程为.【试题解答】根据题意设出圆的方程：,因为圆M与直线相切,得,求出a,r进而得出圆的标准方程.求出,及点P到直线l的距离,表示出,求出斜率k,进而得出直线方程.本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.【试题参考答案】Ⅰ证明：底面ABCD,,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,由题意0,,0,,2,,1,,2,,1,,0,,,.Ⅱ解：1,,的长为.Ⅲ解：,2,,由点F在棱PC上,设,,,,,解得,设平面FBA的法向量为,则,取,得,取平面ABP的法向量1,,则二面角的平面角满足：,二面角的余弦值为.【试题解答】Ⅰ以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,求出1,,0,,由,能证明.Ⅱ由1,,能求出BE的长.Ⅲ由,求出,进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量,由此利用向量法能求出二面角的余弦值.本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系,考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,是中档题.21.【试题参考答案】解：由题意得,圆的半径,解得：故抛物线的方程为.设点,,由直线l过抛物线的焦点,联立得,故,所以,由点N为曲线E上一点,设点,点N到直线l的距离,由,故当且仅当,即时,取等号,所以,又面积：,故面积的最小值为.【试题解答】由题意得,解得：,得到抛物线方程.设点,,由直线l过抛物线的焦点,通过联立方程组结合韦达定理,推出,由点N为曲线E,设点,点N到直线l的距离利用基本不等式转化求解即可.本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力.22.【试题参考答案】解：依题,,解得,,.椭C的方程为；由已知可得直线l的方程为：,与椭圆C：联立,得,由题意,设,,则,.弦,OA所在直线方程为,与椭C：联立,解得,..令,则,则,得到,.令,由知,,换元得：,其中..【试题解答】依题,结合离心率求得a与c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求；由已知可得直线l的方程,与椭圆C：联立,化为关于x的一元二次方程,利用弦长公式求得弦,写出OA所在直线方程,与椭C：联立求得,得到,利用换元法求得的范围,把转化为含的代数式求解.本题考查椭圆方程的求法,考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,属难题.。

重庆南开中学高2020级2020～2020学年度高二（上）期中 数 学 试 题第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．双曲线112422=-y x 的焦距为 （ ）A ．4B ．2C ．D ．2．若抛物线22y px =的焦点为()2,0，则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2 C. 4 D ．4-3．已知圆22:(1)2x y -+=，则过点(2,1)作该圆的切线方程为 （ ）A ．10x y --=B ．250x y +-= C. 2x = D ．30x y +-=4．若一个椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为 （ ）A. 45B. 35C. 25D. 155．已知双曲线222=-y x ，过定点)0,2(P 作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条6．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到左准线的距离为152，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．10B ．6C ．12D ．147．方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，则双曲线15322=-+-k y k x 的焦点坐标为 （ ） A ．)2,0(± B ．)0,2(± C. )82,0(+±k D ．)0,82(+±k8．已知抛物线y px =22的焦点为F ，P Q ,为抛物线上两点，若PQF ∆为边长为2的正三角形，则p 的值是 （ ）A ．2±B ．3±1 D ．19．过双曲线22221(,0)x y b a a b-=>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点，若222QF PF =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 610. 设抛物线y x =24的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点， 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ，若32PF =，则弦长AB 等于 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知椭圆方程为 x y +=22:165，则椭圆的右准线方程为 12．已知圆C x x y -+=221:21 ，圆C x x y -+=222:40，则圆C 1与圆C 2相交的弦长为13．已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，则PF PM + 的最小值是14．已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F (2,0)的直线交椭圆于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与(3,1)a =-r 共线, 则该椭圆的长半轴长为15．已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=。

高二数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．命题“R x ∈∀，0cos >x ”的否定是( )A ．R x ∈∃,x cos ≤0B ．R x ∈∀,x cos ≤0C ．R x ∈∃,x cos >0D ．R x ∈∀,x cos <02．直线5=+y x 和圆O ：0422=-+y y x 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交不过圆心D ．相交过圆心3．已知双曲线1422=3-y x ，则此双曲线的右焦点坐标为( )A ．(1，0)B ．(5，0)C ．(7，0)D ．(7，0)4．已知椭圆的方程为63222=+y x ，则此椭圆的离心率为( )A ．31 B ．33 C ．22 D ．21 5．从点P(3，3)向在圆C ：12222=+++）（）（y x 引切线，则切线长为( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．76．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线l ：012=++y x 垂直，则此双曲线的离心率是( )A ．25B ．3C ．2D ．57．若函数f (x )在R 上可导，且m x f x x f +/'+=）（22)(2，则( )A ．)5()0(f f <B ．)5()0(f f =C ．)5()0(f f >D ．不能确定大小8．已知椭圆14222=+by x (0<b <2)与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．89．过点C(4，0)的直线与双曲线112422=y x -的右支交于A 、B 两点．则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |>3C ．|k |≤3D ．|k |<110．在直角坐标系中，F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x （a >b >0）左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若cos ∠F 1BF 2=257，则直线CD 的斜率为( ) A ．53B ．54 C ．259 D ．2512 二、填空题(每小题5分，共25分)11．抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是 ； 12．设曲线31231)(3--=x x x f 在点(1，-2)处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a = ；13．已知双曲线方程为1222=-y x ，过定点P(2，1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2两点，并使得点P 为线段P 1P 2的中点，则此直线l 的方程为 ；14．从圆122=+y x 上任意一点P 向y 轴作垂线段PP`，交y 轴于P`，则线段PP`的中点M 的轨迹方程是 ；15．如果实数x ，y 满足等式1)2(22=+-y x ，那么13-+x y 的取值范围是 ；三、解答题(共75分)16．已知集合A 是不等式02082<--x x 的解集，集合B 是不等式：)1)(1(a x a x +---≥0 (a >0)的解集。

重庆南开中学高2020级线上中期考试数学试题（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上．1．{}|2,xM y y x R -==∈，{|sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ⋂=（ ） A ．(0,1]B ．[1,0)-C ．[1,1]-D ．∅2．若2()ia R a i+∈-为纯虚数（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．2B ．1C ．12-D ．123．已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ=（ ） A ．4π B ．4π-C ．3π D ．6π 4．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．14y x =±5．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测． A ．3B ．4C ．6D ．76．已知“若p 则q ”为真命题，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习．某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育．现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ） A ．34B ．712C ．23D ．568．若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是（ ）A ．31B63C ．127D ．2559．已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A ．0B ．aC ．2aD ．1010a10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A．3B ．12C．2D．311．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1,AD AA 的中点，则以下说法错误的是（ ）A 平面EFC截正方体所的截面周长为 B ．存在1BB 上一点P 使得1C P ⊥平面EFC C ．三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等 D ．存在1BB 上一点P 使得AP平面EFC12．已知函数3()31f x x x =-+，若1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则b a -的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．13．若变量,x y 满足1033020x y x y y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值为______．14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体体积为______．15．已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，22a =，38S =，则当53S a =______． 16．ABC △中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____． 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分，每题考生都必须在答题卡上作答．17．已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，,M N 分别为11,AC B C 的中点．（1）求证：CN平面11MA B ；（2）求三棱锥11M A B C -体积．18．ABC △为直角三角形，斜边BC 上一点D，满足AB =．（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠； （2）若12BD CD =，2AD =，求BC ． 19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①2y bx a =+，②y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差i i i e y y =-）：经过计算得()()81728i i i x xy y =--=∑，()82142i i x x=-=∑，()()816868i i i z zy y =--=∑，()8213570i i z z=-=∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii ii xxy y bxx==--=-∑∑，a y bx =-．20．已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过F 与抛物线交于,A B 两点．,A B 到准线的距离之和最小为8．（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点P 纵坐标为2p ，直线,PA PB 分别交准线于,M N ．求证：以MN 为直径的圆过焦点F ．21．已知函数2()(1)f x a x =+，()xg x xe =． （1）若()g x 的切线过(4,0)-，求该切线方程； （2）讨论()f x 与()g x 图像的交点个数．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN △面积最小值． 23．已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三（下）4月考试数学答案（文科）一、选择题A D AB B BC B C A B C 二、填空题13．3- 14．9 15．11 16．4π三、解答题（1）取11A B 中点P ，连接PN ，由于,P N 分别为1111,A B B C 的中点，所以1112PNAC 而1112MCAC ，则PN MC ，所以PNCM 为平行四边形，所以CNPM又因为CN ⊄面11MA B ，PM ⊂面11MA B ，所以CN平面11MA B（2）由（1）知C N 、到面11MA B 距离相等，则1111111111111233M A B C C A B M N A B M M A B N A B N V V V V S AA ----====⋅=18解：（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，sin 2ADB C DAC ∴∠==∠+∠ 60DAC ∠=︒，从而60C ∠=︒（2）设12BD CD a ==，AB ∴=，AC =从而cos C =，余弦定理得222222cos6022AD AC CD AD CD a ︒=+-⋅⋅==得a =，所以BC =19．解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2z x =，则y bz a =+． 由所给数据得：1(1491625364964)25.58z =+++++++=， 1(481631517197122)508y =+++++++=，()()()8182168681.93570iii i i zzy y b z z==--==≈-∑∑， 50 1.925.5 1.6a y bz =-≈-⨯≈，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.6y x =+．（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.6155.5156y =⨯+=≈（人）． 20．解：（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点距离之和，即为||AB ，最小为通径28p =，4p = 抛物线方程为28y x =（2）代入曲线得(8,8)P ，设()()1122,,A x y B x y直线:2l x my =+，（m 不存在时为直线2x =，(2,4)(2,4)A B -，检验成立） 联立得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得： 11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+ ()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++ ()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++21．解：（1）设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++，化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e -=-切线为2(4)y e x -=-+（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数．()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-↓，(1,)-+∞↑1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均→+∞，此时，()F x 有两个零点0a >时，x →-∞时()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e-=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--< 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点．综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为2244x y +=， 极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=（2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++ 当4πθ=，357,,444πππ时可以取等．所以OMN △面积为121425S ρρ=≥ 23．解：（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求，此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题一、选择题（本大题共12小题） 1.若直线经过(1,0)A、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 120︒ 『答案』C『解析』直线经过A(1,0)，两点，∴ 直线AB的斜率21k ==-,设直线的倾斜角为a,tan a ∴=,[0,)a π∈，2a π≠,60a ︒∴=,∴ 直线AB 的倾斜角60a ︒=.故选: C.2.若a ，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 『答案』D『解析』如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，AB 与BC 相交，11A B 与BC 是异面直线， 11//AB A B ，AB 与1AA 相交，11A B 与1AA 是相交直线，a ∴，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是异面或相交．故选：D ．3.圆A ：224210x y x y ++++=与圆B ：222610x y x y +--+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含 『答案』C『解析』圆A ：224210x y x y ++++=的圆心坐标()2,1A --，半径12r ==，圆B ：222610x y x y +--+=的圆心坐标()1,3B，半径23r ==，5AB ∴==，125AB r r =+=，∴圆A 与圆B 外切．故选：C．4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）A. 643πB. 1283πC.64π D.『答案』A『解析』设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r∴l =，由题意得，侧面积2S rl r π===侧，解得4r =，l ∴=4h ==，∴圆锥的体积2116444333V Sh ππ==⨯⨯⨯=， 故选：A ． 5.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A.()()22314x y -++= B.()()22314x y ++-= C.()()22114x y -+-=D.()()22114x y +++=『答案』C『解析』本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A故选C6.下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④『答案』C『解析』对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥， ，正确．故正确命题为①④，选C. 7.直三棱柱111ABC A B C -中，若90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值等于（ ）A. B. 25C. 45D.『答案』C『解析』以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,A 0，0)，1(0,B 0，2)，(0,B 0，0)，1(0,C 1，2)，1(1,AB =-0，2)，1(0,BC =1，2)，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111455AB BC cos AB BC θ⋅===⋅⋅．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45．故选：C ．8.已知直线2x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点， 若OA OB OC +=，则a 的值为（ ） A. 2B.C. 4D. 8『答案』D 『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,.C x y联立222x y x y a +=⎧⎨+=⎩，化为22440x x a -+-=， 直线2x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点， ()16840a ∴∆=-->，解得2a >．122x x ∴+=，121242y y x x ∴+=--=．()()()121200,2,2,.OC OA OB x x y y x y ∴=+=++==2200448a x y ∴=+=+=．故选：D ．9.已知点A 为圆22(3)(2)1x y ++-=上的点，点B 的坐标为()1,1，P 为x 轴上一动点，则AP BP+的最小值是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6『解析』如图，设圆22(3)(2)1x y++-=的圆心为C，则()3,2C-，半径1r=．点()1,1B关于x轴的对称点()'1,1B-，连接'B C，交圆C与A，交x轴于P，则AP BP+的最小值为'14B C r-==．故选：B．10.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A. 12B.122+C.32D.12+『答案』D『解析』由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，2=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为1 2，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为1 22+11.已知点(),P x y 是直线20(0)kx y k ++=>上一动点，P A 、PB 是圆C ：2220x y x +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 2B.2C.D. 12『答案』D『解析』圆C ：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=，圆心()1,0C ，半径为1.如图，PA PB =，CB PB ⊥，CA PA ⊥，122PACB S PA CA PA∴=⋅⋅⋅=四边形． 2PACB S ≥，2PA ∴≥．22221PC PA CA PA =+=+，25PC ∴≥，即点Cd ∴==，整理得()2210k -=，解得：12k =．故选：D ．12.在正三棱锥S ABC -中，M ，N分别是SC ，BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =则正三棱锥SABC -外接球的体积是( ) A.B. 12πC. 24πD.『答案』A『解析』M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，//MN SB ∴，MN AM ⊥，可得SB AM ⊥，取AC 中点P ，连接,SP BP ，由,SA SC BA BC ==得,SP AC BP AC ⊥⊥， 而SPBP P =，则AC ⊥平面SBP ，SB ⊂平面SBP ，∴SB AC ⊥，AMAC A =，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，易证SAB SAC ∆≅∆，SA SC ∴⊥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．侧棱SA =∴正三棱锥S ABC -的外接球的直径为：2R ==R =，故正三棱锥S ABC -外接球的体积是343R π=，故选：A ．二、填空题（本大题共4小题）13.已知两条直线1l ：210x ay +-=，2l：40x y -=，且12//l l ，则满足条件a 的值为______．『答案』-2 『解析』由于直线12l l //，则()1421a ⨯-=⨯，解得2a =-，故『答案』为：2-． 14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D所成的角等于____．『答案』6π『解析』正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB ,所以直线11A C ⊥平面11BB D D,所以直线1BC 与平面11BB D D所成的角等于MBC 1∠,设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a，所以12MC =，1BC =，所以1111sin 2MC MBC BC ∠==,所以16MBC π∠=15.如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______．『答案』 (1). 68.π (2). 140.3π『解析』由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：5=， 21142822S ππ=⨯⨯=球，2)35(55S ππ=+⨯=圆台侧，25S π=圆台底．故所求几何体的表面积为：8352568ππππ++= 圆台的上底面积14S π=，下底面积225S π=所以14254523V πππ⎡⎤=⨯=⎣⎦圆台 又314162233V ππ=⨯⨯=半球 所以旋转体的体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球故『答案』为：68π；1403π．16.已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______ 『答案』3『解析』根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，又由0m >，解可得：37m ≤≤，即m 的最小值为3； 故『答案』为：3．三、解答题（本大题共6小题）17.已知直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标； （2）求ABC斜边中线的方程．【解】（1）直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上，设(),0C m ，则02021311AB CB k k m ++⋅=⋅=----，求得2m =，故C()2,0．（2）斜边AC 的中点为1(,0)2M -，BM 的斜率为0241312+=---， 故BM 的方程为41032y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4320x y ++=． 18.如图, 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是AC 的中点.(1)求证: 平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(2)若AA 1, AB =2, 求三棱锥A -BEC 1的体积.【解】（1）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ABC ∆为正三角形，E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11ACC A ，交线AC ，BE ⊆平面ABC ，所以BE ⊥平面ACC 1A 1，BE ⊆平面BEC 1，所以平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1； （2）三棱锥A -BEC 1的体积11111121332A BEC C ABE ABE V V S CC --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯=所以三棱锥A -BEC 1的体积19.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（1）求圆的方程； （2）若直线()500ax y a -+=≠与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解】（1）设圆心为()(),0M m m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以42955m -=，即42925m -=．即42925m -=或42925m -=-，解得272m =或1m =，因为m 为整数，故1m =，故所求的圆的方程是22(1)25-+=x y ； （2）设符合条件的实数a 存在，0a ≠，则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为()124y x a =-++，即240x ay a ++-=．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上．所以10240a ++-=，解得34a =．检验：当34a =时，直线AB 的方程为34200x y -+=，圆心到直线AB45=<，合乎题意.故存在实数34a =，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ．20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =．()1若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ； ()2若90PAB ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．【解】()1证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==，//AD BC ，且1AD =，//EF AD ∴，且1EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，//AE ∴平面PCD ．()290PAB ∠=，PA AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，PA ∴⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，则AP 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()0,1,0D 、()0,0,1P ， ()0,1,1DP =-，()1,0,1BP =-，()1,1,0BD =-，()1,1,0DC =，设平面BDP 的法向量(),,n x y z =，则00n BP x z n BD x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,1n =， 设平面PCD 的法向量(),,m a b c =，则00m DP b c m DC a b ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，取1a =，得()1,1,1m =--， 设二面角B PD C --的平面角为θ，则1333m n cos m nθ⋅⋅===⋅，∴二面角B PD C --的余弦值为13．21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上．（I ）当3SE ED =时，求证SD ⊥平面;AEC（II ）当二面角S AC E --的大小为30时，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值． 【解】（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒，易知CA AD ⊥，又SA ⊥平面ABCD ，所以CA ⊥平面SAD ,∴SD AC ⊥， 在直角三角形SAB中，易得SA =在直角三角形SAD 中，，2SD =，又3SE ED =，∴，可得AE==.∴SD AE ⊥， 又∵，∴SD ⊥平面AEC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA SA ⊥,CA AE ⊥， 可知EAS ∠为二面角E AC S --的平面角，30EAS ∠=，此时为SD中点.过A 作AF CD ⊥,连结SF ,则平面SAF ⊥平面SCD , 作AG SF ⊥,则AG ⊥平面SCD ,连结EG ,可得AEG ∠为直线AE 与平面SCD 所成的角．因为AF =,SA =所以AG ==.在Rt AGE ∆中，， 直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得())()(0,0,0,,0,1,0,A C D S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有30,4E ⎛ ⎝⎭， 易得{0SD AC SD AE ⋅=⋅=，从而SD ⊥平面ACE ． (Ⅱ)由AC ⊥平面SAD ，二面角E AC S --的平面角30EAS ∠=︒.又30ASD ∠=︒，则为SD 的中点，即130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =则30,{0.n DC x y n SD y ⋅=-=⋅==，令1z =,得()n =，从而011cos ,AE n AE n AE n⋅⋅===，直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.22.在平面直角坐标系中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l被圆1C 截得的弦长与直线2l被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解】(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d1，＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－7 24.所求直线l的方程为y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－1k x－y＋n＋1k m＝0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因为关于k的方程有无穷多解，所以有2080{{3050m n m nm n m n－－＝，－＋＝，或－－＝＋－＝，解得点P坐标为313,22⎛⎫-⎪⎝⎭或51,22⎛⎫-⎪⎝⎭.。

2019-2020学年重庆一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a n =( )A. −2nB. 2nC. 2n −1D. 2n +1 2. 在△ABC 中，A =30°，B =135°，a =3，则边b =( )A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 已知平行直线l 1：3x +4y −34=0，l 2：12x +16y +37=0则l 1，l 2的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知抛物线y 2=4x ，F 是其焦点，M 是抛物线上的任意一点，N(3,1)，则|MF|+|MN|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 36. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，O 为坐标原点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 57. 双曲线x 2−y 2=1的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线方程为 ( )A. y =2x −1B. y =2x −2C. y =2x −3D. y =2x +3 8. 圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0有公共点，则实数a 的取值范围是( )A. [−2√2,2√2]B. [−2√3,2√3]C. [−2,2]D. [−3,3]9. 已知点M(1,0)，A ，B 是椭圆x 24+y 2=1上的动点，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [23,9]B. ［1，9］C. [23,1]D. [√63,3] 10. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 32B. 23C. 43D. 3411. 已知P 为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±35xD. y =±53x12. 已知双曲线mx 2−ny 2=1与直线y =1+2x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为√32，则mn 的值是( )A. −√3B. √3C. √32D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(1,−2,2)，b⃗ =(−3,x，4)，已知a⃗在b⃗ 上的投影为1，则x=________．14.点P(4,−2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是____________．15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于______16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=−√3，则线段PF的长为_________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，侧棱BB1=2√3，△ABC为等腰直角三角形∠ACB=90°，AB=2√2，E，F分别是AC，B1C1的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面AA1B1B；(Ⅱ)若AB1=2，求直线EF与平面BB1C1C所成角的正弦值．19.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)２+(y−3)２=1交于M，N两点，求k的取值范围．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π，F3为PC的中点，AF⊥PB．(Ⅰ)求PA的长；(Ⅱ)求二面角B−AF−D的余弦值．21.已知抛物线y2=2px(p>0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B．(1)若|AB|⩽2p，求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，求的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M的圆心M(−78,0)，半径为r.点P为椭圆上的一点，若圆M与直线PA，PF都相切，求此时圆M的半径r．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题.利用a4是a2与a8的等比中项，求出a1，再利用等差数列的通项公式概念即可求得a n．【解答】解：由题意得等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=a1+2(n−1)，因为a4是a2与a8的等比中项，所以a42=a2a8，即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，解得a1=2，所以a n=2n．故选B．2.答案：C解析：解：因为A=30°，B=135°，由正弦定理asinA =bsinB可得b=3×√2212=3√2．故选：C．由正弦定理asinA =bsinB可求b即可求解．本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．4.答案：B=0，l2：12x+16y+37=0，即已知平行直线l1：12x+解析：解：已知平行直线l1：3x+4y−3416y−3=0，l2：12x+16y+37=0，=2，故它们之间的距离为√122+162故选：B．先把两条平行直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，得出结论．本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查了抛物线的应用．当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．【解答】解：抛物线：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线x=−1，根据抛物线定义可知|MF|=x M+1，∴当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，最小为3+1=4，∴|MF|+|MN|的最小值为4．故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的定义的应用，属于基础题．由题意，知OM是△PF1F2的中位线，则|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，所以|PF1|=4．【解答】解：由题意，知OM是△PF1F2的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，A解析： 【分析】本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．设直线l 斜率为k ，与双曲线方程联立方程组，由根与系数的关系及中点坐标列方程解出k. 【解答】解：设直线l 的方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1. 联立方程组{x 2−y 2=1y =kx −2k +1, 消元得：(1−k 2)x 2+2k(2k −1)x −(2k −1)2−1=0， ∴x 1+x 2=2k(2k−1)k 2−1=4，解得k =2.∴直线l 的方程为：y =2x −3． 故选C .8.答案：A解析： 【分析】本题考查圆与圆的位置关系及判定，属于一般题．求出两个圆的圆心，圆心的距离大于两半径之差的绝对值并且小于两半径之和，可得答案． 【解答】解：由题意，圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0有公共点， x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0整理可得(x −a)2+(y +1)2=1， 从而有1≤√a 2+1≤3， 解之得，−2√2⩽a ⩽2√2， 故选A ．9.答案：A解析： 【分析】本题考查了椭圆与向量数量积的综合应用，向量数量积的最值问题，属于难题．设A 点坐标，根据向量数量积的坐标运算及点A 在椭圆上，建立关于点A 横坐标的函数关系式，即可求得向量数量积的最值． 【解答】解：设A(x 0,y 0)，已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x 0−1)2+y 02， 将A 点坐标代入椭圆，得x 024+y 02=1，所以y 02=1−x 024，代入上式可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−1)2+1−x 024=3x 024−2x 0+2 =34(x 0−43)2+23(−2≤x 0≤2)，所以(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =23，(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =9， 故选A ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．由题意画出图形，过点P 作准线的垂线交于点H ，则|PF|=|PH|，再由向量等式可得|MP||MF|=23，然后利用相似三角形对应边成比例可得|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 【解答】解：如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，则|PF|=|PH|，由FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得|MP||MF|=23， ∴|PH|p=|PH|2=|MP||MF|=23，解得|PH|=43，∴|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PH|=43． 故选：C ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．设直线PF 2与圆x 2+y 2=a 2相切于点M ，取PF 2的中点N ，连接NF 1，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF 2|=4b ，再由双曲线的定义和a ，b ，c 的关系及离心率公式，计算即可得到． 【解答】解：设直线PF 2与圆x 2+y 2=a 2相切于点M ， 则|OM|=a ，OM ⊥PF 2， 取PF 2的中点N ，连接NF 1，由于|PF 1|=|F 1F 2|=2c ，则NF 1⊥PF 2，|NP|=|NF 2|， 由|NF 1|=2|OM|=2a ， 则|NP|=√4c 2−4a 2 =2b ， 即有|PF 2|=4b ，由双曲线的定义可得|PF 2|−|PF 1|=2a ， 即4b −2c =2a ，即2b =c +a ，4b 2=(c +a)2，即4(c 2−a 2)=(c +a)2， 4(c −a)=c +a ，即3c =5a ，b =43a ， 则C 的渐近线方程为y =±ba x =±43x ． 故选A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线与直线的位置关系，属于中档题．把y=2x+1代入mx2−ny2=1，利用韦达定理，确定M的坐标，再利用过原点与线段AB中点的直线的斜率得答案．【解答】解：把直线y=2x+1代入mx2−ny2=1得：(m−4n)x2−4nx−n−1=0，设A、B的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，则有：x1+x2=4nm−4n，y1+y2=1+2x1+1+2x2=2+2(x1+x2)=2mm−4n，∴M的坐标为：(4nm−4n ,2mm−4n)，∴OM的斜率k=2m4n =√32，∴mn=√3．故选：B．13.答案：0解析：【分析】本题考查了空间向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题.利用投影的概念，数量积公式，求模公式计算出结果．【解答】解：∵a⃗=(1,−2,2)，b⃗ =(−3,x,4)，a⃗在b⃗ 上的投影为1，∴|a ⃗ |⋅cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=1． ∴|a ⃗ |⋅a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=−3−2x+8√9+x 2+16=1，∴−3−2x +8=√9+x 2+16， ∴x =0或x =203．又5−2x ≥0，即x ≤52， 故将x =203舍去．故答案为0．14.答案：(x −2)2+(y +1)2=1解析： 【分析】本题考查求轨迹方程的相关动点法，设所求中点为(x,y)，圆上任意一点为A ，确定A 与AP 中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论． 【解答】解：设圆上任意一点为A(x 1,y 1)，AP 中点为(x,y)， 则{x =x 1+42y =y 1−22， ∴{x 1=2x −4y 1=2y +2， 将点A(x 1,y 1)代入x 2+y 2=4， 得：(2x −4)2+(2y +2)2=4， 化简得：(x −2)2+(y +1)2=1， 故答案为(x −2)2+(y +1)2=1．15.答案：90°解析：解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1(0,0，2)，B(2,0，0)，C 1(2,2，2)，E(0,1，0)， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,−2)， 设异面直线A 1B 与C 1E 所成角为θ， 则cosθ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√9=0，∴θ=90°．∴异面直线A 1B 与C 1E 所成角等于90°． 故答案为：90°．以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B 与C 1E 所成角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16.答案：6解析： 【分析】本题主要考查了抛物线的性质与几何意义，抛物线与直线位置关系，直线方程的运用，考查了分析和运用能力，属于中档题．先根据抛物线方程得到焦点坐标F (32,0)，再根据直线AF 的斜率k =−√3，运用点斜式求出直线AF 方程，然后根据PA ⊥l ，A 为垂足，求出点A 的坐标，进而求出点P 的坐标，最后结合抛物线的性质即可求解． 【解答】解：由抛物线方程为y 2=6x ，所以焦点坐标F (32,0)，准线方程为x =−32， 因为AF 的斜率为−√3，所以直线AF 的方程为y =−√3(x −32)， 当x =−32时， y =3√3， 所以A (−32,3√3)，因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为3√3，可得P 点的坐标为(92,3√3)， 根据抛物线的定义可知|PF |=|PA |=92−(−32)=6， 故答案为6．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，=8．∴a=30×44+5+6解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)取A1B1的中点M，连接MA，MF．因为F，M分别是B1C1，A1B1的中点，A1C1．所以MF//A1C1，且MF=12A1C1，在棱柱ABC−A1B1C1中，AE//A1C1，且AE=12所以MF//AE，且MF=AE，所以四边形AEFM是平行四边形，所以EF//AM．又AM⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，所以EF//平面AA1B1B.(Ⅱ)AB1=2，BB1=2√3，AB=2√2．所以BB 12=AB 12+AB 2，所以AB 1⊥AB ．又因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，且平面AA 1B 1B ∩平面ABC =AB ， 所以AB 1⊥平面ABC ，在平面ACB 1内，过点C 作Cz//AB 1，因为AB 1⊥平面ABC ，所以Cz ⊥平面ABC ． 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，AB =2√2． 所以AC =BC =2，则C(0,0，0)，B(2,0，0)，B 1(0,2，2)， C 1(−2,2，2)，E(0,1，0)，F(−1,2，2)．EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)． 设平面BB 1C 1C 的个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =02y +2z =0．得x =0，令y =1，得z =−1， 故n⃗ =(0,1,−1)． 设直线EF 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， 则，所以直线EF 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．解析：本题考查直线与平面平行的判定定理以及空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题． (1)取A 1B 1的中点M ，连接MA ，MF.先证得四边形AEFM 是平行四边形，得到EF//AM ，再通过直线与平面平行的判定定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，进而求出这两个向量夹角的余弦值，即可得到答案．19.答案：解：由题设，可知直线l 的方程为y =kx +1，即kx −y +1=0．圆C ：(x −2)２+(y −3)２=1中，圆心坐标为(2,3)，半径r =1， 因为l 与C 交于两点，所以圆心到直线的距离d =√1+k 2<1=r ．解得4−√73<k <4+√73．所以k 的取值范围为(4−√73,4+√73) ．解析：本题考查直线与圆相交问题．设直线l 的方程为y =kx +1，利用直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径得到√1+k 2<1即可解出k 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC =CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ，以O 为坐标原点，OB ⇀，OC ⇀，AP ⇀的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Q −xyz ， 则，而AC =4，得AO =AC −OC =3.又故A(0,−3,0)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，D(−√3,0,0)因PA ⊥底面ABCD ，可设P(0,−3,z)，由F 为PC 边中点， F(0,−1,z2).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,z 2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,−z).因AF ⊥PB.故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即6−z22=0,z =2√3(舍去z =−2√3)，所以|PA ⇀|=2√3(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，√3). 设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1),由n ⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−√3x 1+3y 1=02y 1+√3z 1=0 因此可取n ⃗ =(3,√3,−2)．设平面FAB 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2). 由n 2⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x 2+3y 2=02y 2+√3z 2=0因此可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2).从而法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为故二面角B −AF −D 的余弦值为18解析：本题在三棱锥中求线段PA 的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．(I)连接BD 交AC 于点O ，等腰三角形BCD 中利用“三线合一”证出AC ⊥BD ，因此分别以OB 、OC 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A 、B 、C 、D 各点的坐标，设P(0,−3,z)，根据F 为PC 边的中点且AF ⊥PB ，算出z =2√3，从而得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)，可得PA 的长为2√3； (II)由(I)的计算，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，√3).利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出m ⃗⃗⃗ =(3,√3,−2)和n ⃗ =(3,−√3,2)分别为平面FAD 、平面FAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B −AF −D 的余弦值．21.答案：解：设l ：y =x −a ，代入到y 2=2px 得：x 2−2(a +p)x +a 2=0 ，，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√2|x 1−x 2|， ∵|AB|⩽2P ，∴2(x 1−x 2)2⩽4p 2，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2⩽2p 2， ∴4(a +p)2−4a 2⩽2p 2，4ap ⩽−p 2⇒a ⩽−p4， ∴−p2<a ⩽−p4．(2)由(1)得，Q (a +p,p )，则直线QN ：y =−x +a +2p ， 令y =0，则N(a +2p,0)， ∴|MN|=a +2p −a =2p ，．解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． (1)设l ：y =x −a ，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出|AB|， 建立关于a 的不等式即可求解．(2)根据(1)求出直线QN：y=−x+a+2p，则N(a+2p,0)，则|MN|=a+2p−a=2p，即可求得△MNQ的面积．22.答案：解：(1)设椭圆C的焦距为2c，∵椭圆的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5，∴{ca=14,a+c=5,解得{a=4,c=1,,∴b2=15．∴椭圆C的方程为x216+y215=1．(2)由题意得A(−4,0)，F(1,0)，设点P的坐标为(x0,y0)，则x0216+y0215=1．①当x0=1时，直线PF：x=1，∵PF与圆M相切，则r=1−(−78)=158，此时P(1,154)，则直线PA：y=1541−(−4)(x+4)，即3x−4y+12=0，∴点M到直线PA的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r，∴直线PA与圆M相切，∴当r=158时，圆M与直线PA，PF都相切；②当x0=−4时，点P与点A重合，不符合题意；③当x0≠1且x1≠−4时，直线PA：y=y0x0+4(x+4)，PF：y=y0x0−1(x−1)，化简得PA：y0x−(x0+4)y+4y0=0，PF：y0x−(x0−1)y−y0=0．∵圆M与直线PA，PF都相切，∴|−78y+4y|√y0+(x0+4)2=|−78y−y|√y0+(x0−1)2=r．∵y0≠0，则将y02=15(1−x0216)代入化简得x02−122x0+121=0，解得x0=1或x0=121，∵−4<x0<4且x0≠1，∴无解．综上，r=158.解析：本题考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力以及方程思想、分类讨论思想．(1)根据离心率与AF的长建立关于a，c的方程组求出a，c的值，从而求得b的值，进而得到椭圆方程；(2)由题意求出点A，F的坐标，设P(x0,y0)，代入椭圆方程，然后分x0=1，x0=−4，x0≠1且x0≠−4三种情况求出直线PA，PF的方程，根据与圆相切的条件利用点到直线的距离公式求解即可．。

重庆南开（融侨）中学高二（上）期中考试数学试题第I 卷（选择题,共60分）一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，）1.已知(2,0),M -(2,0),N ||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义直接得到结果. 【详解】3PM PN MN -=<且PM PN > ∴动点P 的轨迹为双曲线的右边一支故选：D【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误. 2.抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1） B. （1，0） C. 1(0,)16D. 1(,0)16【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，即18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题. 3.命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是（ ）A. (,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-<B. [1)x ∃∈+∞，使得210x x +-<C. (,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥D. [1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定原理可直接得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：[)1,x ∃∈+∞，使得210x x +-< 故选：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4.圆锥曲线22189x y m +=+的离心率12e =，则m 的值为（ ）A. 54-B. 4C. 54-或4 D. -2或4【答案】C 【解析】 【分析】分别在89m +>、089m <+<和80m +<三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果.【详解】若89m +>，则12e ==，解得：4m =若089m <+<，则12e ==，解得：54m =-若80m +<，则12e ==，解得：152m =-（舍）综上所述：54m =-或4 故选：C【点睛】本题考查根据离心率求解参数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在x 轴或y 轴的椭圆、或曲线为双曲线.5.已知P 为以F 为左焦点的椭圆22143x y +=上一点，M 为线段PF 中点，若1||2OM =（其中O 为坐标原点），则||PF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 1或3【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质可求得1PF '=，利用椭圆定义可求得结果. 【详解】设椭圆右焦点为F ',M O 分别为,PF FF '中点 1122OM PF '∴== 1PF '∴= 由椭圆定义可知：4PF PF '+= 413PF ∴=-= 故选：C【点睛】本题考查椭圆焦半径的求解问题，关键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解. 6.直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点，则m 的范围是（ ）A.B.C. ⎫⎪⎪⎝⎭D. 2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，由此可解不等式求得结果.【详解】设直线y x m =-+与221x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y ，则1>0x ，20x >联立221y x m x y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222210x mx m -+-=()221221248100102m m x x m m x x ⎧∆=-->⎪⎪∴+=>⎨⎪-⎪=>⎩，解得：1m << m ∴的取值范围为( 故选：A【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式.7.抛物线2x =的焦点为F ，其准线与双曲线2221y x b-=(0)b >相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（ ） A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得b ，得到双曲线方程，进而求得结果.【详解】由抛物线方程知：(F，准线为y =由2221y y x b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：12x b x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ABF ∆为等边三角形=1b =∴双曲线方程为221x y -= ∴渐近线方程为y x =±故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程.8.已知双曲线22:145x y C 的左右焦点分别为1F 、2F 动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一动点，则2||AB AF +的最小值为（ ）A. 131-B.131+C. 133-D.133+【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为14AB AF ++；由三角形两边之差小于第三边可知当,,A B E 三点共线时AB AE r ≥-；进一步根据两边之和大于第三边可得当1,,F A E 三点共线时11AE AF EF +≥，由此可知213AB AF EF +≥+；利用两点间距离公式求得1EF ，进而得到结果. 【详解】由题意得：()13,0F -，()23,0F ，圆心()0,2E -，半径1r =由双曲线定义知：214AF AF -= 214AB AFAB AF ∴+=++ AB AE r ≥-（当且仅当,,A B E 三点共线且B 在线段AE 上时取等号） 213AB AF AE AF ∴+≥++又11AE AF EF +≥（当且仅当1,,FA E 三点共线且A 在线段1EF 上时取等号） ()()2221330023133AB AF EF ∴+≥+=--++=故选：D【点睛】本题考查双曲线中的距离之和的最值的求解问题，关键是能够利用双曲线定义将问题转化为到另一个焦点距离最值的问题，进而利用三角形三边关系确定最值取得的点，考查了学生对于距离进行转化的能力.9.有下列几个命题：①“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”；②p 是q 的必要条件，r 是q 的充分不必要条件，则p 是r 的必要不充分条件；③若“()p q ⌝∧”为真命题，则命题p ，q 中至多有一个为真命题；④过点(1,2)的直线和圆221x y +=相切的充要条件是直线斜率为34.其中为真命题的有（ ） A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】由否命题的定义可知①正确；由推出关系可知②正确；由非命题和且命题的真假性可确定,p q 真假性，得到③正确；由斜率不存在直线也为切线可知充要条件不成立，④错误. 【详解】①由否命题定义可知①正确； ②q p ⇒，r q ⇒，q r r q p ∴⇒⇒，p rp ∴是r 的必要不充分条件，②正确；③()p q ⌝∧为真 p q ∴∧为假 ,p q ∴至少有一个假命题即,p q 至多有一个真命题，③正确；④当过点()1,2直线斜率不存在时，即直线方程为1x =，此时直线与圆221x y +=相切∴④中所说充要条件不成立，④错误.故选：B【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的相关命题的判定，涉及到四种命题的形式、充分条件与必要条件的判断、非命题与且命题真假性的判断等知识，属于综合应用类问题.10.设直线(1)y k x =-与抛物线24y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，若||2||FM FN =，则k的值为（ ） A. ± B. ±C. 2±D. 2±【答案】A 【解析】 【分析】由直线恒过抛物线焦点可知,,M F N 共线，由2FM FN =，结合焦半径公式得到12,x x 之间关系；直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得k . 【详解】由抛物线方程得：()1,0F()1y k x =-恒过定点()1,0 ()1y k x ∴=-恒过焦点()1,0F ，即,,M F N 共线设()11,M x y ，()22,N x y2FM FN = ()12121x x ∴+=+ 1221x x ∴=+联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得：()2222240k x k x k -++=()1222211x x x x ∴⋅=+⋅=，解得：212x =或21x =-（舍） 12x ∴= 21222415222k x x k +∴+==+= 28k ∴=，解得：k =±故选：A【点睛】本题考查抛物线焦点分弦成比例相关问题的求解，关键是能够通过比例关系得到两交点横坐标之间的关系，进而结合韦达定理求得交点坐标.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11.310y +-=的倾斜角为________. 【答案】56π 【解析】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.310y +-=得：133y x =-+ 3k ∴=-∴倾斜角56πθ= 故答案为：56π【点睛】本题考查直线倾斜角的求解问题，关键是能够通过直线方程整理得到直线斜率.12.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4-+-=x y 相交于M ，N 两点，若||MN ≥则实数k 的取值范围是________. 【答案】[1,1]- 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()2,3，半径2r∴圆心到直线3y kx =+的距离d =MN ===≥ 11k ∴-≤≤即实数k 的取值范围为[]1,1- 故答案为：[]1,1-【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的问题，关键是能够熟练应用垂径定理，将直线被圆截得的弦长表示为13.过点()2,2的双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点为1,F 2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的方程为________.【答案】22124x y -=【解析】 【分析】根据垂直关系可得10AD F B ⋅=，根据数量积的坐标运算可构造关于,a c 的齐次方程求得离心率e ，即可得到,a c 关系；利用双曲线过点()2,2，222c a b =+可构造方程组求得结果.【详解】令x c =，代入双曲线方程得：2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭//OD AB ，O 为12F F 中点 OD ∴为12F BF ∆中位线 22122b OD BF a∴==20,2b D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 23,2b AD c a ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，212,b F B c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1AD F B ⊥ 10AD F B ∴⋅=，即()222422223322022c a b c c a a--+=-+=422431030c a c a ∴-+= 4231030e e ∴-+=，解得：23e =或213e =（舍）3e ∴=3c a =又22222441a b c a b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩ 22a ∴=，24b = ∴双曲线C 的方程为：22124x y -=故答案：22124x y -= 【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，关键是能够根据已知中的垂直关系得到两向量的数量积为零，进而通过坐标运算构造方程求得离心率，即,a c 之间的关系.14.已知抛物线()2:20y px p τ=>，过点()1,0的直线l 和抛物线τ交于,A B 两点，且有4OA OB AB k k k p =，C 为抛物线上异于,A B 的一点，若ABC ∆的重心恰为抛物线焦点，则p 的值为________.【答案】4 【解析】 【分析】将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，将韦达定理结论代入4OA OB AB k k k p =，可整理求得AB k ，由此可得到AB 中点坐标；根据重心的性质可知23CF CM =，由此构造方程求得结果.【详解】设():1AB AB y k x =-，与抛物线方程联立得：()2222220AB AB AB k x k p x k -++=设()11,A x y ，()22,B x y ，则212222AB ABk px x k ++=，121=x x ()()()22221212121211AB AB AB ABy y k x x k x x k x x k ∴=--=-++ ()22121222224OA OB AB AB AB AB AB AB y y k k k k k k k p pk p x x ∴=⋅=--=-= 2AB k ∴=- ():21AB y x ∴=-，1242p x x ++=AB ∴中点4,42p p M +⎛⎫⎪⎝⎭ 设2,2y C y p ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ABC ∆的重心恰为抛物线焦点 23CF CM ∴=即2224,,223422p y p y p y y p p ⎛⎫⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2242263233p y p y p pp y y⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：44p y =⎧⎨=-⎩ p ∴的值为4故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到韦达定理的应用、三角形重心的性质应用等知识；关键是能够将直线与抛物线联立，得到韦达定理的形式，通过韦达定理的结论求得所给直线的斜率.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）15.已知22:126x y p m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；22:135x y q m m-=--表示双曲线.（1）试写出p 的一个必要不充分条件；（2）若p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2,5（答案不唯一）；（2）(][)2,34,5.【解析】 【分析】（1）根据焦点在y 轴椭圆标准方程的特征可得不等式求得m 范围；由必要不充分条件的推出关系可知所求条件为以()2,4为真子集的区间，由此得到结果；（2）根据椭圆与双曲线的标准方程特征求得,p q 分别为真命题时m 对应的范围；由复合命题真假性知,p q 一真一假，由此讨论两种情况得到结果.【详解】（1）若p 为真，则有620m m ->->，解得：24m <<故p 成立的一个必要不充分条件为以()2,4为真子集的区间∴一个必要不充分条件为()2,5（2）若q 为真，则有()()350m m -->，解得：35m <<由p q ∧为假，且p q ∨为真可知,p q 一真一假若p 真q 假，则有2435m m m <<⎧⎨≤≥⎩或，解得：23m <≤ 若p 假q 真，则有2435m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或，解得：45m ≤< 综上所述，(][)2,34,5m ∈【点睛】本题考查必要不充分条件的求解、根据复合命题真假性求解参数范围的问题；涉及到曲线表示椭圆和双曲线的基本特征；关键是能够通过复合命题的真假性确定两个命题的真假性.16.设直线l 的方程为(1)20x a y a +--=()a R ∈.（1）若直线l 与直线:280l ax y '+-=平行，求实数a 的值；（2）设直线l 与圆22:670C x y x +--=相交于A 、B 两点，当弦长||AB 取得最小值时，求直线l 的方程.【答案】（1）1-；（2）112y x =+. 【解析】【分析】 （1）由两直线平行可构造方程求得a ，验证排除重合的情况即可得到结果；（2）由垂径定理可知若AB 最小，则圆心C 到直线l 的距离d 最大；根据直线过定点()2,2P 可得CP l⊥时距离d 最大，由此可得直线l 的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1）//l l ' ()121a a ∴⨯=-，解得：1a =-或2a =当1a =-时，:220l x y -+=，:280l x y '-+=满足题意，当2a =时，:40l x y +-=，:40l x y '+-=，此时两直线重合，不满足题意.综上所述：1a =-（2）圆C 的方程可化为：()22316x y -+= ∴圆心()3,0C ，半径4r =AB ==∴要使弦长AB 最小，则圆心C 到直线l 的距离d 最大由题可知：直线()():20l x y a y -+-=过定点()2,2P当且仅当CP l ⊥时距离d 最大，此时l 的斜率为112CP k -= 故直线l 的方程为：()1222y x -=-，即112y x =+ 【点睛】本题考查直线与圆部分知识的综合应用问题，涉及到根据两条直线平行求解直线方程、直线被圆截得弦长的相关问题的求解；关键是能够明确直线被圆截得弦长等于圆心到直线距离d 的关系.17.已知双曲线222221x y C a b-=的离心率为，点是双曲线的一个顶点. （1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒直线l ，直线l 与双曲线交于不同的A ，B 两点求AB 的长.【答案】（1）22136x y -=；（2. 【解析】【分析】（1）由离心率和顶点可得到关于,a c 的方程，再结合222b c a =-即可求得标准方程；（2）将直线方程代入双曲线方程得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得结果即可.【详解】（1）双曲线2222:1x y C a b -=)是双曲线的一个顶点c a a ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩3c = 2226b c a ∴=-= ∴双曲线的方程为22136x y -= （2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ∴直线l的方程为)33y x =-联立()2213633x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：256270x x +-=设()11,,A x y ()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-AB ∴== 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、直线被双曲线截得弦长的求解问题；考查了双曲线的几何性质、弦长公式的相关知识，属于基础应用问题.18.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，其左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于点D ，21DF =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若112AF F B =，求AOB 的面积. 【答案】（1）22142x y +=；（2）8. 【解析】【分析】（1）由离心率、半通径长和椭圆222a b c =+可构造方程组求得22,a b ，从而得到所求方程；（2）当l 与x 轴重合时显然不合题意；当l 与x 轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于12,,y y t 的方程组，求得t ；由11212AOB S OF y y ∆=-，结合韦达定理可求得结果. 【详解】（1）由题意得：2222221c e a b DF a a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2242a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的方程为22142x y += （2）由（1）知：()1F当l 和x 轴重合时，()2,0A -，()2,0B ，则,,A O B 共线，不满足题意当l 和x轴不重合时，设：:l x ty =-联立22:142x y C +=消去x 整理得：()22220t y +--= 设()11,,A x y ()22,B x y，则1222y y t +=+…①，12222y y t -=+…② 由112AF F B =可得：122y y =-…③ 由①②③消去1,y 2y 可解得：227t =11212AOB S OF y y ∆∴=-=8== 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆内三角形面积的求解问题，涉及到焦点分弦成比例的问题；关键是能够通过韦达定理形式与向量坐标运算构造出方程组，求得变量t ，从而将所求三角形面积利用韦达定理的形式表示出来，代入t 的值即可求得结果.19.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =.（1）求l 方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立得到12x x +，根据椭圆焦点弦长公式构造等量关系，代入12x x +可得关于直线斜率k 的方程，解方程求得k ，从而得到所求直线方程；（2）由圆心在直线AB 的垂直平分线上、圆心到抛物线准线的距离等于半径可构造方程组求得圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程.【详解】（1）由题意得：()1,0F ，l 的方程为()()10y k x k =->由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++=，则216160k ∆=+> 设()11,,A x y ()22,B x y 212224k x x k +∴+= ()()1211AB AF BF x x ∴=+=+++22448k k +==，解得：1k =-（舍去）或1k = l ∴的方程为1y x =-（2）由（1）得：AB 的中点坐标为()3,2AB ∴的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为()00,x y则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得：0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩ ∴所求圆的半径4r =或12∴所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查根据椭圆焦点弦长求解参数值、圆的标准方程的求解问题；已知两点及圆的切线求解圆的方程时，通常采用待定系数法，利用圆心在两点连线的垂直平分线上、圆心到切线的距离等于半径来构造方程组求得结果.20.如图所示，椭圆2222 :1x yEa b+=(0)a b>>的右焦点为F ，双曲线22221x ya b-=的渐近线分别为1l和2l，过点F作直线2l l⊥于点C，直线l与1l交于点P、与椭圆E从上到下依次交于点A，B.已知直线1l的倾斜角为30︒，双曲线的焦距为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设1,PA AFλ=2PB BFλ=，证明：12λλ+为定值.【答案】（1）221124x y+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由渐近线倾斜角与斜率关系及焦距可构造方程求得22,a b，进而得到椭圆方程；（2）将直线l方程与渐近线方程联立可求得6Py=12,λλ，则可得到)12121262y yy yλλ++=-+；将直线l方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入12λλ+中，整理可得定值.【详解】（1）由题意得：223tan 30316b a a b ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：22124a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆E的方程为221124x y += （2）由（1）知：()F ，则直线l的方程为y x =- 与3y x =联立解得：P y =设()11,,A x y ()22,B x y则由题知：11111P P y y y y y λ-==--，同理221R y y λ=- )1212122y y y yλλ+∴+=-+ 由22312x y x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩210403y y -= 则123103y y +=-=12461053y y =-=- 122065λλ⎛ ⎝⎭∴+=-+=-，为定值 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线的简单几何性质、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够利用变量表示出所求式子，进而通过消元、化简等方式消去变量得到定值.。