重庆南开中学2022级高二上期中数学-试卷

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

重庆南开〔融侨〕中学高2021级高二〔上〕期中考试数学试题第I 卷〔选择题,共60分〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项符合要求 1(2,0),M -(2,0),N ||||3PM PN -=，那么动点3PM PN MN -=<PM PN >∴P D 1(0,)161(,0)1624y x =214x y =18p =y 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥(,1)x ∃∈-∞210x x +-<[1)x ∃∈+∞210x x +-<(,1)x ∀∈-∞210x x +-≥[1)x ∀∈+∞210x x +-<[)1,x ∃∈+∞210x x +-<B 22189x y m +=+12e =的值为〔 〕 A 54-B 4C 54-或4 D -2或4【答案】C 【解析】 【分析】分别在89m +>、089m <+<和80m +<三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果【详解】假设89m +>，那么12e ==，解得：4m =假设089m <+<，那么12e ==，解得：54m =-假设80m +<，那么12e ==，解得：152m =-〔舍〕综上所述：54m =-或4 应选：C【点睛】此题考查根据离心率求解参数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在x 轴或y 轴的椭圆、或曲线为双曲线为左焦点的椭圆22143x y +=上一点，M为线段1||2OM =||PF =1PF '=F ',M O ,PF FF '1122OM PF '∴==1PF '∴=4PF PF '+=413PF ∴=-=C y x m =-+221x y +=的范围是〔 〕ABC 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，由此可解不等式求得结果【详解】设直线y x m =-+与221x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y ，那么1>0x ，20x >联立221y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222210x mx m -+-=()221221248100102m m x x m m x x ⎧∆=-->⎪⎪∴+=>⎨⎪-⎪=>⎩，解得：1m <<m ∴的取值范围为( 应选：A【点睛】此题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式2x =，其准线与双曲线2221y x b-=(0)b >相交于A ，B 两点，假设ABF △为等边三角形，那么该双曲线渐近线方程为〔 〕 A y x =±B y =C y =D 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得b ，得到双曲线方程，进而求得结果【详解】由抛物线方程知：(F，准线为y =由2221y y x b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ABF ∆为等边三角形3b =1b =∴双曲线方程为221x y -= ∴渐近线方程为y x =±应选：A【点睛】此题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程 8双曲线22:145x y C 的左右焦点分别为1F 、2F 动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一动点，那么2||AB AF +的最小值为〔 〕1133+【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为14AB AF ++；由三角形两边之差小于第三边可知当,,A B E 三点共线时AB AE r ≥-；进一步根据两边之和大于第三边可得当1,,F A E 三点共线时11AE AF EF +≥，由此可知213AB AF EF +≥+；利用两点间距离公式求得1EF ，进而得到结果【详解】由题意得：()13,0F -，()23,0F ，圆心()0,2E -，半径1r =由双曲线定义知：214AF AF -= 214AB AF AB AF ∴+=++AB AE r ≥-〔当且仅当,,A B E 三点共线且B 在线段AE 上时取等号〕 213AB AF AE AF ∴+≥++又11AE AF EF +≥〔当且仅当1,,F A E 三点共线且A 在线段1EF 上时取等号〕()()2221330023133AB AF EF ∴+≥+=--++=应选：D【点睛】此题考查双曲线中的距离之和的最值的求解问题，关键是能够利用双曲线定义将问题转化为到另一个焦点距离最值的问题，进而利用三角形三边关系确定最值取得的点，考查了学生对于距离进行转化的能力 9有以下几个命题：①“假设p ⌝q ⌝()p q ⌝∧(1,2)221x y +=34,p qq p ⇒r q ⇒qr r q p ∴⇒⇒pr p ∴r()p q ⌝∧p q ∴∧,p q ∴,p q ()1,21x =221x y +=∴B (1)y k x =-24y x =||2||FM FN =22±3±322±33,,M F N 2FM FN =12,x x k ()1,0F ()1y k x =-()1,0()1y k x ∴=-()1,0F ,,M F N()11,M x y ()22,N x y 2FM FN =()12121x x ∴+=+1221x x ∴=+()214y k x y x⎧=-⎨=⎩y ()2222240k x k x k -++=()1222211x x x x ∴⋅=+⋅=212x =21x =-12x ∴=21222415222k x x k +∴+==+=28k ∴=22k =±A 2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>121213PF PF F F -=(1,3)(1,3)(3,)+∞(3,)+∞2PF Q 122PF PF a -<eP b y x a=121213PF PF F F -=2PF Q 2211PQ PF QF PF QF =->-12122PF PF QF QF a∴-<-=223c a <3c e a ∴=<1e >()1,3e ∴∈B 2a 1222:1164x y C +=22-(22,2)P APB ∠||||PN MN 23252555MAB AB ,A B ,PA PB k k ,PA PB k k PN N ,MN PN2,2M M x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(),A A A x y (),B B B x y A B y y <222211641164AAB B x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩11144222B A A B M ABB A A B y y x x k x x y y -+==-⋅=-=-+-2M x =22,M ⎭AB (21222y x +=22x y =+2210y +-=26A y --=26B y -+=2626,A --∴⎭2626,B -+⎭3PA k ∴=3PB k =∴PN 2x =()22,0N 10MN ∴=2PN =225510PN MN ==C 3310x y +-=56π3310x y +-=313y x =+3k ∴=∴56πθ=56π3y kx =+22(2)(3)4-+-=x y ||22MN ≥[1,1]-()2,32r ∴3y kx =+221k d k =+222224422422211k MN r d k k =-=-=≥++11k ≤≤k []1,1-[]1,1-222r d -()2,2()2222:1,0x y C a b a b -=>1,F 2F 2F x C ,A B 1F B y D 1AD F B ⊥C 22124x y -=10AD F B ⋅=,a c e,a c ()2,2222c a b =+x c =2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭//OD AB O 12F F OD∴12F BF ∆22122b OD BF a ∴==20,2b D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭23,2b AD c a ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭212,b F B c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1AD F B⊥10AD F B ∴⋅=()222422223322022c ab c c a a --+=-+=422431030c a c a ∴-+=4231030e e ∴-+=23e =213e =3e ∴=3c a =22222441a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩22a ∴=24b =∴C22124x y -=22124x y -=,a c ()2:20y px p τ=>()1,0l τ,A B 4OA OB AB k k k p =C ,A B ABC ∆p 4OA OB AB k k k p =AB k AB 23CF CM=():1AB AB y k x =-()2222220ABABABk x kp x k-++=()11,A x y ()22,B x y 212222AB ABk px x k ++=121=x x ()()()22221212121211AB AB AB ABy y k x x k x x k x x k ∴=--=-++()22121222224OA OB AB AB AB AB AB AB y y k k k k k k k p pk p x x ∴=⋅=--=-=2AB k ∴=-():21AB y x ∴=-1242p x x ++=AB ∴4,42p p M +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,2yC y p ⎛⎫⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC ∆23CF CM∴=2224,,223422p y p y p y y p p ⎛⎫⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2242263233p y p y p p p y y⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩44p y =⎧⎨=-⎩p ∴4422:126x y p m m +=--22:135x y q m m-=--p q ∧p q ∨的取值范围 【答案】〔1〕()2,5〔答案不唯一〕；〔2〕(][)2,34,5 【解析】 【分析】〔1〕根据焦点在y 轴椭圆标准方程的特征可得不等式求得m 范围；由必要不充分条件的推出关系可知所求条件为以()2,4为真子集的区间，由此得到结果；〔2〕根据椭圆与双曲线的标准方程特征求得,p q 分别为真命题时m 对应的范围；由复合命题真假性知,p q 一真一假，由此讨论两种情况得到结果 【详解】〔1〕假设p 为真，那么有620m m ->->，解得：24m << 故p 成立的一个必要不充分条件为以()2,4为真子集的区间∴一个必要不充分条件为()2,5〔2〕假设q 为真，那么有()()350m m -->，解得：35m << 由p q ∧为假，且p q ∨为真可知,p q 一真一假 假设p 真q 假，那么有2435m m m <<⎧⎨≤≥⎩或，解得：23m <≤假设p 假q 真，那么有2435m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或，解得：45m ≤<综上所述，(][)2,34,5m ∈【点睛】此题考查必要不充分条件的求解、根据复合命题真假性求解参数范围的问题；涉及到曲线表示椭圆和双曲线的根本特征；关键是能够通过复合命题的真假性确定两个命题的真假性 的方程为(1)20x a y a +--=()a R ∈〔1〕假设直线与直线:280l ax y '+-=平行，求实数a 的值；〔2〕设直线与圆22:670C x y x +--=相交于A 、B 两点，当弦长||AB 取得最小值时，求直线的方程【答案】〔1〕1-；〔2〕112y x =+ 【解析】 【分析】〔1〕由两直线平行可构造方程求得a ，验证排除重合的情况即可得到结果； 〔2〕由垂径定理可知假设AB 最小，那么圆心C 到直线l 的距离d 最大；根据直线过定点()2,2P 可得CP l ⊥时距离d 最大，由此可得直线l 的斜率，从而得到直线【详解】〔1〕//l l ' ()121a a ∴⨯=-，解得：1a =-或2a = 当1a =-时，:220l x y -+=，:280l x y '-+=满足题意，当2a =时，:40l x y +-=，:40l x y '+-=，此时两直线重合，不满足题意 综上所述：1a =-〔2〕圆C 的方程可化为：()22316x y -+= ∴圆心()3,0C ，半径4r =AB ==∴要使弦长AB最小，那么圆心C 到直线l 的距离d 最大由题可知：直线()():20l x y a y -+-=过定点()2,2P 当且仅当CP l ⊥时距离d 最大，此时l 的斜率为112CP k -= 故直线l 的方程为：()1222y x -=-，即112y x =+【点睛】此题考查直线与圆局部知识的综合应用问题，涉及到根据两条直线平行求解直线方程、直线被圆截得弦长的相关问题的求解；关键是能够明确直线被圆截得弦长等于d 的关系 19双曲线222221x y C a b-=的离心率为，点是双曲线的一个顶点〔1〕求双曲线的方程；〔2〕经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒直线，直线与双曲线交于不同的A ，B 两点求AB 的长【答案】〔1〕22136x y -=；〔2 【解析】 【分析】〔1〕由离心率和顶点可得到关于,a c 的方程，再结合222b c a =-即可求得标准方〔2〕将直线方程代入双曲线方程得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得结果即可【详解】〔1〕双曲线2222:1x y C a b-=)是双曲线的一个顶点ca a ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩3c = 2226b c a ∴=-= ∴双曲线的方程为22136x y -=〔2〕双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ∴直线的方程为)3y x =-联立)221363x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：256270x x +-=设()11,,A x y ()22,B x y ，那么1265x x +=-，12275x x =-AB ∴=5=【点睛】此题考查双曲线标准方程的求解、直线被双曲线截得弦长的求解问题；考查了双曲线的几何性质、弦长公式的相关知识，属于根底应用问题 2021椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于轴的直线交椭圆C 于点D ，21DF = 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，假设112AF F B =，求AOB 的面积【答案】〔1〕22142x y +=；〔2【解析】【分析】〔1〕由离心率、半通径长和椭圆222a b c =+可构造方程组求得22,a b ，从而得到所求方程；〔2〕当l 与x 轴重合时显然不合题意；当l 与x 轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于12,,y y t 的方程组，求得t ；由11212AOB S OF y y ∆=-，结合韦达定理可求得结果 【详解】〔1〕由题意得：222221c e a b DF a a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2242a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=〔2〕由〔1〕知：()1F当l 和x 轴重合时，()2,0A -，()2,0B ，那么,,A O B 共线，不满足题意 当l 和x轴不重合时，设：:l x ty =联立22:142x y C +=消去x 整理得：()22220t y +--=设()11,,A x y ()22,B x y，那么1222y y t +=+…①，12222y y t -=+…② 由112AF F B =可得：122y y =-…③ 由①②③消去1,y 2y 可解得：227t =11212AOBS OF y y ∆∴=-=8== 【点睛】此题考查椭圆方程的求解、椭圆内三角形面积的求解问题，涉及到焦点分弦成比例的问题；关键是能够通过韦达定理形式与向量坐标运算构造出方程组，求得变量t ，从而将所求三角形面积利用韦达定理的形式表示出来，代入t 的值即可求得结果2:4C y x =，过F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于A ，B 两点，||8AB =〔1〕求方程；〔2〕求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程【答案】〔1〕1y x =-；〔2〕22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=【解析】【分析】〔1〕将直线方程与抛物线方程联立得到12x x +，根据椭圆焦点弦长公式构造等量关系，代入12x x +可得关于直线斜率k 的方程，解方程求得k ，从而得到所求直线方程；〔2〕由圆心在直线AB 的垂直平分线上、圆心到抛物线准线的距离等于半径可构造方程组求得圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程【详解】〔1〕由题意得：()1,0F ，l 的方程为()()10y k x k =->由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++=，那么216160k ∆=+> 设()11,,A x y ()22,B x y 212224k x x k+∴+= ()()1211AB AF BF x x ∴=+=+++22448k k +==，解得：1k =-〔舍去〕或1k = l ∴的方程为1y x =-〔2〕由〔1〕得：AB 的中点坐标为()3,2AB ∴的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为()00,x y那么()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得：0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的半径4r =或12∴所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++= 【点睛】此题考查根据椭圆焦点弦长求解参数值、圆的标准方程的求解问题；两点及圆的切线求解圆的方程时，通常采用待定系数法，利用圆心在两点连线的垂直平分线上、圆心到切线的距离等于半径来构造方程组求得结果 22如下图，椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的右焦点为F ，双曲线22221x y a b-=的渐近线分别为1l 和2l ，过点F 作直线2l l ⊥于点C ，直线与1l 交于点P 、与椭圆E 从上到下依次交于点A ，B 直线1l 的倾斜角为30︒，双曲线的焦距为8〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕设1,PA AF λ=2PB BF λ=，证明：12λλ+为定值【答案】〔1〕221124x y +=；〔2〕证明见解析 【解析】【分析】〔1〕由渐近线倾斜角与斜率关系及焦距可构造方程求得22,a b ，进而得到椭圆方程；〔2〕将直线l方程与渐近线方程联立可求得P y =12,λλ，那么可得到)1212122y y y y λλ++=-+；将直线l 方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入12λλ+中，整理可得定值【详解】〔1〕由题意得：223tan 30316b a a b ⎧==⎪⎨⎪+=⎩22124a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆E 的方程为221124x y += 〔2〕由〔1〕知：()F ，那么直线l的方程为y x =- 与3y x =联立解得：P y =设()11,,A x y ()22,B x y那么由题知：11111P P y y y y y λ-==--，同理221R y y λ=- )1212122yy y y λλ+∴+=-+ 由22312x y x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩210403y y-= 那么123103y y +=-=12461053y y =-=- 122065λλ⎛ ⎝⎭∴+=-+=-，为定值 【点睛】此题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线的简单几何性质、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够利用变量表示出所求式子，进而通过消元、化简等方式消去变量得到定值。

重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知()1,P m 为抛物线28y x =上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知数列{}n a 满足：12a =，()*12,N n n a a n n n -=+≥∈，则4a =（）A ．10B ．11C ．12D ．133．若椭圆()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（）A ．2B ．C ．4D ．4．已知圆()22:28C x y ++=，直线:20l x my --=与圆C 交于A ，B 两点，若ABC 为直角三角形，则2m 的值为（）A ．1B ．3C ．4D ．95．已知P 为双曲线221612x y -=上一动点，过原点的直线l 交双曲线于A ，B 两点，其中(A，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．6-B ．9-C ．12-D ．15-6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 为平面11A BCD 上一动点，若P 到1CD 的距离与到1AB 的距离相等，则P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．已知双曲线2213y x -=的左顶点和右焦点分别为A ，F ，O 为坐标原点，经过点A 的直线l 与双曲线的两条渐近线交于点M ，N ，设M ，N 的中点为P ，满足OP PF =，则直线l 的斜率为（）A ．B ．C ．D ．8．已知F 为椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，A ，B 为圆222x y b +=上两个关于原点对称的点，若π3∠≤AFB 恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、多选题9．已知数列{}n a 满足：310n a n =-+，则以下说法正确的是（）A ．数列{}n a 为单调递减数列B ．340a a >C ．529a a -=D ．16a a <10．如图，1F ，2F 为双曲线()222:10y C x b b-=>的左右焦点，1l ，2l 为该双曲线的两条渐近线，1F 到一条渐近线的距离为2，过2F 的直线与双曲线左右两支分别交于点M ，N ，12π2F MF ∠=.则下列说法正确的是（）A ．2b =B ．12F M =C ．1F MN △的内切圆半径是32D ．13tan 4MNF ∠=11．如图所示，椭圆G22+22=1>>0，双曲线()221112211:10,0x y E a b a b -=>>，双曲线()222222222:10,0x y E a b a b -=>>.三条曲线有相同的焦点1F ，2F 且12a a <，P ，Q 分别为椭圆E与双曲线1E ，2E 的交点.12π2F PF ∠=，三条曲线的离心率分别为e ，1e ，2e ，则（）A ．12e e <B ．曲线E 和2E 在点Q 处的切线互相垂直C ．221112e e+=D ．若12π3FQF ∠=，则121213PF Q PF Q F PF S S S -=-△△△三、填空题12．已知直线l 过点()1,3，并且与双曲线224x y -=有且只有一个公共点，写出满足条件的l 的一个方程.13．已知椭圆22:143x y C +=，2A 是椭圆C 的右顶点，过椭圆的左焦点1F 垂直于长轴的直线交椭圆于M ，N 两点，则2A MN △的面积为.14．已知抛物线28y x =，准线为l ，过()2,0的直线交抛物线于A ，B 两点，AP 垂直l 于点P ，点C 满足CA AB =，则AC AP +的最小值为.四、解答题15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若918S =，1376a a a a ⋅=⋅，公差0d >.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若215n n S a =+，求n 的值.16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，122π3F AF ∠=，点(B 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点()4,0，与C 交于D ，E两点，若DE =l 的方程.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，其中∠ABC＝45°，AB===E为棱PC上一动点.(1)若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC；(2)若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 18．已知()10F,，动点P到点F的距离比到直线:2l x=-的距离小1.记动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设()2,0T，过点P作E的切线1l，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q.（i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值；（ii）设1PKMS S=△，2QKMS S=△，求1211S S+的最大值.19．已知双曲线()2222:10,0x y a ba bΓ-=>>，过右焦点()2,0F c的直线1l与双曲线Γ交于A，B 两点.当直线1lAB的中点为(.(1)求双曲线Γ的方程；(2)直线2l上有两点P，Q满足：()OP OA n OBλλ=+-，()OQ n OA OBλλ=-+，其中λ，n∈R.已知，点P在双曲线Γ上.（i）证明：点Q也在双曲线Γ上；（ii）若*n∈N，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.。

重庆市南开中学高二上学期半期考试试题(数学文)(一卷)一、选择题(每小题5分，共50分)1．曲线22139x y -=的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．22．过曲线用2y x =与2x y =交点的直线方程为( )A ．0x y +=B ．0x y -=C ．0x y +=或10x y -+=D ．0x y -=或 10x y ++=3．椭圆22189x y k +=+的焦距为4，则k 的值是( ) A ．5或-3 B ．-5或3 C ．5 D ．-34．过点(2，1)的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦最长的直线方程为( )A ．30x y +-=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．10x y --=5．已知动点P 在曲线26y x =上，若以P 为圆心的圆与直线32x =-相切，则该圆恒过定点( )A ．(3,04)B ．(3,02) C ．0) D ．(3，0) 6．已知圆22P :40x y x +-=，若直线4x y +=交圆P 于M N 、两点，则|MN |为( )A ．2B ．C ．D ．47．过点(1，3)且与双曲线2214y x -=只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．已知椭圆222212x y a b+=与双曲线222212x y a b -=有公共焦点，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．69. 已知动点P(,)x y 在椭圆2244x y +=上，则1x y ++的最大值为( )A. 1B. 4C.D. 110. 已知双曲线22221x y a b-=的左顶点A ，右焦点F ，M 在双曲线上，FM x ⊥轴，以F 为圆心，FM 为半径作圆P ，过A 作圆P 的两条切线，两切线段的夹角3π，则该双曲线的离心率为( )D.32(二卷)二、填空题(每小题5分，共25分)11. 抛物线2y x =的准线方程为 。

高二数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．命题“R x ∈∀，0cos >x ”的否定是( )A ．R x ∈∃,x cos ≤0B ．R x ∈∀,x cos ≤0C ．R x ∈∃,x cos >0D ．R x ∈∀,x cos <02．直线5=+y x 和圆O ：0422=-+y y x 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交不过圆心D ．相交过圆心3．已知双曲线1422=3-y x ，则此双曲线的右焦点坐标为( )A ．(1，0)B ．(5，0)C ．(7，0)D ．(7，0)4．已知椭圆的方程为63222=+y x ，则此椭圆的离心率为( )A ．31 B ．33 C ．22 D ．21 5．从点P(3，3)向在圆C ：12222=+++）（）（y x 引切线，则切线长为( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．76．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线l ：012=++y x 垂直，则此双曲线的离心率是( )A ．25B ．3C ．2D ．57．若函数f (x )在R 上可导，且m x f x x f +/'+=）（22)(2，则( )A ．)5()0(f f <B ．)5()0(f f =C ．)5()0(f f >D ．不能确定大小8．已知椭圆14222=+by x (0<b <2)与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．89．过点C(4，0)的直线与双曲线112422=y x -的右支交于A 、B 两点．则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |>3C ．|k |≤3D ．|k |<110．在直角坐标系中，F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x （a >b >0）左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若cos ∠F 1BF 2=257，则直线CD 的斜率为( ) A ．53B ．54 C ．259 D ．2512 二、填空题(每小题5分，共25分)11．抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是 ； 12．设曲线31231)(3--=x x x f 在点(1，-2)处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a = ；13．已知双曲线方程为1222=-y x ，过定点P(2，1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2两点，并使得点P 为线段P 1P 2的中点，则此直线l 的方程为 ；14．从圆122=+y x 上任意一点P 向y 轴作垂线段PP`，交y 轴于P`，则线段PP`的中点M 的轨迹方程是 ；15．如果实数x ，y 满足等式1)2(22=+-y x ，那么13-+x y 的取值范围是 ；三、解答题(共75分)16．已知集合A 是不等式02082<--x x 的解集，集合B 是不等式：)1)(1(a x a x +---≥0 (a >0)的解集。

2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C .a b ⊥D.cos ,15a b =2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++= B.2380x y +-= C.3270x y --= D.3210x y --=3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,54.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.166.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A .3- B.3C.1- D.49.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.410.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.611.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.2C.14D.4第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD ，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C.ab⊥D.15cos ,15a b =【答案】A 【解析】【分析】对于A 选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B 选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C 选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D 选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】A.a在b 上的投影5||a b b ⋅=-，与b 同向的单位向量为,0,)55||b b =-，所以向量a 在向量b 上的投影向量是552512,0,)(,0,)55555--=-，故A 正确；B.()0,1,3a b -=，故B 错误；C.因为0a b ⋅≠r r ，所以a 与b 不垂直，故C 错误；D.cos 15|,|||a b a b a b <>⋅==-⋅，故D 错误.故选：A.2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++=B.2380x y +-=C.3270x y --=D.3210x y --=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.【详解】 直线l 与直线2310x y +-=垂直，且直线2310x y +-=的斜率为23-，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 经过点()1,2P -，所以直线l 的方程为()3212y x +=-，化简得3270x y --=.故选：C ．3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,5【答案】B 【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆224470x y x y +-++=，即()()22221x y -++=，圆心为()2,2-，半径1r =，由圆心到直线的距离3d ==，∴圆上动点到直线的最小距离为312-=，最大距离为314+=，即d 的取值范围是[]2,4，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，求出过点()1,2A 与圆相切的切线的斜率，即可求出21y x --的取值范围.【详解】圆的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径1r =，则21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，过点()1,2A 作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k -+-=．=1，解得k =，所以21y x --的取值范围为(),-∞+∞ ．故选：C ．5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】【分析】求出椭圆中c =，发现点M 为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到ABM 的周长为4a .【详解】由椭圆方程可知224,1a b ==，所以2223c a b =-=，c =，所以点M 为椭圆的右焦点，直线(y k x =+过左焦点(，由椭圆定义可知：ABM 的周长为48a =故选：B6.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.【详解】直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，所以圆心为()0,1C -，设半径为r ，由题意得2223r +=，即解得218r =，故圆C 为()22118x y ++=.故选：A.7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】依题可求出圆心及半径，过点(,)M a b 向圆C 所作的切线长l =线长的最小值，只需求||MC 的最小值，依题可得圆心在直线:3240l ax by ++=上，从而可得点(,)M a b 所在直线，由点到直线的距离公式可求出||MC 的最小值，从而得到答案.【详解】因为22:2410C x y x y +-++=即22:(1)(2)4C x y -++=，所以圆心为(1,2)C -，半径为2R =;因为圆C 关于直线:3240l ax by ++=对称，所以:3440l a b -+=，所以点(,)M a b 在直线1:3440l x y -+=上，所以||MC 的最小值为：|384|=35d ++=，=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，切线长的表示方法，最值的转化，体现出转化与化归数形结合的思想.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A.3-B.3C.1- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为求12,PC PC 的最小值，求得1C 的对称点，根据对称性即可求得结果.【详解】曲线2212410C x y x y ++-+=是以1(1,2)C -为圆心,2为半径的圆,2226290C x y x y +--+=是以2(3,1)C 为圆心,1为半径的圆,则||PM 的最小值为12PC PN -，的最小值为21PC -,如下图所示,作点1C 关于直线220x y ++=的对称点3C ,设其坐标为(,)m n,可得2211222022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+⨯+=⎪⎩,解得32m n =-⎧⎨=-⎩,即3(3,2)C --,连接23C C ,分别交直线220x y ++=､圆2C 于点,P N ,连接1PC ，交圆1C 于点M ,可得123223PC PC PC PC C C +=+≥==,当且仅当23,,C P C 三点共线时32PC PC +的最小值为,则||||PM PN +的最小值为3-,故选：A .【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.9.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出12AF F ∆的三边长，利用余弦定理求出12cos F AF ∠，即可得12sin F AF ∠值，故可得12AF F ∆的面积，由对称性可知1ABF ∆的面积.【详解】解：由题意可得6a =，4c =，则12212AF AF a +==，128F F =.因为122AF AF =，所以18AF =，24AF =，所以126416641cos 2844F AF +-∠==⨯⨯，则12sin 4F AF ∠=，故12AF F ∆的面积是121211sin 84224AF AF F AF ⋅∠=⨯⨯⨯=，由对称性可知1ABF ∆的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.10.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.6【答案】C 【解析】【分析】设(),P m n ，由点在曲线上及1290F PF ︒∠=，列出等式求解即可.【详解】由题意可得：()()12,F F -，设s ,>0，由题意可得：224m n -=1=-，两方程联立解得：26m =，所以m =故选：C11.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得2BF ，1BF ，再由余弦定理求得,a b ，即可求得双曲线方程.【详解】根据双曲线的定义，有212AF AF a -=①，122BF BF a -=②，由于2ABF △为等边三角形，因此22AF AB BF ==，由①＋②，得114BF AF a -=，则224AB AF BF a ===，16BF a =，又因为1260F BF ∠=︒，所以()()()22212642642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即2277a c ==，解得21a =，则2226b c a =-=，所以双曲线的方程为2216y x -=．故选：C .12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.152C.14D.154【答案】A 【解析】【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F 中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2ce a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a '''''=++--+-=+，∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1514+．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值．第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．【答案】250x y --=【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点()2,1-且方向向量为()1,2，所以直线的斜率为221k ==，所以直线的方程为()122y x +=-，即250x y --=，故答案为：250x y --=14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．【答案】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ,－a )，又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴半径r ==.又圆C 在直线x －y －3＝0，圆心(a ,－a )到直线x －y －3＝0的距离d =∴2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22(23)3222a a -+=，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故答案为：22(1)(1)2x y -++=.15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】230x y +-=【解析】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直,因为圆22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=，圆心为：()2,3O ，所以31221OMk -==-，所以112l OM k k -==-，所以所求直线方程为：230x y +-=.故答案为：230x y +-=.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．【答案】12313-【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为,,a b c →→→共面，所以a x b y c →→→=+，则23732514x y x y x y λ-=+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得311312313x y λ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，故答案为：12313-17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.【答案】280x y +-=【解析】【分析】利用点差法即得直线斜率，再根据点斜式求直线方程.【详解】设这条弦的端点坐标为()()1122,,,x y x y ，则22111369x y +=，22221369x y +=，12128,4x x y y +=+=，∴221222120363699y x y x -+-=，22121222369y x x y -=--，所以()()1212121291362x x y y x x y y ++=-=---，因此这条弦所在的直线方程为1242()y x -=--，即280x y +-=.故答案为：280x y +-=.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案；【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．【答案】62【解析】【详解】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2r =，一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心到渐近线距离为d =，因为弦长为2，所以22221=-，所以62c e a ==．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.【答案】3【解析】【分析】连接12O O 交AB 于D 点，由题意可得1122122O D r r r r ==++，即求.【详解】由内切圆的性质可知，12AF F △的内切圆1O 和12BF F △的内切圆2O 都与x 轴相切于双曲线的右顶点C ，可知12,,O C O 三点共线.连接12O O 交AB 于D 点，如图：直线l 的倾斜角为60°，所以1160CO T ∠=，2260DO T ∠= ，在11Rt DO T 与22Rt DO T 中，则1122122O D r r r r ==++，则12r r 为3.故答案为：3三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）45（2）13【解析】【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可；（2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可.【小问1详解】连接1A B ，由正四棱柱的性质可知11//A B D C ，1A B 与1AD 所成角为1AD C ∠，由已知可得2211245,2AD D C AC ==+=由余弦定理可知：22211111324cos 22205D A D C AC AD C AD D C +-∠===⋅⨯；【小问2详解】由题意可知11//CC DD ，则1CC 与平面1ACD 所成角即1DD 与平面1ACD 所成角,连接DB 与AC 交于O ，结合（1）与条件易知1,D O AC BD AC ⊥⊥,而11,DC D O O DC D O =⊂ 、面1DD O ，故AC ⊥面1DD O ，又AC ⊂面1ACD ，所以面1ACD ⊥面1DD O ,显然面1ACD ⋂面11DD O D O =，即直线1DD 在面1ACD 上的投影在直线1D O 上,故1DD 与平面1ACD 所成角为1DDO ∠，易得221112,222AC DO AC D O D A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,所以111sin 3DO DD O D O ∠==.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=.【分析】（1）由离心率合焦距可得出a 、c 的值，可求出b 的值，于是可得出椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出ΔA 的面积为1212ABC S OF y y ∆=⋅-，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，将韦达定理代入ΔA 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由2c a =，22c =，222a b c =+，解得a =1b =所以，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设过()1,0F -的直线方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程，化简得()222210m y my +--=，显然0∆>.设()12,A x x ,()12,B x x ，则12222m y y m +=+,12212y y m -=+从而12y y -=.所以121223OABS OF y y ∆=⋅-=，解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010（3）3030【分析】（1）取AB 中点为E ，连接,NE ME ，易证四边形1NEMC 为平行四边形，则可得1//NC EM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题意建立A xyz -空间直角坐标系，则可得1(0,4,4)A C =- ，平面ABM 的法向量1(0,1,2)n =-，再由直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值111111cos ,A C n A C n A C n ⋅=⋅求出答案；（3）由题意易知1(0,1,2)n =- ，可求出平面1A BC 的法向量2(2,1,1)n =，由平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求出答案.【小问1详解】如图所示：取AB 中点为E ，连接,NE ME ，在1ABA △中，,N E 分别为1,BA BA 中点，所以NE 为1ABA △的中位线，所以1//NE AA ,且12AA NE =，又1111//,AA CC AA CC =，M 为1CC 中点，所以11//,NE C M NE C M =,所以四边形1NEMC 为平行四边形，所以1//NC EM ，又1NC ⊄平面ABM ，EM ⊂平面ABM ，所以1//C N 平面ABM；【小问2详解】如图所示：建立A xyz -空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,4,0,0,4,2,0,0,4A B C M A ，所以1(2,0,0),(0,4,2),(0,4,4)AB AM A C ===- ，设平面ABM 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1120420n AB x n AMy z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则0x =，2z =-，则1(0,1,2)n =- ，所以直线1AC 与平面ABM所成角的正弦值为111111cos ,10A C n A C n A C n ⋅==⋅；【小问3详解】由题意知1(2,0,4),(2,4,0)A B BC =-=-，设平面1A BC 的法向量为2(,,)n x y z =，则212240240n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，则1y =，1z =，则2(2,1,1)n =，平面ABM 与平面1A BC夹角的余弦值121212cos ,30n n n n n n ⋅===⋅.24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）()()221414221x i y ii y x +==-【分析】（Ⅰ）根据直线MN 的斜率可得2a b =，即可求出离心率；（Ⅱ）()i 将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC 及PQ ，根据勾股定理即可求出b 的值；()ii 根据平行间的距离公式求出AE ，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出EC 最长时m 的值，即可求出直线AC 的方程．【详解】解：（Ⅰ） 左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．12b a ∴=，2c e a ∴===，（Ⅱ）()i 由(Ⅰ)知椭圆方程为22244x y b +=，设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点Q 则2221244y x m x y b⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，整理得：2222220x mx m b ++-=，由()22222(2)422840m m b b m =-⨯-=-> ，则122x x m +=-，221222x x m b =-，()1212122y y x x m m +=++=，则1,2Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由l 与y 轴的交点()0,P m ，PQ ==，()()()()()2222222121212125||14844AC x x y y k x x x x b m ⎡⎤=-+-=++-=-⎣⎦，()2222222221551010||||||244444BP BQ PQ AC PQ b m m b ∴=+=+=-+==，21b ∴=，即1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；()ii 由()i 可知AC =，直线MN 的方程为112y x =+，∴直线MN 与直线l 点E 在直线MN 上，且满足90EAC ∠= ，AE ∴=，()222222421854||||(1)525555EC AE AC m m m m ∴=+=-+-=--+，当421m =-时，此时EC 最长，故直线AC 的方程14221y x =-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。

2022-2023学年重庆市南开中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知是函数的导函数，则（ ）()f x '()sin sin6f x x π=-6f π⎛⎫'=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】对求导，即可求出.()sin sin6f x x π=-6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭【详解】，所以()cos f x x '=cos 66f ππ⎛⎫'= ⎪⎝⎭故选：D.2．在等差数列中，若，则（ ）{}n a 31730a a +=91011a a a ++=A ．30B ．40C ．45D ．60【答案】C【分析】根据等差数列的下标性质可求出结果.【详解】因为数列为等差数列，且，{}n a 31730a a +=所以，即，10230a =1015a =所以.91011a a a ++=10345a =故选：C3．已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（ ）22(0)x py p =>p =A ．B ．1C ．2D ．312【答案】C【分析】根据抛物线的定义：抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.【详解】根据题意作图如下：因为抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得.232p +=2p =故选：C4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；5412．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ）A ．“徵､商､羽”的频率成等比数列B ．“宫､徵､商”的频率成等比数列C ．“商､羽､角”的频率成等比数列D ．“宫､商､角”的频率成等比数列【答案】D【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案.【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为154582532，2564所以“宫､商､角”的频率成等比数列,公比为.58故选：D 5．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）()22ln f x x a x x =--()1,2a A ．B ．C ．D ．[]4,5()5,+∞[)4,+∞[)5,+∞【答案】D【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设()2220a f x x x '=+-≤()1,222a x x ≥+，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.()22h x x x =+()h x a 【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成()22ln f x x a x x =--()1,2()2220a f x x x '=+-≤()1,2立，所以，在上恒成立，设函数，则22a x x ≥+()1,2()22h x x x =+，()()()22222112222x x x h x x x x +--='=-=所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，()0h x '>()1,2x ∈()h x ()1,2()()25h x h <=5a ≥则实数的取值范围是.a [)5,+∞故选：D.6．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点22221(0)x y a b a b +=>>轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆2222x y a b +=+上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与椭圆()22:()()4R C x a y a -+=∈P P 相切，则实数的取值范围为（ ）2213x y +=a A ．B ．C ．D ．[]0,2[]22-,[]0,4[]4,4-【答案】B【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有交点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：2213x y +=P P ，由于在圆，故两圆有交点即可，224x y +=P ()22:()()4R C x a y a -+=∈，故，2a =02422a a ≤≤⇒-≤≤故选：B7．若数列满足，且对于都有，则{}n a 121,4a a ==()*N 2n n ∈≥1122n n n a a a +-=-+（ ）246202211111111a a a a ++++=---- A ．B ．C ．D ．20212022101020222022202310112023【答案】D【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，1n n n b a a +=-{}n b 1213b a a -==即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案.{}n a 【详解】因为对于都有，()*N 2n n ∈≥1122n n n a a a +-=-+，令，()()112n n n n a a a a +----=1n n n b a a +=-所以，()122n n b b n --=≥所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.{}n b 1213b a a -==所以，()31221n b n n =+-⋅=+所以，121n n a a n +-=+所以，，……，121n n a a n --=-1223n n a a n ---=-，32215,3a a a a -=-=将这项累加，则，n 1-135721,2n a a n n -=++++-≥ 所以，()212113572122,n n n a n n n +-=+++++-==≥ 则，()()()211111121111211n n a n n n n n ⎛⎫===-≥ ⎪--+--+⎝⎭所以246202211111111a a a a ++++---- 11111111123355720212023⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭.1110111220232023⎛⎫=-=⎪⎝⎭故选：D.8．已知是函数的导函数，，且对于任意的有()f x '()f x ()()0f x f x --=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．则下列不等式一定成立的是（ ）()()()cos sin f x x f x x -'>-A1π1cos262f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．ππ64f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()π1cos14f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭Dππ43f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】设，，根据已知条件，利用导数得到为增函数，由()()cos f x g x x =π(0,2x ∈()g x 可推出A 正确；由可推出B 不正确；由可推出C 不正确；由1π((26g g <ππ()()64g g <π()(1)4g g <可推出D 不正确.ππ(()43g g <【详解】因为对于任意的有．又，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()cos sin f x x f x x -'>-()()0f x f x --=，sin sin()x x -=-所以，()cos ()sin 0f x x f x x '+>设，，则，()()cos f x g x x =π(0,2x ∈()g x '2()cos ()(sin )cos f x x f x x x '--=2()cos ()sin cos f x x f x x x '+=因为当时，，所以，π(0,)2x ∈()cos ()sin 0f x x f x x '+>()0g x '>所以在上为增函数，()g x π(0,)2因为，所以，所以，所以1π26<1π((26g g<π1()()621πcos cos 26f f <1π1((cos262f f <，故A 正确；1π1cos 262f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，所以ππ64<ππ(()64g g <ππ()()64ππcos cos 64f f <ππ(()64f f <，故B 不正确；ππ(()64-<-因为，所以，所以，所以，所以π14<π()(1)4g g <π()(1)4πcos1cos 4f f <πcos1()(1)4f f <，故C 不正确；π((1)4f f <-因为，所以，所以，所以，所以ππ43<ππ(()43g g <ππ()()34ππcos cos 43f f <1ππ(()243f f <，故D 不正确；ππ()()43f f <-故选：A二、多选题9．已知数列中，，则能使的可以为（ ）{}n a ()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+13n a =-n A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【答案】AD【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于的项.13-【详解】()*11N 1n n a n a +=-∈+ 211111111111n nn n n n n a a a a a a a ++++∴=-=-=-=-+-++-++又32111111n n nn n n n na a a a a a a a ++=-=-=-=++--+-+是以为周期的周期数列.{}n a ∴3又因为，所以，故时12a =211113a a =-=-+13n a =-()23Z n k k =+∈经检验A D 都符合.故选：AD 10．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）()y f x =A ．在上是增函数()f x ()2,1--B ．在上是减函数()f x ()2,4C ．当时，取得极小值=1x -()f x D ．当时，取得极大值1x =()f x 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；()f x ()()2,1,2,4--在上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错.()f x ()()1,2,4,5-故选：BC 11．设等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的有{}n a n n S d 2111212,0,0a S S <->=（ ）A ．数列是单调递增数列{}n a B ．当取得最小值时，或6n S 5n =C ．122,5d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．数列中的最小项为n n S a⎧⎫⎨⎬⎩⎭77S a 【答案】AD 【分析】由得，再由可判断A ；由得，11120,0<>S S 120a >2112=+=-a a d 61102112=⨯<a S 60a <得可判断B ；由解得的范围可判断C ；根据已知()612706=+⨯>a a S 70a >62712,0,0<>=-a a a d 时，时，时，所以数列中的最小项在之16n ≤≤0nnS a >711≤≤n 0n n S a <12n ≥0nn S a >n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭711≤≤n 间，再由、的正负和单调性可判断D.n a n S 【详解】对于A ，因为，所以，11120,0<>S S 112011=+>a d a 因为，所以，得，2112=+=-a a d 101112111210+=--+=-+>a d d d d 0d >故数列是单调递增数列，所以选项A 正确；{}n a 对于B ，因为，所以，可得，11120,0<>S S 11161121011122+=⨯=⨯<a S a a 60a <，可得，()112671210262+=⨯=+⨯>a S a a a 70a >由数列是单调递增数列前6项都是负的且和最小，所以选项B 错误；{}n a 对于C ，由得，解得，故C 错误；62712,0,0<>=-a a a 2111125060a a d a d a d =+=-⎧⎪+<⎨⎪+>⎩1235<<d 对于D ， ，n N *∈当时，，，所以，16n ≤≤0n a <0nS <0nnS a >当时，，，所以，711≤≤n 0n a >0n S <0nn S a <当时，，，所以，12n ≥0n a >0nS >0nnS a >所以数列中的最小项在之间，n n S a⎧⎫⎨⎬⎩⎭711≤≤n 因为在时，且逐渐增大但逐渐减小，且逐渐增大，所以逐渐增大，故711≤≤n 0n a >1n a 0n S <n n S a 最小，所以D 正确.77S a 故选：AD.12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo （如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的:1(0,R)n nx yC nn a b +=>∈4,2,1n a b ===C 有（ ）A ．曲线关于轴和轴对称C x y B ．曲线所围成的封闭图形的面积小于8C C ．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8)M0x y -=C P Q ､PQM D ．曲线上的点到原点的距离的最大值为C O 1417【答案】ABD【分析】根据用替换，不变，得方程不变，用替换，不变，得方程不变，可判断Ay -y x x -x y正确；根据曲线的范围，可判断B 正确；先得到椭圆在曲线内(除四个交C 2214x y +=:C 44116x y +=点外)，再根据椭圆的定义可判断C 不正确；利用两点间的距离公式、三角换元和三角函数知识求出最大值，可判断D 正确；【详解】当时，曲线：，4,2,1n a b ===C 44116x y +=对于A ，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；用替y -y x ()44116x y +-=44116x y +=C x x -换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故A 正确；x y ()44116x y -+=44116x y +=C y 对于B ，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内44116x y +=||2x ≤||1y ≤C 2x =±1y =±（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩C 形的面积为，故B 正确；428⨯=对于C ，对于曲线和椭圆，:C 44116x y +=2214x y +=设点在上，点在上，1(,)x y 44116xy +=2(,)x y 2214x y +=因为42442121(1)164x x y y -=---2222(1)(1(1444x x x =-+--，222(11)444x x x =-+-+221(1024x x =-≥所以，所以，4412y y ≥12||||y y ≥设点在上，点在上，1(,)x y 44116x y +=2(,)x y 2214x y +=因为()244421216(1)4(1)x x y y -=---()2224(1)4(1)4(1)y y y =-+--，22224(1)28(1)0y y y y =-⋅=-≥所以，所以，4412x x ≥12||||x x ≥所以椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：2214x y +=:C 44116x y +=设直线交椭圆于两点，交轴于，0x y -=2214x y +=,A B x (N 易知，为椭圆的两个焦点，,M N 2214x y +=由椭圆的定义可知，，，||AN ||224AM +=⨯=||||224BN BM +=⨯=所以的周长为，ABM 8由图可知，的周长不小于，故C 不正确；PQM 8对于D ，设曲线上的点，则该点到原点，:C 44116x y +=(,)x y O 因为，所以设，，，44116x y +=2cos 4x α=2sin y α=π[0,]2α∈则，其中，224cos sin x y αα+=+=cos )αααϕ=+sin ϕ=cos ϕ=所以当时，.故D 正确；sin()1αϕ+=22x y +1417故选：ABD三、填空题13．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5112【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线()45f =l (0,3)(4,5)的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.l k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则，l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以．111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11214．记数列的前项和为且，则__________．{}n a n 1,1n S a =11n n a S +=+2023S =【答案】##202321-202312-+【分析】由，利用与的关系即可解出.11n n a S +=+n a n S 【详解】解：当时，，1n =2112a S =+=当时，由，2n ≥11n n a S +=+得，11n n a S -=+两式相减得，12n n a a +=又，212a a =所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，{}n a 所以.202320232023122112S -==--故答案为：202321-15．设双曲线的右焦点为，中心为，斜率为2的直线过且与的两2222:1(0)x y C a b a b -=>>F O l F C 条渐近线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________．P Q ､2PF FQ =C【分析】根据直线与渐近线方程联立可得，，进而根据向量的坐标关系即l 22Q bcy a b =-22P bc y a b -=+可求解，进而可求离心率.23a b =【详解】有题意可知，故直线方程为，渐近线的方程分别为和(),0F c l ()2y x c =-,OQ OP b y x a =，联立，因此,同理，b y x a =-()222y x c bc y b a b y xa ⎧=-⎪⇒=⎨-=⎪⎩22Q bc y a b =-()222y x c bc y b a b y x a ⎧=--⎪⇒=⎨+=-⎪⎩,由得,即，化简得，因此离心率22P bc y a b -=+2PF FQ = 2P Q yy -=4222bc bca b a b =+-23a b =e 16．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称()y f x =(),a b ()f x '()f x '(),a b 函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函()y f x =(),a b ()y f x ''=(),a b ()0f x ''>数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则()y f x =(),a b ()()e ln xf x m x x x =--()0,∞+实数的取值范围为__________．m 【答案】em <【分析】根据“凹函数”的定义，化为恒成立，再构造函数2e (2)x m x x <+-(0)x >，，利用导数求出其最小值可得结果.2()e (2)x g x x x =+-(0)x >【详解】因为，所以，()()e ln xf x m x x x =--()f x '=2e e x x x x ⋅-m m x -+211e ()x m m x x x =--+所以，()f x ''=22321112e (e (x x m x x x x x -+-+-322221e x m x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因为在区间上为“凹函数”，()()e ln xf x m x x x =--()0,∞+所以，所以，322221()e x m f x x x x x ⎛⎫''=-+- ⎪⎝⎭0>(0)x >2e (2)x m x x <+-(0)x >令，2()e (2)x g x x x =+-(0)x >则，222()e (2)e (1)xxg x x x x '=+-+-+222e 1x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭22e (2)(1)x x x x +-=令，得，令,得，()0g x '<01x <<()0g x '>1x >所以在上为减函数，在上为增函数，()g x (0,1)(1,)+∞所以，min ()(1)e g x g ==所以.e m <故答案为：em <四、解答题17．已知正项等比数列前项和为，且成等差数列．{}n a n 12,n S a =324,2,a S a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，其前项和为，求数列的前项和．2log n n b a =n n T 1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n H 【答案】(1)；2nn a =(2).21n n +【分析】（1）设的公比为，列方程求得后可得通项公式；{}n a q q（2）由题可得，，然后利用裂项相消法即得．n b n T 【详解】（1）设的公比为()，{}n a q0q >因为，且成等差数列,12a =324,2,a S a 所以，()3421244a a S a a +==+所以，即，又，23224(22)q q q +=+()214(1)q q q +=+0q >所以，2q =所以；2nn a =（2）由题可知，2log n n b a n ==所以，nT ()1122n n n +=+++=，()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以.11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 18．设函数．()()213ln ,3,R2a f x x g x x a x =-=+∈(1)若是函数的极值点，求在上的最大值；2x =()f x ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值．()y f x =1x =l ()y g x =a 【答案】(1)36e -+(2)或3a =-1a =【分析】（1）求出后，根据可求出，再利用导数可求出在上的最()f x '(2)0f '=6a =-()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦大值；（2）根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，以及曲线在点处()y f x =1x =l ()y g x =00(,)x y 的切线方程，根据两直线重合列式可求出结果.【详解】（1）因为，所以，()3ln af x x x =-2233()a x a f x x x x +'=+=(0)x >因为是函数的极值点，所以，得，2x =()f x 6(2)04a f +'==6a =-此时，，6()3ln f x x x =+236()x f x x -'=当时，，当时,,02x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在上为减函数，在上为增函数，()f x (0,2)(2,)+∞所以是的一个极小值点，所以符合题意.2x =()f x 6a =-由以上可知，在上为减函数，在上为增函数，()f x 1[,2)e (2,e]又，，116(3ln 36e1e e e f =+=-+66(e)3ln e 3e e f =+=+所以，166((e)36e 36e 6ee ef f -=-+--=--0>所以在上的最大值为.()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦36e -+（2）由（1）知，，所以，23()x af x x +'=(0)x >(1)3f a '=+又，所以切线，即，(1)f a =-:(3)(1)l y a a x +=+-(3)23y a x a =+--假设直线与曲线切于，l ()y g x =2132x =+00(,)x y 因为，所以，又，()g x x '=00()g x x '=200132y x =+所以在处的切线方程为，即()y g x =00(,)x y 200013()2y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,22200000113322y x x x x x x x ⎛⎫=++-=-+ ⎪⎝⎭因为直线与直线重合，(3)23y a x a =+--200132y x x x =-+所以，消去，得，020312332a x a x +=⎧⎪⎨--=-+⎪⎩0x 2230a a +-=解得或.3a =-1a =19．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥,ABCD SC SD =ABCD 分别为线段的中点．π,2,1,3BAD AB AD M N∠===､CD AB､(1)证明：平面；BD ⊥SMN (2)若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值．SA ABCD π6S BD C --【答案】(1)详见解析；【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据余弦定理及线面垂直的判定定SM ⊥ABCD理即得；（2）由题可得为直线与平面所成角，进而可得，然后利用坐标法，根据SAM ∠SA ABCD 1SM =面面角的向量求法即得.【详解】（1）因为，为线段的中点，SC SD =M CD 所以，又平面平面，平面平面，平面，SM CD ⊥SCD ⊥ABCD SCD ⊥ABCD CD =SM ⊂SCD 所以平面，又平面，SM ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，SM BD ⊥所以，π,2,13BAD AB AD ∠===所以，2222212cos 2122132BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，即，222BD AD AB +=BD AD ⊥由分别为线段的中点，可得，,M N ,CD AB //MN AD 所以，又，平面，平面，BD MN ⊥SM BD ⊥,SM MN M SM =⊂ SMN MN ⊂SMN 所以平面；BD ⊥SMN （2）连接，因为平面，AM SM ⊥ABCD 所以为直线与平面所成角，即，SAM ∠SA ABCD π6SAM ∠=因为底面是平行四边形，，分别为线段的中点，ABCD π,2,13BAD AB AD ∠===M N ､CD AB ､所以，AM π6SAM ∠=所以，tan 1SM AM SAM =∠==如图以为原点建立空间直角坐标系，M则，()110,0,1,,,22S B D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，()11,2SB DB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，SBD (),,m x y z=则，令，可得，1020m SB x y z m DB ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ 1z =()2,0,1m =由题可知平面的一个法向量为，BCD ()0,0,1n =所以cos ,m n m n m n ⋅===⋅即二面角S BD C --20．已知数列满足．{}n a ()()()()*1121212,111,2,N n n a a a a a a a n n -=---=≥∈ 数列满足，且．{}n b 12b =1122n n n b b ++-=(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b (2)设数列前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数取值范围．{}n b n n S 22n n n S a λ-<*N n ∈λ【答案】(1)，；1n a n =+2nn b n =⋅(2).[2,)+∞【分析】（1）利用递推公式，结合等差数列的定义进行求解即可；（2）结合错位相减法进行求解即可.【详解】（1）当时，，*2,N n n ≥∈()()1212211123a a a a a ⇒--=-=⇒=因为，()()()()1211211111,n n n n a a a a a a a a +-----= 而，()()()12121111n n a a a a a a ----= 所以有，也适合1111n n n n a a a a ++-=⇒-=211a a -=所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，{}n a 2即，2(1)11n a n n =+-⋅=+由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以有111122122n n n n n n n b b b b ++++-=⇒-=2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭212=；1(1)122n nn n b n b n =+-⋅⇒=⋅（2），231222322nn n S =⋅+⨯+⨯++⋅ ，234112223222n n n S +=⋅+⨯+⨯++⋅ 两式相减，得：12341222222n n n S n +=+++++-⋅- ，代入中，得：112(12)2(1)2212n n n n n S S n n ++-⇒=--⋅⇒=-⋅-+-22n nn S a λ-<，()1(1)22122212n n n n n n λλ+--<⇒>⋅+++-设，*224()2(N )11n f n n n n -==-∈++因为，所以，N n *∈4440022111n n n >⇒-<⇒-<+++因此要想不等式对任意恒成立，22nn n S a λ-<*N n ∈只需，即实数取值范围为.2λ≥λ[2,)+∞21．已知函数，其中是自然对数的底数．()()()2e 22R x f x x ax a a =++∈e (1)讨论函数的单调性；()f x (2)若在区间上有解，求实数的取值范围．()2e af x ≤[]2,0-a 【答案】(1)见解析(2)(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性.1a =1a <1a >(2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求1a =1a <1a >[]2,0-()2min e af x ≤【详解】（1）()()()()2e 214e 22x x f x x a x a x a x '⎡⎤=+++=++⎣⎦ 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.1a =()()2e 20x f x x =+≥'R ()f x R 当时，时，；时，1a <()0f x ¢>()(),22,x a ∈-∞--+∞ ()0f x '<()2,2x a ∈--所以函数在上单调递增，在上单调递减.()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --当时，时，；时，1a >()0f x ¢>()(),22,x a ∈-∞--+∞ ()0f x '<()2,2x a ∈--所以函数在上单调递增，在上单调递减.()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --综上：时在上单调递增.1a =()f x R 时在上单调递增，在上单调递减1a <()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --时在上单调递增，在上单调递减.1a >()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --（2）若在区间上有解，即求()2e af x ≤[]2,0-()2mine af x ≤当时在上单调递增，所以在上的最小值为1a =()f x R ()f x []2,0-不成立，故不满足题意.()()()222min 212e 442e e f x f -=-=-+=<当时在上单调递增，在上单调递减1a <()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --当时，所以函数在单调递减，0a ≤()f x []2,0-所以成立，满足题意.()()02min 0e 22e af x f a a ==⋅=≤时，函数在单调递减，在上单调递增.01a <<()f x []2,2a --[]2,0a -所以不成立，舍去()()22min 2e 2e a a f x f a a -=-=⋅≤ln 2112a ∴≥+>时在上单调递增，在上单调递减.1a >()f x ()(),2,2,a -∞--+∞()2,2a --所以函数在单调递增，，所以()f x []2,0-()()()22min 2e 42e a f x f a -=-=-≤43a >综上的取值范围为：a (]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相2222:1(0)x y C a b a b +=>>12F F ､124F F =l 2F C交于两点，当是线段A B ､2F AB(1)求椭圆的标准方程；C(2)当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为AB M x AB x N y ,P O 椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．OMN 1,S APM2S 12S S l 【答案】(1)22162x y +=(2))2y x =-【分析】（1）根据已知的焦距大小以及通径，即可求得椭圆方程；（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，，联立与椭圆的方程，得韦达定理，C l (2)y k x =-(0)k ≠进而得中点坐标，根据中垂线方程可求解坐标，进而根据弦长公式以及点点距离即可表示面积，,N P 根据导数求解最值即可.【详解】（1）由于，所以，则右焦点的坐标为，124F F =24c =2(2,0)F 当时，代入椭圆方程为，故当是线段的中点时，此时轴，2x =2b y a =2F AB AB x⊥故，联立即可求解22b AB a ==222ab c =+解得，，a =b =2c =椭圆的标准方程：；C 22162x y +=（2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0，AB M x AB 设过椭圆的右焦点的直线的方程为，，C l (2)y k x =-(0)k ≠设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 联立整理得：，22(2)162y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(31)121260k x k x k +-+-=由韦达定理得，．21221213k x x k +=+212212613k x x k -=+ ．121224()413ky y k x x k k +=+-=-+为线段的中点，则可得点，．M AB 22262,1313k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，AB ===又直线的斜率为，直线的方程为：．MP 1k -MP 2222161313k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令得，，故 0y =22413k x k =+224,013k N k ⎛+⎫ ⎪⎝⎭令得，,故 0x =2413k y k =+230,41k k P +⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此,2224211221313ONM M S O k N k k y k ⨯-⨯++==,11112224APM ABP S S AB PM ==⨯= 故12S S =，221,1t k t =>=-故，故当，单调递增，12S S()()223413,t t f t f x t t --'==1t <<()0f t '>()f t 当，单调递减，t >()0f t '<()f t 故当，故此时t =()ft 12SS =k =⇒=此时直线的方程为l )2y x =-【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，这是解析几何大题常考类型.联立直线与曲线的方程是必备和常用的方式，得韦达定理，求解弦长以及中点坐标等.求解最值时，往往需要将长度或者面积的函数表达出来，结合不等式求最值或者构造函数，利用导数求解单调性进而求最值.。

重庆南开中学高2022级高二（±）期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题；本题共8小题.毎小题5分，共40分在毎小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求"请将答案填写在答题卡相应的位置上...复数z = £- 3是虚数单位）的虚部是（）A. 2B. 2iC. -2D. -2i命题“若xy^-6,则XH2或、謳-3”的否命题是（）A.若裕则x = 2或y = -3B.若则x = 2My = —3C.若刈=-6,则x = 2或y = -3D.若” =-6,则x = 2 且、=一3一1 -3.己知用=（景,3）,力=（f 1,1）分别是平面a,戶的法向量，若a丄们则it=（）XrA.-2B.-lC. -D. 224.已知A,B,C,D是空间中的四个点，则“衣〃血”是“ A,B,C,D四点共面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线4-4 = l（a>0,i>0）的一条渐近线与直线y = 2x-3平行，则双曲线的离心率为（）a bA. 2B.這C. y/6 ID. 5项已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图赢的等腰直角AOB'C',其中OB' = \,则原平面图形中最大边长为（）.A. 2 快xyB.2>/2D 2 占%綴扫描全能王创建7,己知某圆柱被截去若干部分后所得到的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A. 6jt + 8B. 8TC+6C.8n + 8D. 10K+8高2022级数学忒题第1页共4页•如图，在三棱锥P-ABC中，平面PACL平面4BC,直线『3与平面R4C、平面加C所成角分别记为冬胃，则a+fi与玉的大小关系为（）2 pA. a + A = mB.B.a+戶亏C.以上都有可能二' 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.9.已知两条直凯m和两个平面a,戶，则能使得，丄a成立的是（）■/J3B.I!ip,mc.fl,mlaC. a 丄。

2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又 直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。

荣昌高24级高二上期半期考试数学试题（答案在最后）试题总分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0x =的倾斜角为（）A.0°B.90°C.180°D.不存在【答案】B 【解析】【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.【详解】因为直线0x =与x 轴垂直，所以直线0x =的倾斜角为90°.故选：B2.已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A.()()22112x y -++= B.()()22118x y -++=C.()()22112x y ++-= D.()()22118x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C 【解析】【分析】将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB 与CD 所成角的大小.【详解】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D ()1,1,0AB =- ，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ所以11cos 222AB CD AB CDθ⋅===⋅⋅，故60θ= 故选：C4.求空间中点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '与()1,1,5B -的长度为A.6 B.26C.3D.214【答案】D 【解析】【分析】先求出点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标，再利用空间两点的距离公式可得结果.【详解】点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标为()3,3,1-，所以，A '与()1,1,5B -的长度为()()()222'31311514A B =++-+--=，故选D.【点睛】本题主要考查空间两点的距离公式的应用，属于基础题.5.已知直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离d 的取值范围为（）A.(0，5]B.(0，5)C.(0，+∞)D.(0]【答案】A 【解析】【分析】先判断当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，最大距离为5PQ ==所以l 1，l 2之间的距离的取值范围是(]0,5.故选：A6.三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（）A.125 B.95C.65D.35【答案】C 【解析】【分析】在三角形SAB 内作AE ⊥SB 交SB 于E ，进而根据条件证明AE ⊥面SBC ，算出AE 的长度，再根据D 为AB 的中点得到答案.【详解】如图，在三角形SAB 中，过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，因为SA ⊥面ABC ，所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，SA AB A ⋂=，所以BC ⊥面SAB ，因为AE ⊂面SAB ，所以BC AE ⊥，而AE ⊥SB ，且BC SB B = ，所以AE ⊥面SBC .在三角形SAB 中，由勾股定理易得5SB =，则由等面积法可得：125AE =，因为D 为AB 的中点，所以D 到平面SBC 的距离为：65.故选：C.7.已知点(2,0)A -，点(4,0)B ，点P 在圆22(3)(4)20x y -+-=上，则使得PA PB ⊥的点P 的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】利用PA PB ⊥求出点P 的轨迹方程为22(1)9x y -+=，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果.【详解】因为点(2,0)A -，点(4,0)B ，且PA PB ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心(1,0)C ，半径为3，其方程为22(1)9x y -+=，==，两圆的半径和为3+，因为3+>，所以两圆相交，所以满足条件的点P 的个数为2，故选：C8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,E F G M N 分别是111,,,,AB BC BB AA CC 的中点，过,M N 的平面α与平面EFG 平行，以平面α截该正方体得到的截面为底面，1D 为顶点的棱锥记为棱锥Ω，则棱锥Ω的外接球的表面积为（）A.25π12B.25π3C.π D.25π9【答案】B【解析】【分析】求出平面α与正方体的截面，利用棱锥外接球的性质求出球半径，即可得出球表面积.【详解】分别取1111,,,AD DC A B B C 的中点,,,P Q S R ，依次连接,,,,,M P Q N R S 得到正六边形,如图，由//,EF PQ EF ⊄平面MPQNRS ，PQ ⊂平面MPQNRS ，可知//EF 平面MPQNRS ，同理//EG 平面MPQNRS ，又EF EG G = ，,EF EG ⊂平面EFG ，所以平面MPQNRS 与平面EFG 平行，所以该正六边形就是平面α与正方体的截面，设该棱锥的外接球球心为O ，半径为R '，如图，连接,,MN SQ PR 相交于点K ，连接1D K ，则球心O 在线段1D K 上，连接RO ，因为12KR MK PQ AC ====，1D M ==，所以1D K ==，所以在Rt ORK △中可得)222'R R =+'-，解得6R '=，所以外接球的表面积为225π4π3S R '==,故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l 的方程为3260x y -+=，则（）A.直线l 在x 轴上的截距为2B.直线l 在y 轴上的截距为3C.直线l 的倾斜角为锐角D.过原点O 且与l 垂直的直线方程为230x y +=【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线方程，分别令0,0x y ==即可判断AB ，由直线斜率可判断C ，求出原点O 且与l 垂直的直线方程即可判断D.【详解】在3260x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以A 不正确；令0x =，得3y =，所以B 正确；因为直线l 的斜率为302k =>，所以直线l 的倾斜角为锐角，故C 正确；因为与l 垂直的直线方程可设为230x y m ++=，又直线过原点，所以0m =，故D 正确.故选：BCD10.已知直线1:230l ax y a ++=和直线()2:3170l x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当3a =时，12l l //B.当2a =-时，12l l //C.当25a =时，12l l ⊥ D.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()2,1-【答案】ACD 【解析】【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述过程中注意区分a 等于1和不等于1的情况.【详解】对A 和B ，如果12l l //，则1l 和2l 的斜率相等，1a ≠时321a a -=--，26a a -=，解得3a =或2a =-.当1a =时，1:230l x y ++=，2:2l x =-，两直线既不平行也不垂直.当3a =时，1:3290l x y ++=，2:3240l x y ++=，，A 对.当2a =-时，1:30l x y -+-=，2:30l x y -+-=，，B 错.对C ，当25a =时，121525k =-=-，235215k =-=-，221k k ⋅=-，所以12l l ⊥，C 对.对D ，1:230l ax y a ++=转化为斜截式为()32a y x =--，即()032ay x -=--，所以1l 过定点()3,0-.同理，()2:3170l x a y a +-+-=，1a ≠时转化为斜截式为()3211y x a =--+-，即()3121y x a -=---，2l 过定点()2,1-；1a =时，2l 为2x =-，也过定点()2,1-，D 对.故选：ACD.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B .点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A.C 的方程为()22416x y ++= B.在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为10C.在C 上存在点M ，使得2MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为9【答案】AD 【解析】【分析】由题意可设点(),P x y ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设00(,)M x y，由已知得=C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此可判断D 选项.【详解】解：由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，12PA PB=12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 正确；点（1，1410<，故不存在点D 符合题意，故B 错误.设00(,)M x y ，由2MO MA ==，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，故C 错误；C 的圆心（-4，0）到直线34130x y --=的距离为()341355d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最大距离549d r +=+=，故D 正确；故选：AD.12.若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，则下列结论正确的是（）A.当12m =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值B.当12n =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值C.当1m n +=时，PA PB +的最小值为2+D.若111PD B B D B ∠∠=，点P 的轨迹为一段圆弧【答案】AC 【解析】【分析】当12m =时，可得点P 的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P 到平面1BDB 的距离不变，即可判断A 的正误；当12n =时，可得点P 的轨迹，利用反证法可证，P 到平面1BDB 的距离在变化，即可判断B 的正误；当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，利用翻折法，可判断C 的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得1PD B ∠和11B D B ∠的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】因为1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，所以点P 在平面11ADD A 内运动，对于A ：取AD 中点E 、11A D 中点F ，连接EF ，所以11EF AA BB ∕∕∕∕，因为EF ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以EF ∕∕平面1BDB ，当12m =时，则112AP AD nAA =+ ，所以点P 在线段EF 上运动，因为EF ∕∕平面1BDB ，所以无论点P 在EF 任何位置，P 到平面1BDB 的距离不变，即高不变，所以三棱锥1P BDB -的体积为定值，故A 正确；对于B ：取1AA 中点G ，1DD 中点H ，连接GH ，当12n =时，112AP mAD AA =+ ，所以点P 在GH 上运动，假设GH ∕∕平面1BDB ，又1GA BB ∕∕，GA ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以GA ∕∕平面1BDB ，因为,,GA GH G GH GA ⋂=⊂平面GHDA ，所以平面GHDA ∕∕平面1BDB ，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH 不平行平面1BDB ，所以P 在GH 上运动时，P 到平面1BDB 的距离在变化，所以三棱锥1P BDB -的体积不是定值，故B 错误；对于C ：连接1A D ，1A B ，BD ，当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，将11AA D 沿1A D 翻折至与平面1A BD 共面，如下图所示连接AB ，当P 为AB 与1A D 交点时，PA PB +最小，即为AB ，因为11,,A B A D BD 均为面对角线，所以112A B A D BD ==，即1A BD 为等边三角形，又1=90A AD ∠︒，1=1A A AD =，所以1105ADB AA B ∠=∠=︒，1ADB AA B ≌，所以30ABD ∠=︒在ADB 中，由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，所以()126sin1052sin 45cos 60cos 45sin 60sin 302AB =⨯︒=︒︒+︒︒=︒，故C 正确；对于D ：分别以DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，则1(1,1,0),(0,0,1)B D ，设(,0,)P x z ，所以11(,0,1),(1,1,1)D P x z D B =-=- ，所以1112211cos (1)3D P D B PD B D P D B x z ⋅∠==+-⋅ 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111BB B D ⊥，又111=2,3B D BD =，所以111116cos 3B D B D B BD ∠==，2263(1)3x z =+-⋅，整理得2222210x xz z x z ++--+=，所以2(1)0x z +-=，即10x z +-=，[0,1],[0,1]x z ∈∈所以P 点轨迹为线段，故D错误故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设直线12,l l 的方向向量分别为()()1,2,2,2,3,a b m =-=- ，若12l l ⊥，则实数m 等于___________.【答案】2【解析】【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，120l l a b ⊥⇔⋅=r r，计算即可.【详解】因为12l l ⊥，则其方向向量a b ⊥ ，1(2)23(2)0a b m ⋅=⨯-+⨯+-=r r ，解得2m =.故答案为：2.14.若直线1l 的倾斜角为30°，直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为______.【答案】120°【解析】【分析】由直线垂直及直线倾斜角的定义确定直线2l 的倾斜角大小.【详解】由21l l ⊥，即直线21,l l 夹角为90°，又直线倾斜角θ范围为0θ︒≤<180°，而直线1l 的倾斜角为30°，所以直线2l 的倾斜角为120°.故答案为：120°15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144π，则圆台的体积为___________.【答案】【解析】【分析】设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h ，进而并根据轴截面中的几何关系得h =，再计算体积即可得答案.【详解】解：设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h .所以，作出轴截面，如图，因为半球的体积为144π，所以312π144π23V R ==球，解得6R =，由题意知222R r h =+，代入解得33h =，所以，圆台体积11(33(9π36π9π36π)633π33V h S S S S =++=⨯+⨯=下下圆台上上.故答案为：633π16.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠相交于点P ，则PM 的取值范围是______________.【答案】[21,321]-【解析】【分析】根据直线系求出定点，再由垂直确定动点轨迹为圆，根据圆心距离判断圆的位置关系，利用圆的几何性质求出PM 取值范围即可.【详解】依题意，直线1:(3)(1)0l m x n y ---=恒过定点(3,1)A ，直线2:(1)(3)0l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，因为()0mn n m +-=，所以直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心(2,2)N ，半径22r =而圆C 的圆心(0,0)C ，半径11r =，如图：12||2NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：min 12||||21PM NC r r =--=，max 12||||21PM NC r r =++=，所以PM 的取值范围是：[21,321]-+.故答案为：[21,321]-四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l 经过点(4,3)P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）若OAB 面积为24，求直线l 的方程．【答案】（1）7241000x y +-=（2）34240x y +-=【解析】【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解；（2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解.【小问1详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，则点O 到直线l 的距离241d k ==+，解得724k =-.故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=.【小问2详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，令0x =，可得43y k =-+，令0y =，可得34x k=-，所以13(34)(4)242ABC S k k =⨯--=△，即2162490k k ++=，解得34k =-，故所求直线方程为34240x y +-=.18.如图，已知圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，点Q 为半圆弧»AB的中点，点P 为母线SA 的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值．【答案】（1）12π（2）4【解析】【分析】（1）根据圆锥轴截面及表面积公式计算即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角的余弦即可.【小问1详解】∵圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，可得4SA =，∴圆锥的表面积21π24π412π2S =⨯+⨯⨯=．【小问2详解】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意可得23SO =(()()()0,0,3,0,0,0,0,2,0,2,0,0S O A Q ，(3P ，则((3,,,2,01,032SO PQ =-=-- ，设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ，则||66cos 4||||46SO PO SO PQ θ⋅=== ，故异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值为64.19.已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心()0,15，l 与圆相交；（217﹒【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C 和半径r ，求出直线l 经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l 与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d ，根据222AB r d =-【小问1详解】由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 5又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．【小问2详解】由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m=tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l10y +=的距离2d ==，∴||AB ===．20.如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起到1A DE △（1A ∉平面ABCD ）的位置，M 为线段1AC 的中点.（1）求证：BM ∥平面1A DE ；（2）已知2AB AD ==1A DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ，根据中位线证明1BM A P ，得到证明.（2）证明1A O ON ⊥，以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算平面1A DC 的一个法向量为()1,1,1m = ，根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ,∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形，∴BE CD ∥,12BE CD =,∴BE 为PCD 的中位线，∴B 为线段CP 的中点，∵M 为线段1AC 的中点，∴1BM A P ∵BM ⊄平面1A DE ，1A P ⊆平面1A DE ,∴BM ∥平面1A DE.（2）∵2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴AD AE =,即11A D A E =,取线段DE 的中点O ,连接1AO ,ON ,则由平面几何知识可得1AODE ⊥,ON CE ,又∵四边形ABCD 为矩形，2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴DE CE ⊥,DE ON ⊥,∵平面1A DE ⊥平面ABCD ，平面1A DE 平面ABCD DE =,1AO DE ⊥,∴1A O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊆平面ABCD ，∴1A O ON ⊥,∴以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,2,0B -,()2,1,0C -,1(0,0,1)A ,111,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(0,1,0)D ,310,,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(2,1,1)A C =-- ,()2,2,0DC =- ,设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则100m A C m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x y z x y --=⎧⎨-=⎩，不妨取1x =，则1y =，1z =，即()1,1,1m = ，设直线BM 与平面1A DC 所成角为θ，则sin |cos ,|15||||m BM m BM m BM θ⋅===⋅ ，∴直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值为15.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.已知圆22:20C x y y +-=，点(4,2)G .（1）求过点G 并与圆C 相切的直线方程；（2）设P 为圆C 上任意一点，线段AB 在x 轴上运动（A 在B 左边），且1=AB ，求+PA BG 的最小值.【答案】（1）81520x y --=或2y =（2）1【解析】【分析】（1）设切线方程为()24-=-y k x ，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；（2）AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所求+PA BG 的最小值即求1+-AC BG的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，由11+-=AC BG ，转化为(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，结合图象可得答案.【小问1详解】圆()22:11+-=C x y ，由已知过点(4,2)G 的切线的斜率存在，设其切线方程为()24-=-y k x ，1=，解得815k =或0k =，所以切线方程为()82415-=-y x 或20y -=，即81520x y --=或2y =.【小问2详解】AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所以求+PA BG 即求1+-AC BG 的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，所以11+-=AC BG1=+，可看作(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，取点N 关于原点对称的点()0,1E -，连接ME ，此时ME 的长度最小即+ACBG最小，且==ME 所以1+-AC BG 的最小值为1-，此时直线ME 的方程为1y x =-，即1a =.22.如图，三棱锥-P ABC 中，点P 在底面的射影O 在ABC 的高CD 上，Q 是侧棱PC 上一点，截面QAB与底面ABC 所成的二面角的大小等于OPC ∠的大小.（1）求证：PC ⊥平面QAB ；（2）若4,2DQ PQ DA DB ====，求平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）15【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量处理面面夹角问题.【小问1详解】连接DQ∵PO ⊥平面ABC ，,CD AB ⊂平面ABC ，则,PO AB PO CD⊥⊥又∵CD AB ⊥，PO CD O = ，,PO CD ⊂平面PCD∴AB ⊥平面PCD,PC DQ ⊂平面PCD ，则,AB PC AB DQ⊥⊥∴截面QAB 与底面ABC 所成二面角的平面角为CDQ ∠，则CDQ OPC∠∠=∴90DQC POC ∠∠==︒，即DQ PC⊥AB DQ D = ，,AB DQ ⊂平面QAB∴PC ⊥平面QAB【小问2详解】如图，以Q 为坐标原点，,,QD DB QP所在的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有：()()()()0,0,0,0,0,2,4,2,0,4,2,0Q P A B -()()0,0,2,4,2,0QP QB == 设平面BPC 的法向量为(),,n x y z = ，则20420n QP z n QB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，则2,0y z =-=∴()1,2,0n =- 同理可得：平面ABP 的法向量为()1,0,2m = ∵1cos ,5n m n m n m ⋅== ∴平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值为15.。