湖北省武汉市第三十九中学高中数学 1-3 单调性与最大(小)值(2)导学案 新人教A版必修1

学习资料新教材高中数学第三章函数的概念与性质 3.2.1单调性与最大小值2学案含解析新人教A版必修第一册班级：科目：3．2。

1 单调性与最大(小）值(2)内容标准学科素养1.理解函数的最大(最小）值及几何意义．直观想象逻辑推理、数学运算2。

利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页［教材提炼］知识点函数的最值预习教材思考问题（1)函数f(x）＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？（2）函数f(x）＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I,都有f(x)≤M f（x）≥M存在x0∈I，使得f(x0）＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f（x)的最小值几何意义f(x）图象上最高点的纵坐标f（x)图象上最低点的纵坐标[自主检测］1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈［－2,2］）的最小、最大值分别为(）A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f（x)在[－2，＋∞）上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为()A．3、0 B．3、1C．3、无最小值D．3、－2答案：C3．函数y＝2x2＋2,x∈N*的最小值是________．答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一利用图象法求函数的最值［例1］已知函数f（x）＝错误!求函数f(x）的最大值、最小值．［解析］作出f(x)的图象如图:由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝错误!时，f（x)取最小值为－错误!. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－错误!.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x）＝错误!（x∈[2,6］)，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x）＝错误!(x∈［2，6])的图象（如图所示）可知，函数f（x）＝错误!在区间［2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2）＝2，y min＝f（6)＝错误!。

⾼中数学必修⼀：1.3.1《单调性与最⼤（⼩）值》教案《单调性与最⼤（⼩）值》教案教学⽬标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运⽤函数图像进⾏理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最⼤（⼩）值.难点：理解函数的最⼤（⼩）值，能利⽤单调性求函数的最⼤(⼩)值.教学过程在教法学法⽅⾯，采⽤启发式、探讨式的教学⽅法，引导学⽣⾃主探究，合作交流。

通过学⽣⾝边熟悉的事物，教师创造疑问，学⽣想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学⽣以⾃⼰的努⼒找到了解决问题的⽅法。

⼀、情景导⼊问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增⼤，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最⼤、最⼩值？⼆、新课教学（⼀）函数单调性定义1．增函数⼀般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个⾃变量x 1，x 2，当x 1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学⽣活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，⼀个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2必须是对于区间D内的任意两个⾃变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的⽅法步骤利⽤定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的⼀般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配⽅）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．4、判定函数单调性的常见⽅法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常⽤⽅法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进⾏判断。

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值第二课时函数的最大（小）值【教学目标】（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 【教学重点难点】重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 【教学过程】 一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x二、新课教学（一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）点评：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．变式训练1：设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．A．4 B．8 C．10 D．16例2.旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x．由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 点评：结合二次函数性质及函数单调性的定义解决问题变式训练2. 函数f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞ B. (],3-∞- C. (－∞,5)D.[)3,+∞四、小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 【板书设计】 一、 函数最值 二、 典型例题例1： 例2： 小结：【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值（二）教学目标分析：知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

过程与方法：借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。

情感目标：渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。

重难点分析：重点：函数最值的意义及求函数的最值。

难点：函数最值的意义及求函数的最值。

互动探究：一、课堂探究：1、情境引入探究一、画出下列函数的草图，并根据图像解答下列问题：（1）()23f x x =-+； （2）2()21f x x x =--+。

探究二、（1）说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；（2）指出图像的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？2、函数的最大值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最大值。

3、函数的最小值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有()f x M ≥；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最小值。

注意：（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得M x f =)(0；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（()f x M ≥）。

4、一元二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值：（1）配方：ab ac a b x a y 44)2(22-++=； （2）图像：（3）0a >时，ab ac y 442min -=；0a <时，a b ac y 442max -=。

1-3.1《单调性与最大(小)值》(2)导学案【学习目标】1.理解函数的最大(小)值及其几何意义；2.学会运用函数图象理•解和研究函数的性质.【重点难点】重点：应用函数单调性求函数最值。

难点：理解函数最值可取性的意义。

【知识链接】(预习教材凡~ Pm找岀疑惑Z处)复习1：指出函数f(x) = ax2+bx-^c(a>0)的单调区间及单调性，并进行证明.复习2：函数/(x) = or2 + bx + c (a > 0)的最小值为______________ , f (x) = ax2 +bx + c (a < 0)的最大值为___________ •复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.【学习过程】探学习探究讨论体现了函数值的什么特征?新知：设函数y于(X)的定义域为Z,如果存在实数於满足：对于任意的XWI,都有/(x)W必存在凡W T,使得/Gio) = M.那么，称肘是函数y于(兀)的最大值(Maximum Value).试试：仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.反思：一些什么方法可以求最大(小)值？探典型例题例1 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度力(米)与时间十(秒)的变化规律是/z = 130r-5r2,那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少?变式：经过多少秒后炮弹落地?试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大?小结：数学建模的解题步骤：审题一设变量f建立函数模型一研究函数最大值.例2求y = —在区间［3, 6］上的最大值和最小值.x — 2变式：求『=—,XG［3,6］的最大值和最小值. x-2小结：先按定义证明单调•性，再•应用单调性得到最大（小）值.试试：函数y = （x + \）2+2,“ ［0,1］的最小值为_ ,最大值为________ •如果是氏［-2,1］呢? 探动手试试练1.用多种方法求函数）=2兀+ QT最小值.变式：y = x +Vl -x 的值域.练2. —个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如【学习反思】探学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.探知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究.例 如求f （x ） = -X 2 +CZX 在区间［加，刃上的值域，则先求得对称轴兀=彳，再分加、^^― <—y —、 — <-<«> ->n 等四种情况，由图象观察得解.2 2 2丸“【基础达标】探自我评价 你完成本节导学案的情况为（•）.A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数/(x) = 2x-x 2的最大值是( )•A. -1B. 0C. 1D. 22. 函数y=\x + l\+2的最小值是(・).A. 0B. -1C. 2D. 33. 函数y =兀+J 兀-2的最小值是(・)..A. 0 B. 2 C. 4 D. ©4. 已知函数/(x)的图彖关于y 轴对称，且在区间(—,0)上，当*-1时，/⑴有最小值3,贝恠区I'可(0,+eo)上，当2—时，/(兀)有最—值为 ________ •5. 函数y = -x 2 +1, XG [-1,2]的最大值为 _________ ,最小值为 ___________ .■3 【拓展提升】1. 作出函数y = x 2-2x + 3的简图，研究当自变量兀在下列范围内取值时的最大值与最小值.(1) -1<X<O ； (2) 0<X<3 ； (3) 6 (-oo,+oo).右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价?2.如图，把截面半径为10⑶的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为兀，面积为y,试将y 表示成兀的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的, 在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧!。

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、课前准备（预习教材P30~ P32，找出疑惑之处）复习1：指出函数2=++>的单调区间及单调性，并进行证明.f x ax bx c a()(0)复习2：函数2f x ax bx c a=++<的()(0) ()(0)=++>的最小值为，2f x ax bx c a最大值为 .复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．反思：什么方法可以求最大（小）值？※典型例题例1．一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2=-，那h t t1305么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2．求32yx=-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xy xx+=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x=++∈的最小值为，最大值为 . 如果是[2,1]x∈-呢？※动手试试练1. 求函数2y x=+最小值.变式：求y x=.三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 33. 函数y x = ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .1. 作出函数223=-+的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．y x x（1）10x∈-∞+∞.≤≤；（3）(,)x-≤≤；（2）03x。

1.3.1.1《单调性与最大（小）值》（1）导学案班级 姓名 时间_______年_____月____日【学习目标】其中2、3是重点和难点1. 通过已学的函数特别是二次函数，理解函数单调性的本质和函数单调性的几何意义；2. 掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法，学会运用函数图象研究函数的性质；3. 能够熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.【课前导学】阅读教材第27-29页，找出疑惑之处，完成新知学习1．增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x ．1．<．x ．2．时，都有f (x 1) f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是 . 2．减函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．<x ．．2．时都有f(x 1) f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是 . 3．单调区间：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.【预习自测】首先完成教材上P32第1、2、3题； P39第1、3题；然后做自测题1．判断1)(2-=x x f 在（0，+∞）上是 函数（填“增”、“减”）【借助图象，抛物线开口向_____，对称轴为直线_______，当∈x （0，+∞）时，图象呈_____趋势，因此，在（0，+∞）上是______函数】2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是 函数（填“增”、“减”）【方法同上】3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）（A ）y=x 1（B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x 4． 函数y=x1-1的单调递 区间为 5．证明函数f (x)=3x+2在R 上是增函数。

1.3.1 单调性与最大（小）值① 增函数：设函数()x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的 两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有 ，那么就说()x f 在区间D 上是增函数（increasingfunction ）.② 仿照增函数的定义说出减函数的定义.减函数：2. 单调性和单调区间 单调性和单调区间：3. 最大值和最小值① 最大值：一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：1)2) 那么，我们称M 是函数()x f y =的最大值。

② 仿照函数最大值的定义，给出函数()x f y =最小值的定义 最小值：※ 学习探究指出函数2()(0)f x ax bx c a =++>的单调区间：，函数2()(0)f x ax bx c a =++>有最 值为 ，2()(0)f x ax bx c a =++<有最 值为 .※ 典型例题 例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明. ① ()32f x x =-+； ② 1()f x x =.变式训练：变式：指出y kx b =+、(0)ky k x=≠的单调性.反思小结：证明函数单调性的步骤：第一步：取值：设任意∈21,x x 给定区间，且21x x <；第二步：作差：计算()()21x f x f -；第三步：化简：对()()21x f x f -化简，变形第四步：定号：判断差()()21x f x f -的正负号； 第五步：下结论.例2.作出函数322--=x x y 的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．①(,)x ∈-∞+∞； ②()0,2-∈x ； ③()4,2∈x ； ④()4,0∈x反思小结：求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2an ≥等四. 1. 求证1()f x x x=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.2. 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？※课下演练1. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x=C ．||y x =D ．2y x =- 2. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是： . 3. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 4. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .5. 若函数()762++-=x x x f 在()12,+∞-m 上是单调函数，则m 的取值范围为 。

1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值教学目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会借助单调性求最值；3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1．3.1单调性与最大(小)值第2课时》课件“情景导入”部分，让学生与大家分享自己的了解．通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价．二、自主学习1．最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．2．最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x的最小值．提示：1. f(x)≤M f(x0)＝M 2. f(x)≥M f(x0)＝M三、合作探究探究点1：函数的最大(小)值及几何意义问题1：在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？为什么不是最小值？提示：最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A 中的元素与之对应，不是函数值． 问题2：函数y ＝x 2，x ∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x 的值．提示：x ＝±1时，y 有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x ＝0时，y 有最小值0，对应的点为图象中的最低点．例1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 提示：解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[x 2－1－x 1－1]x 1－1x 2－1 ＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1. 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数． 因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 名师点评：1.若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．2.若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．3.若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最大值中决出总冠军，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小的．探究点2：求二次函数的最值例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值；(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)提示：解 (1)∈函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∈f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)．∈f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)∈对称轴x ＝1，∈当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.∈当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.∈当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时， f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.∈当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3t ≤0，t 2＋2t －3t >0， φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2t －3t ≤－1，－4－1<t ≤1，t 2－2t －3t >1.(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∈当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值．(4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×－4.9＝1.5时，函数有最大值 h ＝4×－4.9×18－14.724×－4.9≈29. 于是，烟花冲出后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.名师点评：1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．2．图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．探究点3：函数最值的应用例3 已知ax 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．提示：方法一 若a <0，抛物线y ＝ax 2－x ＋a 开口向下，y 不可能恒大于0.若a ＝0，ax 2－x ＋a ＝－x <0，不合题意．若a >0，y ＝ax 2－x ＋a 开口向上，且对称轴x ＝12a >0， 要使ax 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需y min ＝4a 2－14a >0，解得a >12. 综上，实数a 的取值范围是(12，＋∞)． 方法二 ax 2－x ＋a >0可化为a >x x 2＋1. 要使a >x x 2＋1对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需a >(x x 2＋1)max ， 又(x x 2＋1)max ＝12，∈a >12. 名师点评： 恒成立的不等式问题一般转化为最值问题来解决．四、当堂检测1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是( )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，22．函数y ＝－x ＋1在区间[12，2]上的最大值是( ) A ．－12 B ．－1 C.12D ．3 3．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值4．函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )A ．4,1B ．4,0C ．1,0D ．以上都不对5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值，最小值分别为( ) A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对提示：1．C 2.C 3.A 4.B 5.A五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．六、课例点评1.本节课充分考虑了高一学生的认知水平，没有对概念过深过难的挖掘，难易度把握适当，习题配备梯次合理．2.重视概念的形成过程，强调对基本概念、基本思想的理解和掌握．本节课“情景导入”通过生活实例某市一天24小时的气温变化图引入新课，使学生体会数学来源于生活，接着从学生思维的最近发展区，让学生观察，归纳，感悟，从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象，概括出函数最大（小）值的概念，学生反应积极，效果很好．3.注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力．本节课通过丰富的实例引入数学知识，从实际问题（气温曲线变化问题）出发，充分体现了数学的应用价值．在本节课的教学过程中，学生经历了观察、探究、合作、讨论等不同的学习方式，学生的智力得到了发展，能力得到了提高．。

【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。

在此之前,学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象,在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识,所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。

函数单调性是函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础,对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,对解决各种数学问题有着广泛作用。

课程目标1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义;2、会根据单调定义证明函数单调性;3、理解函数的最大（小）值及其几何意义;4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.数学学科素养1.数学抽象:用数学语言表示函数单调性和最值;2.逻辑推理:证明函数单调性;3.数学运算:运用单调性解决不等式;4.数据分析:利用图像求单调区间和最值;5.数学建模:在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。

重点:1、函数单调性的定义及单调性判断和证明;2、利用函数单调性或图像求最值.难点:根据定义证明函数单调性、教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、 情景导入观察下列各个函数的图象,并探讨下列变化规律: ①随x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本,引入新课阅读课本76-80页,思考并完成以下问题 1.增函数、减函数的概念是什么? 2.如何表示函数的单调区间?3.函数的单调性和单调区间有什么关系?4.函数最大( 小)值的定义是什么?5.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。