高一数学中函数的单调性4种求法

高中数学必修一函数——单调性考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。

能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。

利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。

掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。

知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。

高一数学知识点汇总大全学习任何一门知识点都要学会对该知识点进行总结，这样可以检查学生对知识的真正掌握程度以及方便学生日后的复习。

下面给大家带来一些关于高一数学知识点汇总，希望对大家有所帮助。

高一数学知识点汇总1函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u 相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)2.值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯通过上面的高一数学必修1知识点总结，同学们已经梳理了一遍高一数学必修1的知识点，也加深了对该知识的更深了解，相信同学们一定能学好这部分知识点，也希望同学们以后的学习中多做总结。

高一数学中函数的单调性4种求法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：1.定义法例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。

解分析函数在R+上的单调性任取x1>x2>0Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)因此 a=根号3/3一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。

2.图像法例题求y=x+3/x-1的单调区间解函数定义域为（-，1）并（1，+)Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。

函数的图像是解决这类问题的关键。

3.性质法性质：增+增=增减+减=减y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性例题求y=x^3+x的单调区间。

3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。

高一数学必修一知识点总结高一数学必修一知识点总结高一数学必修一的学习，需要大家对知识点进行总结，这样大家最大效率地提高自己的学习成绩，今天公文小编收集整理了高一数学必修一知识点总结，欢迎阅读!高一数学必修一知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。

函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。

所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。

选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。

在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。

多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一数学必修一知识点总结篇2一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性,(2)元素的互异性,(3)元素的无序性,3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

高一数学函数的单调性练习题题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。

1.定义法 【例1】 试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例2】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】 讨论函数2()1x f x x =-(11)x -<<的单调性．【例6】 求函数f (x)=x+1x的单调区间。

典例分析【例7】 求证:函数()(0)a f x x a x=+>在)+∞上是增函数.【例8】 （2001春季北京、安徽，12）设函数f （x ）＝bx a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。

【例9】 （2001天津，19）设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数。

（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数。

【例10】 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

【例11】 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例12】 已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．2.图象法【例13】 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例14】 求函数122y x x =++-的单调减区间【例15】 求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例16】 求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例17】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++3.求复合函数的单调区间【例19】 函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例20】 已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，上是减函数，求()21f x -单调增区间。

高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。

在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。

在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。

所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。

本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。

具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。

方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。

一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。

对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。

需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。

另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。

总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。

考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。

（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。

（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。

-1-常用函数单调性知识点总结判断函数单调性的常用方法有：图像法、性质法、复合函数法、定义法、导数法等.利用函数图象确定函数单调性及单调区间是一种直观又简单的方法，而对于较复杂函数的单调性和单调区间，往往利用一些基本函数的单调性、函数单调性定义或利用导数法来求.注：1.函数的单调区间应该用区间表示，不宜用集合或不等式表示。

2.如果一个函数有多个单调区间，则注意要分别写，往往不能用“ ”和“或”连接.3.“函数的单调区间”指的是函数所有单调增或单调减的最大区间。

“函数在某区间上单调”中的“区间”既可以是函数的某个最大的单调区间，也可以是函数的某个最大的单调区间的子区间.一、抽象函数单调性1.（1）()y f x =-与()y f x =的单调性相反.（2）()y f x c =+（其中c 为常数）与()y f x =的单调性相同.（3）()y c f x =⋅与()y f x =的单调性关系①当0c >时，两者的单调性相同.②当0c <时，两者的单调性相反.（4）设()y f x =在某区间D 上的函数值恒正或恒负，则有()y f x =在区间D 上具有单调性时，()1y f x =也在区间D 上具有单调性，且()1y f x =与()y f x =在该区间上的单调性相反.（5）若()0f x ≥，则()y f x α=（0α>）与()y f x =的单调性相同.（6）具有公共定义域的两个单调函数中，常用到以下结论：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数.二、复合函数的单调性1.定义设()(),y f u u u x ==，则函数()()y f u x =叫做复合函数.2.复合函数单调性口诀：“同增异减”.（1）内外两层函数单调性相同时，复合函数为增函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .（2）内外两层函数单调性相反时，复合函数为减函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .注：1.注意复合函数与两函数的四则运算的区别.2.运用复合函数口诀判定单调性时，一定要分清内外层函数对应的函数形式.三、函数单调性相关问题的常见类型和解题策略（1）比较大小。

高一数学必修一知识点总结(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教案大全、书信范文、述职报告、合同范本、工作总结、演讲稿、心得体会、作文大全、工作计划、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of practical materials for everyone, such as lesson plans, letter templates, job reports, contract templates, work summaries, speeches, reflections, essay summaries, work plans, and other materials. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!高一数学必修一知识点总结本店铺为各位同学整理了《高一数学必修一知识点总结》，希望对您的学习有所帮助！1.高一数学必修一知识点总结1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)。

高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。

如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。

(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。

函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。

⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。

(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。

实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

(1)定义法:利用增减函数的定义证明。

在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。

⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。

求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一:求函数解析式1、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

例1. 已知,试求、解:设,则,代入条件式可得:,t ≠1、故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形。

2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。

例2。

(1)已知,试求;(2)已知,试求;解:(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。

(2)由条件式,以－x 代x 则得:,与条件式联立,消去,则得:。

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:(1)已知就是二次函数,且,求;(2)已知,求,,;(3)已知,求;(4)已知,求。

【题意分析】(１)由已知就是二次函数,所以可设,设法求出即可。

(２)若能将适当变形,用得式子表示就容易解决了、(３)设为一个整体,不妨设为,然后用表示,代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得,由,得恒等式,得。

故所求函数得解析式为。

(2)1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ,又。

(3)设, 则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

(4)因为 ①用代替得 ②解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有:(1)解析式类型已知得,如本例⑴,一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式,顶点式与标根式得选择;(2)已知求得问题,法一就是配凑法,法二就是换元法,如本例(2)(3);(３)函数程问题,需建立关于得程组,如本例(4)、若函数程中同时出现,,则一般将式中得用代替,构造另一程。

高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。

函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。

这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。

函数的单调性知识总结1. 【高一数学函数学问点问题如何求定义域值域单调性其他有关高一函数1定义域是自变量X的范围，定义域的求法.（1）若ƒ（x）是整式，则定义域为R .(2)若ƒ（x）是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数.（3）若ƒ（x）是偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数.（4）若ƒ（x）是复合函数，则定义域由复合的各基本函数的定义域组成的不等式组确定.（5）上述各点再结合题目已经给出的限制条件（6）应用题还要结合实际状况分析 2.值域是因变量Y的范围，值域的求法有：观看法、配方法、判别式法、换元法等.3.单调性的求法：（1）定义法：依据定义，若在x定义域的某一区间内，设x1。

2. 学校全部函数学问点总结谁有反比例函数的概念一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的反比例函数.反比例函数属于一次函数，但一次函数却不肯定是反比例函数.反比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为反比例函数.反比例函数的关系式表示为：y=kx(k为比例系数)当K>0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近.函数值y随着自变量x的增大而增大.当K0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k0），此时的y与x，同时扩大，同时缩小，比值不变.例如：汽车每小时行驶的速度肯定，所行的路程和所用的时间能否成反比例？以上各种商都是肯定的，那么被除数和除数. 所表示的两种相关联的量，成反比例关系. 留意：在推断两种相关联的量能否成反比例时应留意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不肯定，它们就不能成反比例. 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成反比例关系，正方形的边长和它的面积也不成反比例关系.[编辑本段]反比例函数的定义一般地，假如两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.由于y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0.而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹.[编辑本段]反比例函数表达式y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^-1y=k\x(k为常数（k≠0）,x不等于0）[编辑本段]反比例函数的自变量的取值范围① k ≠ 0；②一般状况下，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数；③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .[编辑本段]反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线，曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）.[编辑本段]反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0,b>0，这时此函数的图象经过第一、二、三象限.当 k>0,bx2.故选A.三、推断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b 满意kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限由kb>0，知k、b同号.由于y随x的增大而减小，所以kY2当X0 且X≥（X1+X2）/2时，Y 随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.[编辑本段]二次函数与一元二次方程特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.1.二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象外形相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 y=ax^2;y=ax^2+Ky=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标（0,0） (0,K)(h,0) (h,k) (-b/2a,4ac-b^2/4a) 对称轴x=0 x=0x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2；的图象可由抛物线y=ax^2；向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2；向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h>0,k。