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微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0.其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.解 所给方程的特征方程为r 2+2r +1=0, 即(r +1)2=0.其根r 1=r 2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y =(C 1+C 2x )e -x .将条件y |x =0=4代入通解, 得C 1=4, 从而y =(4+C 2x )e -x .将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:eαx(C1cosβx+C2sinβx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1);一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:eαx[(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1)cosβx+( D1+D2x+⋅⋅⋅+D k x k-1)sinβx].例4 求方程y(4)-2y'''+5y''=0 的通解.解这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0. 解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C ey x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.。
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程根据二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解. 本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法. 本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.分布图示★ 二阶常数系数齐次线性方程的解法★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ n 阶常数系数线性微分方程的解法★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7—6 ★ 返回内容要点一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0=+'+''qy y p y (6.1)特征方程 ,02=++q pr r (6.2)称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.)sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x xr xr x r βββαβαα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)其特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:x k k k k rxk k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββα]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为.2211n n y C y C y C y +++=例题选讲二阶常系数齐次线性微分方程及其解法例1（E01）求方程032=-'-''y y y 的通解.解 所给微分方程的特征方程为,0322=--r r其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为.321x x e C e C y +=-例2（E02）求方程044=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0442=++r r 解得1r 2r =,2-=故所求通解为.)(221x e x C C y -+=例3（E03）求方程052=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为,0522=++r r 解得2,1r ,21i ±-=故所求通解为).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-n 阶常系数齐次线性微分方程的解法例4（E04）求方程052)4(=''+'''-y y y 的通解.解 特征方程为,052234=+-r r r 即,0)52(22=+-r r r特征根是1r 2r =0=和43，r ,21i ±-=因此所给微分方程的通解为).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=例5求方程0444=+w dxw d β的通解, 其中.0>β 解 特征方程为.044=+βr 由于44β+r βββ2422422r r r -++=222222)(ββr r -+=),2)(2(2222ββββ+++-=r r r r特征方程为,0)2)(2(2222=+++-ββββr r r r 特征根为),1(22,1i r ±=β),1(24,3i r ±-=β因此所给方程的通解为 w ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x C x C e x 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x C x C e x βββ例6 求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y(2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++=(2) 特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r 特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x x x e C e C e C e C y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++例7（E05）已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1=由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±=所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=课堂练习1.求解下列二阶常系数齐次线性微分方程：(1) 065=+'+''y y y ；(2) 092416=+'-''y y y ；(3) .0258=+'+''y y y2.求方程022)3()4()5(=+'+''+++y y y y y y 的通解.3.求微分方程y y y y y ln )(22='-''的通解.。
