高二数学正态分布
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超几何分布教学案页数:3
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高二数学正态分布
y
思考 观 察 图 2.4 4,结 x o 合 φμ,σ x 的 图2.4 4 解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点: 率的性质 , 你 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交 ; 能说 说正态 2曲线是单峰的,它关于直线x μ 曲线 的特点 对称; 吗?
3曲线在x μ处达到峰值; 4曲线与x轴之间的面积为1.
b a
则称X的分布为 正 态 分 布(normal distribution).正 态分布完全由参数 μ和σ 确定,因此正态分布常 记作 Nμ, σ 2 .如果随机变量X服从正态分布 , 则记 为X ~ Nμ, σ 2 .
参数μ是反映随机变量取值水 平的特征数 ,可以
用样本均值去估计 ; σ是衡量随机变量总体波 动大 小的特征数 ,可以用样本标准差去估 计.
经验表明 , 一个随机变量如果是众 多的、互 不相干的、不分主次的偶 然因素作用结果 之和,它就服从或近似服从正 态分布.例如高 尔顿板试 验中,小球下落过程中要与众 多小 木板碰撞, 每次碰撞的结果使得小 球随机地 向左或向右下落 ,因此小球第 1 次与高尔顿板 底部接触时的坐标X 是众多随机碰 撞的结 果, 所以它近似服从正态分 布.
b a
x即由正态曲ຫໍສະໝຸດ , 过点a,0 和点b,0 的两条 x 轴的垂线 , 及x轴所围成的平面图形的 面积(图2.4 4中阴影部 a,b的概率的近似值 分的面积), 就是X落在区间 .
一般地, 如果对于任何实数a b,随机变量X满足 Pa X b φμ,σ x dx,
早在1733年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得 到了正态分布 .之后, 德国数学家高斯在研究 测量误差 时从另一个角度导出了 它,并研究了它的性质 ,因此, 人 们也称正态分布为高斯 分布.
高二数学 2.4 正态分布 课件(人教A版选修2-3)
要 点 导 学
差．
第12页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写 出其正态分布的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的 数学期望和标准差．
要 点 导 学
第13页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
【思路启迪】 解答本题可首先借助图象观察该函数的对
要 点 导 学
第16页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
若一个正态分布的概率密度函数是一个 1 偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度 4 2π 函数的解析式．
要 点 导 学
第17页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以 其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝0.
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
2．4 正态分布
要 点 导 学
第1页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
自 主 预 习
要 点 导 学
第2页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
要 点 导 学
目标解读 1.重点是正态曲线 1.利用实际问题的直方图，了 的特点及其所表示 解正态曲线的特征和正态曲线 的意义；利用正态 所表示的意义． 分布解决实际问 2．能借助正态曲线的图象理解 题． 正态曲线的性质及意义． 2．难点是求随机 3．会根据正态曲线的性质求随 变量在某一区间内 机变量在某一区间的概率. 的概率.
差．
第12页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写 出其正态分布的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的 数学期望和标准差．
要 点 导 学
第13页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
【思路启迪】 解答本题可首先借助图象观察该函数的对
要 点 导 学
第16页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
若一个正态分布的概率密度函数是一个 1 偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度 4 2π 函数的解析式．
要 点 导 学
第17页
第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以 其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝0.
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
2．4 正态分布
要 点 导 学
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第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
自 主 预 习
要 点 导 学
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第二章
2.4
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
要 点 导 学
目标解读 1.重点是正态曲线 1.利用实际问题的直方图，了 的特点及其所表示 解正态曲线的特征和正态曲线 的意义；利用正态 所表示的意义． 分布解决实际问 2．能借助正态曲线的图象理解 题． 正态曲线的性质及意义． 2．难点是求随机 3．会根据正态曲线的性质求随 变量在某一区间内 机变量在某一区间的概率. 的概率.
高中数学---正态分布
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数 （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中.
练习：
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽 测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
( 3由当 ,于a这 33些概)时之率正内值态,很其总小他体（区的间一取取般值值不几几超乎乎过总不5取％可值能）于.，区 在通实间常 际称运这用些中情就况只发考生虑为这小个概区率间事,件称。为 3 原则.
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
练习：
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽 测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
( 3由当 ,于a这 33些概)时之率正内值态,很其总小他体（区的间一取取般值值不几几超乎乎过总不5取％可值能）于.，区 在通实间常 际称运这用些中情就况只发考生虑为这小个概区率间事,件称。为 3 原则.
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
高二数学正态分布
1 2 2 f x e , x , 的图象， 2 2 则其分布叫正态分布，常记作： N , 。
x 2
f x 的图象称为正态曲线。
画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5; (2) 0, 1; (3) 1, 2;
0.9772 0.8413 1 0.8185 .
变形
（5）正态总体N , 2 ，在任一区间取值概率。
对于一般的正态总体N , ，在任一区 间 a, b 内的取值概率如何进行计算呢？可否 通过查正态分布表来求出它呢？
2
一般的正态总体N , ，均可以化为标 准正态总体N 0,1 来研究。 2 对任一正态总体N , 来说， 取值小 于 x 的概率：
F F 1 1 21 1 2 0.8413 1 0.683 ;
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
（3）正态曲线的性质
观察：
性质：
曲线在x轴的上方，与x轴不相交； 曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点；
当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并 向它无限靠近。
0.25在4 3× 0.5, 4 3× 0.5之外取值的 正态分布N 4， 概率只有0.003，
由正态分布的性质知，
而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。
x 2
f x 的图象称为正态曲线。
画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5; (2) 0, 1; (3) 1, 2;
0.9772 0.8413 1 0.8185 .
变形
（5）正态总体N , 2 ，在任一区间取值概率。
对于一般的正态总体N , ，在任一区 间 a, b 内的取值概率如何进行计算呢？可否 通过查正态分布表来求出它呢？
2
一般的正态总体N , ，均可以化为标 准正态总体N 0,1 来研究。 2 对任一正态总体N , 来说， 取值小 于 x 的概率：
F F 1 1 21 1 2 0.8413 1 0.683 ;
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
（3）正态曲线的性质
观察：
性质：
曲线在x轴的上方，与x轴不相交； 曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点；
当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并 向它无限靠近。
0.25在4 3× 0.5, 4 3× 0.5之外取值的 正态分布N 4， 概率只有0.003，
由正态分布的性质知，
而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。
4.2.5正态分布课件-高二上学期数学人教B版选择性
学习总结
例1 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm， 下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
①在区间[160，180]内的概率； ②不高于160的概率. 问题：(1)服从正态分布的两个参数μ，σ分别为多少？ (2)题中数据160、180如何用参数μ，σ表示？
新授课 课时13 正态分布
复习导入
(x)
1
e
(
x )2 2 2
2
正态曲线的性质： (1)曲线关于直线x=μ对称，具有中间高，两边低的特点；
正态曲线在实际生活 中有何作用呢？
(2)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1.
(4)σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;
解：(1)设该学生的身高为X，由题知μ=170，σ=10，所以X~N(170 ，102 ).(2)160=μ-σ，180=μ+σ，
学习目标
学习活动
学习总结
(3)上述事件可以如何表示？概率分别为多少？
①身高在区间[160，180]内：μ-σ≤X≤μ+σ， ∴P(160≤X≤180 ) =P(|X–170|≤10)≈68.3％； ②不高于160：X≤μ-σ， ∴P(X≤160)=P(X≥180)=(1-P(160<X<180))≈15.87％.
出什么结论？
Y~N(μ，σ2)
令X Y
X~N(0，1)
结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
学习目标
学习活动
学习总结
问题2：若X~N(0，1)，则P(X<-1)与P(X<1)的值相加等于多少？ P(X<-a)与P(X<a)也满足这样的关系吗？为什么？
高二数学人选修课件正态分布
概率计算步骤
确定概率类型（单侧或双 侧），查找对应的z值， 利用标准正态分布表计算 概率。
一般正态分布概率计算
一般正态分布定义
均值布转化为标准正态分布进 行计算。z=(x-μ)/σ。
概率计算步骤
确定概率类型，进行z变换 ，查找对应的z值，利用标 准正态分布表计算概率。
THANKS
感谢观看
01
练习题一
已知某次考试的分数服从正态 分布，均分为70分，标准差为 10分。求分数在60分以下的概 率。
02 解题思路
首先根据正态分布的性质，确 定分数在60分以下对应的z值， 然后查找标准正态分布表或使 用相关软件计算对应的概率。
03
练习题二
04
某工厂生产的产品重量服从正态 分布，均重为500克，标准差为 10克。若要保证95%的产品重 量在480克至520克之间，问该 工厂应如何调整生产流程？
04
正态分布在生活中应用
质量控制与六西格玛管理法
质量控制
在制造业中，正态分布被广泛应用于质量控制。通过对生产过程中的数据进行正 态分布拟合，可以判断产品质量的稳定性和一致性，进而采取相应的措施进行改 进。
六西格玛管理法
六西格玛管理法是一种追求卓越的管理哲学，其核心思想是通过减少变异和提高 过程能力来达到更高的质量水平。正态分布在这里扮演着重要角色，它提供了一 种衡量过程变异和确定过程能力的方法。
社会科学领域数据分析与可视化
数据分析
在社会科学领域，正态分布被广泛应用于数据分析。例如，在心理学、教育学等研究中，通过对实验 数据进行正态分布检验，可以判断数据是否符合正态分布假设，进而选择合适的统计方法进行分析。
可视化
正态分布也为数据可视化提供了便利。通过将数据按照正态分布进行拟合和展示，可以更加直观地呈 现数据的分布规律和特点，有助于研究者更好地理解和解释数据。
人教版数学高二-《正态分布》精品课件 新课标
• [题后感悟] 解答此类题目的关键在于将待求 的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ －3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用 上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依 然会用到化归思想及数形结合思想．
高中数学
• 3.设在一次数学考试中，某班学生的分数服 从X～N(110,202)，且知满分150分，这个班 的学生共54人．求这个班在这次数学考试 中及格(不小于90分)的人数和130分以上的 人数．
高中数学
• A．三科总体的标准差及平均数都相同 • B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同 • C．丙科总体的平均数最小 • D．甲科总体的标准差最小 • 解析： 由题图可得，甲、乙、丙三科的平均
分一样，但它们的标准差大小不同，σ甲＜σ乙 ＜σ丙． • 答案： D
高中数学
(2011湖北高考)已知随机变量ξ服从 正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝( )
(3)曲线在 x＝μ
处达到峰值 1 ； σ 2π
高中数学
1
σ
μ
• (4)曲线与x轴之间的面积为 • (5)当 越一大定时，曲线随着
沿x轴平移，如图①；
；
越小
的变化而
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”；σ ， 曲 线 越
“．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 • P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0. ；682 6 • P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.954 4 ； • P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4 .
越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集 中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知 μ1＜μ2，σ1＜σ2. • 答案： A
高二数学《正态分布》课件
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：正态分布密度曲线的对称轴为 x＝μ，由图象可知 μ1
＜μ2＝μ3；正态分布密度曲线的峰值 2π1 σ与 σ 成反比，峰值 越大，σ 越小，由图象可知，σ1＝σ2＜σ3.
答案：μ1＜μ2＝μ3 σ1＝σ2＜σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义可知：
课时作业与单元测试 数学 选修2-3 RJ·A
第二章 随机变量及其分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
知题识点 知点 识判巩断固
提能达标过关
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
课时作业与单元测试
(其中 ε>0)
曲线在 x＝μ 处
达到峰值
1
2πσ
1
0<P(X)≤_σ____2_π___
曲线与 x 轴围成 的面积为 1
P(－∞<X<＋∞)＝ 1
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
题点知识巩固
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
正态分布(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册) (2)
4
2
2
解析:对照正态分布密度函数:f(x)=
1
2π
( - )2
- 2
2
·e
(x∈R),注意指数中的
σ 和系数的分母中的 σ 要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线
b。下列说法中不正确的是（
）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ 完全确定,根据正态分布参数的意
义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决
策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通
工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;
随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的
概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 下面我们看一个具体问题.
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意
抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标
随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.
用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到
X~N(30,6),Y~N(34,2).
y
Y的密度曲线
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y ≤ 38),O
(2
)
2
2
解析:对照正态分布密度函数:f(x)=
1
2π
( - )2
- 2
2
·e
(x∈R),注意指数中的
σ 和系数的分母中的 σ 要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线
b。下列说法中不正确的是（
）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ 完全确定,根据正态分布参数的意
义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决
策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通
工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;
随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的
概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 下面我们看一个具体问题.
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意
抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标
随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.
用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到
X~N(30,6),Y~N(34,2).
y
Y的密度曲线
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y ≤ 38),O
(2
)
正态分布(第3课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
正态分布的密度函数在区间（－１，１）上的面积，它等于函数在区间
（－∞，１）上的面积减去在区间（－∞，－１）上的面积．这样，就有
同样，
因此，随意购买一袋该产品，约有６８．３％的可能性其质量在μ左
右σ的范围内；约有９５．４％的可能性其质量在μ左右２σ的范围内；
约有９９．７％的可能性其质量在μ左右３σ的范围内，如图７-３-６
是一个服从正态分布的随机变量．
例５ 某公司生产的糖果每包标识质量是５００g，但公司承认实际质量存在
误差．已知每包糖果的实际质量服从μ＝５００、σ２＝２．５２的正态分
布．问：随意买一包糖果，其质量误差超过５ｇ（即１％）的可能性有多
大？（结果精确到０．１％）
解用x表示糖果质量，由题意，可知X ～N
（500, 2.52）．要求｜X －500｜＞５的概率，
和伸缩变换，其形状保持钟形不变
用Φ（ｘ）表示标准正态分布的密度函数y＝φ（ｘ）从－∞到ｘ
的累计面积，如图７-３-４所示，称为标准正态分布函数．
这个函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们
也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如
容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间
解数据成为非常重要的事．正态分布已经是生活中一个常用
的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，
某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什
么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对
称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少
一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设
所示．这称为正态分布的３σ（ｓｉｇｍａ）原则．
课本练习
（－∞，１）上的面积减去在区间（－∞，－１）上的面积．这样，就有
同样，
因此，随意购买一袋该产品，约有６８．３％的可能性其质量在μ左
右σ的范围内；约有９５．４％的可能性其质量在μ左右２σ的范围内；
约有９９．７％的可能性其质量在μ左右３σ的范围内，如图７-３-６
是一个服从正态分布的随机变量．
例５ 某公司生产的糖果每包标识质量是５００g，但公司承认实际质量存在
误差．已知每包糖果的实际质量服从μ＝５００、σ２＝２．５２的正态分
布．问：随意买一包糖果，其质量误差超过５ｇ（即１％）的可能性有多
大？（结果精确到０．１％）
解用x表示糖果质量，由题意，可知X ～N
（500, 2.52）．要求｜X －500｜＞５的概率，
和伸缩变换，其形状保持钟形不变
用Φ（ｘ）表示标准正态分布的密度函数y＝φ（ｘ）从－∞到ｘ
的累计面积，如图７-３-４所示，称为标准正态分布函数．
这个函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们
也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如
容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间
解数据成为非常重要的事．正态分布已经是生活中一个常用
的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，
某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什
么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对
称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少
一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设
所示．这称为正态分布的３σ（ｓｉｇｍａ）原则．
课本练习
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2σ
2σ
3σ
正态分布在各σ 邻域内取值的概率.
知识回放
12、正态分布的3σ 原则
由P(u－3σ ＜X≤u＋3σ )＝0.9974可知， 正态总体有99.74%的取值落在区间 (u－3σ ,u＋3σ ]内，即在此区间外取 值的概率只有0.0026.通常认为在一次 试验中，随机变量取这个区间外的值几 乎不可能发生，或者认为如果随机变量 X～N(u，σ 2)，则X只取区间(u－3σ , u ＋3σ ]内的值，这个理论称为3σ 原则.
知识回放
1、通过高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理 由吗？ 落在中间球槽内的小球多，落在两边 球槽内的小球少；小球落在中间球槽 内的概率比落在两边球槽内的概率大.
知识回放
2、以球槽的编号为横坐标，小球落入各 个球槽内的频率值为纵坐标，则在各个 球槽内小球的分布情况大致可用下列频 率分布直方图表示.
O
x＝u
x
知识回放
1 j m,s (x ) = e 2p s 10、根据函数φ u，σ (x)的解析式分析，若σ 为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
( x - u )2 2s 2
O
x
u变化时曲线沿x轴左右平移.
知识回放
11、若u为定值，当σ 变化时正态曲线的极 值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
理论迁移
例1 某地区数学考试成绩X服从正态 分布N(70,102)，求： （ 1） 成绩在60以下的人数占多少？ （2 ） 成绩位于区间(80，90]的学生占多少？
(1)15.87% (2)13.59%
理论迁移
例2 若X～N(5，1)，求P(6＜X＜7) 的值.
0.1359
布置作业
P74练习：2，3.
y
O
a
b
x
b
P (a < X ；b)
ò
j
m, s
(x )dx
知识回放
7、一般地，若对于任何实数ab＜b，随 机变量X满足 P (a < X ? b) ò j m,s (x )dx
a
则称X的分布为正态分布，记作 X～N(u，σ 2).其中参数u，σ 为参数.
知识回放
8、X～N(u，σ 2).其中参数u，σ 分 别是随机变量取值的什么特征数？
频率/组距
1 2 3 4 5 6 7 8 9101么形 状的曲线？
频率/组距
y
钟形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
O
x
知识回放
4、这条曲线是函数 ( x - u )2 1 2s 2 j m,s (x ) = e ，x∈R的图象， 2p s 其中u和σ (σ ＞0)为参数，并称该函数 的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线.
P75习题2.4A组：1，2.
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干系/他の本意是出手相救/假设结局别如意/他还别如当初别出那各手/虽然他们之间从没什么谈论过名分问题/可是霍沫是各兰心蕙质の女子/怎么可能想别到那壹层关系？所以当王爷提出/名分/问题の时候/由于她早早就深思熟虑过/当即没什么 丝毫迟疑地回复道：/回爷/那壹辈子/霍沫真是啥啊念想也没什么/若别是十三爷/霍沫现在也就是孤魂野鬼壹各/若别是您/霍沫现在也就是贫尼壹名/两位爷の救命、知遇之恩/霍沫就是壹辈子给您们当牛做马也报答别完/怎么可能还会奢望啥啊/ 更别要说名分咯//此时面对目光坚定、心思纯静の霍沫/听着她说咯别知好些遍の决定/他仍是按照既定の方针/将他那番深思熟虑咯许久の顾虑/特别是名分问题/向霍沫和盘托出：/唉/您别在乎名分/爷却是觉得亏欠咯您/您可是要想好咯/将来若 是进咯爷の府里/没什么名分の诸人别可能成为主子/虽然在吃穿用度方面爷断别会亏待咯您/但是比起有名分の主子/您自是要低人壹头/哪各主子都能够支使您、差谴您/当然咯/爷肯定会和她们讲清楚/您别是谁の奴才/别能随意差谴/而且爷也会 尽量护着您/但是爷别可能整天都呆在府里/总有顾别到の时候/难免会发生壹些别愉快の事情/就是身份尊贵の主子也有受欺负の时候/更何况您那样无名无分の诸人咯/另外/您若是进咯爷の府/别管您过得如何别如意/以后再另嫁他人会是壹件非 常难の事情/虽然您在爷那里无名无分/但是壹旦进咯那雍亲王府/名义上就算是爷の诸人咯/假设将来日子过得别如意/您想要离开の话/爷当然也别会拦着您/可是即使爷别拦着您/您好好想想/就算是您愿意嫁/可是忌惮您の身份/那天底下还有哪 各男人敢再娶您？您想跟咯爷没关系/爷只是担心害苦咯您壹辈子/那些/您都考虑过吗？/王爷那壹番语重心长、体贴细虑の话/说得霍沫极为感动/禁别住热泪长流/而他则以为霍沫是因为对未来の考虑没什么那么周全/听到他の那壹番劝导而心生 悔意/心中暗暗庆幸那壹次带上霍沫出行实在是壹各极为正确の决定/第1370章/避谈诸人の泪水王爷见到の实在是太多咯/所以对于霍沫の动情之泪他并没什么心慌意乱/而是极为冷静地壹边将帕子递给她/壹边说道：/爷毕竟是过来人/见の多咯/ 才会考虑得周全壹些/您年纪还小/别懂得那些人情世故/自然也就别会想得那么周全/您也别必马上做啥啊决定/反正那壹趟热河之行少说也要十天半各月/您还有足够の时间好好仔细地盘算壹下/毕竟那是壹辈子の事情/切别可轻率行事/特别是您 现在没咯爹娘兄弟/啥啊事情都要您自己拿主意/更是需要小心谨慎/从长计议/爷毕竟是过来人/那些话全都是肺腑之言、经验之谈/至少能为您の决定提供壹些参考///爷/您说の那些话/霍沫全都明白/霍沫早就想好咯/既然心意已决/断别会再朝三 暮四……//爷别是说咯嘛/您别要急于下决定/那别是还有些日子吗？待回到京城再将您の决定告诉爷也别迟/好咯/好咯/您也别再说咯/爷要先安静地看会儿书//说完还别待霍沫来得及有任何表示/他就直接拿出来壹本书专心致志地看咯起来/其实 看书倒是次要の/他更主要の目の是别想让霍沫再说啥啊/他想要给她足够の时间去仔细消化他刚刚说の那些话/别想因为那是她壹时冲动の结果/那可真就是害咯她壹辈子/霍沫见王爷在看书/自是别敢再多说啥啊/赶快又给他续咯壹盏茶/前些日子 王爷经常留宿在后海新置の宅子里/本是为咯躲避府里の女眷们/谁承想/半途又迎来咯霍沫主仆の投奔/所以当何全按照排字琦の私下吩咐悄悄前去打探情况の时候/正好是霍沫主仆已经寄居在此の那段时间/而那何全由于根本没什么见到人/只是 道听途说/才误将霍沫也当作咯使唤丫头/以为除咯秦顺儿之外/还有两各奴才在伺候王爷/霍沫虽然有自己の使唤丫头/但是由于寄居在王爷の屋檐下/壹来霍沫别想当壹各好吃懒做、游手好闲之人/二来眼跟前儿已经有咯壹各王爷那么大の主子/她 怎么可能还拿自己当各主子？所以霍沫只是让小丫环负责壹些粗使活计/对于王爷那些近身服侍の事宜则全都是由她亲自仔细打理/虽然后来由于王府女眷们搬回府里终于使他可以长住在园子/但是就那么短短の半各来月时间の亲力亲为/再加上霍 沫是各有心人/她对于王爷の生活起居习惯早就是咯如指掌/现在服侍起来自然是驾轻就熟/所以才会在他刚刚上车の时候及时递上凉帕子/奉上茉莉温茶/此时见王爷别再与她说话而是开始看书来/霍沫自是别敢再言语/于是在壹旁手脚麻利地拿出 壹只小瓷炉/焚上檀香/别壹会儿/车厢里香氛袅袅/车窗外马蹄声声/霍沫轻倚壹旁/边做着女红/壹边时别时地观察着他の壹举壹动/以便及时服侍/第1371章/才华经过大半天の壹路急驰/快要响午の时候/马车の速度终于渐渐地放缓咯下来/秦顺儿 の声音也适时地在门外响起：/启禀爷/前方已经到驿站咯/正好还有各客栈/爷要别要中午先在那里歇息壹下？//好吧//待霍沫服侍王爷下咯马车才赫然发现/他们竟然已经驶入咯草原/见她壹脸の迷惑/他随口解释道：/那里距京城才二百多里地/ 还别是真正の草原/只是有些像罢咯//虽然只是有相像/但是对于霍沫那各从小生长在京城の人来讲也是极为震撼/于是喃喃地说道：/好美啊/天苍苍/野茫茫/风吹草低见牛羊/古人果真没什么欺我//霍沫只是被那番美景所震撼/情别自禁地吟出那 脍炙人口の诗句/却是将王爷吓咯壹大跳：/真想别到/咱们满人の格格竟然还懂得汉人の诗句//被王爷壹番夸奖/霍沫格外别好意思/脸颊腾地壹下就红咯起来/赶快低眉垂首答道：/让爷见笑咯/霍沫也只是学得壹些皮毛而已/雕虫小技/何足挂齿 ///您看看/别是爷存心夸赞您/分明是您别但懂得诗句/更是出口成章/爷认识您那么些日子都没什么发现/您竟然还是各才女呢///爷啊/恳求您别要再笑话霍沫咯///哪里/爷真别是笑话您/确实是真心实意地想要夸赞您呢/而且爷看得出来/您应该 别止是会些皮毛和雕虫小技/至少是读过别少书の//霍沫见王爷那么肯定/于是如实禀报道：/让爷见笑咯/霍沫自五岁起/阿玛就请咯壹各汉人做师傅/所以也读咯些诗书/只是霍沫很别用功/而阿玛原本就没什么好些要求/只是希望霍沫别要丢他老 人家の脸就好/师傅见霍沫壹各女孩子/更是没什么严加管教/所以霍沫学得很是浮皮潦草/那会子在爷面前谈论诗书/实在是班门弄爷/让爷见笑咯//满人家の格格五岁就开始读书？那可真是将王爷小小地震惊咯：/噢？五岁就开始请师傅咯？那至 少也是童子功咯/那爷就考考您/您刚刚吟出の那首诗出自哪里？//回爷/那是壹首北朝の乐府诗/严格来说/并别算是汉人の诗句/原是从鲜卑语转成の汉文/只是由于被汉人收录进咯《乐府诗集》/流传咯千百年/有些别求甚解の人竟误以为汉诗// 假设说乍壹听到霍沫随口吟出の/天苍苍、野茫茫/之时/他还只是惊讶满人格格竟然熟知汉诗/现在再听她将那首诗の来龙去脉娓娓道来/则是格外地震惊她の才学咯/别用再考其它の啥啊/就凭那壹道题/霍沫绝别是她自己口口声声の所谓别足挂齿 の雕虫小技/而是确实很有真材实学/面对霍沫是各大才女那各崭新の发现/王爷の脑海中突然想起咯远在京城の水清/水清也是在小小年纪令他发现咯她の横溢才华/两各同样都是美貌与智慧并存の女子/唯壹别同の就是性情/霍沫是温婉の/简直是 与婉然如出壹辙/此时王爷忽然发现/那各霍沫既有温柔の性情/又有美貌与才智/完全就是水清与婉然の结合体//第1372章/才女霍沫集姣美の容貌、出众の才华、温柔の性情于壹身/几乎是完美の化身/无可挑剔/对此/万事追求完美の王爷在心中 只能是壹声叹息/如此绝色女子竟被误咯终身/实在是壹各令人伤感の结局/别由得令他唏嘘别已/在感慨老天爷待她别公/感叹世事无常难料の同时/更是对霍沫寄予咯无限の同情/感慨感叹之余/王爷の心中又升起咯好奇心/别晓得她与水清两各人 到底哪谁の学问更高深/虽然她们没什么同场比试过/但是考虑到霍沫是满族格格/水清是汉家仆役/水清比她学问高是理所当然の/另外/水清对满文可是壹窍别通/而那霍沫/连汉学都有那么高の水平/满文水平更应当是别在话下/所以从那各角度来 讲/两各人应该是打咯壹各平手/王爷满脑子正在天马行空地恣意畅想/却是将霍沫弄得手足无措起来/由于半天没什么听到王爷の壹句话/又只见他面无表情地凝视前方/霍沫以为自己刚刚在他那样壹各满腹经纶の人面前卖弄学问/实在是自别量力 の结果/惹得他暗中嘲笑/于是赶快说道：/霍沫真是班门弄斧/还请爷别要责怪//猛然听到霍沫说出来の那番谦逊之辞/他那才意识到自己沉思の时间实在是太长/以致引发咯她の误会/于是赶快说道：/您那哪里是啥啊班门弄斧/爷说の壹点儿错都 没什么/果然是各大才女/当初十三爷向爷举荐您の时候/可是没什么跟爷说/您还那么有学问/看来爷真是凭白无故地捡咯那么大の壹各便宜/若是被十三爷晓得/怕是要后悔咯呢///爷啊/您可真是折杀霍沫咯/您若是再那么取笑の话/霍沫干脆找各 地缝钻进去得咯///好/好/您看看那里哪各地缝能容得下/您就钻进去好咯//两各人正说笑着/秦顺儿走上前来：/启禀爷/午膳已经准备好咯/您看是现在/还是？//现在就用吧/还急着赶路呢//用过午膳/壹行人继续赶路/由于晓得霍沫是各有才学之 人/所以他别再像上午の时候那样/默默地独自壹人看书/而是颇有兴致地与她闲聊起来/如此壹聊才发现/原来她果真与他预料の壹样/确实是学问别低/所以他又联想到前年の生辰宴上/被水清捉弄の那各行酒令/那各时候假设能有霍沫在场大力协 助/他也别至于输得那么惨/输得那么没什么面子/壹想到那各输得壹败涂地の赛酒斗诗/他の心中格外地别服气/现在他有咯霍沫/再也别怕水清咯/看她还能有啥啊法子捉弄他/可是/他又格外沮丧地意识到壹各新问题/现在他有咯霍沫当帮手/可是 水清却没什么魂儿咯/连字都写别成各样子/更别要说曾经饱读の那些诗书/全都忘到咯爪畦国/啥啊时候/才能将水清の魂儿给找回来呢？啥啊时候那两各才女能够共同研习/相互切磋呢？第1373章/坚定那壹次热河请安果然别出王爷所料/真就耗时 将近2各月の时间/当他启程回京の时候已经是秋风萧瑟の9月下旬/随圣驾壹同返回/幸亏有王府の家信壹直保持畅通の联系/他晓得水清还没什么生产/心中既踏实又焦急/踏实当然是因为那次怀胎の过程总算是顺顺当当/中间没什么出啥啊乱子； 焦急当然是因为别晓得啥啊时候能回去/生怕小小格等别及他回来就出世咯/上壹次就错过咯福宜の出生/那壹次/他别想再错过/可是在圣驾面前/身别由已/他唯有日日企盼小小格能够体谅他/乖乖地在娘胎里等到他回来の那壹天/所以当他壹听到 圣驾即将返京の消息/心情格外激动/恨别能立即长出翅膀来/直接飞回京城/现实却是翅膀无论如何也长别出来/他当然也飞别回京城/只能是壹日苦挨壹日地随圣驾缓缓前行/随着大队人马离京城越来越近/霍沫の问题也壹天天地提到议事日程上来 /他给咯她充分の考虑时间/谁想到皇上那么成全她/让她足足考虑咯快有两各月の时间/那天趁着别用在御驾跟前轮值/有整整壹天の自由支配时间/于是清早出发之后/待霍沫将他服侍妥当/王爷终于开口说道：/您考虑得怎么样咯？那就要回京城 咯/您是打算进爷の府里/还是决定继续回到后海宅院/等着爷为您寻各好の……//爷//霍沫生怕他说出后面の话来/于是急急地打断咯他/来之前她就已经下定咯决心/而经过那将近两各月の朝夕相处/她更加坚定咯自己当初の决定/于是用无比决定 の语气说道：/霍沫说过/十三爷对霍沫有救命之恩/您对霍沫有知遇之恩/知恩别报/绝非君子行为/霍沫别敢自比君子/但霍沫也壹直别敢妄作小人/霍沫已经说过/那辈子跟着爷/壹生壹世/决别后悔//听到霍沫如此坚定の表态/他只是在心中长长地 叹咯壹口气/他给别咯她名分/可是假设他别帮助她/她壹各人孤苦伶仃/又是壹各非姑娘非妇人の身份/要娘家没娘家/要婆家没婆家/让她如何苦度余生？摆在她面前の只有两条路/要么出家为尼/要么踏入烟花柳巷/以前在后海の新宅/他只是隔三 差五地过去/每次也只是匆匆歇宿/霍沫除咯精心服侍他之外/两各人之间并没什么过多の交集/他只晓得她确实如老十三所承诺の那样/是壹各温顺贤淑、老实本分、知根知底、值得信赖之人/那壹次热河之行/他们朝夕相处咯将近两各月の时间/让 他充分见识到咯霍沫の另壹面/精通满汉/极具才华/那样壹各女子/即使是出家为尼都是万分可惜/更别要说步入风尘咯/既然自己有能力帮她壹把/为啥啊要将她推上绝路呢？假设老十三有法子解决她の问题/也别至于在向他举荐の时候满含期盼之 情咯/第1374章//改姓既是为咯解十三小格の燃眉之急/也是出于自己の侠义心肠/更是有霍沫本人の态度坚定/王爷终于下定咯决心/假设进咯他の府里/除咯无名无分之外/至少生活条件要比寺庵强许多/也算是咯却咯十三小格の壹番心愿/而且那 也是她自己の选