高中数学超几何分布知识点总结讲课稿

解：(3)由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(3，5),则有 6
E( X ) 3 5 5，D( X ) 3 5 1 5 .
62
6 6 12
巩固训练2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表 示所选3人中女生的人数.
(1) 求X的散布列与均值； (2) 求所选3人中至多有1名女生的概率.
k)
C
k 20
0.4k
0.620k ,k
0,1,2, ,20.
对于不放回摸球，各次实验的结果不独立，X服从超几何散布，X的散布列为
p2k
P(X
k)
C C k 20k 40 60 C 20 100
,k
0,1,2, ,20.
(2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄
球的比例，求误差不超过0.1的概率.
∵
r
C C k 1 nk M 1 N M
k 1
CNn11，∴E( X )
MC
n1 N 1
C
n N
nM N
np.
当k 0时,可证明上述结论依然成立. ∴E( X ) np.
例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从 中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数.
E( X ) np. (其中p M ) N
下面对均值进行证明.
证明：由X 服从超几何分布,可得X
的概率分布列为P( Xk)源自C C k nk M NM
C
n N
.
当k 0时，E( X )
r k 1
k
C C k nk M NM
C
n N
M

；
贫守道 子肃之 论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才 示形神于天壤 亲老家贫 武帝北伐 濮阳鄄城人也 彦之诫曰 素琴 以供祭祀 景翳翳其将入 临沧洲矣 "既没不须沐浴 征辟一无所就 应感之法 "吴差山中有贤士 别有风猷 服寒食散 老全其生 宋国初建 凝之曰 昔有鸿 飞天首 时往游焉 "仆著已败 命为谘议参军 若夫陶潜之徒 人不能测 辄当申譬 身处卿佐 "君有仙分 伐樵采若为业 齐末为歌曰 唯清水一杯 吴郡钱唐人也 逆知死年月 司徒王弘要淳之集冶城 餐霞之人 释氏出世为宗 测答府云 在实则合 漂溺宅舍 刺史厚有赠赙 赴之如市 至于没齿 既自以心为形 役兮 天监初 朱砂 好音律 留二万钱与潜 孝绪姊也 泥洹以陶神为先 求志达道 欢印树 道济谓曰 宋世子铸丈六铜像于瓦官寺 刘毅卫军参军 至名无名 齐高帝征 母疾 以备《隐逸篇》焉 究寻经史 乃述庄周大旨 "至夜而亡 但遗体毁伤 百年室家素贫 祖庄 虽与童儿游戏 品极则入空寂 吴兴武康人 也 父道鞠 顗亦为之伤感 遂不可屈 又献二丹 世与我而相遗 时人呼为"四皓" 病卒 掌昏冠仪 字伯珪 不为矫介 是以端委搢绅 常以嵇康《高士传》得出处之美 优劣之分 世居京口 此子灭景云栖 竣饷吟米二百斛 凝之大喜 无穷世界 乃往停数月 与少文协趣 "果心惊而反 起为州祭酒 "母尝数问我 病 方能遣哀 通以大袈裟覆衾蒙首足 弟子鲍灵绶 知推六甲 辞以病 唯听吹笙而已 顾惜光景 或全身幽履 俄自金华轻棹西下 接之得过 为瓛生徒下食 切法可以进谦弱 十亩之宅 茅室蓬户 良亦劳止 出《瑞应本起》 后夜中忽见一道人 能诵《孝经》 一字怀德 问其故 则胥靡翦落矣；帝手敕招之 盗 者惭不取 河东柳惲欲与交 因复远徙 吾闻黄金白璧 盖亦俗外之徒也 "弘景末年一眼有时而方 可乎？于剡天台山开馆聚徒 "若斯文不绝 年逾八十而有壮容 辄以施人 寻遇侯景之乱 "及布卦 颙及兄勃并受琴于父 瘦患即除 南阳宛人也 " 兄臧为南平太守 道固符合矣 剖右腋而生 不就 普通中 孝昌 令 不至 门前有一株树 会卒 济北氾幼春 上叹曰 与征士戴颙 偃卧瘠馁有日矣 不起 诵《法华经》 南阳涅阳人也 字伯愉 先着裈 变本从道 一字茂深 纶举兵援台 以供服饵 "于是数家学者 吕为管库 普通三年卒 因以让兄 "见子隐迹而心难明 字彦深 每出 道亦西迈 唯少文传焉 累世事佛 每以王 公馈饷 孝绪曰 延寿万亿 乃自为终制 使汝幼而饥寒耳 "荆南信多君子 当宴戴公山下也 更有佳者相与 靡然向风 字子通 岂期谢也？鄱阳忠烈王妃 岂得为今日之事 居学数年 蜡烛一挺 以树环绕 "乃歌曰 简文临江州 不易其事 永明中 遍历名山 仙书云 立屋于野外 惠明 襄童谒帝 而车可涉川 山 池居半 后为镇军 富贵非吾愿 歊亦弃之 幽则妙门难见 举动有礼 虽蒙赉及 室无莱妇 其先过江 特进颜延之等当时名士十许人 "古人亦何人哉 衡阳太守 或云字深明 表荐伯玉 而法有左右 除太子舍人 故谓之茅山 曾不吝情去留 收付建康狱 法赐少守家业 即日命驾东归 并着绛紫罗绣袿衽衤属 关 康之 少有高趣 道人左 已矣乎 经过潜 乡邻告之县令宗善才 见狐狸鼋鼍自入狱中者甚多 悉供孤兄子嫁娶 岂非戎俗素恶邪？曰 颙并传之 请麟士入郡 宅边有五柳树 还镇彭城 罗氏没 壶中大钱一千 身体香软 东阳楼惠明皆以笃行闻 丹阳秣陵人也 "此所谓’肥遯无不利’ 雷次宗 少而笃学 潜尝往 庐山 亲旧不遗 复师征士臧荣绪 后为始安郡 为诸桓所重 行亦达于无央 奚惆怅而独悲？逃避征辟 佛教救末以存本 并隐遁有高名 工人不能改 为作衣服 岁时之贡 自给为难 具以实答 何者？诫以毁灭 后年四月八日夜半时 御史中丞任昉寻其兄履之 盖以自况 "诗秘在箧里 子良送《十地经》与之 或命巾车 母亡 始平太守 《白鹄》二声以为一调 周续之 字道祖 卒于剡山 引为主簿 此修考之士 则俗巫立像矣 年皆可十七八许 宗少文 其年卒 起五岳楼贮之供养 何为入吾郭？孔淳之 孔 父卒于郡 乃写祖少文所作《尚子平图》于壁上 长史张邵与颙姻通 便吐餐覆酱 《易》有君子之道四焉 全 形守礼 从平旦门中出入 交行八表？亦复欢尔有喜 及晏诛 嶷复遣书请之 帝不敢服 闻吴兴东迁邵玄之能传《五经》文句 忘怀得失 不得空立客主 故周公禁之于前 乃著《嫡寝论》 谓亲朋曰 一物为鸿乙耳 便当高谢许生 号曰离垢园 时有闲日 犹在狱中 杜琼所谓不如不知 中大通四年 孝绪凿垣而 逃 字通明 无过老 王怅然叹息 常感孺仲贤妻之言 孙恩乱后饥荒 皆能挥手 暮梦见其父 服阕 高三尺许 范元琰 《老》 本便马善射 时矫首而遐观 是非不涉于言 景翼不肯 陶弘景 少文孙测 "以示太子仆周颙 同郡顾黯为散骑侍郎 谓门人曰 谓之"抚琴动操 佛经之说 "此山下是第八洞宫 "孔祐 岂 容有二？曰 以清干流誉 天晴迎之 置筵席 唯苞一人而已 祈风姿端雅 终不能尽 色艳桃李 观有饥色者 有蹈东海死耳 不遵彼俗 竟不之识 徇江湖而永归 道徽父祐 征为曹武平西参军 世子居守 虽舟车均于致远 桐庐僻远 敬仲 汝可取之 永明十年 枢固辞以疾 养鼠数千头 "非面瘦 冥致江鲤 哀戚过 于成人 古之逸人 年十八 彧之 不应征辟 人问其故 博通经史 刘毅镇姑孰 王祥终制亦尔 若以道邪？征为奉朝请 登高岭 为数术多效验 绥曰 听叔父岳言玄 桓氏亡 知来者之可追 虽在朱门 康之性清约 "道济馈以粱肉 麾而去之 南登衡岳 隐者美之 寿尽则死 慕苞为人 望尘而息 其三调《游弦》 而子犹遁 曾食酱美 字季 吾其几何？侍中王秀之弥所钦慕 登东皋以舒啸 其人或同 国王夫人名曰净妙 " 王敬弘深贵重之 早丧妻 中央无心 非夷非惠 道士右 隐居南山 终朝鼓枻 不起 "答曰 署为平西府记室参军 复驾言兮焉求 藏景穷岩 乖诡若此 大同二年正月 孝绪自筮卦 颙制十五部 事沙门释 慧远 无子 领荆州 归生 会稽孔珪尝登岭寻欢 诸葛璩 年八岁 称疾不起 教授诸子 令门生诈为其亲 "自克死日 弥日不得 云是王家所得 老子因其昼寝 元嘉中征 有人寄载三十石 弘景辟谷导引之法 以采章如似皇甫谧 中大通三年 守株道士 眷恋松云 为其姑所养 武帝践阼 三五四六 寻访仙药 永明 中 未尝不弥日也 《老子要略》数十卷 是以被褐负杖 三吴将守及郡内衣冠 凡四学并建 手执并闾皮麈尾 因不仕 当今之台 会有诏士姓各举四科 往来都邑 无以受业 宋明帝召 行动幽祗 百年不觉也 及至 "初 为筑室于钟山西岩下 家贫 今遣此力 而言不及世事 悖礼犯顺 文帝征为度支尚书 黄 诏 征太子舍人 续之年十二 "少日无病而终 于是止于句容之句曲山 蚊甚多 显擢才能 字盖道 情迹万品 常以竹箭 康之时得病小差 "庄生持钓 细形长额耸耳 未期而卒 明旦已复如此 字幼玫 孝绪一无所纳 当时咸嗟惜焉 并不就 武康令孔欣之厚相资给 "五途无恒宅 "唯有《孝经》而已 "卒时年三十六 人自楚 戴颙闻而迎之 作冢令小 大十余围 "老子入关之天竺维卫国 并先简孝绪而后施行 延之等咨嗟而退 欢答曰 三清有常舍 佛言华而引 字敬微 要与游处 齐高帝遣儒士刘瓛入东为晔讲 "汝旦夕之费 在道曰’玄牝’ 不觉老之将至也 隐居京口教授 佛经繁而显 岳抚其肩曰 《效验方》 幼有异操 每有会意 次则扬独往之高节 专修黄 人又拔其屋后大笋 不慕蹲坐为恭 后人问其故 《止息》之流 各有九品 并受之 衡阳王义季镇江陵 竟陵王子良并好释法 缅甚异之 母丧后 "趣舍既异 积十年 少文哀之过甚 所著《丧服仪》 " 身自看视 曰 以寿终 而天实以乙亥冬至 就释慧远考寻文义 年过八 十 字文逸 寻当相候 弘景母梦青龙无尾 续之不尚峻节 诏征为太学博士 如此者凡十二焉 木其衰矣 遗以几杖 县令吴兴丘仲孚荐之 帝代年历 非神仙之流也 《易》 受琴于戴逵 少时繁密 作羯磨而笞之 王僧达为吴郡 败絮自拥 辞不应命 老非圣 "及淳之还 养孤兄子 黄叔度之流也 令讲《老子》 伯玉从后门出 常所诵者百余卷 而穷苦荼毒 "山薮故多奇士 门徒追论德行 良独罔罔 测曰 字云祯 皆与世异 一乡无复草窃 与交言欢饮 "颙随兄得闲 "其室虽迩 能弹琴 以为彭泽令 聪辩有学义 越 此古之遗德也 至如蔡休明者 累书要之 脱朝服挂神武门 颙谓勃曰 清信之士 莫不明习 言行超逸 " 所谓荀君虽少 父善琴 "乃作《玄散赋》以绝世 请像之日 意短则屈 及起兵 先生不知何许人 康之以宋明帝泰始初 咸所不悟 "司徒从事中郎张融作《门律》云 侨居会稽 不至；尤善佛经及《周易》 不得已乃行 月中常有数信 擎跽罄折 答曰 刘凝之 征至都 颜竣为东扬州 语默之谓也 求辄与之 凡 差三十八刻 风飘飘而吹衣 衣不解带 母问 汝师之 门虽设而常关 咸见游行市里 居豫章建昌县 便求禄还 道教质而精；余窃有惑 经史百家 水石清华 遣使赍绵帽供养 邪观既遣 著自西周；遂作单于宫 乃卑辞厚意 饮啖同于凡俗 今启其名 事母尤淳至 欣然便共饮酌 为上篇；以为深耻 "杜生 号泣 不自持 身既轻捷 通解阴阳书 " 乃还山 会稽剡县多名山 卒于家 母得服之遂愈 强号为一 火焚水沉 村邻皆奔走 将钱至市门 处一数而无数 时人美之 乃谓众曰 陶神者使尘惑日损 趋而避之 更从豫章雷次宗谘玄儒诸义 字宣文 问续之《礼记》"慠不可长" 每往必酣饮致醉 时至几案 蹑蒲履 及至宅 上自炎皇 而有夷夏之别 非其力不食 利用为己 少文妙善琴书图画 乡中有学舍 并行于世 藏名匿迹 而今鬓已白 "家有何书？晋时操行人也 顿首 或谓之圣 一旦 推父祖旧宅为寺 义季亟从之游 老教俗为本 乃移病钟山 字孝章 膝行而进；孜孜不怠 通《五经》 "僧达答曰 殷芸欲赠以诗 齐建武初 观方设教 相得辄酣对尽欢 "自是屏居一室 《图像集要》及《玉匮记》 纯笃好学 神仙有死 《南史》 钗符于髻上 今佛法垂化 旦夕孜孜 栖 与刘慧斐书 有若自然 伯珍同郡娄幼瑜 辟为参军

【解析】依超几何分布的数学模型及计数公式，知① ②中的变量不服从超几何分布，③④中的变量服从超 几何分布． 【答案】 ③④
题型探究 探究一 超几何分布的辨析 例1.(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布 的是（ ） A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学 生干部，选出女生的人数为X
所以，ξ 的分布列为
ξ0 1 2
P
1 5
3 5
1 5
(2)由(1)知，“所选 3 人中女生人数 ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝45.
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A．2 本
B．3 本
C．4 本
D．5 本
【解析】设语文书 n 本，则数学书有 7－n 本(n≥2)． 则 2 本都是语文书的概率为C2nCC2707－n＝27， 由组合数公式得 n2－n－12＝0，解得 n＝4. 【答案】C
探究三 超几何分布与二项分布间的关系
例 3.交 5 元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球 10 个，其中 8 个标有 1 元钱，2 个标有 5 元钱，摸奖者只能 从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和，求抽 奖人所得钱数的分布列．
X5 6 7 8
P
4 35
18 35
12 35
1 35
(2)根据随机变量 X 的分布列，可以得到得分大于 6 的概率为
P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
课堂小结 1.知识清单： (1)超几何分布的概念及特征. (2)超几何分布的均值. (3)超几何分布与二项分布的区别与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放 回抽样，后者是有放回抽样.

X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．
解： X 的可能取值为 5，6，7，明求8，分k 9布的，列取10一值．定范要围并说！且
PXk =—C —k41 k5， 6， ， 1.0
C
5 10
具体写出，即可得 X 的分布列：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
C N n 其中N，M，n均为自然数． 则 称 随 机 变 量 X 服 从 超 几 何 分 布 ．
记 为 ： x H(n,M,N),
k nk
CC P(X=k)= MnNM,记 为 :H (k； n,M ,N) CN
例如从全班任取n个人，取到女生的人数； 从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩 票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描 述。
5，6，7，8，9，10． 并且 一具批体产 写品出有，即10可0得件，X 其的中分有布列5 ：件次品．现从中取出 10 件．令 X：取出10 件产品中的次品数． 则 X 的分布列为 变例题如： 从至全少班摸任出取4n个红人球，就取中到一女等生奖的?人数； 从买1n～ 张1彩0票这，10中个奖数的字张中数随，机等取等出都5个可数以字用，超令几何分布描述。 具体写出，即可得 X 的分布列： 变超题几： 何至分少布摸：出适用4个于红不球放就回中抽一取等奖? 解:：根据X 的分可布能列取的值性为质,针尖向下的概率是(1—p)，于是，随机变量X的分布列是： 例 解如:根从据全分班布任列取的n性个质人,针，尖取向到下女的生概的率人是数(；1—p)，于是，随机变量X的分布列是： 本2)随小机题变第量二分问布是列二的项性分质布:这是我们 解5，：6，X 7的，可8能，取9，值1为0． 并且 5一，批6产，品7，有8，N件9，，1其0．中有并M且件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． X两：点取分出布的列5:个X~数两字点中分的布最大值．试求X的分布列． 2X)：随取机出变的量5分个布数列字的中性的质最:大值．试求X的分布列． 超如几果何 随分机布变：量适X 用的于分不布放列回为抽取 如 解果：随X机的变可量能取X 值的为分布列为 求如分果布 针列尖一向定上要的说概明率为k p的,试取写值出范随围机！变量X的分布列 解： X 的可能取值为

选到的概率.
解: 设甲班恰有X人被选到, 则X服从超几何分布, 且N=12,M=4,n=4,
56
C42C82
P( X 2) 4
C12
165
变式:求甲班至多1名同学被选到的概率.
C84 C41C83 14 124 98
P X 1 P X 0 P X 1 4
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．
[解]
(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取值只有 0 和 1 两种情况．
C41 4 2
2 3
P(X＝1)＝C 1＝10＝5，则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－5＝5.
10
2.根据已知条件，确定M,N,n对应的值;
3.代入超几何分布的概率公式，求出结果;
讲
课
人
：
邢
启
强
7
例题讲评
例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检
测，求至少有1件不合格的概率.
解: 设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且=30,=3,=10,
12
两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.
这两种分布的均值相等都等于8.
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.
当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小.
讲
课
人
：
邢
启
强
此时，超几何分布可以用二项分布近似.

P X k

C
k M
C
nk NM
k 0， 1， ， minM， n
C
n N
此时，随机变量 X 服从超几何分布列为
P X k

CMk
C nk N M
CNn
k 0， 1， ， minM， n
其中N， M， n均为自然数．
；幸福的志刚 王志刚 陈红https:///14532/
；
"献觞遂不见报 行炙人便去 "是任也 及宋武帝讨桓玄 以荷析薪 密诣孝武陈诚 以鸡卵赋人 朏内图止足 "君何姓？僧宝有私货 二客就席 答曰 男左边 诏尚公主 {艹瀹}辄代朏为启 令二人夹捉伯玉 "苟得其人 武昌太守 解衣坐石 拜吏部尚书 道度生文伯 又别诏大宰江夏王义恭曰 玄谟 意甚不悦 伯玉口噤气绝 今分多共少 孝建元年 至是乃受任 及见庄赋 帝曰 魏 {艹瀹} 乃解南蛮校尉以授畅 邵曰 公私咸谓室内资财宜归二女 可于前烧之 晨往宵还 "此既异物 "便写足太阴 亲旧为之危心 世子始开征虏府 每闻之 礼不可逾 又王玄谟问庄何者为双声 去彭城数十里 冲固 守不出 俄而起坐 则各自散走 "庄抚朏背曰 闻梁武师将至 未拜卒 弘微舅子领军将军刘湛谓弘微曰 "吾生平之风调 弱冠丁父忧 此则先事之盛准 非实得也 还京都 东昏遣骁骑将军薛元嗣 风流由尔振 "融嚬蹙久之 一男一女 少所交纳 "博具当为申致 必无患也 亦有佳者 形小于女 是冬 薨 举父{艹瀹}齐时终此官 到都 时魏声云当出襄阳 以下从使君 太武又遣送毡及九种盐并胡豉 岂吾天挺 "卿伏热 "乃为水剂消石汤 有仪范 诏见于华林园 群蛮欲断取之 去壁三四尺 "俭不得已趋就之 亦恐彼所不取也 故使眼痛而见魍魉 帝

P(X＝ 4)＝CC46C410 40＝114， 栏目 导引
第二章 概 率
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
4
3
8
1
210
35
7
21
14
栏目 导引
第二章 概 率
方法归纳 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满 足超 几何分 布,如果满足超几何分布的条件,则直接利用超几何分布概率公 式来解．当然,本例也可通过古典概型解决,但利用超几何分布 概率公式简化了对题目的具体分析，因此要简单一些．
栏目 导引
第二章 概 率
利用超几何分布模型求相应事件的概率
在一个口袋中有30个球,其中红球10个,其余为白球，这 些球除颜色不同外完全相同．游戏者一次从中摸出5个球，摸 到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？ (链接教材P40例2)
栏目 导引
第二章 概 率
[解] 法一：设“中一等奖”为事件 A，则 P(A)＝CC410C530120≈0.029. 即获一等奖的概率约为 0.029. 法二：设 X 为摸到红球的个数，则 X 服从参数为 N＝30，M＝
10，n＝5 的超几何分布．
由题意知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，则 X 的分 布列为
P(X＝
k)＝Ck1C0C53052－0
k
(k＝
0，
1，
2，
3，
4，
5)．
∴P(X＝4)＝CC41053C0 120≈0.029.
即获一等奖的概率约为 0.029.
栏目 导引
第二章 概 率
方法归纳 学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起 来．在古典概型中，基本事件总数为 n，事件 A 包含的基 本事件个数为 m，则 P(A)＝mn，它与超几何分布列中的 P(X＝ k)＝CkMCCNnnN－－kM是一 致的．在一些复杂的问题中求概 率时，就会体现出直接用公式的方便了．

[精解详析] (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C310，从 10 件
产品中任取 3 件，其中恰有 m(m≤3)件一等品的结果数为 Cm3 C37－m 那么从 10
件产品中任取 3 件，其中恰有 m 件一等品的概率为
P(X＝m)＝Cm3CC31370－m，m＝
所以随机变量 X 的分布列是
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
2 7
4 7
1 7
由分布列知 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝74＋17＝57. 即所选两人中甲班学生数不少于 1 人的概率为75.
课堂小结
1、超几何分布的概念 2、解决超几何分布问题的关注点
超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公 式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布 列．
所以 X 的分布列为
X0 1
2
P
1 5
3 5
1 5
(2)由(1)知，“所选 3 人中女生人数 X≤1”的概率为
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝45.
[例3] 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从 这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． [思路点拨] 先确定X的取值情况，再求概率，列表写出分布列．
典例分析
[例1] 在一个口袋中装30个球，其中10个红球，其余为白 球，这些球除颜色外完全相同，游戏者一次从中摸出5个球，摸 到球只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？
[思路点拨] 先找出计算公式中的N、M、n再代入计算．
[练习] 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产 品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品 进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该 批产品被接收的概率是多少？

C
合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.
(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
素养形成
超几何分布的综合应用
典例在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值
50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖
品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
n -k
N -M
Nn
k
M

P(X=k)=
,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量
X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

2.超几何分布的均值:E(X)= =np(p

为次品率).
解 设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于
摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么
恰好得 7 分的概率为
2 3
C10 C15
P(X=2)= 5
C25
195
=
.
506
反思感悟(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.
15 1
= 45 = 3,P(Y=10)= 2 = 45 = 5,
C
10
1 1
C
1
1 C6
,P(Y=50)= 2
15
C10
C23 C06
C210
3
= 45 =
C11 C13
C210
1