三角函数模型的简单应用14-12

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

三角函数求w类型及三角换元应用归类目录题型01平移型求w题型02单调区间及单调性求w题型03对称中心(零点)求w题型04对称轴型求w题型05对称轴及单调性型求w题型06“临轴”型求w题型07“临心”型求w题型08区间内有“心”型求w题型09区间内无“心”型求w题型10区间内最值点型求w题型11多可能性分析型求w题型12三角应用：三角双换元题型13三角应用：无理根号型题型14三角应用：圆代换型题型15三角应用：向量型换元高考练场题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。

1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2ωxω>0，将y=f x 的图像向右平移π4个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.2B.4C.6D.82(2022·全国·高三专题练习)将函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是()A.2B.3C.6D.9【变式训练】1(2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数y=tanωx-1ω>0的图像向左平移2个单位长度后，与函数y=tanωx+3的图象重合，则ω的最小值等于()A.2-π2B.1C.π-2D.22(2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数f x =sinωx+π6(ω> 0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数g x =cosωx的图象重合，则ω的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.53(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=cosωx的图象重合，则ω的最小值为()A.14B.12C.34D.32题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递减1(上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题)设ω>0，若函数f(x)=2sinωx在-π3,π4上单调递增，则ω的取值范围是2(广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，且f 3π8 =1，f x 在区间-3π8,-π4上单调，则ω的值为.【变式训练】1函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0 ,若f x 在区间0,π2上是单调函数,且f -π =f 0 =-f π2则ω的值为()A.23B.23或2 C.13D.1或132若函数f (x )=4sin ωx ⋅sin 2π4+ωx 2+cos2ωx (ω>0)在-π2,2π3 上是增函数，则ω的取值范围是.3(2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C 卷)若函数f x =sin ωx +π3ω>1 在区间π,54π上单调递减，则实数ω的取值范围是.题型03对称中心(零点)求w【解题攻略】正弦函数对称中心(k π，0)(k ∈Z )余弦函数对称中心π2+k π，0 (k ∈Z )正切函数对称中心k π2，0 (k ∈Z )1(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )=2tan ωx -π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6,0 ，则f x 的一个最小正周期是()A.π2B.π13C.2π13D.2π72(2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数φ∈-π2，0 ，使得函数y =sin ωx +π6 (ω>0)的图象的一个对称中心为φ，0 ，则ω的取值范围为()A.13，+∞ B.13，1C.13，+∞D.1，43【变式训练】1(2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知f x =2tan ωx +φ ω>0,φ <π2,f 0 =233，周期T ∈π4,3π4 ,π6,0 是f x 的对称中心，则f π3的值为()A.-3B.3C.233D.-2332(2022秋·高三课时练习)已知函数f x =A cos ωx -3sin ωx ω>0 的部分图象如图，f x 的对称中心是k π2+π6,0k ∈Z ，则f π3=()A.23B.-23C.3D.-33(2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数f x =2tan ωx -π3ω>0 的图象的一个对称中心为π6,0，则f x 的一个最小正周期是()A.π3B.π4C.π5D.2π5题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴x =π2+2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =-π2+2k π(k ∈Z )时，y min =-1余弦函数对称轴x =2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-11(2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数f (x )=A cos ωx -3sin ωx (ω>0)的部分图象如图，y =f x 的对称轴方程为x =5π12+k π2k ∈Z ，则f 0 =()A.3B.2C.32D.12(2022·全国·高三专题练习)若x =π3是函数f x =cos ωx ω≠0 图象的对称轴，则f x 的最小正周期的最大值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3【变式训练】1(2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数y =sin x +a cos x 的图像关于x =π3对称，则函数y =a sin x +cos x 的图像的一条对称轴是()A.x =5π6B.x =2π3C.x =π3D.x =π62(“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题)已知向量a=(sin ωx ,cos ωx ),b =(1,-1)，函数f (x )=a ⋅b ，且ω>12,x ∈R ，若f (x )的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是()A.712,1516 ∪1312,1916B.712,1116 ∪1112,1516C.12,712∪1112,1916D.12,1116∪1112,15163已知向量a =sin ωx ,cos ωx ,b =1,-1 ，函数f x =a ⋅b ，且ω>12,ω∈R ，若f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间3π，4π ，则ω的取值范围是A.712,，1516 ∪1312，1916 B.712,，1116 ∪1112，1516C.12，712∪1112，1916D.12，1116∪1112，1516题型05对称轴及单调性型求w1(2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，对任意的x ∈R ，都有f (x +1)=f (-x )，且f (x )在区间-π4,π12上单调，则ω的值为.2(2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学(二)试题)已知函数y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =-π6，且f (x )在π,4π3上单调，则ω的最大值为()A.52B.3C.72D.83【变式训练】1(四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0 满足f π4=2，f π =0，且f x 在区间π4,π3 上单调，则ω的最大值为．2(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin ωx (ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x =3π4，则ω的值可能是() A.13B.23C.1D.433(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x =π4是曲线y =sin ωx -π4(ω>0)的一条对称轴，且函数y =sin ωx -π4 在区间0，π12 上不单调，则ω的最小值为()A.9B.7C.11D.3题型06“临轴”型求w【解题攻略】若f x =A sin ωx +φ A ≠0,ω≠0 的图像关于直线x =x 0对称,则f x 0 =A 或f x 0 =-A .1(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数y =A sin ωx +φ +m A >0,ω>0,φ <π2的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为π2，直线x =π6是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是()A.y =4sin x +π6 B.y =2sin 2x +π6+2C.y =2sin 2x +π3+2 D.y =2sin x +π3+22(2023秋·高三课时练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ ≤π2 ，x =-π8是函数f x 的一个零点，x =π8是函数f x 的一条对称轴，若f x 在区间π5,π4上单调，则ω的最大值是()A.14B.16C.18D.20【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知x =π3，x =π是函数f x =sin ωx +φ ω>0,π2<φ<3π2 图象上两条相邻的对称轴，则φ=()A.πB.3π4C.2π3D.π32(2023春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +23cos 2ωx2-3ω>0 ，且f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2.若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )的图象，且当x ∈0,π4时，不等式2m 2-m ≥g x 恒成立，则m 的取值范围为()A.-∞,-1 ∪12,+∞ B.-∞,-12∪1,+∞ C.-∞,1-174 ∪1+174,+∞ D.-∞,0 ∪12,+∞3(2023春·四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线x =x 1,x =x 2是函数f x =sin ωx +π6,(ω>0)图象的任意两条对称轴，且x 1-x 2 的最小值为π2，则f x 的单调递增区间是()A.k π+π6,k π+2π3,k ∈Z B.k π-π3,k π+π6,k ∈ZC.2kπ+π3,2kπ+4π3,k∈Z D.2kπ-π12,2kπ+5π12,k∈Z 题型07“临心”型求w【解题攻略】函数y=A sinωx+φ+B(A>0,ω>0)的性质：(1)y max=A+B，y min=A-B.(2)周期T=2πω.(3)由ωx+φ=π2+kπk∈Z求对称轴，由ωx+φ=kπk∈Z求对称中心.(4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπk∈Z求增区间；由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求减区间.1(2023春·广东珠海·高三校考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习)函数f x =A sinωx+φ+1，A>0,ω>0,φ <π2的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f x 的图象关于直线x=π12对称，则下列判断正确的是()A.函数y=f x 在-π6,π3上单调递减B.将f x 图象向右平移π3个单位与原图象重合C.函数y=f x 图象关于点-π6,0对称D.函数y=f x 的图象关于直线x=-5π12对称【变式训练】1(2023下·河南焦作·高三统考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023·云南红河·统考二模)已知函数f x =3tan ωx 2+π3(ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4，则ω=()A.2B.4C.8D.163(2021上·四川雅安·高三统考期末)已知函数f (x )=tan (ωx +φ)ω≠0,φ <π2，点2π3,0 和7π6,0 是其相邻的两个对称中心，且在区间5π6,4π3 内单调递减，则φ=()A.π6B.-π6C.π3D.-π3题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w 的表达式时，wx +φ=k 1π(k 1∈z )中不要把k 1写成k ,因为后面还有一个k , wx +φ=k 2π(k 2∈z )中不要把k 2写成k ，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区2020届高考二模数学试题)若函数f (x )=cos (2x +φ)(0<φ<π)在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6 上存在零点，则ϕ的取值范围是()A.π6,π2B.2π3，5π6C.π2,2π3D.π3，π22(2021春•商洛)已知函数f (x )=sin ωx 2+π14sin 3π7-ωx2(ω>0)在[0，π)上恰有6个零点，则ω的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【变式训练】1(2022•湖北模拟)已知函数f (x )=cos ωx -π3 -12(ω>0)在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．2(云南省2020届高三适应性考试数学试题)若函数f x =2sin ωx +φ ω>0，π2<φ<π 图象过点0,3 ，f x 在0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为()A.最小值为13，最大值为43B.无最小值，最大值为43C.无最小值，最大值为73D.最小值为13，最大值为733(2021年全国高考甲卷数学(理)试题变式题16-20题)设函数f x =2sin ωx +φ -1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w ，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.1已知函数f x =sin2ωx -2cos 2ωx +1ω>0 ,x ∈R ，若函数f x 在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围为.2(天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 sin ωx +2π3(ω>0)，(x ∈R )，若f (x )在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围是.【变式训练】1函数f (x )=sin ωx -12+cos 2ωx 2，且ω>12，x ∈R ，若f (x )的图像在x ∈(3π，4π)内与x 轴无交点，则ω的取值范围是.2(2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数f x =sin x 的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,13(2022·全国·高三专题练习)将函数f x =cos x 的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,1题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。

高考数学一轮专题：第19讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=对称，则m的最小值为（）A .B .C .D .2. （2分）要得到的图象只需将的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位3. （2分） (2018高一下·汪清期末) 将函数y＝cos 3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是（）A .B .C .D .4. （2分）要得到函数的图象，可以把函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位5. （2分） (2017高三上·桓台期末) 若f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ| ）的图象如图，为了得到的图象，则需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位6. （2分） (2017高一下·西华期末) 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A . y=2sin（2x+ ）B . y=2sin（2x+ ）C . y=2sin（﹣）D . y=2sin（2x﹣）7. （2分）(2017·枣庄模拟) 将函数y=cos（2x+ ）图象上的点P（，t）向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P1 ，若P1位于函数y=cos2x的图象上，则（）A . t=﹣，m的最小值为B . t=﹣，m的最小值为C . t=﹣，m的最小值为D . t=﹣，m的最小值为8. （2分）已知函数f(x)=sin(ωx+)-1最小正周期为,则的图象的一条对称轴的方程是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·浙江期中) 为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位10. （2分）函数（其中,）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只要将g(x)=sin2x的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分）若函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0）相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为________12. （1分） (2017高三上·辽宁期中) 已知，，则 ________．13. （2分）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间（,）上有最小值，无最大值，则ω=________14. （1分） (2017高一上·密云期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为________．15. （1分）用五点法作函数y=sinx，x∈[0，2π]的简图时，五个关键点的坐标是：________ ，________ ，________ ，________ ，________ ；其中最高点坐标是________ ，最低点坐标是________ ．16. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 给出下列命题：①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；③x=﹣是函数y=cos（2x+ π）的一条对称轴；④函数y=4sin（2x+ ）与函数y=4cos（2x﹣）相同；⑤y=2sin（2x﹣）在[0， ]是增函数；则正确命题的序号________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分）已知函数f（x）=3sin（ + ）+3．（1）写出f（x）的值域（不写过程）；（2）用五点作图法作出f（x）在一个周期上的图象；（3）求f（x）的对称轴；（4）求f（x）的对称中心；（5）求函数f（x）的单调减区间．18. （10分） (2016高一上·无锡期末) 如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△C PQ 周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．19. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知向量，,函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为 .（1）求的单调递增区间；（2）计算；（3）设函数，试讨论函数在区间上的零点个数.20. （10分） (2017高三上·辽宁期中) 已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．21. （15分）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2） .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、二、填空题 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、答案：略14-1、答案：略15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略17-5、答案：略18-1、18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略。

●高考明方向1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．★备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点．2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P59知识点二、例题分析：（一）“五点法”作图例1．（1）《名师一号》P60 高频考点例1（2）12已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .注意:【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出3一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象．变式：用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0,]π上的图象注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是图中的()ABC D4解析 当x ＝0时，y ＝－32，可排除B 、D. 当x ＝π6时，y ＝0，可排除C.注意: 知式选图的策略关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、 极值点、特殊点、特征直线等（二）三角函数的图象变换 例1．《名师一号》P60 高频考点 例1（3）已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：方法1：先平移后伸缩把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，5即可得到y ＝2sin ⎝2x ＋3的图象． 方法2：先伸缩后平移将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．注意：《名师一号》P60 问题探究 问题1在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？可以看出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．6变式：y ＝2sin ⎝ ⎭2x ＋3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．★注意： 图像变换（1）关注哪个函数是初始函数!（2）图象变换只能在同名函数之间进行！ （利用诱导公式进行正、余互化） （3）注意 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别《计时双基练》P249 第7题注意:逆向还原练习1：8月月考第6题为了得到函数2sin(2)6yx π=-的图像，可以将2sin(2)6y x π=+的图像（ ）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 sin sin()y x y x ωϕ=→=+7C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位变式：为了得到函数2sin(2)6y x π=-的图像，可以将2(2cos )6π=+y x 的图像向 平移 个单位答案：右；练习2：函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后 与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x答案：B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位 即得()y f x =的图象，56π即()sin2()sin(2)cos[(2)]6323cos(2)cos(2)66ππππππ=+=+=-+=-+=-f x x x xx x（三）据函数sin()=++y A x bωϕ的图象求解析式例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________；φ＝__________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.例1．（2）（补充）如图所示某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为______，最小用电量为______；(2)这段曲线的函数解析式为________．89解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40，∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (x ∈[8,14])．答案：(1)50万度 30万度(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (8≤x ≤14)注意：《名师一号》P60 问题探究 问题2确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的 步骤是什么？(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：10①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰”点)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. ★特别注意：①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别 ②求得的ϕ有无数个，结合题目条件取其中一个即可（四）三角函数图象与性质的综合 例1．《名师一号》P60 高频考点 例2(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．11解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0.所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π612＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.《计时双基练》P247 第5题例2．《名师一号》P61 特色专题 典例 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.13 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，----关于m 、n 的方程组即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)． 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.14所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【名师点评】 在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．（五）三角函数模型的应用例1．《名师一号》P61高频考点 例3如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．15解：(1)由条件，得A ＝2，T 4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6. ∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4. (2)由(1)可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在圆弧DE ︵上，故OP ＝ 6.“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，S 取得最大值．【规律方法】 本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．课后作业一、计时双基练P249 基础1-9；课本P60变式思考1二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4课本P60变式思考2、3; P62对应训练预习第六节16。

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φωπ2－φω π－φω32π－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­4­1所示，则( )图3­4­1A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图3­4­2所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3­4­2A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32. 10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3­4­3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3­4­3A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。