北京市西城区2011届高三模拟数学(理)试题及答案

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A）1)-（B）(1,-（C）(1)-（D）(1,-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使A B C △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② (0)y x =≤≤；③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若2P A B C=P B B C=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111naaa+++= ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=，sin 5C =c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知c a rd ()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1D C 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段M N 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan 3x =-………………3分由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan 3x =-π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+）………………8分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+.………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C21P X ===； 115227C C 10(3)C21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11010242342121217E X =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结O D .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11AC C A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥O D ， ………………2分 因为 O D ⊂平面1A D C ，1A B ⊄平面1A D C ， 所以 1A B ∥平面1A D C . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B . 所以 (1,2,0)A D =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面A D C 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v. ………………9分所以二面角1C AD C --的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)A E λ=-，1(1,0,1)DC = . ………………11分因为AE 与1D C 成60︒角，所以1112A E D C A E D C ⋅=. ………………12分即12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1D C 成60︒角. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为22143xy+=. ………………4分（Ⅱ）解：当M N x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当M N 与x 轴不垂直时，可设直线M N 的方程为(1)(0)y k x k =-≠. 由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段M N 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834kx x k+=+. ………………8分所以 212324234x x kx k+==+，3323(1)34k y k x k-=-=+.线段M N 的垂直平分线方程为)434(1433222kkx kk k y +--=++.在上述方程中令0=x ，得kk kky 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k+≤-；当0k >时，34k k+≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1x f x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a-；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a-；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. …8分③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a-，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a-；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a -，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………4分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]kk k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()iiii i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n = .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n = .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-= ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i ix y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+= 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()ii i n z y y y =+--11(1)()(1)()iii n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i ni n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()iii n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-= ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--= .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。

北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的 焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框 图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2011.5一、选择题：1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)- 2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35-C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．可能是．．．该锥体的俯视图的是C主视图左视图1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④B ①③④C ．①②④ D. ①②③在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个 C 2个 D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++， 其中26a =-，则实数m 的值为 ；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .A1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω= (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间. 19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过ADOCPBE原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k = ，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32， 11613. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ）1()(1cos 2)22f x x x =+ωω………………………2分1sin(2)26x =++πω, …………………………3分 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分 所以21()32πf =-. …………………………6分 （Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈； ()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为()26k πx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分 则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,3X B . …………………………………11分14()433E X =⨯=. ………………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………..2分∵BD ==∴PO=12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,22E --，则11(,22OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC = .A DO CPB EF∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为)n = ，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC所成角的正弦值为3. ………………………………………14分18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以O POM⋅= ，即(,xy x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -. 由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即|k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A (4)分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+ 2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）36.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D）最大值为5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =你的结论.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．M（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C C AD C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 30 10. 5 11.1；7512.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分 所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分 所以()4x k k π≠π-∈Z ， ………………4分函数()f x 的定义域为{x x ≠,4k k ππ-∈Z }. ………………5分（Ⅱ）c o s 2c o s 2()sin()sin cos cos sin444x x f x x x x ==πππ++ ………………7分2sin cos xx x=+ ………………8分22sin )sin )sin cos x x x x x x-==-+. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin 3x x -=. ………………11分 所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD . ………………3分 （Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠=，OB OD ⊥. ………………4分 又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以((AB AD =-=-………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则y z ==n=(1. ………………7分 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,⋅〈〉===n n n n n n 因为二面角A B D O --是锐角，所以二面角A B D O --的余弦值为. ……………9分 （Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分则(0,3,33)N λλ-，,33)CN λλ=-，由CN ==，即29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或3λ=， ……………12分 所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………13分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND = 或2BN ND =）17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分 X 的分布列：X0 1 2 3 P120 720 920320………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()e xx ax a f x x -+'=， ………………3分 当2a =时，2222()e xx x f x x -+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分 所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. ………………7分 （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩ ………………9分 所以4a >. ………………10分 设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分 因为，512()()e f x f x =， 所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a -+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， ……………1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， ………………2分所以3a =，c =………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分同理可得2219327nn x +-=， ………………8分所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， ………………10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分 设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=.由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==……………12分设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为： (3)分集合组2不具有性质P . ………………4分 因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆，有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅ ， 与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组， 所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②， 由条件①：12t A A A A = ，可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈ 有i A x ∈， 所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. ………………9分1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 0 0 00 1 1 0 0 1由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈ ，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分 因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t≤-，所以7t ≥.又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分 因为12||||||t A A A +++ 等于表格中数字1的个数，所以，要使12||||||t A A A +++ 取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少， 而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C =行； 1的个数为3的行最多3735C =行； 1的个数为4的行最多4735C =行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1.所以12||||||t A A A +++ 的最小值为304. ………………14分北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B = （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）83.已知A B C ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（A ）150（B ）90 （C ）60 （D ）304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 （A ）cos ρθ=（B ）sin ρθ=（C ）cos 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是 （A ）35a a （B ）35S S （C ）nn a a 1+ （D ）nn S S 1+7．如图，四边形A B C D 中，1A B A D C D ===，BD =BD C D ⊥.将四边形A B C D 沿对角线B D 折成四面体A BC D '-，使平面A BD '⊥平面BC D ，则下列结论正确的是（A ）A C B D '⊥（B ）90BA C '∠=（C ）C A '与平面A B D '所成的角为30 （D ）四面体A BC D '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A ）① （B ）②（C ）①③（D ）①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 为虚数单位，则22(1i)=+______.10.在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____.11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12.如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2B A A P =，P T 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则P T =_____.13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.AB CD三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//A B 平面1A D C ； （Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值.17.（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6. （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列.BC 1B 1A 1D18.（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以M N 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = . （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（理科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 80 11. 412.3 13. 0x y ±=，3± 14.，2注：13、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-2cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1A A ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱. ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11C C A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B A C =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥. ……………3分 因为1111C C B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结O D ，因为11AC C A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为11B C 中点，所以O D 为11A B C ∆中位线， 所以1//A B O D ， ………………6分 因为O D ⊂平面1A D C ，1AB ⊄平面1A D C ， 所以1//A B 平面1A D C . ………………8分(Ⅲ)解： 因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形， 90BAC ∠= ，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -.设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，.1111(,,0),(0,11)22A D A C ==- ，， ………………9分设平面1A D C 的法向量为=()x,y,z n ，则有 1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n . ………………10分又因为AB ⊥平面11AC C A ，所以平面11AC C A 的法向量为(1,00)A B =，，………11分cos ,3A B A B A B⋅〈〉===n n n ， ………………12分因为二面角1D A C A --是钝角，所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-. ………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536. ………………4分（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C==.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=. ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分33361(3)20C P X C===，23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====. ………………12分所以，随机变量X………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得32c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+yx. ………………4分（Ⅱ）由22221,,x ya b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a bx x x x b a k-+==+， ………………6分依题意，O M O N ⊥，易知，四边形2O M F N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 42224242188********a a k a aa a-+==---+-. ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. ………………11分所以218k ≥，即(,],]44k ∈-∞-+∞ . ………………13分19.（本小题满分14分） 解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………8分④当12a >时，102a<<，在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有m ax m ax ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ……………11分②当12a >时，()f x 在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故m ax 11()()22ln 2f x f a aa==---. 由12a >可知11ln lnln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，m ax ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-. ………………14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n nnn -⨯=+=-+. ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n nn a =-+.………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， ………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k iii k a a a a kf k i i k i k i k+++--+====+++++，（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有na n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k iiia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i i a >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调减数列； ②若76i i a <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a ik ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{n an 中必有某数重复出现无数次.当B a ∉1时，}6{6ik ai k ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{nan 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分仅供参考angeikong。

高中物理学习材料（灿若寒星**整理制作）北京市西城区2011年高三一模试卷物理试题12011.413．下列各核反应方程中，符号“X ”表示中子的是 A ．X P He Al 3015422713+→+ B ．X Pa Th 2349123490+→C ．X O He N 17842147+→+D ．X Th U 2349023892+→14．下列各选项中，不属于．．．狭义相对论基本结论的是 A ．光子的能量E 与光的频率ν成正比，即E ＝h ν B ．物体的质量随着其运动速度的增大而增大 C ．在不同的惯性参考系中，时间间隔具有相对性 D ．在不同的惯性参考系中，长度具有相对性15．如图所示，一细束平行光经玻璃三棱镜折射后分解为互相分离的a 、b 、c 三束单色光。

比较a 、b 、c 三束光，可知A ．当它们在真空中传播时，c 光的波长最长B ．当它们在玻璃中传播时，c 光的速度最大C ．若它们都从玻璃射向空气，c 光发生全反射的临界角最大D ．若它们都能使某种金属产生光电效应，c 光照射出光电子的最大初动能最大16．已知月球质量与地球质量之比约为1 : 80，月球半径与地球半径之比约为1 : 4，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近 A ．9 : 2 B ．2 : 9 C ．18 : 1 D ．1 : 1817．如图所示，在匀强磁场中有一个矩形单匝线圈ABCD ，AB 边与磁场垂直，MN 边始终与金属滑环K 相连，PQ 边始终与金属滑环L 相连。

金属滑环L 、交流电流表A 、定值电阻R 、金属滑环K 通过导线串联。

使矩形线圈以恒定角速度绕过BC 、AD 中点的轴旋转。

下列说法中正确的是A ．交流电流表A 的示数随时间按余弦规律变化a b cA R A BCDωB M NP Q L KB ．线圈转动的角速度越大，交流电流表A 的示数越小C ．线圈平面与磁场平行时，流经定值电阻R 的电流最大D ．线圈平面与磁场垂直时，流经定值电阻R 的电流最大 18．一简谐机械波沿x 轴正方向传播，波长为λ，周期为T 。

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ）（A）1)-（B）(1,-（C）(1)-（D）(1-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22ab>7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83 （C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ②0)y x =≤≤；③ 1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 函数21()log f x x=的定义域是______． 10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______． 11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若PA BC =PB BC =______． 12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++= ______． 13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=，sin C =，则c = ；a = ． 14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A=，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x +，π[,π]2x ∈. （Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672. 注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+）………………3分令()0f x =，得 πsin(2)3x -=. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分X :………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1AC 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC = . ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅= . ………………12分12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k+==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥.所以00y ≤<，或00y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n = .由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n = .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-= ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+= 即可. ……10分 由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-= ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--= .- 11 - 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列.同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。

北京市西城区2011年高三一模试卷数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则AB 等于 （A ）(2,5) （B ）[2,5) （C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5} 2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ）2x y = （B ）2y x x =- （C ）2y x = （D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则（A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于（A ）31- （B ）32- （C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称 （C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（A ）312,,2x x x 成等差数列 （B ）312,,2x x x 成等比数列 （C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面内，复数2i 1i -对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA =4PC =，圆心O 到BC圆O 的半径为_____.11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______. 12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3O A B DC 正(主)视图 俯视图侧(左)视图件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.16．（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .17.（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.18. （本小题满分14分） 已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. A B C D F E（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ=,2BF FA λ=,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.20.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++-为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.。

北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若复数2()i ix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈ ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ） （B ） （C ） （D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为B（7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（A ）32（B （C ）3 （D ）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区高三二模试卷理数北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A=，{1,0,3}B a=-+，且A B⊆，则a等于（A）1（B）0（C）2-（D）3-2.已知i是虚数单位，则复数23z i+2i3i=+所对应的点落在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.在ABC∆中，“0AB BC⋅>”是“ABC∆为钝角三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不．正确．．的是（A）//CD平面PAF（B）DF⊥平面PAF（C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD 5.双曲线22221x y a b -=的渐近线与圆22(2)1xy +-=相切，则双曲线离心率为（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．已知数列{}na 的通项公式为13na n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k （A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22ab +（A ）最小值为15 （B 5（C ）最大值为15（D ）最大值为55第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.xA B P y O9．在ABC ∆中，若2B A =，:3a b =，则A =_____.10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____.11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 32OP =，则 PC =______；ACD ∠的大小为______. 12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______. 14.数列{}na 满足11a=，11n nn a a n λ+-=+，其中λ∈R ，⋅⋅⋅=,2,1n ．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0na<，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出O AB DC •a b ≥开始 输入,a b否结束S b= S a =输出S 是必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =，得到三棱锥B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =，并证明你的结论.M17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率. （Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若,,21A A …mA 为集合,2,1{=A …，n}(n ≥2且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： U U 21A A …A A m=U ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个,3,2,1{∈i …,m}，使}{},{x y x A i=⋂或}{y .则称集合组,,21A A …mA 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1llklA k A k a . （Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理11a 12a … ma 121a 22a … ma 2 …………1n a 2n a … nma由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,tA A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及++21A A …+iA 的最小值.（其中||i A 表示集合iA 所含元素的个数）。