多元微积分期中复习

多元函数微分学篇总复习内容复习 一、定义多元函数的一些基本概念（邻域，连通集，n 维空间，二重极限，连续等）；偏导数；全微分； 二、重要定理1、 二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩偏导数存在⇒连续函数2、（二元函数）极值的必要、充分条件3、全增量公式、多元函数连续性的一些定理（了解） 三、基本计算（一） 偏导数的计算1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝),(0x x y x f dxd=（2）先求后代法 ),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='（3）定义法 ),(00y x f x '＝xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y∂∂∂∂ ,,,,,y x z z F F z z x F y F x y z x y z '⎧'⎫∂∂=-=-⎪⎪''∂∂⎬⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎩公式法：求导时，地位平等全微分法：一阶全微分形式不变性直接法：地位不平等 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。

3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理),(y x f z =， dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=——dy dx ,勿丢 2、一阶全微分形式不变性 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=对y x ,是自变量或是中间变量均成立。

微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f grad ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由方程组()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9④由方程组()()⎩⎨⎧==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(x z x y t x ωφϕ在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程见P46 例3， P50习题2③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。

多元微积分期中考题（A ）系名 班级 姓名 学号一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 设函数12+x 在)2,0[上的Fourier 展开为)sin()cos(2)(10x n b x n a a x S n n n ππ∑+∞=++=， 则=)0(S 。

2. =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∞→+∞→222lim x y x y x xy 。

3. )(),(x z z x y y ==为由方程组⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 确定的隐函数，z y ≠，则 =dxdy 。

4. 设),(v u f 连续可微，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=z y y x f w ,，则 dw = 。

5. 函数32z y x ++在点)1,1,1(处沿方向⎟⎠⎞⎜⎝⎛−31,32,32的方向导数为 。

6. 函数222y x +在点)1,1(处函数值下降最快的方向为 。

7. 设⎩⎨⎧==ϕρϕρsin cos y x ，则其逆映射的Jacobi 矩阵=∂∂),(),(y x ϕρ 。

8. 设 22)(x y x z +=，其中函数)(x y 是由方程 122=+−y xy x 在点)0,1(),(00=y x 附近所确定的隐函数，则 =′′)1(z 。

9. 已知0),,(=++z z z y x F 确定了隐函数),(y x z z =，其中F 为连续可微函数，0321≠′+′+′F F F ，则=∂∂x z 。

10. 函数yx sin 1sin −在)0,0(点带Peano 余项的二阶Taylor 展开为 。

11. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222223932yx z z y x 在点)2,1,1(−处的切线方程为 。

12. 椭球面 632222=++z y x 在点 )1,1,1(处的切平面为 。

13. 曲面v z v u y v u x ===,sin ,cos 在)4,2,2(π点的切平面方程为 。

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

多元函数微分学复习题多元函数微分学复习题一、偏导数与全微分在多元函数微分学中，偏导数与全微分是非常重要的概念。

偏导数用来描述一个函数在某一点上沿着某个坐标轴方向的变化率，而全微分则是描述函数在某一点上的变化率。

下面我们通过一些具体的例子来复习一下这两个概念。

例1：计算函数 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 在点 (1,2) 处的偏导数。

解：对于 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 ，我们分别对 x 和 y 求偏导数。

对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，即有：∂f/∂x = 2x + 3y对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，即有：∂f/∂y = 3x + 2y所以，在点 (1,2) 处的偏导数分别为：∂f/∂x = 2(1) + 3(2) = 8∂f/∂y = 3(1) + 2(2) = 7例2：计算函数 f(x,y) = e^x + ln(y) 在点 (1,2) 处的全微分。

解：对于 f(x,y) = e^x + ln(y) ，我们需要先计算其偏导数。

对于 x 的偏导数，我们有：∂f/∂x = e^x对于 y 的偏导数，我们有：∂f/∂y = 1/y所以，在点 (1,2) 处的全微分为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy= e^x dx + (1/y) dy= e^1 dx + (1/2) dy= e dx + (1/2) dy二、梯度与方向导数梯度和方向导数是多元函数微分学中与偏导数和全微分密切相关的概念。

梯度描述了一个函数在某一点上的变化率最大的方向，而方向导数则描述了函数在某一点上沿着某个给定方向的变化率。

例3：计算函数 f(x,y) = x^2 + y^2 在点 (1,1) 处的梯度和方向导数，以及在方向(1,1) 上的方向导数。

解：对于函数 f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们先计算其梯度。

梯度的定义为：grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)= (2x, 2y)所以，在点 (1,1) 处的梯度为：grad(f) = (2(1), 2(1)) = (2, 2)接下来，我们计算函数在点 (1,1) 处沿着方向 (1,1) 的方向导数。

多元函数微分学复习题多元函数微分学复习题一、偏导数与全微分在多元函数微分学中，偏导数和全微分是非常重要的概念。

偏导数表示函数在某一变量上的变化率，而全微分则表示函数在所有变量上的变化率。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。

2. 对于函数 z = e^(x+y)，求关于 x 的全微分 dz。

3. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求关于 x, y, z 的全微分 df。

二、链式法则与隐函数定理链式法则和隐函数定理是多元函数微分学中的重要工具，它们用于求解复杂的多元函数导数和隐函数的导数。

1. 对于函数 z = f(x, y) = x^2 + y^2，其中x = rcosθ，y = rsinθ，求 dz/dr 和dz/dθ。

2. 对于方程 x^2 + y^2 + z^2 = 1，求 dz/dx 和 dz/dy。

三、方向导数与梯度方向导数和梯度是用来描述函数在某一方向上的变化率的工具，它们在多元函数微分学中也是非常重要的概念。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求点 (1, 2) 处沿着向量 v = (3, 4) 的方向导数。

2. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求点 (1, 1, 1) 处的梯度。

四、极值与最值极值和最值是多元函数微分学中的核心概念，它们用于求解函数的最大值和最小值。

1. 对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求函数的极值点和极值值。

2. 对于函数 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，求函数在单位球面上的最大值和最小值。

五、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解多元函数在约束条件下的极值问题的方法，它在实际问题中有广泛的应用。

1. 在平面上，求到点 (3, 4) 的最短距离的直线方程。

2011年多元微积分期中考题A卷填空题(每空3分，共15空)(请将答案直接填写在横线上！)1.将定义在区间(0,兀)上的函数e，展成周期为2m的正弦级数，记S(x)为级数的和函数, 则S(O)= °2.lim ----- = 1/e才I x >3.设z = f(x+y,x-y),其中f e C(1)，则dz =(h+ f)dx +(九-九)曲=丁" =#(")〔Y工. e土J u|(w,v)=(x+y,x-y) J Jv| (w,v)=(x+y,x-j)a2z4.设z = x y ,则---- =x y~l(l+ yinx)dxdy5.方程xy + zlny-be yz = e在(0,1,1)点附近确定隐函数z = z(x, y),则臣■= -----^―-dx In y + ye y 注：如只计算偏导数兰在点(0,1,1)的值(- 1/e),仍算正确解答，得3分。

dx尤+ y + z = 06.设y = y(x), z = z(x)为由方程组＜x2y2z2确定的隐函数，c2y b2z ,—T +4 +-T =1[a b c则dy=曾dx a (c y-b z)注：所求导数也可写作也=一"?七? + *|。

dx a [c y + b (x+ 3^)]7.函数x+y2 + z3在点(1,1,1)处沿方向j的方向导数为28.函数x2 + y2在点(1,2)处函数值增大最快的方向为(2,4)9.设cos 伊cos。

，则它的 Jacobi 矩阵的行列式det°3")= -sin^cos^y = cos 伊sin。

10.参数曲面尤=〃 + v, v = uv,z = usinv在(以,v) = (1,0)处的切平面方程为y-z = 0x - y + 2z-6 2x-2y - z-2 x — 1 y + 2 z— 2 ~~T~ -4 -6 71 o 解答完11.曲线<x 2 + y 2 + z 2 = 6: ? 在点(1-1,2)处的切线方程为 z = x+y 12.曲面X 2 + 2/ + 3Z 2=21在点(1-2,2)处的法线方程为 13.曲面z = arc tan —在点[1,1,^ j 处的单位法向量为 ± 14. M 是曲线x = t,y = t 2,z = t 3_h 的一点，此点处切线平行于平面x + 2y + z = 4,则M点的坐标为(―1,1,—1)或6厂万'15.函数/(x, y) = e*(sin y + cos y)在(0,0)点的带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为2 21 工 ),22、l + x+ ^ + — + xy- — + o{x + y )二.计算题(每题10分，共40分)1.求函数f ⑴ T 一，—--的Fourier 级数，并求数项级数习 ---------------------- 的和。