浙江省杭州求是高级中学高考数学一轮复习8.5椭圆学案(无答案)

【考纲解读】1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a+=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆221x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

2．椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

高三一轮复习椭圆学案------ 椭圆的定义、标准方程及性质【学习目标】1、椭圆的定义、性质及标准方程2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质3、椭圆的焦点三角形及相关结论【回顾知识、把握基础】(自主梳理)1.椭圆的定义：在平面内到两定点片、耳的距离的和等于常数(大于|耳笃|)的点的轨迹叫_________ •这两定点叫做椭圆的_______ ,两焦点间的距离叫做_________ .椭圆定义：一个动点P,平面内与两定点Fi，F?的距离的和等于常数(1)若|"1| + |“2|=20＞『/2|，则动点P的点的轨迹是_________________ .(2)若『耳| + |“2|=20 = |耳尸2|，则动点P的点的轨迹是___________ .(3)若|"1| + |“2|=20＜『/2|，则动点P的点的轨迹是________________ .2.椭圆的方程(中心在原点，坐标轴为对称轴)：(1)椭圆的标准方程焦点在X轴上时方程为：_______________________________ .焦点在y轴上时方程为：________________________________ .(2)椭圆的_般方程：__________________________________ .(3)椭圆的参数方程：__________________________________ .3.椭圆的标准方程、图形及几何性质：焦距离心率4.几个重要结论:片、笃是椭圆的焦设。

是椭圆上二+与=l(a〉b > 0)的点, a b⑴S 甲PF? = ____________________________ •(2)当尸为短轴端点时(S AF] PF2 ) max — -------------------------------- •(3)当戶为短轴端点时，ZF{PF2为 ___________ .(4)椭圆上的点 __ 距离片最近，—距离耳最远•a - c ^PF^a + C；PF「PF严百,aj(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短CQ = __________ .(6)如图AABF]的周长为______________ .5.点与椭圆的位置关系：(1)点P(x0, y0)在椭圆一+ 厶■ = l(a > b > 0)的上 o __________________________ .a b2 2(2)点P(x0, y0)在椭圆—z- + ________________________ = 1(Q > b >0)的内部 O ・a b2 2(3)点P(x。

第五节 椭 圆【考纲下载 】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．认识圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形联合的思想．1． 椭圆的定义(1)知足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点 F 1， F 2 的距离的和等于常数； ③常数大于 |F 1 F 2 |.(2)焦点：两定点． (3)焦距：两焦点间的距离．2． 椭圆的标准方程和几何性质x 2y 2标准方程 x 2 y 2学科王a 2＋ b2＝ 1(a ＞ b ＞0)b 2 ＋ a 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)图形－ a ≤x ≤ a ，－ b ≤ x ≤ b ， 范围学科王－ b ≤ y ≤ b－ a ≤ y ≤ a学科王对称性对称轴：坐标轴，对称中心： (0,0)性极点A 1(－ a,0)， A 2 (a,0)， A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)，B 1(0，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b,0)， B 2(b,0)轴长轴 A 1 A 2 的长为 2a ，短轴 B 1B 2 的长为 2b学科王质焦距 |F 1F 2|＝ 2c离心率e ＝ c， e ∈ (0,1)aa ，b ，c c 2＝ a 2－ b 2的关系1．在椭圆的定义中，若 2a ＝ |F 1 F 2 |或 2a<|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当 2a ＝ |F 1 F 2 |时动点的轨迹是线段 F 1F 2；当 2a<|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有如何的关系？提示：离心率 e ＝a c越靠近 1，a 与 c 就越靠近， 进而 b ＝ a 2 －c 2就越小， 椭圆就越扁平；同理离心率越靠近 0，椭圆就越靠近于圆．1．已知 F 1，F 2 是椭圆x 2 ＋ y2＝ 1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于 A ， B 两点，在△16 9 AF 1B 中，如有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3分析：选A依据椭圆定义，知△ AF 1B 的周长为 4a ＝ 16，故所求的第三边的长度为 16－ 10＝ 6.222．椭圆 x＋ y＝ 1 的离心率为 ()16 81 132A. 3B.2C. 3D. 2分析：选 D在椭圆 x 2 y 2222222，＋＝ 1 中， a ＝ 16， b ＝ 8，所以 c＝a － b ＝ 8，即 c ＝ 216 8所以，椭圆的离心率e ＝ c ＝22＝ 2x2y2a 42.3．椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的右焦点到直线 y ＝ 3x 的距离是 ()1 3 C ．1 D. 3 A.2 B. 2分析：选 B在椭圆 x2＋ y 2＝ 1 中， a 2＝ 4，b 2 ＝3，所以 c 2＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝ 1，所以，其4 3右焦点为 (1,0)．该点到直线y ＝ 3x 的距离 d ＝| 3－0|＝ 332＋ －122 .4．已知椭圆的方程为2x2＋3y 2 ＝m(m>0) ，则此椭圆的离心率为 ________．m2 226 ＝分析： 椭圆 2x 2＋3y 2＝ m(m>0)可化为 x ＋y＝1，所以 c 2＝ m －m＝ m，所以 e 2＝c2＝mm236am2 321，即 e ＝ 333 .答案：335．椭圆 x 2＋ my 2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的2 倍，则 m ＝ ________.2 2 2 y 221 2分析： 椭圆 x＋ my ＝1 可化为 x ＋＝ 1，由于其焦点在y 轴上，∴ a ＝， b ＝ 1，1mm依题意知11＝ 2，解得 m ＝ .m4答案：14压轴大题巧打破 (一 )与椭圆相关的综合问题求解x 2y 23[典例 ](2013 天·津高考 )(13 分 )设椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左焦点为 F ，离心率为 3，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程；(2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右极点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ，D 两点．若AC ·DB ＋ AD ·CB ＝ 8，求 k 的值．[ 化整为零破难题 ](1)基础问题 1：如何获得 a 与 c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题 2：如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？直线 x ＝－ c 与椭圆订交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题 1：如何求 A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右极点即为 (－ a,0)， (a,0) ．基础问题 2：设 C(x 1， y 1)， D (x 2， y 2)，如何找寻 x 1＋ x 2， x 1x 2 呢？将直线方程与椭圆方程联立， 消去 y 获得对于 x 的一元二次方程． 利用根与系数关系即可获得．基础问题 3：如何表示 AC ·DB ＋ AD ·CB ？ 利用向量的坐标运算即可．[规范解答不失分](1) 设 F ( － c, 0) ，由 c＝ 3 ，知 a ＝3c ，a 3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x ＝－ c ，代入椭圆方程有解得 y ＝ ± 6b ， ①32 6b 4 32于是 3 ＝ 3 ，解得 b ＝ 2，则 b ＝2. 又由于 a 2－ c 2＝ b 2，进而 a 2＝ 3， c 2＝ 1，x 2 y 2 所以所求椭圆的方程为 3 ＋2＝1.4(2)设点 C x 1，y 1 ， D x 2， y 2，②由 F ( － 1,0) 得直线 CD 的方程为 y ＝k(x ＋1)，由方程组－ c 22 y＝ 1，a 2＋ b 22 分分y ＝ k x ＋ 1 ，2 2 x ＋ y ＝ 1，3 2消去 y 得2＋ 3k 2x 2＋6k 2 x ＋3k 2－ 6＝ 0.③63k 2－ 6分依据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－ 6k 2 8分2， x 1x 2＝2.2＋ 3k2＋ 3k由于 A ( － 3，0) ，B (3，0)，所以 AC ·DB ＋AD ·CB= x 13, y 13 x 2 , y 2 x 23, y 2 3 x 1, y 1④＝ 6－2x 1x 2 － 2y 1y 2＝ 6－2x 1x 2－ 2k 2( x 1＋ 1)(x 2＋ 1)＝ 6－(2＋ 2k 2 2 22k 2＋ 12 .11 分)x 1x 2－ 2k (x 1＋ x 2)－ 2k ＝6＋ 2 2k 2＋12 2＋ 3k由已知得 6＋13分2 ＝ 8，解得 k ＝ ± 2. 2＋ 3k[易错警告要切记 ]易错点一①处易用 a，b，c 三个量来表示 y，造成运算大而出现错误，原由是忽视a，b，c 三者的关系易错点二②处易忽视设点，尔后边直接用根与系数的关系，造成不谨慎，出现错误易错点三③方程整理错误易错点四④处公式记忆禁止，向量坐标运算错误。

第五节椭圆1．椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2．椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质．知识点一椭圆的定义易误提醒当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．[自测练习]1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3 C．5 D．7解析：∵a2＝25，∴2a＝10，∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.答案：D知识点二椭圆的标准方程和几何性质易误提醒 注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．(2)以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，注意以下公式的灵活运用：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ； ③S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ.[自测练习]2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m .椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32. 答案：323．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为________．解析：由题意得2a ＝6，故a ＝3.又离心率e ＝c a ＝13.所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝8，故椭圆方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝14．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ，该椭圆的离心率是e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1.答案：3－1考点一 椭圆的定义及方程|1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF . 在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝52－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B3．若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.答案：C椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．考点二 椭圆的几何性质|(1)(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9(2)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13[解析] (1)由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. (2)由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2， ∴|PF 2||PF 1|＝2.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.[答案] (1)B (2)A求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(2)求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a ，b 的关系．e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2⇒ba＝ 1－e 2.1．如图，已知F1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32解析：因为过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，所以可得∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c .因为|F 1F 2|＝2c ，所以可得|MF 1|＝3c .由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，可得离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：A考点三 直线与椭圆的位置关系|已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝3，又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. ∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2，∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2.坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2.令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t，t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2，即4k 2－3＝2，k ＝±72时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为y ＝±72x －2.2．(2016·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，32，离心率为22，点F 1，F 2分别为其左、右焦点． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP →⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得c a ＝22，得b ＝c .因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322b 2＝1(a >b >0)，得c ＝1，所以a 2＝2，所以椭圆C 方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0<r <1)． 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4bk 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴＋k 2b 2－1＋2k 2－4k 2b 21＋2k2＋b 2＝0，∴3b 2＝2k 2＋2. 此时Δ＝323k 2＋83>0恒成立．∵直线PQ 与圆相切，∴r 2＝b 21＋k 2＝23，∴存在圆x 2＋y 2＝23.当直线PQ 的斜率不存在时，也存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝23满足题意．26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】 (2015·山西大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [思维点拨] 利用对称性分|PF 1|＝|F 1F 2|，|PF 2|＝|F 1F 2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．[解析] 6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c >2c ，且2c ＋2c >2a －2c ，解得13<e <12.综上可得13<e <12或12<e <1，故选D.[答案] D[方法点评] 椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．[跟踪练习] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝ca |PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c .因为|PF 2|是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．答案：(2－1,1)A 组 考点能力演练1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A.22 B.32C.3－12D.3－1解析：由题意，可设椭圆的焦点F 的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点⎝⎛⎭⎪⎪⎫c 2，32c 在椭圆上，代入得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，即e 2＋3e 21－e 2＝4，得e 2＝4－23，解得e ＝3－1，故选D.答案：D2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点为M (1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D3．(2016·厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△FAB 周长的最大值是8，则m 的值等于( )A ．0B ．1 C. 3D ．2解析：设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为AF ＋BF ＋AB ≤AF ＋BF ＋AF ′＋BF ′＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B.答案：B4．已知F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．9B ．16C ．25D.252解析：设P (x ，y )，则|PF1→|＝a －ex ，|PF 2→|＝a ＋ex ， ∴|PF1→|·|PF 2→|＝(a －ex )(a ＋ex )＝a 2－e 2x 2. 当x ＝0时，|PF 1→|·|PF 2→|取最大值a 2＝25. 答案：C5．已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22 解析：设P (x ，y )，PF1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF1→·PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a2c 2－b 2c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1. 答案：B6．(2016·黄山质检)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆(x －2)2＋y 2＝1与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c ＝1，a ＝3，e ＝c a ＝13.答案：137．(2015·泰安模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝18．(2016·保定模拟)直线l 过椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，O 为原点，若△FMO是以线段OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为________．解析：因为△FMO 是以线段OF 为底边的等腰三角形，所以直线OM 与直线l 的斜率互为相反数．设直线l 的斜率为k ，则有k ·(－k )＝－12，解得k ＝±22. 答案：±229.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a,4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y2b2＝1，消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线x ＝－1上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l ⊥MN .证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1.又椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，所以a 2＝4，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (－1，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y －y 0＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y －y 0＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋(8ky 0＋8k 2)x ＋(4y 20＋8ky 0＋4k 2－12)＝0，所以x 1＋x 2＝－8ky 0＋8k 23＋4k 2.因为P 为MN 中点，所以x 1＋x 22＝－1，即－8ky 0＋8k 23＋4k 2＝－2，所以k ＝34y 0(y 0≠0)．因为直线l ⊥MN ，所以k l ＝－4y 03，所以直线l 的方程为y －y 0＝－4y 03·(x ＋1)，即y ＝－4y 03⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，显然直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝－1，此时直线l 为x 轴，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.综上所述，直线l 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析：设椭圆的左焦点为F 1，半焦距为c ，连接AF 1，BF 1，则四边形AF 1BF 为平行四边形，所以|AF 1|＋|BF 1|＝|AF |＋|BF |＝4.根据椭圆定义，有|AF 1|＋|AF |＋|BF 1|＋|BF |＝4a .所以8＝4a ，解得a ＝2.因为点M 到直线l ：3x －4y ＝0的距离不小于45，即4b 5≥45，b ≥1，所以b 2≥1，所以a 2－c 2≥1,4－c 2≥1，解得0<c ≤3，所以0<c a ≤32，所以椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32.故选A. 答案：A2．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c ，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22. 答案：223．(2015·高考陕西卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.4．(2015·高考天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 2x ＋2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0) 时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，233.。

第5讲 椭 圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M 与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的轨迹为 椭圆F 1、F 2为椭圆的焦点|F 1F 2|为椭圆的焦距|MF 1|＋|MF 2|＝2a 2a ＞|F 1F 2|标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：(0，0)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca，e ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]1．(选修2­1P40例1改编)若F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 2100＋y 29＝1 C.y 225＋x 216＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 解析：选A.设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.2．(选修2­1P49A 组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－12C ．2－ 2 D.2－1解析：选D.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.[易错纠偏](1)忽视椭圆定义中的限制条件； (2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论； (3)忽视点P 坐标的限制条件．1．平面内一点M 到两定点F 1(0，－9)，F 2(0，9)的距离之和等于18，则点M 的轨迹是________．解析：由题意知|MF 1|＋|MF 2|＝18，但|F 1F 2|＝18，即|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是一条线段．答案：线段F 1F 22．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，所以m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，所以m ＝8.所以m ＝4或8.答案：4或83．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1椭圆的定义及应用(1)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．(2)(2020·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】(1)如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝22－⎝⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF＝tan∠HFO＝15212＝15.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)15 (2)3(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .1．(2020·温州模拟)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2解析：选A.因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6，又因为|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又易知|F 1F 2|＝25，显然|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，故△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8<16，所以动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝48，又焦点C 1、C 2在x 轴上，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：x 264＋y 248＝1椭圆的标准方程(1)(2020·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的标准方程为________．【解析】 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)不妨设点A 在第一象限，如图所示．因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝b 2.因为|AF 1|＝3|BF 1|， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2.将B 点代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，所以259c 2＋b 29＝1.又因为b 2＋c 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23.故所求的方程为x 2＋y 223＝1. 【答案】 (1)A (2)x 2＋y 223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，则椭圆C 2的方程为________．解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝13．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆的方程为________________．解析：法一：(待定系数法)因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m2＋y 2n 2＝1(m >n >0)， 则1－⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝14.从而⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6.所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且kh ＝32，解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：(椭圆系法)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t >0)，将点 (2，－3)代入，得t ＝224＋（－3）23＝2.故所求方程为x 28＋y26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x2254＝1.答案：y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 26＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要命题角度有：(1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)； (4)椭圆性质的应用．角度一 由椭圆的方程研究其性质已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)【解析】 因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)． 【答案】 D角度二 求椭圆离心率的值(范围)(1)(2020·丽水模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．【解析】 (1)因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ， 解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. (2)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ， 又O 为线段F 1F 的中点， 所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ， 故e ＝c a ＝22. 【答案】 (1)C (2)22角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D角度四 椭圆性质的应用(2020·嘉兴质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．【解析】 设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.【答案】 4(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca ＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．1．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)解析：选B.因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A.以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A.3．椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．解析：设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53[基础题组练]1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63解析：选C.PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．(2020·杭州地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.34 B.23 C.45D.54解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝54.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 解析：选A.因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)的中心都在原点，且它们有四个交点，所以圆的半径⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c ＞bb 2＋c ＜a，由b2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2＜5c 2， 所以e ＝c a ＞55； 由b2＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ， 再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2， 所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ， 所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9a 2＞25c 2，所以c 2a 2＜925，所以e ＜35.综上所述，55＜e ＜35. 7．(2020·义乌模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2020·义乌模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．解析：圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.答案：139．(2020·瑞安四校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2310．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．解析：设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4c c ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[综合题组练]1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.2．设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接OQ ，F 1P 如图所示， 由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)， 解得b ＝23a .则c ＝53a ，故椭圆的离心率为53. 答案：535．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程是x 220＋y 210＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

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8.5 椭圆［课时跟踪检测][基础达标］1．(2017年浙江卷)椭圆错误!＋错误!＝1的离心率是( )A。

错误!B．错误!C。

错误!D．错误!解析：由椭圆方程，得a2＝9，b2＝4.∵c2＝a2－b2＝5，∴a＝3，c＝错误!，e＝错误!＝错误!。

答案:B2．(2017年全国卷Ⅲ)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的左、右顶点分别为A1，A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析:∵点A1,A2是椭圆的左、右顶点，∴｜A1A2｜＝2a，∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2＋y2＝a2，该圆的圆心为（0,0）,半径为a.又∵该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切,∴圆心(0,0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离等于半径,即|b·0－a·0＋2ab｜b2＋－a2＝a，整理得a2＝3b2.又∵在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，故选A。

答案:A3．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k〈9)的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：c2＝25－k－（9－k)＝16，所以c＝4,所以两个曲线的焦距相等．答案:D4．椭圆C：错误!＋错误!＝1的左、右顶点分别为A1，A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1］，那么直线PA1斜率的取值范围是( ）A。