南京盐城高三一模数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I . 2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<L L ，*n k N ∈. ①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21.（选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵222222M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a L ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数A ； （2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数B。

南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试英语参考答案2024. 03第一部分听力（共两节，满分30分）1. C2. B3. A4. B5. A6. B7. A8. C9. C 10. B11. B 12. A 13. C 14. B 15. C 16. C 17. A 18. C 19. A 20. B第二部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2. 5分，满分37. 5分）21. B 22. A 23. D 24. D 25. A26. D 27. C 28. A 29. C 30. C31. B 32. D 33. C 34. B 35. B第二节（共5小题；每小题2. 5分，满分12. 5分）36. D 37. G 38. B 39. E 40. A第三部分语言运用（共两节，满分30分）第一节（共15小题；每小题1分，满分15分）41. B 42. A 43. C 44. C 45. D46. A 47. B 48. C 49. D 50. B51. C 52. A 53. D 54. B 55. D第二节（共10小题；每小题1. 5分，满分15分）56. with 57. or 58. Made 59. pursuit 60. a 61. Basically 62. to possess 63. their 64. where 65. are chosen第四部分写作（共两节，满分40分）第一节（满分15分）Dear Editor，I contributed to your ＂Interpersonal Relationships＂ column a month ago. Not having received any response yet， I am writing to inquire about it.Titled ＂Strangers under the Same Roof＇， my article explores various practical strategies for us teenagers to maintain a harmonious parent-child relationship. Does it ring a bell with you?I’m eager to know if my contribution has been selected for publication or if any further modifi-cations are needed.Thank you for your attention. Looking forward to your reply. （80 words）Sincerely，Li Hua第二节（满分25分）There， a party was waiting for him. The moment Allen stepped inside， a chorus of ＂Happy Birthday＂ filled the meeting room， and he found himself surrounded by lots of police officers holding balloons. Officer Smith introduced him to all the officers， who gave him high fives. Allen was thrilled， and his eyes sparkled with excitement as he looked at the grand police-themed cake. As Allen cut into the cake with the help of his mom， the room erupted into cheers and laughter，adding to the joyful atmosphere. （80 words）After they enjoyed the cake， Officer Smith took out a gift bag. ＂It’s for you. He presented the delicately wrapped parcel to Allen， who was stunned by the surprise. ＂Wow， a model police car！ It looks exactly like the one we came here in！ Thank you！＂ Officer Smith smiled，＂Anytime， Allen. ＂ Allen hugged Officer Smith and thanked him again for making the otherwise crushing disappointment his time to shine. It was the local heroes who helped by being part of the community and inspiring the young soul in small but effective ways. （80 words）书面表达评分建议应用文写作（满分15分）一、评分原则1. 本题总分为15分，按5个档次给分；2. 评分时，先根据文章的内容和语言初步确定其所属档次，然后以该档次的要求衡量、确定或调整档次，最后给分；3. 词数少于60，从总分中减去2分；4. 评分时，应主要从以下三个方面考虑：（1）内容要点的覆盖、表达的清楚程度以及合理性；（2）使用词汇和语法结构的准确性、恰当性和多样性；（3）上下文的衔接和全文的连贯性。

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.若集合(,1]A =-∞，{}1,1,2B =-，则AB = ▲ ．2.设复数z a i =+（其中i 为虚数单位），若2zz =，则实数a 的值为 ▲ ．3.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A那么此样本的容量n = ▲ ．4.从1,2,3中选2偶数的概率为 ▲ ．5.如图所示流程图中，若输入x 的值为4-，则输出c6.若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 7.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当x >()+1x f x e =，则()ln 2f -的值为 ▲ ．8.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，3=7S ，则5a 的值为 ▲ ．9.如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4PA =，AC =1BC =，,E F 分别为,AB PC 的中点，则三棱锥B EFC -的体积为 ▲ ．10.设(){},347A x y x y =+≥，点P A ∈，过点P 引圆()()222+1=0x y r r +> 的两条切线,PA PB ，若APB ∠的最大值为3π，则r 的值为 ▲ ．C第9题ABPEF11.设函数()sin()3f x x πω=+，其中0ω>.若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围是 ▲ ．12.若正实数,,a b c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ▲ ．13.设函数()()320,0f x x a x a x =->≥，O 为坐标原点，()3,1A -，(),0C a ，对函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅成立，则a 的值为 ▲ ． 14.若数列{}n a 满足1414242430,3n n n n a a a a a ----=-=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n N *∈，且对任意n N *∈都有n a m <成立,则m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，若2S AB AC =⋅. （1）求角A 的大小； （2）若7c =，4cos 5B =，求a 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱1,BC CC 上的点(其中点D 不同于点C )，且AD DE ⊥，F 为棱11B C 上的点，111A F B C ⊥于点F .求证：(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ；(2) 1//A F 平面ADE .第16题盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，其中x 为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6. （1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln6 1.8=）18. (本小题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线()():l y k x m m R =-∈与椭圆交于P Q 、两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k .①若0m =，求12k k 的值； ②若1214k k =-，求实数m 的值.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 设函数()32()1f x x tx t R =-+∈.（1）若函数()f x 在(0,1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行；（3）当=3t 时，函数()f x 的图象存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组.20. (本小题满分16分)已知数列{}n a , 其中n N *∈.（1）若{}n a 满足()1+10n n n a a q q n N -*-=>∈，.① 当12, 1 q a ==且时，求4a 的值；② 若存在互不相等的正整数,,r s t ，满足2s r t =+，且,,r s t a a a 成等差数列，求q 的值；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n c ，+2=3,n n c b n N *-∈，若2121+21, 2, n n n a a a a a k +==-≤且恒成立，求k 的最小值.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1,1- 2. 1± 3. 80 4. 135. 46. 67. 3-8. 1610. 1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 8713. 14. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由2S AB AC =⋅，得sin cos bc A bc A =,所以tan 1A =,因为()0,A π∈，所以4A π=……6分 （2）ABC ∆中，4co sB =,所以3s i n5B =，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=分 由正弦定理sin sin a cA C=，得221=，解得=5a ....................................................................14分（评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. .................. ....... .......................2分 因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE相交，所以AD ⊥平面11B B C C ，又因为AD ⊂平面A D E ,所以平面⊥A D E 平面11B B C C .................... .................6分(2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面11A B C . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F B C ⊥，在平面11B BCC 中1111BB B C B =，所以1A F ⊥平面11B BCC , . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分 在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面A,所以//1F A 平面A. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE ”，扣2分.） 17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分（2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f 令0)(='x f 得时. ………………12分答：（1）实数m 的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 的离心率为12c e a ==，两准线间的距离为228a c =得24a c =，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………………………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………………5分所以202000122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+--…………………………………………………………8分（3）由（1）得()2,0A -.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得222111(34)1616k x k x k +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………………………………10分 所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++………………12分 由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………………………13分 设(),0M m ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()221143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)84120k x m k xm k+-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k-⋅=+………………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， …………13分化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k m k k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………………………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x xtx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =， 因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. ……………………………4分 （2）方法一:令()232=f x x tx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，0∆>，此时2320x tx p --=存在不同的两个解12,x x .……………………………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x t x '=-，令()1f x '=，则23210x t x --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t ，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t 为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.…………………………………………………………………8分） 设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x t x x x t x=--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t ，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分（3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >， 过点A的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+…………………………………………………11分所以，两条平行线间的距离12d ==，化简得()()262111=1+911x x ⎡⎤---⎣⎦，……………………………………………………………………………13分令()()211=0x λλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0, , =2x x x x x λλ-≥>+，所以1x 有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分 20．解：（1）由434a a -=，322a a -=，211a a -=，累加得48a =.……………………………………3分（2）①因11n n n a a q -+-=，所以21n n n a a q ---=，，211a a -=，当1q =时，n a n =，满足题意； 当1q ≠时，累加得1111nn q a a q+-=+-，所以1111n n q a a q--=+-………………………………………………5分若存在,,r st 满足条件，化简得2s r t q q q =+，即22r s t s q q --=+≥=，此时1q =（舍去）………………………………………………………………………………………………7分 综上所述，符合条件q 的值为1. ………………………………………………………………………………8分（2）②由*2,3N n b c n n ∈-=+可知331-=++n n b c ,两式作差可得：123++++=n n n b b b ，又由4,121==c c ，可知7,443==b b 故123b b b +=，所以n n n b b b +=++12对一切的*Nn ∈恒成立……………………11分对123++++=n n n b b b ，n n n b b b +=++12两式进行作差可得123++++=n n n a a a ,又由7,443==b b 可知3,143==a a ，故)2(,12≥+=++n a a a n n n ……………………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a 2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………………15分所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5 (16)附加题答案21（A ）解：设直线l 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''， 所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l ，将点(,)x y ''代入直线l 的方程， 于是2()3a x x d y -++=，即(21)3a x d y --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………6分 所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或d λ=，所以矩阵的M的特征值为32与1.…………………………………………………10分21（B ）解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1C ，半径1r =，………………………………………………………………………………………3分又212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l 方程为20x +-=，…………………………………………6分所以圆心到直线l 的距离12d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为=. ……………………………………………………………………………………………10分21.（C ）因1xyz =，所以22222x y y z y +≥=，同理22y z z +≥，22222z x x y x +≥，…………………………………………………………………5分三式相加，得2222222(2()6x y y z z x x y z ++≥++=）， 所以2222223x y y z z x ++≥，当且仅当222222==x y y z z x 取等，即1x y z ===，所以22x y y z z x ++的最小值为3. ……………………………………………………………………10分22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因P A A B==，1AD =，所以(0,0,0)A，B，C ，(0,1,0)D，P ，…2分因E 棱PB的中点，所以E .所以2(EC =，(0,1,PD =，3………6分 （2）由（1）得2(EC =，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =， 设平面BEC的法向量为1111(,,)n x y z =，所以11110220x y z y +-=⎪⎨⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =，设平面DEC的法向量为2222(,,)n xy z =，所以222200x y z +==，令2z =21y =，所以面DEC 的一个法向量为2n =，所以12cos ,3n n <>==B EC D --为钝角， 所以二面角B EC D --的余弦值为3. …………………………………………………………………10分 23.（1）解：在012112312(1)2n n nn n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中， 令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ……………………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =- ①当1n =时，12=1,3,5a a a ==, 此时假设成立……………………………………………………………4分②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列……………………………………………5分由0121211213111(1)2k k k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥， 对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k k a a a +-=+=， 1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………………10分。

南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试数学注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x ,2M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x ,21N ，则（）A.M 是N 的真子集B.N 是的真子集MC.NM = D.φ=⋂N M 2.若()()()()R a a x x x x f ∈++=1为奇函数，则a 的值为（）A.1- B.0C.1D.11或-3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正太分布()24σ，N ()0>σ，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.9.0 B.7.0 C.3.0 D.1.04.已知函数()()()πϕϕ<<+=02sin x x f 的图象关于直线6π=x 对称，则ϕ的值为（）A.12πB.6π C.3π D.32π5.三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A.272cmπ B.2162cmπ C.2216cmπ D.2288cmπ6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2121+=+n n S S ，*∈N n ，则6S =（）A.231 B.16 C.30D.2637.已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x E =+的两条弦AB ，CD 相交于点P （点P 在第一象限），且x AB ⊥轴，y CD ⊥轴.若5:1:3:1:::=PD PC PB P A ，则该椭圆E 的离心率为（）A.55B.510 C.552 D.51028.设R b a ∈,，ab2642-=，bba265-=，则（）A.ba <<1 B.ab <<0 C.ab <<0 D.1<<a b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2. 若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3. 现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5. 若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7. 在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9. 设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11. 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13. 若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题 （本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17. 如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21. （选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22. 已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23. 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B。

一、单选题1. 如图所示的四棱锥中，底面与侧面垂直，且四边形为正方形，，点为边的中点，点在边上，且，过，，三点的截面与平面的交线为，则异面直线与所成的角为( )A．B．C．D．2.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3. 若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（ ）A．B．C．D．4. 复数的平方根是（ ）A ．或B．C．D．5. 已知（i 为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．6. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A 必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）A ．14种B ．24种C ．36种D ．50种7. 已知集合，，则（ ）.A．B．C．D．8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（）江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b ，得到的根为或，乙写错了常数c ，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）A．B．C．D．10. 下列命题正确的是（ ）A ．已知，若，则B ．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D ．数据的75百分位数为4711.已知函数，则下列说法正确的有（ ）A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C ．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象12.设函数则（ ）A ．是偶函数B ．值域为C ．存在，使得D ．与具有相同的单调区间13.如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.14.已知等差数列的前n项和为，且，则__________．15.直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当__________时，与底面所成角为16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD //AB ，，，．（1）证明：BD 平面PAD ；（2）设平面PAD平面PBC l，平面ABCD G，．在线段上是否存在点M，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17. 亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中的值．(2)估计这600名学生成绩的中位数．(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．18. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．（1）证明：平面；（2）设是的中点，证明：平面平面．19. 已知函数，.(1)若曲线仅在两个不同的点，处的切线都经过点，求证：，或；(2)当时，若恒成立，求的取值范围.20. 已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知，，．(1)求公比q；(2)记第n行的数所成的等差数列的公差为，把，，……所构成的数列记作数列，求数列的前n项和．……………………………………………………21. 记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.。

盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． D 2． C 3． C4． B5． A6． D7． D8． B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9． CD10． ABC11． AB12． ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13． －314． 22315． 1516． 1，2011四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分) 解：选①因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ，又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分 设BC ＝x ，分别在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22×DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ··············································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选②因为S ΔABC ＝3S ΔBCD ，所以12AB ×AC sin A ＝3×12DB ×DC sin D ，又因为AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，所以12×6×4sin A ＝3×12×4×2sin D ，所以sin D ＝sin A ． ······································································································ 2分 因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ．又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分 设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ······································································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选③在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ×DC ×cos D ＝DB 2＋DC 2－2DB →·DC →＝42＋22－2×(－4)＝28． ··················· 4分 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－282×4×6＝12． ········································································ 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分18．(本题满分12分)（1）证明：因为{b n }是公差为3的等差数列，所以b n ＋1－b n ＝3． ····································································································· 2分 又因为a n ＝2n ＋4，所以a b n ＋1－a b n ＝(2b n ＋1＋4)－(2b n ＋4)＝2(b n ＋1－b n )＝6，所以{a b n }是等差数列． ································································································ 6分 注：写出b n ＝3n －1也得2分．（2）解：因为{a b n}是公比为2的等比数列，首项为a b 1＝a 2＝2×2＋4＝8，所以a b n ＝8×2n －1＝2n ＋2． ··· 8分又因为a b n ＝2b n ＋4＝2n ＋2， 所以b n ＝2n ＋1－2， ································································ 10分 则数列{b n }的前n 项和S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2n ＝2n ＋2－2n －4． ······················· 12分 19．(本题满分12分)解：（1）由表中数据知，x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝1250＋1050＋1000＋9004＝1050，所以b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑n i ＝1x 2i －n x－2＝9950－1050030－25＝－110， ································································· 2分所以a ^＝y －－b ^x －＝1050－(－110)×52＝1325，故所求回归直线方程为y ^＝－110x ＋1325． ······································································· 4分 令x ＝5，则y ^＝－110×5＋1325＝775，故该路口2022年不戴头盔的人数约775人． ···································································· 6分 (2)提出假设H 0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．由表中数据得K 2＝50×(7×27－3×13)210×30×40×20＝4.6875＞3.841． ······················································ 9分而P (K 2≥3.841)＝0.05，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关． ······················································· 12分 20．(本题满分12分)（1）证明：因为AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，所以B 1D ⊥AC ． ··················································· 2分又因为平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，B 1D 平面AB 1C ，所以B 1D ⊥平面ABC ． ································································································ 5分（2）解：方法一在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F ， 由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，以{DE →，DF →，DB 1→}为基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． ···································· 7分 因为AB ＝8，BC ＝6，所以AC ＝10，BD ＝5． 又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12，得D (0，0，0)，A (3，－4，0)，B (3，4，0)，C (－3，4，0)，B 1(0，0，12)． 设点C 1(x ，y ，z )，由BC →＝B 1C 1→，得(－6，0，0)＝(x ，y ，z －12)， 即点C 1(－6，0，12)，则AC →＝(－6，8，0)，B 1C →＝(－3，4，－12)，C 1D →＝(6，0，－12)． 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－6x ＋8y ＝0，n ·B 1C →＝－3x ＋4y －12z ＝0，得3x ＝4y ，z ＝0．不妨取x ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(4，3，0)． ··············································· 10分 设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n ，C 1D →＞|＝|n ·C 1D →||n |·|C 1D →|＝|6×4＋0×3＋(－12)×0|5·62＋02＋(－12)2＝4525． ····································· 12分 方法二设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等． 过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ．因为BH ⊥AC ，平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AB 1C ，则BH 为点B 到平面AB 1C 的距离． ················································· 7分 在RtΔABC 中，易知d ＝BH ＝6×810＝245． ········································································· 9分由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥BC ．ExA BC C 1A 1B 1(第20题图)D yz F又因为B 1C 1//BC ，所以B 1D ⊥B 1C 1，则ΔDB 1C 1为直角三角形． 因为AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，所以AC ＝10，BD ＝5， 又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12．又因为B 1C 1＝BC ＝6，所以C 1D ＝62＋122＝65． ························································· 11分 设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝d C 1D ＝24565＝4525． ······································· 12分方法三设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 距离相等． 利用等积法V B 1－ABC ＝V B －AB 1C ，求点B 到平面AB 1C 的距离．下同方法二．21．(本题满分12分)解：（1）由虚轴长为2，知b ＝22． ··················································································· 1分 由两准线间的距离为263，知a 2c ＝63， ··········································································· 2分所以3a 4＝2c 2＝2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋12)，解得a 2＝1或a 2＝－13（舍），故双曲线方程为x 2－2y 2＝1． ················································· 4分（2）①若动直线l 的斜率不存在，则设l ：x ＝t ，代入双曲线方程可得P (t ，t 2－12)，Q (t ，－t 2－12)， 由AP ⊥AQ ，可得 (t －1)2－t 2－12＝0， 解得t ＝3或t ＝1(舍)，此时点A 到l 的距离为d ＝2； ························································· 6分 ②若动直线l 的斜率存在，则可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t ， 代入双曲线方程可得 (1－2k 2)x 2－4ktx －(2t 2＋1)＝0，则x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2． ·············································································· 8分由AP ⊥AQ ，知(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0．由y ＝kx ＋t 可知(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0， 化简可得 (1＋k 2)x 1x 2＋(kt －1)(x 1＋x 2)＋t 2＋1＝0，将x 1＋x 2＝4kt1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2代入，化简可得 (3k ＋t )(k ＋t )＝0． ··································· 10分若k ＋t ＝0，则直线经过右顶点A ，舍去；故3k ＋t ＝0，即直线经过定点M (3，0)， ········································································ 11分 则d ＜AM ＝2．综上①②，d 的最大值为2． ························································································ 12分 注：也可建立d 关于k 的函数来求最值，参照评分． 22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，得f′(x )＝－3x＋3x 2＋2ax －2a ，所以f′(1)＝0，又f (1)＝－3ln1＋13＋a ·12－2a ·1＝1－a ，所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝1－a ． ································································ 3分（2）由（1）得f′(x )＝x －1x[3x 2＋(2a ＋3)x ＋3]，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点， 不妨设x 1＞x 2＞0，所以x 1＋x 2＝－2a ＋33，x 1x 2＝1， ··················································································· 5分且需满足⎩⎨⎧△＝(2a ＋3)2－36＞0，2a ＋3＜0，所以a ＜－92， ····························································· 6分直线PQ 的斜率为k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝3ln x 1x 2x 2－x 1＋x 22＋1＋x 21＋a (x 2＋x 1)－2a ， ··································· 7分 先证： ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2(x 1＞x 2＞0)．证：令x 1x 2＝u ＞1，不等式即证φ(u )＝ln u －2(u －1)u ＋1＞0，所以φ′(u )＝1u －4(u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2＞0，所以φ(u )在(1，＋∞)上递增，所以φ(u )＞φ(1)＝0，故不等式成立． ············································································· 9分 所以k ＝3lnx 1x 2x 2－x 1＋(x 2＋x 1)2－2x 1x 2＋1＋a (x 2＋x 1)－2a ＜－6x 2＋x 1＋(x 2＋x 1)2－1＋a (x 2＋x 1)－2a ．令x 1＋x 2＝t ，则a ＝－3t ＋32＜－92，所以t ＞2，则k ＜－6t ＋t 2－1－3t ＋32(t －2)，所以k ＜(t －2)(t 2＋2t ＋3)t －(3t ＋3)(t －2)2＝t －22(－t ＋6t＋1)，因为t ＞2，所以k ＜t －22(－2＋62＋1)＝t －2，故k ＋2＜x 1＋x 2． ··········································· 12分注：也可将k ＋2－(x 1＋x 2)放缩后转化为a 的函数．。

江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（•盐城一模）已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，则∁U A={0，2}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的概念进行运算．解答：解：由U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，所以∁U A={0，2}．故答案为{0，2}．点评：本题考查了补集的概念及运算，是基础的会考题型．2．（5分）（•盐城一模）复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先利用两个复数代数形式的乘法法则求得z，再根据共轭复数的定义求得它的共轭复数．解答：解：∵复数（1﹣2i）2=1﹣4i+4i2=﹣3﹣4i，故复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i，故答案为﹣3+4i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（•盐城一模）已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．解答：解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2=[（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]==0.8故答案为：0.8点评：本题主要考查了方差公式，解题的关键是正确运用方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）（•盐城一模）袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有C C种情况是两个球颜色不相同；故其概率是==．故答案为：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．（5分）（•盐城一模）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为27．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得 3a5 =9，由此可得a5 的值，再根据前9项和S9==9a5 求得结果．解答：解：在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，故有 3a5 =9，a5 =3．则其前9项和S9==9a5 =27，故答案为 27．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．6．（5分）（•盐城一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为26．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=6时，z=2x+3y取得最大值26．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=26故答案为：26点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）（•盐城一模）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当s＜15时，用s+n的值代替s得到新的s值，并且用n﹣1代替n值得到新的n值，直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s=0＜15，所以得到新的S=0+6=6，n=5；然后经过第二次循环，因为s=6＜15，所以得到新的S=6+5=11，n=4；然后经过第三次循环，因为s=11＜15，所以得到新的S=11+4=15，n=3；接下来判断：因为s=15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：3点评：本题给出程序框图，求最后输出的n值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．8．（5分）（•盐城一模）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，变换后所得函数的解析式为y=sin（2x+2ϕ﹣]，再由它是奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，由此求得ϕ的最小值．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+ϕ）﹣]=sin（2x+2ϕ﹣]，再由y=sin（2x+2ϕ﹣]为奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，则ϕ的最小值为，故答案为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．9．（5分）（•盐城一模）现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．则所有真命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有无数条直线与该平面平行；③由平面与平面平行的性质定理可得；④由平面与平面垂直的性质定理可得．解答：解：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行，错误，应该是有无数条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，正确，由平面与平面平行的性质定理可得；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，正确，由平面与平面垂直的性质定理可得．故答案为：①③④点评：本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面的位置关系，属基础题．10．（5分）（•盐城一模）在△ABC中，若9cos2A﹣4cos2B=5，则的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件 9cos2A﹣4cos2B=5 利用二倍角公式求得=，再由正弦定理可得=，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，∵9cos2A﹣4cos2B=5，∴9（1﹣2sin2A ）﹣4（1﹣2sin2B）=5，化简可得 9sin2A=4sin2B，故有=．由正弦定理可得==，故答案为．点评：本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用，属于中档题．11．（5分）（•盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=0．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：在等腰三角形ABC中，底边BC=2，因此可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案．解答：解：∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．则B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．∴=，=（1，﹣a）．∵=，∴，解得．∴．∵，∴，∴==．∴．∴===0．故答案为0．点评：熟练掌握通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题的关键．12．（5分）（•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=，时，即取得最大值，即可得出．解答：解：∵椭圆，∴a=，b=2=c．设k==，则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0；当|PF 2|=a+c=，时，即时，k=取得最大值． ∴k 的取值范围是． 故答案为．点评： 熟练掌握椭圆的性质：当|PF 2|=a+c=，时，则取得最大值是解题的关键．13．若实x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y exy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ． 答案：－1 解析：设f(y)＝lny －y 2＋ln e 22，则f′(y)＝1y －12＝2－y2y.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e 22≤1；又由基本不等式得⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2(xy)＝14cos 2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14， 所以log 2⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥1，所以log 2[4cos 2(xy)＋14cos 2（xy ）]＝lny －y 2＋ln e 22成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos 2（xy ）＝14，所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题． 14．（5分）（•盐城一模）已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f（x ）=kx （k ＞0）有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g （t ）=﹣6t+7的值域为 [﹣，﹣1） ．考点： 根的存在性及根的个数判断；函数的值域． 专题： 函数的性质及应用．分析： 同一坐标系内作出函数y=f （x ）的图象和直线y=kx ，因为两图象有且仅有四个公共点，得出最大根t 的取值范围．再利用二次函数的性质，即可得到函数g （t ）=﹣6t+7的值域．解答：解：作出函数f （x ）=，当0≤x ＜4时的图象，如右图中红色的三个半圆．将直线y=kx 围绕坐标原点进行旋转，可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个半圆相切之间时，两图象有且仅有四个不同的公共点， 此时，其最大根t ∈（，），则函数g （t ）=﹣6t+7，t ∈（，）的值域为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根，并且用这个根来求值域，着重考查了函数与方程的关系，以及数形结合思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（•盐城一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可；（2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．解答：证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1．点评：本题考查面面垂直及线面平行的判定．16．（14分）（•盐城一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由cos（A+）=sinA，求得 tanA=，从而得到 A的值．（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a=b，利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，再由正弦定理求得sinB的值．解答：解：（1）在△ABC中，若cos（A+）=sinA，则有 cosAcos﹣sinAsin=sinA，化简可得cosA=sinA，显然，cosA≠0，故 tanA=，所以A=．（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，解得 a=b．由于sinA==，再由正弦定理可得，解得sinB=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．17．（14分）（•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）==24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．解答：解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）==24，得k=2400 …（3分）所以F=15×+0.5x=+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5=57.5，…（10分）当且仅当=0.5（x+5），即x=55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）点评：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．18．（16分）（•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF2外接圆的方程；②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的离心率化简方程，根据椭圆过点M（3，），即可求椭圆C的方程；（2）①求得MA的中垂线方程、MF2的中垂线方程，从而可得圆心与半径，即可求△MAF2外接圆的方程；②直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得到结论．解答：解：（1）由椭圆的离心率e=，可得a2=9b2，故椭圆方程为…（3分）又椭圆过点M（3，），则，解得b2=4，所以椭圆的方程为…（5分）（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T．因为，所以MA的中垂线方程为y=﹣3x，又由M（3，），F2（，0），得MF1的中点为，而=﹣1，所以MF2的中垂线方程为，由，得T（）…（8分）所以圆T的半径为=，故△MAF2的外接圆的方程为…（10分）（3）设直线MA的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）．（x2＞x1）由题直线MA与MB的斜率互为相反数，∴直线MB的斜率为﹣k．联立直线MA与椭圆方程，可得（9k2+1）x2+x+162k2﹣108k﹣18=0∴x1+x2=﹣，…（13分）又∴==为定值…（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的外接圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）试判断f（x）=x﹣1在区间[﹣2.1]上是否封闭，并说明理由；（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；（1）若函数h（x）=x3﹣3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．考点：函数恒成立问题．专题：新定义．分析：（1）由函数f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上是增函数求出在[﹣2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；（2）把给出的函数g（x）=变形为3+，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；（3）求出函数h（x）=x3﹣3x的导函数，得到三个不同的单调区间，然后对a，b的取值分类进行求解．解答：解：（1）f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[﹣3，0]而[﹣3，0]⊈[﹣2，1]，所以f（x）在区间[﹣2，1]上不是封闭的；（2）因为g（x）==3+，①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．②当a＞3时，函数g（x）=3+在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为，由⊆[3，10]，得，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．③当a＜3时，在区间[3，10]上有，显然不合题意．综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；（3）因为h（x）=x3﹣3x，所以h′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，h′（x）0．所以h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．①当a＜b≤﹣1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又a＜b≤﹣1，此时无解．②当a≤﹣1且﹣1＜b≤1时，因h（x）max=h（﹣1）=2＞b，矛盾，不合题意③当a≤﹣1且b＞1时，因为h（﹣1）=2，h（1）=﹣2都在函数的值域内，故a≤﹣2，b≥2，又，得，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，从而a=﹣2，b=2．④当﹣1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，，即（*）而a，b∈Z，经检验，满足﹣1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．⑤当﹣1＜a＜1且b≥1时，因h（x）min=h（1）=﹣2＜a，矛盾，不合题意．⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．综上所述，所求整数a，b的值为a=﹣2，b=2．点评：本题是新定义题，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，解答此题的关键是正确分类，因该题需要较细致的分类，对学生来说是有一定难度的题目．20．（16分）（•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式，可得a n=6n﹣12t；再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{b n}的通项公式；（2）由{b n}是等比数列，结合（1）的通项公式可得b n=2•3n﹣1，算出出t=1从而得到a n=6n﹣12t．通过变形整理，得到b n+1=6（3n﹣1+2）﹣12，从而得到存在c n=3n﹣1+2∈N*，使=b n+1成立，由等比数列求和公式即可算出{c n}的前n项和T n；（3）根据（1）的结论，得，由此进行作差，得d n+1﹣d n=8[n﹣（2t﹣）]•3n（n≥2）．因此，分t＜、2和m（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{d n}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t 的取值范围．解答：解：（1）∵{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列，∴a n=（6﹣12t）+（n﹣1）×6=6n﹣12t…（2分）而数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t，所以当n≥2时，b n=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2•3n﹣1，又∵b1=S1=3﹣t，∴…（4分）（2）∵数列{b n}是等比数列，∴b1=3﹣t=2•31﹣1=2，解之得t=1，因此，b n=2•3n﹣1，且a n=6n﹣12 …（5分）对任意的n（n∈N，n≥1），由于b n+1=2•3n=6•3n﹣1=6（3n﹣1+2）﹣12，令c n=3n﹣1+2∈N*，则=6（3n﹣1+2）﹣12=b n+1，所以命题成立…（7分）数列数列{c n}的前n项和为：T n=2n+=•3n+2n﹣…（9分）（3）根据（1）的结论，得，由于当n≥2时，d n+1﹣d n=4（n+1﹣2t）•3n+1﹣4（n﹣2t）•3n=8[n﹣（2t﹣）]•3n，因此，可得①若2t﹣＜2，即t＜时，则d n+1﹣d n＞0，可得d n+1＞d n，∴当n≥2时，{d n}是递增数列，结合题意得d1＜d2，即6（3﹣t）（1﹣2t）≤36（2﹣2t），解之得≤t≤，…（13分）②若2，即，则当n≥3时，{d n}是递增数列，∴结合题意得d2=d3，4（2t﹣2）×32=4（2t﹣3）×33，解之得t=（14分）③若m（m∈N且m≥3），即+≤t≤+（m∈N且m≥3），则当2≤n≤m时，{d n}是递减数列，当n≥m+1时，{d n}是递增数列，结合题意，得d m=d m+1，即4（2t﹣m）×3m=4（2t﹣m﹣1）×3m+1，解之得t=…（15分）综上所述，t的取值范围是≤t≤或t=（m∈N且m≥2）…（16分）点评：本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列，求它们的通项公式并找出由它们的公共项构成的新数列规律，并依此求新数列的前n项和．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的数学思想和数列中的猜想、类比与递推的思想，对数学的综合能力要求较高，属于难题．三、[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.21．（10分）（•盐城一模）[A．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OC，BE，AC，由圆的直径所对圆周角为直角的性质可得BE⊥AE．由BC=4=OB=OC，可得△OBC为正三角形，因此∠ABC=60°，可得∠COB=60°．又直线l切⊙O于C，利用切线的性质可得OC⊥l，于是OC∥AD，可得∠EAB=∠COB=60°．在Rt△BAE中，由∠EBA=30°，即可得出AE．解答：解：连接OC，BE，AC，则BE⊥AE．∵BC=4，∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形，∴∠CBO=∠COB=60°．又直线l切⊙O与C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴AD∥OC．∴∠EAB=∠COB=60°．在Rt△BAE中，∴∠EBA=30°，∴．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．22．（10分）（•盐城一模）B．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵M的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．考点：特征值与特征向量的计算；二阶矩阵；矩阵特征值的定义；特征向量的定义．专题：计算题．分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=﹣1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4．∵λ1=3方程f（λ）=0的一根，∴（3﹣1）（3﹣x）﹣4=0，可得x=1，M=．∴方程f（λ）=0即（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0，λ2﹣2λ﹣3=0可得另一个特征值为：λ2=﹣1，设λ2=﹣1对应的一个特征向量为α=，则由λ2α=Mα，得得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=．点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．23．（•盐城一模）C．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ﹣3=0 上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0 上的动点，求AB 的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：化极坐标方程为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则圆上的动点A到直线上的动点B的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径．解答：解：由ρ2+2ρcosθ﹣3=0，得：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4．所以曲线是以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆．再由ρcosθ+ρsinθ﹣7=0得：x+y﹣7=0．所以圆心到直线的距离为d=．则圆上的动点A到直线上的动点B的最小距离为．点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是基础题．24．（•盐城一模）D．（选修4﹣5：不等式选讲）设a1，a2，…a n都是正数，且 a1•a2…a n=1，求证：（1+a1）（1+a2）…（1+a n）≥2n．考点：不等式的证明．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式，得1+a1≥2，1+a2≥2，…，1+a n≥2．再由不等式的各项都大于0，将此n个不等式左右两边对应相乘，结合a1•a2…a n=1即可证出要证明的不等式成立．解答：解：∵a1＞0，∴根据基本不等式，得1+a1≥2同理可得，1+a2≥2，1+a3≥2，…，1+a n≥2注意到所有的不等式的两边都是正数，将这n个不等式的左右两边对应相乘，得（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+a n）≥2n•∵a1•a2…a n=1，∴（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+a n）≥2n•1=2n，即原不等式成立．点评：本题给出n个正数a1、a2、…a n，求证关于a1、a2、…a n的一个不等式恒成立．着重考查了不等式的基本性质和运用基本不等式证明不等关系成立的知识，属于中档题．四、[必做题]第25、26题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.25．（10分）（•盐城一模）某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．考点：相互事件的概率乘法公式；二项分布与n次重复试验的模型．专题：新定义．分析：（1）根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）由已知结合（1）的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率（含参数P2），由Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P2的取值范围．解答：解：（1）∵，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=（C21•）（C21•）+（）（）=（2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率P=（C21•）[C21•P2•（1﹣P2）]+（）（P22）=而ξ～B（12，P），所以Eξ=12P由Eξ≥5知，（）•12≥5解得：点评：本题考查的知识点是相互事件的概率乘法公式，二项分布与n次重复试验的模型，（1）中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，（2）的关键是要根据Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式．26．（10分）（•盐城一模）已知，其中n∈N*．（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N*）的形式．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3的项，再根据展开式中含x3项的系数为14，求n的值．（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若=，a、b∈N*，则=．再由（）（）=1，令 a=s，s∈N*，则必有 b=s﹣1，从而证得结论．解答：解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为 T r+1=•2n﹣r•，令=3，解得r=6，展开式中含x3项的系数为•2n﹣6=14，解得 n=7．（2）当x=3时，f（x）==•2n•+++…+．设=x+y=+，由于=，a、b∈N*，则=．…（7分）∵（）（）=•=1，∴令 a=s，s∈N*，则必有 b=s﹣1，…（9分）∴必可表示成的形式，其中 s∈N*．…（10分）点评：本题二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于中档题．。

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+， 则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+， 若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O 上，点P 、Q 在O 的一条直径上，P 、Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与O 内切．（1）求圆形铁皮P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）y已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑(n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++.（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．27．8．3 9．2310．7 11 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由c o s 3C =，),0(π∈C 可知33co s 1s i n 2=-=C C ， ……………………………4分故在A B C ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(c o s 1)3si n (2=--=-A A ππ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥．………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m e e x f x g xx-+='=-)()(，则xx xxee ee x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=， 所以2913612a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=， 又曲线4sin ρθ=，所以24s i n ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是02m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ， 所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =， 所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-， 因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==， 解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(912nn a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。