高二数学(简单的线性规划问题(4)

简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的截距是z， b b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值y≤2，例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( )x－y≤1，A ． 12B ．11C ．3D ．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由 ? 此时 z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝2，x＋y－2≤0，跟踪训练 1 (1)x，y满足约束条件 x－2y－2≤0，若 z＝y－ ax取得最大值的最优解不唯．一．2x－y＋2≥0，则实数 a 的值为 ( )11 A.2或－1 B．2 或2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋1≤0，(2)若变量 x，y 满足约束条件 x＋2y－8≤0，则 z＝3x＋ y 的最小值为x≥0，答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由 y＝ax＋z知 z的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－ 1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z＝ 3x＋ y，即 y＝－ 3x＋z 过点(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－y－2≤0，例 2 设实数 x，y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－3≤0，（1）x 2＋y 2的最小值； （2）x y 的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC ，（1）令 u ＝ x 2＋ y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ， y ）与原点的距离的平方．过原点向直线 x ＋2y －4＝0作垂线 y ＝2x ，则垂足为 x ＋2y －4＝0， 的解，即 54，85 ，y ＝2x 5 5x ＋2y －4＝0，又由2y －3＝0， 所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为13， 2，（2）令 v ＝ x y ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ，y ）与原点相连的直线 l的斜率为 v ，即 v x y － 0＝ .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C 时， v 最大， x －0 由 （1）知 C 1， 32 ，答案 10解析 画出可行域 （如图所示 ）．（x ＋3）2＋ y 2即点 A （－3,0）与可行域内点 （x ， y ）之间距离的平 方．显然 AC 长度最小，∴AC 2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即 （x ＋3）2＋y 2的最小值为 10. 题型三 线性规划的实际应用得 C1， 2 ，所以， 13 x 2＋y 2 的最小值为 143.所以 v max ＝32，所以 y x 的最大值为 23.跟踪训练 2 已知 x ，y 满足约束x ≥ 0，y ≥ 0， 则（x ＋3）2＋y 2的最小值为x ＋y ≥ 1，|OC|＝例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋2y≤12，2x＋解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有y≤12，x≥ 0，y≥0， x∈N， y∈N，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买 x 张、 y 把，目标函数 z＝ x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥ 0，x∈N*，y≥0，y∈N*.200 x＝，50x＋20y＝2 000，7由解得y＝ x，200y＝7，C ．90D ．955x － 11y ≥－ 22， 2x ＋ 3y ≥9，2．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 2x ≤ 11， x ∈N *，y ∈N *， ＝10x ＋10y 的最大值是 ( ) A ．80所以 A 点的坐标为 2700200 750x ＋20y ＝2 000， 由y ＝ 1.5 x ，解得 x ＝ 25， 75 y＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 25，752 所以满足条件的可行域是以A2002070 ， B 25，725 ，O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图 )．由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 75但注意到 x ∈ N *，y ∈N *，x ＝ 25， 故取 y ＝37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋y －3≤ 0，1．若直线 y ＝2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x －2y －3≤0，则实数 m 的最大值为 ( )A ．－ 1B ．1 C.32D ．2则z B ．85C ．－ 2，－ 1D ．－ 1，－ 2A ．－ 1,4B ．－1， －3y ≤1，3．已知实数 x ，y 满足 x ≤1， 则 z ＝x 2＋y 2 的最小值为 ___x ＋y ≥1，、选择题若点 (x, y)位于曲线 y ＝ |x|与 y ＝ 2 所围成的封闭区域， 则 2x － y 的最小值为 ( )x ≥1，x －3y ＋4≤0，x ≥1，x －y ≥0，y ≥a 则整数 a 的值为 ( )x ≥1，x ＋by ＋ c ≤0， 的值分别为1． A ． －6 B ．－ 2 C ．0 D ．22． 设变量x ， y 满足约束条件 x ＋y － 4≤ 0， 则目标函数 z ＝3x － y 的最大值为 ( ) A ．－4 B ． C.43D ．43． 实数 x ， y 满足y ≥0， 则 z ＝y －x 1的取值范围是 ( )A ．[ － 1,0] B ．( －∞， 0] C ． ［－1，＋∞D ．[－1,1)4． 若满足条件x －y ≥0，x ＋y －2≤0， 的整点 (x ， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点 )恰有 9 个，A ．－3B ．－ 2C ． －1D ．05．已知 x ， y 满足x ＋y ≤4， 目标函数 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 7，最小值为 1，则 b ，cx＋y≥5，6．已知 x，y 满足约束条件 x－y＋5≥0，使 z＝x＋ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个， x≤3，则 a 的值为（）A．－3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤2，7．若 x，y 满足约束条件 y≤2，则 z＝x＋2y 的取值范围是___ ．x＋y≥2，8．已知－ 1≤x＋y≤4且 2≤ x－ y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y的取值范围是（答案用区间表示）．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y≤ 2，给定．若 M（x，y）为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为（ 2，1），则 z＝ O→M·O→A的最大值为．10．满足 |x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有个．x－ y＋2≥0，11．设实数 x， y满足不等式组 2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为．x＋ y－ 4≥0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知 x，y 满足约束条件 3x＋5y≤25，目标函数 z＝2x－y，求 z的最大值和最小值．x≥ 1，x＋y－11≥0，13．设不等式组 3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝a x的图象上存在区域 5x－3y ＋9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方， 故 z min ＝ 2 2＝ 2.1． 答案 B 解析 如图，当 y ＝2x 经过且只经过 x ＋y －3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋y －3＝0 上，则 m ＝1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部x ， y ∈ N *，计算区域内与11 92 ，2 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5，y ＝4 时， z 取得最3． 答案 12 解当堂检测答课时精练答案、选择题 1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得 A（－ 2,2），设 z＝2x－y，把 z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时z 取得最小值；所以 z min＝2×（－ 2）－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D 解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝ 0，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数 z＝3x－y移到（2,2）时， z＝3x－y有最大值 4.3．答案 D 解析作出可行域，如图所示，又直线 l 不能与直线 x－y＝0 平行，∴k l<1.综上， k∈［－ 1,1）．y－1的几何意义是点（x， y）与点（0,1）连线 l的斜率，当直线l 过 B（1,0）时 k l最小，最小为－ 1.x4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选 C.5．答案 D解析由题意知，直线 x＋by＋ c＝ 0 经过直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点，且经过直线 2x＋y＝1和直线 x＝1的交点，即经过点 (3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b ＋ c＝ 0，b ＝－ 1，∴ 解得1－ b＋c＝0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋ ay＝0，要使目标函数 z＝ x＋ ay(a> 0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x＋y＝5 重合，故 a＝1，选 D.二、填空题7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋2y＝ 0，将l向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故z的取值范围为[2,6] ．8．答案 [3,8]解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤x－y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的交点 A（3,1）时，目标函数有最小值 z min＝2×3－ 3×1＝3；当直线经过 x＋y＝－ 1与 x－y＝3 的交点 B（1，－ 2）时，目标函数有最大值 z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝O→M ·O→A＝ 2x＋y，将其化为x≤ 2yy＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（ 2，2）时，z 最大，将点（ 2，2）代入 z＝ 2x＋y，得 z 的最大值为 4.10．答案 13解析 |x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤2 x≥0，y≥0 ，x－ y≤2 x≥ 0，y<0 ，－ x＋ y≤ 2 x<0， y≥0 ，－ x－ y≤ 2 x<0， y<0 ，作出可行域为如图正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个． 11． 答案 21解析 作出可行域 (如图 )，即 △ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为 A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线 x ＋2y －4＝0 上方， ∴x ＋2y － 4>0， 则目标函数等价于 z ＝ x ＋ 2y －4，易得当直线 z ＝ x ＋2y － 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 z max ＝21. |x ＋ 2 y － 4|方法二 z ＝ |x ＋ 2y － 4|＝ 5 ·5，令 P( x ，y)为可行域内一动点，定直线 x ＋2y － 4＝ 0，则 z ＝ 5d ，其中 d 为 P(x ，y)到直线 x ＋2y －4＝0 的距离． 由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，三、解答题12．解 z ＝ 2x －y 可化为 y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0 ：2x －y ＝0 平行的直线系 l ，经上下平移， 可得： 当 l 移动到 l 1，即经过点 A(5,2)时，z max ＝2×5 －2＝8.故 d 的最大值为|7＋ 2× 9－4|＝21＝故目标函数 21 zmax ＝ 5 ＝当 l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min ＝ 2× 1－ 4.4 ＝－ 2.4.13．解 先画出可行域，如图所示， y ＝ a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵ A(2,9) ，∴ 9＝ a 2， ∴a ＝ 3. ∵a>1， ∴1< a ≤3. 14． 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，0.1x ≤90，x ≤900，2x ≤600，则 ? x ≤300， ? 0≤ x ≤ 300.z ＝ 80x ，x ≥0x ≥0所以当 x ＝ 300时， z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱y 个，可获得利润 z 元， 0.2y ≤90，y ≤ 450，1·y ≤600 则 ? y ≤600， ? 0≤y ≤ 450.z ＝y ≥0y ≥0所以当 y ＝ 450时， z max ＝ 120× 450＝ 54 000（元），即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z元，0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，则x≥ 0，y≥0 z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 l：2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，大值．x＋2y＝ 900，由2x＋y＝ 600，解得，点 M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时， z max＝ 80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大．x＋2y≤900，2x＋ y≤600，(如图 ) ．此时 z＝80x＋120y 取得最。

§3.3.3 简单的线性规划问题一、教学目标：（一）知识与技能1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.理解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.理解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的水平；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提升学生“建模”和解决实际问题的水平，培养学生应用数学的意识。

经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的水平以及数学应用意识．（三）情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存有着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3.通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提升实践水平，培养学生理论联系实际的观点．二、教学重难点：重点：线性规划的图解法。

难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解。

三、教学过程：（一）创设情景，揭示课题1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件4104320x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y=+的最大值？OyxA CB430x y -+=1x = 35250x y +-=（二）自学导案（三）解决自学导案（四）例题分析例1 设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．变题：设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．例2 投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m 2，问 应作怎样的组合投资，可获利最大？ 分析：解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为：23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，． 目标函数为y x S 23+=，223Sx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2，随着2S 变化的直线族．当2S最大时，S 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线143292=+=+y x y x 与的交点⎪⎭⎫⎝⎛25413，A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时75.145.2225.33=⨯+⨯=S ,所以，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获利最大，且最大利润为1475万元．例3 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，将题中数据整理成如下表格：A 型车B 型车 物资限制 载重（s ） 6 10 共180 车辆数 8 4 出车次数 43每车每天运输成本（元）320504则约束条件为10,4631018008,04,,x y x y x y x y +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，Ｚ. 即1045300804,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，，，Ｚ．目标函数为y x z 504320+=．作出可行域：当直线z y x =+504320经过直线3054=+y x 与x 轴的交点（7.5，0）时，z 有最小值，因为（7.5，0）不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是2560504320=+y x ，经过的整点是（8，0），它是最优解．答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A 型卡车，所花最低成本费25608320=⨯=z （元）；若只调配B 型卡车，则y 无允许值，即无法调配车辆．五、课堂小结：本节课学习了以下内容： 1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题； （2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点，所以，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．六、课外作业课本P94-95 第8,9,10,11题教学反思：。

简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。

因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。

2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。

要会在可行域中确定最优解。

3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。

每1t乙种产品的利润是1000元。

工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。

（精确到1t)。

能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。

作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。

将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。

得x=360/29≈12。

y=1000/29≈34。

例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

考点24 简单的线性规划【考纲要求】1．掌握确定平面区域的方法（线定界、点定域）．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法（图解法），注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查,有时会出现解答题中于其他知识结合考查.【典型高考试题变式】（一）求目标函数的最值例1。

【2017课标1,文7】设x,y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2D．3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域,则目标函数z x y=+经过(3,0)A时z取得最大值，故max 303z=+=，故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(1,0)B 时z 取得最小值，故min 101z =+=,故选B ．【变式2】【改变条件】变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝x ＋y 的最大值是（ ) A ．4- B ．4 C ．2 D ．6 【答案】B（二)非线性目标函数的最值例2。

【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）A.4 B 。

9 C 。

10 D.12 【解析】画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以 22max ()10x y +=,选C 。