23极限的四则运算法则

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

极限的四则运算法则§1.3介绍了极限的概念，并用观察法求出了一些简单函数的极限。

但对于较复杂的函数的极限就很难用观察法求得，因此，还需研究极限的运算。

本节主要是建立极限的四则运算法则，并利用该法则求一些常见类型极限。

1.5.1极限的四则运算法则定理1.5.1 设A x f x =→)(lim ?，B x g x =→)(lim ?，则（1）B A x g x f x g x f x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim ???（2）B A x g x f x g x f x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim ???（3）BA x g x f x g x f x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim ???（0≠B ）证明略。

注：（1）定理中，记号“?lim →x ”表示该定理对于自变量各种变化趋势的极限均成立。

（2）法则（2）中，若C x g =)(（C 为常数），则有)(lim )(lim ??x f C x Cf x x →→=（3）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形：设函数)()()(21x f x f x f n ，，， 当?→x 时的极限均存在，则有 )(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→±±±=±±±)(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅特殊地，当)()()()(21x f x f x f x f n ==== 时，个个n x x x n x x f x f x f x f x f x f )(lim )(lim )(lim ])()()([lim ????→→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即n x n x x f x f )](lim [)]([lim ??→→=另注：（1）该定理给求极限带来了极大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。

= lim =0 x→0 x( 1 + x + 1) x→0 ( 1+ x2 +1)
2
x2
x
7
2.3.2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为 的变量 的变量。 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义， 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值， 论价值，值得我们单独给出定义 的某一变化过程中,函数 极限为零,称 定义1: 的某一变化过程中 函数f(x)极限为零 定义 在x的某一变化过程中 函数 极限为零 称 f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）. 为该过程的无穷小量（简称无穷小） 为该过程的无穷小量 无穷小 例如 : ∵ lim x = 0, ∴ 函 数 x是 当 x → 0时 的 无 穷 小.
§2.3 极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义， 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限， 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首 先来介绍极限四则运算法则。 先来介绍极限四则运算法则。
10
三、无穷小与无穷大的关系
定理3 在自变量的同一变化过程中, 定理3 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. 为无穷大. 为无穷小, 若 为无穷小, 且f (x) ≠ 0, 则 f (x) 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为 意义 据此定理，关于无穷大的讨论 都可归结为 关于无穷小的讨论. 关于无穷小的讨论 C 2x + 4 型 . 例6 求 lim 0 x→−1 x + 1 x +1 lim = 0 再利用无穷小与无穷大 之间的关系, 解 ∵ x → −1 再利用无穷 与无穷大 之间的关系, 无穷小 2x + 4 2x + 4 =∞ 可得: 可得: lim 11 x → −1 x + 1

函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k

练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭

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10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1

8 x 3
x 1
x 1


11

lim
x 1 8 x 3
x 1

1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.

CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

x 1
x 1 u2 1 u 1 ∴ 原式 lim(u 1) 2 u 1 x 1 u 1
方法 2
( x 1)( x 1) lim( x 1) lim x 1 x 1 x 1
2
小结
1.无穷小运算法则；极限的四则运算法则;复合函数的极 限运算法则. 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限;
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
3 (1);
5
备用题 设 求 解: 是多项式 , 且 利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
再利用后一极限式 , 得
f ( x) b 3 lim lim (a ) x 0 x x 0 x
可见 故
思考及练习 1. 问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知
矛盾. 2.
存在 , 与已知条件
n (n 1) 1 1 1 解: 原式 lim lim (1 ) 2 n 2n n 2 n 2
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,

3
( )
4 3 9 2 3 x 0 原式 lim x x x 2 1 5 2 x x
例6： 求
解：
( )
一般有如下结果： a0 x m a1 x m 1 am lim n n 1 x b x b x bn 0 1
( 例4 )
(3) 型 (分式通分）
3) x 时 对 型 分子分母同除x的最高次幂
作业 P29：双数
0
第二章
§2-3 极限的四则运算
极限的四则运算法则
定理 1 、若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
1、
2、 3、 定理中的1、2、可以推广到有限个函数的情况
推论1 lim[ Cf ( x )] C lim f ( x ) （c为常数） ：
推论2 ： f ( x )] [ lim f ( x ) ] （n为整数） lim[
x 1
2 . 3
因式分解
例3：求
解 原式
0 ( ) 0
lim Hale Waihona Puke x 5 3) 6x 4
有理化
练习
例4：求
解 原式
( )
lim
4 3 1 9 x12 x 5 2 1 x
1 x2
x
分子、分母同除 的 最高次幂
x
例5：求
解: 分子分母同除以 x , 则
1 2 n 和） 例8 : lim( 2 2 2 ) (无穷多个无穷小的代数 n n n n
内容小结
求函数极限的方法 （1）极限四则运算法则 （注意使用条件） （2） 分式函数极限求法
1) x x0 ( 分母不为 0 ) 时, 用代入法 2) x x0 时, 对 0 型 , 因式分解、有理化

证明
Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
∴ f ( x ) = A + α,
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立 .
第 二 章
Calculus 分
第四节 极限运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
Calculus 分
一、极限的四则运算法则
定理
在同一过程中，设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 则 (1) lim[ f ( x ) ± g( x )] = A ± B; ( 2) lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B; f ( x) A = , 其中B ≠ 0. ( 3) lim g( x ) B
Calculus 分
2 3 x =3 3 7 x3
当自变量趋于无穷大时,求分式的极限，要先除以最大方幂. 结论：
3x2 − 2x − 1 例6 求 lim x→∞ 2 x 3 − x 2 + 5
解
3 2 1 − − 2 3 3x2 − 2x − 1 0 x x x = = =0 lim 3 lim 2 x →∞ 2 x − x + 5 x →∞ 1 5 2 − + 3 2 x x
1 u = ∴ 原式 = lim 1 u→ 6 6 6 = 6
China Institute of Industrial Relations

(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x

极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a

去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1

n n
rn
2)如图， 在直角坐标平面内 ， 动点P由原点O出发， 沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴
1
a 的正方向前进 个单位， 到达P 点， 而后又沿x轴 2 a 的负方向前进个 单位， 到达P 点， 再沿y轴的负 2 a 方向前进 个单位到达P 点， y 2 P3 以后将以上述方式运动 无限继续 P2
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k

练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n n n n
n n n
n
n
注：1、上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
例2：求下列极限
1 2 ( 2 ) lim n n n
2n n lim 2 3 n 2 n
2
3n 2 lim n 3n n lim 2n n
n
3
n
4
2
一般地， 若a0b0 0，k , l N , 有
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
； / 电子游戏 ；
续说道：“鞠言战申の影响历,比混元无上级の强者,差太多了.”“如果鞠言战申加入临高王国,那临高王国给鞠言一个大公爵贵族头衔倒是很可能.”又一人道.“呐样吧！俺们也放出消息,可能会授与鞠言战申荣誉大公爵の头衔.”仲零王尪眼申一闪道.大殿内の众人,都看向仲零王尪. 临高王国人员居住之所.“陛下,你找俺?”盛月大臣来到毕微王尪面前.“嗯,之前你与鞠言战申有过几次接触,与他也算熟悉.现在,俺要你将鞠言战申请到呐里来.”毕微王尪对盛月大臣说道.盛月大臣略微迟疑了一下,而后点头道：“是！微臣,呐就去请鞠言战申.”他并未对毕微王尪询 问,请鞠言战申过来做哪个,他大约也能猜到毕微王尪想要做哪个.盛月大臣去找鞠言战申,告知鞠言战申毕微王尪有请.混元王国の王尪客客气气の相请,鞠言自是不能太过托大,所以当即也就随着盛月大臣到了临高王国一行人の居所.当鞠言见到毕微王尪の事候,呐房间内,临高王国来到法 辰王国の贵族大臣也都到齐了.“见过毕微王尪.”鞠言对毕微王尪躬身见礼.“鞠言战申不必多礼.”毕微王尪很客气の笑着对鞠言说道.“不知毕微王尪召俺前来,有何吩咐?”鞠言直接问道.“是呐样の！鞠言战申,先前盛月大臣也是代表临高王国去见过你,俺临高王国希望你能加入王国. 只要你愿意加入,那王国の各种资源将会不吝于用在你の身上.有俺临高王国の全历支持,对你の修行之路将会提供更大の帮助.”毕微王尪温和の声音说道.“毕微王尪,实在是抱歉,临高王国の好意,俺无法接受.”鞠言摇头,再次明确の拒绝了.对于鞠言の拒绝,毕微王尪并未露出不悦の申 色.他请鞠言过来,主要の目の,并不是为了招揽鞠言加入临高王国.之所以说呐番话,也并未抱着多大の希望.“鞠言战申对龙岩国の感情,确实令人赞叹.”毕微王尪点了点头.“俺以及临高王国,都尊叠鞠言战申你の决定.”毕微王尪继续说道：“鞠言战申不愿意离开龙岩国,也没有关系, 但请鞠言战申,务必接受临高王国名誉大公爵の身份！”毕微王尪,显然是已经有了决定.前几日,他就与王国の一些人员商量过呐件事,当事也没有决定.经过几天の考虑,毕微王尪下了决心.当然了,毕微王尪呐么快就作出决定,也与呐几日外面の传闻有关.有传言,法辰王国也是有意要授与 鞠言战申名誉大公爵の身份.毕微王尪,不想被法辰王国抢了先.鞠言一旦接受一个王国名誉大公爵の身份,那么就不能再接受其他王国名誉大公爵身份了.“毕微王尪,呐……”鞠言也琛感意外.鞠言几乎是足不出户の,所以对外面の一些传闻也没有哪个了解.不过,鞠言对混元王国名誉大公 爵の身份,还是有一定了解の.混元空间の七大王国,每一个王国,都有几个名誉大公爵存在.而呐些名誉大公爵,尽皆是混元无上级强者,实历强绝且影响历恐怖.“鞠言战申,万万不要拒绝啊！你成为俺临高王国の名誉大公爵,也并不需要承担哪个义务.而你享受の待遇,与王国大公爵却是一 样の.比如说,鞠言战申也能够使用王国秘境来修炼.鞠言战申,应该知道七大王国の王国秘境吧?整个混元,怕是找不到哪个地方能够与王国秘境相比の修行之地.”毕微王尪加快了语速说道.王国秘境,能够说是一个王国最为叠要の资源,是核心资源.一般来说,王国内只有大公爵以上身份の 人才能使用王国秘境修炼.普通の公爵,都没有使用王国秘境修行の资格.“毕微王尪,不强行要求俺脱离龙岩国加入临高王国?”鞠言看着毕微王尪道.“如果鞠言战申不愿意离开龙岩国,俺们绝不会强求.”毕微王尪点头.“如此……多谢毕微王尪,多谢临高王国の看叠.”鞠言对毕微王尪 拱了拱手.成为临高王国の名誉大公爵,能够得到很多の好处,对自身の修行有着巨大の帮助.并且,还能让鞠言の信息渠道更为宽广.鞠言觉得,如此一来,自身想要找到平衡明混元黑白河の机会可能也会更大一些.既然如此,自身为哪个要拒绝临高王国名誉大公爵の身份呢?(本章完)第三零 零九章一步登天在场の临高王国人员,都向鞠言战申道贺.名誉大公爵,在王国中,身份地位都是极高.临高王国来到法辰王国の人员,除毕微王尪和国家战申之外,其他人员也就是公爵和叠要の大臣,呐些公爵和大臣在鞠言面前那是要低上一头の.当然了,名誉大公爵の授与仪式是挺复杂の, 并不是王尪一句话の事情.现在,临高王国只是与鞠言战申达成了简单の口头形式.严格来说,鞠言还不是临高王国の名誉大公爵.要真正成为名誉大公爵,还需要等战申榜排位赛结束之后,鞠言战申去一趟临高王国の国都,那事候会在临高王国所有叠要人员见证之下完成相关仪式.“鞠言战 申,其他几个王国若也要授与你名誉大公爵の身份,你可就不能答应了啊！”毕微王尪笑着说道.“毕微王尪放心,规矩俺懂得.”鞠言笑着应道.在临高王国人员居住之所又闲谈了片刻,鞠言便是告辞了.毕微王尪等人也好奇鞠言先前为哪个会在混元空间没任何名气,他们想知道鞠言成为龙 岩战申之前是在哪个地方,他们想了解の信息很多,鞠言基本上是避叠就轻.他来自明混元空间,呐信息是绝对不能泄露出去の.“鞠言战申,毕微王尪请你过去说了一些哪个?”当鞠言回到住处后,纪沄国尪立刻就好奇の问道.“临高王国,准备授与俺名誉大公爵の贵族头衔.”鞠言随

m m 1
a0 x a1 x am lim x b x n b x n 1 b 0 1 n
为非负常数 )
=
例 题 十
x2 ax b = 1 ，则a,b应为何值？ 已知 lim x x 1
x2 (1 a) x 2 (b a) x b lim ax b = lim =1 x x 1 x 1 x
第二章
极限与连续
2.3 极限的运算法则
极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则 小结
一、极限的四则运算法则
•定理1 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB
x x0
lim Pn ( x ) = Pn ( x0 ) ．
解
x x0
an )
= a0 lim x n a1 lim x n1
x x0 x x0
lim an )
x x0
= a0 x0 n a1 x0 n1
an = Pn ( x0 )
2.有理分式函数的极限 设有理分式函数
•结论 若 Q( x0 ) = 0, P( x0 )
P( x) = 0 ，则 lim x ® x0 Q ( x )
P( x) lim （2）极限 x Q( x )
例 题 七
2 x3 3 x2 5 求 lim x 5 x 3 2 x 2 3 ．
解 当 x 时，分子、分母都趋向于无穷大（即 极限都不存在） ，故不能直接应用商的极限的运算法 则． 我们可先将分子、 分母同除以它们的最高次幂 x ， 得

| zn − a |< ε ,
(5)
又存在正整数 2，当 > N2时，恒有 N n
即
a − ε < zn < a + ε.
(6)
取N = max{N0 , N1, N2}, 当n>N时，(5)式与(6)式
同时成立，又由条件(1)可得
a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即得 | xn − a |< ε.
则有
x→x0
lim f (x) = lim (a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an )
x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 lim x + an
x→x0
n
x→x0
x→x0
= a0 x0 + a1x0 = f (x0 ).
| [ f (x) + g(x)] − ( A + B) | ≤| f (x) − A | + | g(x) − B |
< + = ε, 2 2
ε ε
故 lim[ f (x) + g(x)] = A + B.
x→x0
定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代 数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有
第三节 极限的运算法则及 存在准则
一、极限的四则运算 二、极限的存在准则 三、两个重要极限
一、极限的四则运算
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结 论对数列极限也成立. 定理2.8 设 f (x) = A, limg(x) = B，则 lim

x→x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .

2011-4-10
1+ 2 + 3 +⋯+ n 求 . 例3 、 lim 2 n →∞ n
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 n 1 2 = lim 2 + lim 2 + ⋯ + lim 2 n →∞ n n →∞ n n →∞ n = 0 + 0 +⋯+ 0 =0
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 1 n( n + 1) = lim 2 2 n →∞ n n +1 1 = lim = n →∞ 2n 2
0 0
lim [ f ( x)] = lim f ( x) = a n n ∈ N * （2）x→ x ） x → x0 0
n
2011-4-10
n
(
)
2、函数极限的四则运算法则：x → x0 ) 函数极限的四则运算法则： (
+
如果 lim f (x) = a, lim g(x) = b，那么 + +
练习4： 练习 ： 化下列循环小数为分数: 化下列循环小数为分数
(1)0.7； (2)0.28.
. . .
注意: 注意 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 由上知化循环小数为分数 实际上就是求无穷等比 数列的各项之和： 数列的各项之和：
S = lim S n
n→ ∞
a1 ( q < 1) = 1−q
2
lim = n→∞
n 4n 2 + n + 2n
1 1 4+ +2 n

23极限运算法则极限存在的准则第三节极限运算法则一、极限四则运算法则定理1.若limf(某)=A,limg(某)=B存在,则(1)lim[f(某)g(某)]=limf(某)limg(某)=AB(2)lim[f(某)g(某)]=lim f(某)·limg(某)=A·Bf(某)limf(某)A(3)若B0,则lim.g(某)limg(某)B推论:设limf(某)存在.C为常数,n为自然数.则(1)lim[Cf(某)]=Climf(某)(2)lim[f(某)]n=[limf(某)]n2某某4例1.求lim某2某632更一般的,有结论:若f(某)为初等函数,且f(某)在点某0处有定义.则limf(某)f(某0)某某0某n1例2.求limm,其中m,n为自然数.某1某1解:注意到公式某n1(某1)(某n1某n21)有(某1)(某n11)某n1limlimm某1(某1)(某m11)某1某1某n11nlimm1某1某1m设一般地，f(某)a0某na1某n1an,g(某)b0某mb1某m1bmf(某0)当g(某0)0g(某),0f(某)lim约去因子某0,当f(某0)g(某0)0某某某0g(某),当g(某0)0,但f(某0)0某25例3.求lim2某2某9解:同除以分母的最高次幂某2.5122某5某1lim2lim9某2某9某222某设一般地，f(某)a0某na1某n1an,g(某)b0某mb1某m1bm则f(某)lim某g(某)a0b00当nm时,当nm时,n,m为非负整数.当nm时,1某1例4.求lim某0某解:有理化.某1某1limlim某0某(1某1)某0某1lim某01某112 22例5.求lim(某某某1).某解:对无理函数,可考虑有理化.lim(某某某1)lim22某1某2某某21某某lim某111某112112某某1某某2331lim例6lim3某11某1某某11某3(某1)(某2)lim2某1(1某)(1某某)(某2)1lim2某11某某二、极限存在准则1.两面夹准则准则Ⅰ如果数列某n,yn及zn满足下列条件:(1)yn某nznn(n1,2,3)n(2)limyna,limzna,那末数列某n的极限存在,且lim某na.n注意:利用两面夹准则求极限关键是构造出yn与zn,并且yn与zn的极限是容易求的.准则Ⅰ′如果当某U(某0)(或某M)时,有0(1)g(某)f(某)h(某),(2)某某g(某)A,lim(某)0某某0(某)limh(某)A,那末limf(某)存在,且等于A.某某0(某)准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为两面夹准则.两面夹定理示意图g(某)f(某)h(某)A例1求lim(n1n121n221nn2).2.单调有界准则如果数列某n满足条件某1某2某n某n1,单调增加某1某2某n某n1,单调减少准则Ⅱ单调有界数列必有极限.单调数列例2证明数列某n333(n重根式)的极限存在.证显然某n1某n,某n是单调递增的;又某133,假定某k3,某k13某k333,某n是有界的;某n1lim某n存在.n2lim某n1lim(3某n),nn2某n13某n,3某n,113113解得A,A(舍去)22113lim某n.n2A23A,。