公式法解一元二次方程专项练习106题(有答案过程)ok

21.2.2公式法一．选择题（共5小题）1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣22．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣332A4A5A6789（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5（2）解关于x的一元二次方程：．20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．21．2.2公式法答案一．选择题（共5小题）x=7．△=13，x1=，x2=．x==，===+3=0是关于，解得；②，解得；③，解得；④，解得，解得，，．x=±=2+，x=2+．∵△=b﹣4ac=（﹣4）x==，x=x===3+2；3x+1+）=x=±==x=3x=，3x+=+，）=，=±=+==﹣=x===+x=﹣+x++x+）﹣x+=±，=，=，﹣+x+=0+x=﹣+x+==x+）=，x+=±±x=．x===；）方程化为一般形式：x2﹣，．。

九上数学每日一练：公式法解一元二次方程练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案答案答案答案答案2020年九上数学：方程与不等式_一元二次方程_公式法解一元二次方程练习题~~第1题~~(2020郑州.九上期中) 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，， ，再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是（ ）A . 的长 B . 的长 C . 的长 D . 的长考点： 公式法解一元二次方程;勾股定理;~~第2题~~(2017新泰.九上期中) 若关于x 的一元二次方程2x ﹣3x ﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（ ）A . 2B . ﹣1C .D .考点： 一元二次方程的根;公式法解一元二次方程;~~第3题~~(2017徐闻.九上期中) 用配方法解一元二次方程x ﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）A . （x+3）=1B . （x ﹣3）=1C . （x+3）=19D . （x ﹣3）=19考点： 公式法解一元二次方程;~~第4题~~(2017满洲里.九上期末) 方程x =3x 的解是（ ）A . x=3B . x=0C . x =－3, x=0 D . x =3, x =0考点： 公式法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程;~~第5题~~(2016吴中.九上期末) 一元二次方程的根（ ）A . B . x =2，x =﹣2 C .D . 考点： 公式法解一元二次方程;~~第6题~~(2019巴南.九上期末) 已知是一元二次方程 的一个根，若 ，则下列各数中与 最接近的是（ ） A . -4 B . -3 C . -2 D . -1考点： 估算无理数的大小;公式法解一元二次方程;~~第7题~~(2019点军.九上期中) 利用求根公式求5x +=6x 的根时，a ，b ，c 的值分别是（ ）A . 5， ， 6 B . 5，6， C . 5，﹣6， D . 5，﹣6，﹣考点： 公式法解一元二次方程;~~第8题~~(2020新兴.九上期中) 用公式法解-x +3x=1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为（ ）A . -1，3，1B . 1，3，1C . -1，3，-1D . 1，-3，1考点： 公式法解一元二次方程;222222212121222答案答案~~第9题~~(2019肇庆.九上期中) 小丽同学想用公式法解方程-x +3x=1，你认为a 、b 、c 的值应分别为（ ） A . 、3、B . 、3、1C . 、、D . 1、、考点： 公式法解一元二次方程;~~第10题~~(2019黔西.九上期中) 一元二次方程4x -x=1的解是（）A . x=0B . x =0，x =4C . x =0，x =D .， 考点： 公式法解一元二次方程;2020年九上数学：方程与不等式_一元二次方程_公式法解一元二次方程练习题答案1.答案：B2.答案：C3.答案：D4.答案：D5.答案：D6.答案：B7.答案：C8.答案：C9.答案：A10.答案：D 221212。

公式法解方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。

公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。

公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．m C．mD．m6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵，∴，即，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．mC．m D．m 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k，∴k的取值范围是k且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0【解答】解：利用公式法可知：A．x，故不符合题意．B．x，故不符合题意．C．x，故不符合题意．D．x，故符合题意．故选：D．二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是m且m≠2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣2≠0，∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，∴m 且m≠2．故答案为：m且m≠2．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x，∴x1，x2，∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x，∴x，故答案为：．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k ＝0，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣12k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，则无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，k＝3，方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7；当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+3）+3k＝0，解得：k＝1，此时方程为：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1，当x'＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，当x＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC的周长为7．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【解答】解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，所以x 1，x2＝1；（2）x 1，由于m为整数，所以当m﹣1＝1或2时，x为正整数，此时m＝2或m＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．【解答】解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x 1，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x ﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k）2＝0，解得：k．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，求得k，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。

公式法解一元二次方程专项练习1．2x2﹣7x+3=0 2．2t2﹣t﹣3=0，3．2x2﹣7x+4=0．4．2x2+2x=1 5．5y+2=3y2．6．x2+3x﹣4=0 7. 2x2﹣4x﹣1=0 8．2x2﹣x﹣2=0．9．2x2﹣5x+1=0．10．x2﹣1=4x．11．x2+3x﹣3=0 12．3x2﹣4x﹣2=0．13．x2+x﹣4=0．14．2x2﹣6x+3=0．15．2x2﹣3x﹣1=0．16．2x2﹣2x﹣1=0 17．3x2﹣4x﹣1=0．18．2x2﹣x﹣4=0 19．2x2+x﹣2=0 20．3x2+6x﹣4=022．3x2+4x﹣4=0，23．（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4．24．2x2﹣5x﹣1=0．25．．28．x2﹣x﹣4=0．29．．30．2x2﹣2x﹣1=031．3x2+7x+10=1﹣8x．33. 5x2﹣3x=x+11 34．x2+3x+1=0，35．4x2=2x+1 36．5x2﹣3x=x+1．38．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）39．3x2+5x+1=0；40．x2﹣4x+1=041. x2﹣4x+5=042. x2+5x+3=043．2x2﹣3x﹣6=0．44．3x2+4x+1=0 45．x2﹣4x﹣8=0 46．2x2﹣x﹣2=047．3x2+2（x﹣1）=0．48．x2﹣4x﹣7=049．y2﹣2y﹣4=050．x2﹣3x=2 51．2x2+x ﹣=0．52．x 2x+1=053．2x2﹣9x+8=0；54. x2﹣6x+1=0；55. x2+x﹣1=0；56. 2x2﹣6x+3=0；57．2x（x+4）=1 58．3x2+5（2x+1）=0．59．2x2﹣4x﹣1=0 60．3x2﹣6x﹣4=061．x2+2x﹣5=0 62．x2﹣4x﹣3=063．4x2﹣3x﹣1=063. x2+2x﹣2=0；64. y2﹣3y+1=0；65. x2+3=2x66．x2﹣4x=﹣367. 3x2﹣2x﹣1=0；68.；69. 2x2﹣7x+5=0；70. 2x2﹣7x﹣18=0．71. （x+1）（x+3）=6x+4；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．74. x（x+8）=16，75. x2﹣4x=4；76. 2x2﹣2x+1=0，77. 5x2+2x﹣1=078. 6y2+13y+6=079. 3•x2+6x+9=780. 2x2﹣3x+1=0；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．82. x2=3x+1；83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．85. 3x2=2﹣5x；86. y2﹣4y=1；87. （x+1）（x﹣1）=2x．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；89．x2﹣6x+11=090 ． 5x2﹣8x+2=0．91．x2﹣3x+1=0．92．x2=5﹣12x93. x2+x﹣1=094．3x2﹣4x﹣1=095．3x2+2（x﹣1）=0，96．97．3x2﹣4x﹣1=098.99. ．101．2x2+5x﹣1=0．102．2x2﹣x﹣1=0．103．．104．3x2+5x﹣1=0．105．5x2﹣8x+2=0，106．3x2+7x+10=1﹣8x，公式法解一元二次方程106题参考答案：1．2x2﹣7x+3=0（公式法）a=2，b=﹣7，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×3=49﹣24=25＞0，方程有两个不相等的实数根，即：，x1=3，2．2t2﹣t﹣3=0，∵a=2，b=﹣1，c=﹣3，∴x===，3．2x2﹣7x+4=0．∵a=2，b=﹣7，c=4，b2﹣4ac=49﹣32=17，∴x==，∴，∴x1=，x2=4．2x2+2x=1由原方程，得2x2+2x﹣1=0，∴该方程的二次项系数a=2，一次项系数b=2，常数项c=﹣1；∴x===，5．5y+2=3y2．移项，3y2﹣5y﹣2=0，a=3，b=﹣5，c=﹣2，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴x=，∴x1=2，x2=﹣；6．x2+3x﹣4=0a=1，b=3，c=﹣4，△=9+4×1×4=25＞0，∴x==，∴x1=﹣4，x2=1．7. 2x2﹣4x﹣1=0a=2，b=﹣4，c=﹣1，△=16+4×2=24＞0，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣8．2x2﹣x﹣2=0．∵a=2，b=﹣1，c=﹣2，∴b2﹣4ac=17＞0∴x=．即x1=，x2=9．2x2﹣5x+1=0．∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，10．x2﹣1=4x．原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=20，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣11．x2+3x﹣3=0a=1，b=3，c=﹣3；∵b2﹣4ac=9+12=21＞0∴=∴，12．3x2﹣4x﹣2=0．a=3，b=﹣4，c=﹣2，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40＞0，x==，x1=，x2=13．x2+x﹣4=0．∴x==，∵x1=﹣2，x2=．14．2x2﹣6x+3=0．∵a=2，b=﹣6，c=3∴x=∴x1=，x2=；15．2x2﹣3x﹣1=0．a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，∴x=，x1=，x2=16．2x2﹣2x﹣1=0a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=12，∴x==，∴x1=，x2=17．3x2﹣4x﹣1=0．∵一元二次方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=﹣4，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=18．2x2﹣x﹣4=0∵2x2﹣x﹣4=0，∴=，∴x1=，19．2x2+x﹣2=0∵a=2，b=1，c=﹣2（1分）∵b2﹣4ac=12﹣4×2×（﹣2）=17＞0（2分）∴（4分）∴，20．3x2+6x﹣4=0∵a=3，b=6，c=﹣4，∴b2﹣4ac=62﹣4×3×（﹣4）=84，∴x==，即x1=，x2=﹣21．x2﹣x﹣3=0．∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13＞0，∴x==，∴x1=，x2=．22．3x2+4x﹣4=0，这里a=3，b=4，c=﹣4，b2﹣4ac=42﹣4×3×（﹣4）=64，x=，x1=，x2=﹣223．（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4．3x2+6x﹣x﹣2=11x﹣4，整理得3x2﹣6x+2=0，∵△=（﹣6）2﹣4×3×2=12，∴x==∴x1=，x2=24．2x2﹣5x﹣1=0．2x2﹣5x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，∴x=，即x1=，x2=25．．∵a=1，b=，c=﹣20，b2﹣4ac=（）2﹣4×1×（﹣20）=100＞0，∴x=，x=，解得x1=﹣+5，x2=﹣﹣5．26．3x2+4x+5=0．∵△=42﹣4×3×5=﹣44＜0，∴方程没有实数根．27．x2﹣4x﹣2=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．28．x2﹣x﹣4=0．a=1，b=﹣1，c=﹣4．b2﹣4ac=1+16=17＞0．∴=∴x1=，x2=29．．由原方程，得t2+2t﹣2=0，这里a=1，b=2，c=2．则t===﹣，即t1=t2=﹣30．2x2﹣2x﹣1=0∵a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）=12，∴x===，∴x1=，x2=31．3x2+7x+10=1﹣8x．原方程可化为x2+5x+3=0，解得：32．5x2﹣3x+2=0．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×5×2＜0，∴此方程无解33. 5x2﹣3x=x+11（公式法）5x2﹣3x=x+11，整理得：5x2﹣4x﹣11=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣11，∵△=16+220=236，∴x==，则x1=，x2=34．x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=b2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=，则x1=，x2=35．4x2=2x+1移项得：4x2﹣2x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）=20，∴x==，∴x1=，x2=36．5x2﹣3x=x+1．方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．37．3x2+7x+4=03x2+7x+4=0，∵a=3，b=7，c=4，∴b2﹣4ac=49﹣48=1＞0，∴x=，∴x1=﹣1，x2=﹣．38．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）∵a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，∴x==，所以x1=，x2=39．3x2+5x+1=0；∵原方程的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=1，∴原方程的根是：x==，即x=；40．x2﹣4x+1=0a=1，b=﹣4，c=1，∴x====2±；41. x2﹣4x+5=0a=1，b=﹣4，c=5，∵△=b2﹣4ac=16﹣20=﹣4＜0，∴次方程无解．42. x2+5x+3=0a=1，b=5，c=3，∴x===43．2x2﹣3x﹣6=0．这里a=2，b=﹣3，c=﹣6，∵△=b2﹣4ac=9+48=57，∴x=，则x1=，x2=44．3x2+4x+1=0（用公式法）∵二次项系数a=3，一次项系数b=4，常数项c=1，∴△=b2﹣4ac=42﹣4×3×1=4＞0∴x==∴x1=﹣1 x2=﹣；45．x2﹣4x﹣8=0（公式法）∵方程x2﹣4x﹣8=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣4、常数项c=﹣8，∴x===2±2，∴x1=2+2，x2=2﹣2；46．2x2﹣x﹣2=0a=2，b=﹣1，c=﹣2，∵b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）=1+16=17＞0，∴x==，∴x1=，x2=47．3x2+2（x﹣1）=0．整理得，3x2+2x﹣2=0，∵a=3，b=2，c=﹣2，△=b2﹣4ac=4+24=28，x==，解得x1=，x2=48．x2﹣4x﹣7=0∵x2﹣4x﹣7=0的二次项系数是a=1、一次项系数是b=﹣4、常数项是c=﹣7，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣49．y2﹣2y﹣4=0（公式法）由原方程知，二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=﹣4，∴x==，∴，∴x1=1+，x2=1﹣；50．x2﹣3x=2x2﹣3x﹣2=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=51．2x2+x ﹣=0．∵关于x的一元二次方程2x2+x ﹣=0的二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=﹣，∴原方程的根是：=，即x=52．x 2x+1=0这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣153．2x2﹣9x+8=0；∵a=2，b=﹣9，c=8∴x=，x1=，x2=；54. x2﹣6x+1=0；∵a=1，b=﹣6，c=1∴x=，∴x1=3+2，x2=3﹣2；55. x2+x﹣1=0；∵a=1，b=1，c=﹣1，∴x==；56. 2x2﹣6x+3=0；∵a=2，b=﹣6，c=3，∴x===；57．2x（x+4）=12x2+8x﹣1=0，∵a=2，b=8，c=﹣1，△=b2﹣4ac=64+8=72，∴x===．即x1=，x2=58．3x2+5（2x+1）=0．3x2+5（2x+1）=0，整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，∴b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，∴x==，则原方程的解为x1=，x2=59．2x2﹣4x﹣1=0（公式法）解：这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，∴x==，∴x1=，x2=60．3x2﹣6x﹣4=0（公式法）3x2﹣6x﹣4=0，这里a=3，b=﹣6，c=﹣4，∵b2﹣4ac=36+48=84＞0，∴x==，则x1=，x2=61．x2+2x﹣5=0∵a=1，b=2，c=﹣5，b2﹣4ac=24，∴x==﹣1，即x1=，x2=﹣1．62．x2﹣4x﹣3=0由题意得：a=1，b=﹣4，c=﹣3，∴x====2±63．4x2﹣3x﹣1=0a=4，b=﹣3，c=﹣1， △=9+16=25 x==∴x 1=1，x 2=﹣． 63. x 2+2x ﹣2=0； 这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；64. y 2﹣3y+1=0； 这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，y=，∴y 1=，y 2=；65. x 2+3=2x移项，得x 2﹣2x+3=0， 这里a=1，b=﹣2，c=3∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根 66．x 2﹣4x=﹣3 移项，得x 2﹣4x+3=0． ∵a=1，b=﹣4，c=3，∴b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×3=4＞0，∴x==，∴x 1=1，x 2=367. 3x 2﹣2x ﹣1=0； ∵a=3，b=﹣2，c=﹣1，∴b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）=16，∴x===，∴x 1=1，x 2=﹣．68.；∵a=2，b=﹣1，c=﹣，∴b 2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣）=5， ∴x==， ∴x 1=，x 2=．69. 2x 2﹣7x+5=0；∵a=2，b=﹣7，c=5，∴b 2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×5=9， ∴x==，∴x 1=，x 2=1．70. 2x 2﹣7x ﹣18=0．∵a=2，b=﹣7，c=﹣18，∴b 2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）=193，∴x==， ∴x 1=，x 2=71. （x+1）（x+3）=6x+4；去括号，移项方程化为一般式为：x 2﹣2x ﹣1=0， ∵a=1，b=﹣2，=﹣1，∴b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8 ∴x===1±，∴x 1=1+，x 2=1﹣；72. x 2+2（+1）x+2=0； ∵a=1，b=2（+1），c=2，∴b 2﹣4ac=[2（+1）]2﹣4×1×2=16，∴x===﹣（+1）±2，∴x1=﹣﹣3，x2=﹣+1；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m，∴b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m=4m2+1，∴x=，∴x1=，x2=74. x（x+8）=16，x2+8x﹣16=0，a=1，b=8，c=﹣16，b2﹣4ac=82﹣4×1×（﹣16）=128＞0，x=，x1=﹣4+4，x2=﹣4﹣4；75. x2﹣4x=4；x2﹣4x﹣4=0；a=，b=﹣4，c=﹣4，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4××（﹣4）=48＞0，x==±，x1=+，x2=﹣；76. 2x2﹣2x+1=0，a=2，b=﹣2，c=1，b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=0，x1=x2=．77. 5x2+2x﹣1=0∵a=5，b=2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=4+4×5×1=24＞0∴x1•x2=∴x1=．78. 6y2+13y+6=0∵a=6，b=13，c=6，∴△=b2﹣4ac=169﹣4×6×6=25＞0∴x=∴x1=﹣，x2=﹣．79. 3•x2+6x+9=7整理，得：x2+6x+2=0∴a=1，b=6，c=2∴△=b2﹣4ac=36﹣4×1×2=28＞0∴x1•2==﹣3±∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．80. 2x2﹣3x+1=0；根据原方程，得a=2，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=9﹣4×2×1=1＞0，∴x=，x==．∴x1=1，x2=；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．由原方程，得2y2﹣2y+3=y2+2y+1，即y2﹣4y+2=0，∴a=1，b=﹣4，c=2．b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0．∴x=x==∴x1=2+，x2=2﹣．82. x2=3x+1；方程化为x2﹣3x﹣1=0，∴a=1，b=﹣3，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13．∴x1=．83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．方程化为2t2﹣t+3=0，a=2，b=﹣1，c=3b2﹣4ac=1﹣4×2×3=﹣23＜0，∴原方程无实数根84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．∵a=1，b=﹣2a，c=﹣b2+a2∴b2﹣4ac=4a2+4b2﹣4a2=4b2∴x==a±|b|．85. 3x2=2﹣5x；a=3，b=5，c=﹣2b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣2）=25+24=49＞0．x==．所以x1=﹣2，x2=．86. y2﹣4y=1；原方程变形为：3y2﹣8y﹣2=0．a=3，b=﹣8，c=﹣2．b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）=64+24=88．x==．所以x1=，x2=．87. （x+1）（x﹣1）=2x．原方程变形x2﹣2x﹣1=0．a=1，b=﹣2，c=﹣1．b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8+4=12＞0．所以x==．故x1=+，x2=﹣．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；整理，得4x2﹣7x﹣9=0，因为a=4，b=﹣7，c=﹣9．所以x=89．x2﹣6x+11=0由原方程，知a=，b=﹣6，c=11将其代入求根公式x=，得x=，∴原方程的根是：x1=4，x2=90 ． 5x2﹣8x+2=0．这里a=5，b=﹣8，c=2，∵b2﹣4ac=64﹣40=24＞0，∴x==，则x1=，x2=．91．x2﹣3x+1=0．x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=9﹣4=5＞0，∴x==，则x1=，x2=92．x2=5﹣12x方程化为一般形式为：x2+12x﹣5=0，∴a=1，b=12，c=﹣5，∴△=122﹣4×1×（﹣5）=4×41＞0，∴x===﹣6±，所以x1=﹣6+，x2=﹣6﹣．93. x2+x﹣1=0解：x2+x﹣1=0，b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，∴x=，∴x1=，x2=．94．3x2﹣4x﹣1=0解：3x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴原方程的解是：x1=，x2=，这里a=2，b=﹣2，c=1，∴b2﹣4ac=﹣4×2×1=4，∴x==，∴x1=，x2=，∴原方程的解是x1=，x2=95．3x2+2（x﹣1）=0，整理得：3x2+2x﹣2=0，这里a=3，b=2，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=4+24=28，∴x==，则x1=，x2=96．方程整理得：x2﹣2x+1=0，这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣1．97．3x2﹣4x﹣1=03x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=16+12=28＞0，∴x==，则x1=，x2=98.2x2﹣x+1=0a=2，b=﹣，c=1△=10﹣8=2x=∴x1=，x2=99. ．解：整理得：x2﹣2x﹣1=0，∴b2﹣4ac=﹣4×1×（﹣1）=12，∴x==±，∴x1=+，x2=﹣100．3x2﹣4x﹣1=0．3x2﹣4x﹣1=0，a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴x1=，x2=101．2x2+5x﹣1=0．∵a=2，b=5，c=﹣1，△=b2﹣4ac=25+8=33，∴x===．即x1=，x2=102．2x2﹣x﹣1=0．∵原方程的二次项系数a=2，一次项系数b=﹣1，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．103．．∵a=2，b=﹣，c=﹣，∴△=（﹣）2﹣4×2×（﹣）=6＞0，x==．104．3x2+5x﹣1=0．∵一元二次方程3x2+5x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=．105．5x2﹣8x+2=0，a=5，b=﹣8，c=2，b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×5×2=24＞0，x==，x1=，x2=．106．3x2+7x+10=1﹣8x，整理得：x2+5x+3=0，解得：x==，即：x1=，x2=；。

初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。

3 用公式法求解一元二次方程1.用公式法解方程3x-1-2x2=0时,求根公式中的a,b,c的值分别是( C )(A)a=3,b=-1,c=-2 (B)a=-2,b=-1,c=3(C)a=-2,b=3,c=-1 (D)a=-1,b=3,c=-22.一元二次方程x2+2x-6=0的根是( C )(A)x 1=x2=(B)x 1=0,x2=-2(C)x 1=,x2=-3(D)x 1=-,x2=33.(2018广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( A )(A)m<(B)m≤(C)m>(D)m≥4.(2018泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是( D )(A)无实数根(B)有一个正根,一个负根(C)有两个正根,且都小于3(D)有两个正根,且有一根大于35.(2018威海)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是m=4 .6.两个实数的和为4,积为-7,则这两个实数为2+和2-.7.(1)2x2-3x-2=0;(2)x2+=4x;(3)(2x+1)(x-1)=4.解:(1)这里a=2,b=-3,c=-2.因为b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,所以x==,即x1=2,x2=-.(2)整理得4x2-24x+9=0,这里a=4,b=-24,c=9,因为b2-4ac=576-144=432,所以x==.即x1=,x2=.(3)整理得2x2-x-5=0,这里a=2,b=-1,c=-5,因为b2-4ac=1-4×2×(-5)=41>0,所以x=.所以x1=,x2=.8.(2018娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( A )(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)无实数根(D)不能确定9.(易错题)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是-≤k<且k≠0 .10.一个矩形周长为56厘米.(1)当矩形面积为180平方厘米时,长、宽分别为多少?(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?请说明理由.解:(1)设矩形的长为x厘米,则宽为(28-x)厘米,依题意有x(28-x)=180,解得x1=10(舍去),x2=18,28-x=28-18=10.所以长为18厘米,宽为10厘米.(2)不能.理由如下:设矩形的长为a厘米,则宽为(28-a)厘米,依题意得a(28-a)=200,即a2-28a+200=0,则Δ=282-4×200=784-800<0,原方程无实数根,所以不能围成一个面积为200平方厘米的矩形.11.(分类讨论题)等腰△ABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两个根,求这个等腰三角形的周长.解:(1)当AB=AC时,Δ=(-10)2-4m=0,所以m=25;则原方程为x2-10x+25=0,解这个方程,得x1=x2=5,所以三角形的周长为5+5+8=18.(2)当AB=BC=8时,把x=8代入原方程,得82-10×8+m=0,所以m=16.则原方程为x2-10x+16=0,解这个方程,得x1=2,x2=8,所以三角形的周长为2+8+8=18.综上可得,等腰△ABC的周长为18.。

2024-2025学年度九年级数学上册解一元二次方程（公式法与因式分解法） 专项练习一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为13x =24x =-（ ）A ．B ．()()2340x x -+=()()430x x +-=C ．D ．()()33120x x -+=()()340x x +-=2．（八年级下·广西梧州·期中）解关于的方程得（ ）x 227120x mx m -+=A ．，B ．，13x m =-24x m=13x m =24x m =C ．，D ．，13x m =-24x m =-13x m =24x m=-3．（九年级上·福建漳州·期中）用公式法解方程，所得解正确的是（ ）22510x x +-=A ．B ．x =xC ．D ．x =x =4．（九年级上·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是( )A ．B ．24x =22232()()()x x x -=+-C ．D ．455()()x x +-=2420x x -+=5．（八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E ，，，ABCD AE BC ⊥BE a =2AE CE a ==且a 是一元二次方程的根，则的周长为（ ）2340x x +-=ABCDA ．B ．C ．10D ．6+84+6．（九年级上·河南开封·期末）若关于的一元二次方程的根为x x =是（ ）A ．B ．C ．D ．2240x x ++=2240x x -+=2240x x +-=2240x x --=7．（八年级下·四川内江·期中）若分式方程有增根，则a 的值是（ ）1122a x x x -+=--A ．1B ．3C ．D ．1-2-8．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）()35b a b a b a =+-※()11x x +=-※A ．B ．C ．或D ．或45x =1x =45x =-1x =45x =1x =9．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）已知是一元二次方程较大的根，则下面对x a =210x x --=的估计正确的是a A ．B ．C ．D ．01a <<1 1.5a << 1.52a <<23a <<10．（九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时()6,0A B y AB A 针旋转到线段，若点的坐标为，则的值为（ ）60︒AC C ()10,m mA B C D ．1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．方程的解是 ．23x x =12．（2024·江西九江·二模）若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个x 2310x cx c --+=11x =-根为 ．2x =13．（八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ．2221x x --+=14．（八年级下·陕西榆林·阶段练习）己知，求代数式 ．523ab a b =-=，22a ab -=15．（八年级下·山东泰安·期中）已知三角形的两边长分别是5和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．()()3100x x --=16．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C 在线段上，D 在线段上，且AB AC ，，，若则的长为 ．2AC BC AB =⋅AD CD =2AB =AD17．（八年级下·浙江杭州·期中）已知x 为实数，若，则()()22232330x x x x +++-=23x x +=．18．（八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知矩形，，，为边上一点，ABCD 9AB =4=AD E CD ，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间6CE =P B 1BA A PE P 为秒，则当的值为 时，是以为腰的等腰三角形．t t PAE △PE三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（八年级下·福建福州·阶段练习）解下列方程：(1)； (2)．231x x =-2430x x -+=20．（8分）（2024八年级下·江苏无锡·专题练习）（1）解方程：． （2）解分式方程：；()()439239x x x +=+26124x x x -=--21．（10分）（2023·江苏宿迁·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中22221424a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭a 满足方程2410a a ++=22．（10分）（九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：(1)（用配方法） (2)（用公式法）2410x x --=23119x x -=-(3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法）()22539x x -=-2242y y y +=+23．（10分）（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n 个数记为．1a 2a 3a n a（1）根据这列数的规律， ，9a =n a =（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n ；如果没有，请说明理由．24．（12分）（八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴和y 轴分23y x =-别交于点B 、C ，与直线相交于点A ．y x =（1）求点A 的坐标；（2）已知点P 在线段上．OA ①若点P 是的中点，求线段的长度；OA BP ②点D 在直线上，点H 在x 轴上，当四边形是正方形时，求点P 的坐标．AC OPHD参考答案：1．D【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案.【详解】解：A 、，解得：，，符合题意；()()2340x x -+=13x =24x =-B 、，解得：，，不符合题意；()()430x x +-=13x =24x =-C 、，解得：，，不符合题意；()()33120x x -+=13x =24x =-D 、，解得：，，不符合题意；()()340x x +-=13x =-24x =故选：D.2．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，227120x mx m -+=，()()340x m x m --=或，30x m -=40x m -=，．13x m =24x m =故选B ．3．A【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握公式法；因此此题可根据公式法求解方程．【详解】解：22510x x +-=∴，2,5,1a b c ===-∴，24258330b ac ∆=-=+=>∴x ==故选A ．4．B【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可．【详解】解：A. 适合用直接开平方法，符合题意；24x =B. ，适合用因式分解法，符合题意；22232()()()x x x -=+-C. 适合用公式法，符合题意；455()()x x +-=D. 适合用配方法法，符合题意；2420x x -+=故选：B ．5．A【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可．a AB ABCD 【详解】解：是一元二次方程的根，a 2340x x +-=，2340a a ∴+-=即，()()140a a -+=解得，或（不合题意，舍去）．1a =4a =-∴，，1BE =2AE CE ==在中，Rt ABE △AB ===，3BC EB EC ∴=+=的周长．ABCD ∴ ())2236AB BC =+==+故选：A ．6．C【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程x若有解，则其解为．()200ax bx c a ++=≠x =【详解】解：由题意得：，，，1a =2b =4c =-∴该方程为，2240x x +-=故选：．C 7．B【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求x出的值．a 【详解】解：去分母得：，12x a x +-=-分式方程有增根， 1122a x x x -+=--，20x ∴-=，2x ∴=把代入，2x =12x a x +-=-得，1222a +-=-，3a ∴=经检验：时分式方程有增根，符合题意．3a =故选B ．8．C【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．【详解】∵，，()35a b a b ab =+-※()11x x +=-※∴，()()31511x x x x ++-+=-整理，得，2540x x --=解得或，45x =-1x =故选C ．9．C围．【详解】解：∵一元二次方程的解为：210x x --=x ==∴较大的根为：a =∵，23<<∴，314<+<∴，322<<∴，1.52a <<故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法和无理数取值范围，正确代入公式计算是关键．10．A【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，一元二次方程的解法，先证明，设，再建立方程组解题即可．AB AC BC ==()0,B y 【详解】解：如图，连接，BC∵，，AB AC =60BAC ∠=︒∴为等边三角形，ABC ∴，AB AC BC ==设，()0,B y ∴，()()222222226610106y m m y y ⎧+=-+⎪⎨+-=+⎪⎩①②由①得：③，y =把③代入②得：，42320864640m m --⨯=∴，()()223256160m m -+=∴，232560m -=解得：，（经检验负根舍去）；m =故选A 11．，10x =23x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．230x x -=【详解】解：∵，23x x =，230x x ∴-=，(3)0x x ∴-=或，0x ∴=30x -=解得：．123,0x x ==故答案为：，．10x =23x =12．2-【分析】此题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含义先求解，再1c =-解方程即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，x 2310x cx c --+=11x =-∴，()()213110c c --⨯--+=解得：，1c =-∴原方程为，2320x x ++=∴，()()120x x ++=解得：，；11x =-22x =-故答案为：2-13．2x x ⎛- ⎝【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法．【详解】解：令，22210x x --+=解得：，1x=2x =∴，22212x x x x ⎛--+=- ⎝故答案为：．2x x ⎛- ⎝14．或6-15【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值；由已知消去字母a ，得到关于b 的一元二次方程，解之求得b 的值，即可求得a 的值，从而求得结果．【详解】解：由得：，代入中，整理得，23a b -=23a b =+5ab =22350b b +-=解得：，512b b =-=对应地：；25a a =-=，当时，；522a b =-=-，25242(2)62a ab ⎛⎫-=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭当时，；51a b ==，222525115a ab -=-⨯⨯=综上，代数式的值为或；6-15故答案为：或．6-1515．23【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形的三边关系，解方程求出方程的解得到x 的值，利用三角形的三边关系判断即可得到结果．【详解】解：，()()3100x x --=∴或，30x -=100x -=解得：，123,10x x ==当时， ∵，13x =358+=∴不能构成三角形，∴不合题意，舍去，13x =当时， ∵，210x =5810+>∴能构成三角形，此时该三角形的周长是，581023++=故答案为：．2316【分析】根据，有，再根据，可得，即2AB =2BC AB AC AC =-=-2AC BC AB =⋅()222AC AC =-⨯，解方程即可求解，问题随之得解．2240AC AC +-=AC 【详解】解：∵，2AB =∴，2BC AB AC AC =-=-∵，2AC BC AB =⋅∴，即，()222AC AC =-⨯2240AC AC +-=解得：（负值舍去），1AC =∵，AD CD =∴12AD CD AC ===．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得到关于的一元二次方程是解答本题的关AC 键．17．1【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程转化为关23y x x =+于y 的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程求得y 的值即可．2230y y +-=【详解】解：设，则，23y x x =+2230y y +-=整理，得．(3)(1)0y y +-=所以或．30y +=10y -=解得或．=3y -1y =当时，，此时该方程无解，故舍去．=3y -233x x +=-综上所述，．231x x +=故答案为：1．18．或3296【分析】根据矩形的性质得出，，求出，，由勾股定理求出8CD AB ==4BC AD ==8AP t =-3DE =，，分为两种情况：①当时，②当时，求出即5AE =()2222246PE EF PF t =+=+-AE PE =AP PE =可．【详解】解：根据题意得：，BP t =∵四边形是矩形，，，ABCD 9AB =4AD =∴，，9CD AB ==4BC AD ==∴，，9AP t =-963DE DC CE =-=-=由勾股定理得：，AE =5=过作于，E EF AB ⊥F则，90EFA EFB ∠∠==︒∵，90C B ∠∠==︒∴四边形是矩形，BCEF ∴，，6BF CE ==4BC EF ==∴，6PF t =-由勾股定理得：，()2222246PE EF PF t =+=+-①当时，，AE PE =()222546t =+-解得：，，3t =9t =∵不符合题意，舍去；9t =②当时，，AP PE =()()222946t t -=+-解得：，296t =即当的值为或时，是以为腰的等腰三角形，t 3296PAE PE 故答案为：或．3296【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．19．(1)1x =2x =(2)，13x =21x =【分析】本题主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：231x x =-整理得：2310x x -+=，2494115b ac ∆=-=-⨯⨯=x ==∴1x =2x =（2）2430x x -+=，()3(1)0x x --=或，30x -=10x -=解得：，．13x =21x =20．（1），；（2）12x =23x =-1x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）()()439239x x x +=+()()4392390x x x +-+=(()42)390x x -+=∴或，420x -=390x +=解得：，．12x =23x =-（2）26124x x x -=--去分母得，()()()2226x x x x +-+-=解得1x =检验：将代入1x =()()220x x +-≠∴原方程的解为．1x =21．，时，原式时，原式()222344a a a ++-2a =-=2a =-=【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再求出方程的解，将方程的解代入求解即可【详解】解：原式22221244a a a a a a +⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭()()2244224a a a a a a a a ++-=⋅-+-；()222344a a a ++=-∵，2410a a ++=∴，，241a a =--2a =-2a =-∴原式，()()()22413433316402516414025249414a a a a a a a a aa a --++-+-+-+====++--++-+---当时，原式；2a =-==当时，原式．2a =-==22．(1)，12x =22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据算出，以及代入24b ac ∆=-x =（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．x （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．x 【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得，即24414x x -+=+()225x -=∴2x -=解得，；12x =22x =+（2）解：23119x x -=-231190x x -+=2412143912110813b ac ∆=-=-⨯⨯=-=∴x =解得；12x x ==（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ⎤-⎡--+=--=⎣⎦则304180x x -=-=，解得；12932x x ==，（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得．12122y y ==-23．(1)45，()12n n +(2)有66这个数，是第11个数，理由见解析．【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程：（1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值；8a （2）当时，得一元二次方程，求解方程即可．66n a =【详解】（1）解：由题意可得，，11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=，51234515a =++++=…，∴，()11232n n n a n +=++++=∴当时，，9n =9910452a ⨯==故答案为：45；；()12n n +（2）解：当时，即：，66n a =()1662n n +=整理得，21320,n n +-=解得，（舍去）1211,12n n ==-所以，这列数中有66这个数，此时．11n =24．(1)(3,3)(2)①；②32(1,1)P 【分析】该题主要考查了正方形的性质，一次函数交点求解，等知识点，解题的关键是数形结合．（1）联立解析式即可求解；（2）①求出点P 坐标，点的坐标，即可求解；B ②当四边形是正方形时，正确画出图象，根据正方形性质即可求解；OPHD 【详解】（1）解：联立函数解析式得，23y x y x =-⎧⎨=⎩解得．33x y =⎧⎨=⎩∴点的坐标为．A (3,3)（2）①若点P 是的中点，OA 则，33(,)22P 把代入得，0y =23y x =-230x -=解得：，32x =∴点的坐标为，B 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．32BP ∴=②如图，当四边形是正方形时，，OPHD ,90,,OP OD PH DH POD PD OH PD OH ===∠=︒⊥=设，()(),,,23P a a D b b -则，()222223a b b a b ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩解得或3（舍去），1a b ==即点P 的坐标为．(1,1)P。

公式法一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。

公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．公式法训练试题1. 一元二次方程的一般形式是；2. 对一元二次方程的一般形式运用配方法进行求解：移项得：；二次项系数化为1得：；配方，左右两边同时加，得：；方程左边写成完全平方式，右边化简，得：。

一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2(2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 — 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x （x+2)=5（x+2)11、(1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =022、22-=-23、x2—2x-4=0 24、x2—3=4xx x(32)(23)25、3x 2＋8 x－3＝0（配方法) 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14 27、（x+1)（x+8)=-1228、2（x－3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x－24＝0 30、(2x-1）2 +3（2x—1)+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x —5）2=x （5-x ） 33、（x ＋2） 2＝8x34、(x －2) 2＝（2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x —3）2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2—23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x —3）2=2524)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1）=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 （x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x-2x x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2（x－1) （x＋1）。