第一章 多项式 练习题

第一章 多项式多项式习题一、填空题1、 用除2()2g x x x =−+4()25f x x x =++，商式为 ；余式为 。

2、 当满足关系 ,,m p q 时，241|x mx x px q ++++。

3、 4322()(441,1)d x x x x x x x =−−++−+=；存在＝ ()u x ， ()v x ＝ ，使得。

()()()()()d x f x u x g x v x =+4、 设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x −+−=−+−+−+d ，则的值为 ,,,a b c d 。

5、 当t 满足 条件时，32()31f x x x tx =−+−有重根。

6、 3()f x x px q =++有重根的条件是 。

7、 424751x x x −−−的有理根集合为 。

二、计算与证明1． 设，求证：((),())1f x g x =（1）；((),()())1f x f x g x +=（2）(()(),()())1f x g x f x g x +=（3）；（4）((),())1n n f x g x =((),())1n n f x g x =。

2．设不全为0，(),()f x g x ()((),())()()()()d x f x g x f x u x g x v x ==+，若11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，且11(),()f x g x 的次数都大于1。

（1） 问是否唯一？(),()u x v x （2） 求证((；),())1u x v x =（3） 求证。

11((),())1f x g x =3．设是首一多项式，且次数大于1。

证明下列命题等价：()f x （1）是某个多项式的方幂；()f x （2）对于任意多项式，必有()g x ((),())1f x g x =，或者存在某一个整数，使得m ()|()mf xg x ；（3）对于任意多项式，由可推出，或者存在整数m ，使得(),()g x h x ()|()()f x g x h x ()|()f x g x ()|()m f x h x 。

整式的加减本章要注意的知识点：（1）单项式系数、次数，多项式的项数、次数，明白它们之间的关系，掌握单项式与多项式的区别；归纳掌握各个概念的特征，加深对概念的理解；（2）几个多项式相加，列式时要注意给各个多项式加上括号；（3）数与多项式相乘时，要把数与多项式的每一项相乘，然后再去括号，也可以把数字最前面的符号连同数字一起与括号内的每一项相乘；（4）一般地，先合并同类项，再代入求值；运算进行到结果中没有同类项，并且结果按某一字母的升幂或降幂排列；（5）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“”或省略不写，例如：100x，可以写成100x或100x；（6）圆周率是常数；当一个单项式的系数是1或1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：132x写成72x概念回顾1．式子100t，26a，vt，n它们都是，像这样的式子叫做单项式；单独的一个或也是单项式；单项式中叫做这个单项式的系数，例如：100,,,2t vt n r的系数分别为，，，．2．一个多项式中，所有字母指数的叫做这个单项式的次数，例如：单项式100t的次数是，vt的次数是．3．几个单项式的叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都包含它前面的符号；不含字母的项叫做；多项式里，叫做这个多项式的次数；例如，多项式3218x x中，次数最高的项是，这个多项式的次数是；单项式和多项式统称为．4．所含字母并且相同字母的也相同的项叫做同类项；把多项式中的同类项，叫做合并同类项；合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项系数的，且不变，例如：73xy xy=．5．去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号，如：2(2)x x=；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号，如：2(2)x x =．新课标第一网6．一般地，几个整式相加，如果有括号就，然后；化简求值类问题，先将式子，再代入数值进行计算比较简单．7．(1)两船从港口出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水.它们在静水中的速度为a /km h ,水流的速度为b /km h , 2小时后,两船相距km ,甲船比乙船多航行km ;(2)飞机的无风航行速度为a /km h ,风的速度为20/km h ,顺风飞行4小时的行程是km ,逆风飞行3小时的行程是km一．填空题： 1．单项式3245a b c 的系数是，次数是；单项式33x 的系数是，次数是，多项式4223237542x y xy x x y 是次项式，它的项分别是，按x 的升幂排为．2．若32na b 与2ma b 是同类项，则m n；若215x 与29m nx y 可以合并为一项，则23m nm n =；若2(1)1nx m x 为三次二项式，则22mn．3．化简：22()m n m n =；223[7(43)2]xx x x ．4．若2346xx 的值为9，则234x x =，那么2463xx =；若2210a a ，则224a a =；若222,5,xxy yxy则221122xy ．5．铅笔的单价为x ，圆珠笔的单价是铅笔单价的3倍，则圆珠笔的单价为元；一件衣服进价为n 元，提价%m 后的价格为；一辆汽车的速度是v km ∕h （千米∕小时），行驶t 小时所走过的路程S =千米；当120v，3t时，S =千米；船在静水中的速度为v km ∕h ，水流速度为2km ∕h ，则船的顺水速度为，船的逆水行驶速度为．6．一个单项式，含有字母,a b ，次数为四次，系数为12，则所有符合上述条件的单项式有．7．合并同类项（把a b （）当作整体）：365a b a b a b 222（）（）（）．8．观察下列多项式：23450,3,8,15,24,.......,x x x x 按照此规律写出第10个单项式是，第n 个是．9．一个三位数，百位数字为a ，十位数字是百位数字的3倍，个位数字是十位数字的一半，则这个三位数是．10．设,,A B C 是整式，且22321,42A Bxx B Cx ，则A C．11．按照规律填写所缺的单项式：234,2,3,4,a a a a ，；第2008个是，第2009个是，第n 项是．12．填写下列表格：整式214ab224a b235x y 243x42242aa bb系数次数项数．选择题1．下列代数式中，是同类项有（）22(1)55x y a b 与33;a b a b （2）-2与(3)9;xyz yz 与3722(4)3.50.5x y xy 与;226x y yx (5)与;(6)-21与3A ．（1）（2）（3）B ．（2）（4）（5）（6）C ．（2）（5）（6）D ．（4）（5）（6）2．下列说法正确的有（）个（1）22310xx 是多项式；（2）单项式23xy 的系数是3；（3）0是单项式；（4）253x 是单项式；（5）51x是多项式；A ．1B ．4C ．2D ．33．同时含有字母,,a b c ，且系数为的5次单项式共有（）个A ．4B ．5C ．6D ．74．三角形的一条边长是3a ，第二条边比第一条边长4a，第三条边是第二条边与第一条边的差的2倍，那么这个三角形的周长为（）A ．59aB ．29a C ．56a D ．10a 5．若“”是某种新规定的运算符号，设32abab ，则[()()]3xy x y x 化简为（）A ．0B ．5xC ．213x yD ．96x y6．某品牌手提电脑现价x 元，比去年的价格减少10%，去年的价格是（）A ．110%x 元B ．110%x C ．(110%)x D ．(110%)x7．一个多项式是五次多项式，那么这个多项式的每一项的次数（）A ．都不小于5B ．都不大于5C ．都等于5D ．都小于58．一个两位数，个位数字是x ，十位数字是y ，个位与十位上的数字对调后所得的新数与原数的差可表示为（）A ．99x yB ．99y xC ．1111x yD ．99x y9．已知531yaxbxcx ，当2x 时，5y，那么2x时，y 的值为（）A ．17B ．7C ．3D ．7化简求值：1．求2211312()()2323xxy xy 的值，其中22,3xy．2．（1）已知33269,246,A x x B xxx 求23.A B （2）3221,Axxx Bx x ，求,,.A B A B BA ．3．（1）设5,3x y xy ，求(232)(4)x yxy x y xy ；（2）当25yx时，求25(2)3(2)100x y x y 的值．4．（1）22225[(52)2(3)]aaaa aa （2）2225{2[3(4)]},abc a b abc aba b 其中，32,, 1.23abc 5．一个多项式加上234253xxx 得43353xx，求这个多项式．6．三角形的第一边是2ab ，第二边比第一边大2b ，第三边比第二边小a b ，求这个三角形的周长．新课标第一网7．（1）已知225,321,A xmx n B yx 若A B 中不含有一次项和常数项，求222mmn n的值；（2）已知,m n 是系数，且22mxxy x 与233xnxy y 的差不含二次项，求2222mmn n 的值；（3）若关于x 的多项式232x x b 与多项式21xbx 的和中不含有一次项，求b 的值；并说明不论x 取什么值，这两个多项式的和的值总是正数．8．我国出租车收费标准因地而异，A 市为：起步价10元，3km 后每千米的价格为 1.2元；B 市为：起步价8元，3km 后每千米为 1.4元．（1）试分别写出在,A B 两市坐出租车(3)x xkm 所付的车费；（2）求在,A B 两市坐出租车的价差是多少元？9．若单项式23mab 与12n ba 是同类项，求代数式222(33)2mmn n n 的值．10．（1）证明：无论,x y 取值如何，代数式322332232323(356)(22)(437)xx y xyy yxyx y x x y xxyy 的值是常数。

且f(x)在有理数域上不可约。

第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。

2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。

(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。

4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。

6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。

数学课程多项式运算练习题及答案1. 多项式的基本概念在数学中，多项式是由常数项、幂函数和系数的乘积相加而成的表达式。

多项式运算是数学的一个重要部分，它们在代数、几何等领域都具有广泛的应用。

接下来，我们将为你提供一些多项式运算的练习题及其答案。

2. 多项式的加减法练习题题目1：将多项式 P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 3 与 Q(x) = -x^3 + 3x - 2 相加。

题目2：计算多项式 P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 和 Q(x) = -2x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 8x - 10 之差。

答案1：P(x) + Q(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 3 - x^3 + 3x - 2 = x^3 - 4x^2 + 8x + 1答案2：P(x) - Q(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) - (-2x^4 + 4x^3 -6x^2 + 8x - 10) = 3x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 12x + 153. 多项式的乘法练习题题目3：计算多项式 P(x) = 2x^2 - 3x + 1 和 Q(x) = x^3 - 2x + 3 的乘积。

题目4：将多项式 P(x) = (x^2 + 2x + 3)(2x^2 - x - 1) 展开并进行合并同类项。

答案3：P(x) * Q(x) = (2x^2 - 3x + 1) * (x^3 - 2x + 3) = 2x^5 - 4x^3 + 6x^2 - 3x^4 + 6x^2 - 9x + x^3 - 2x + 3 = 2x^5 - 3x^4 + x^3 + 12x^2 - 11x + 3答案4：(x^2 + 2x + 3)(2x^2 - x - 1) = 2x^4 - x^3 - x^2 + 4x^3 - 2x^2 - 2x + 6x^2 - 3x - 3 = 2x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 5x - 34. 多项式的除法练习题题目5：将多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 4 除以 Q(x) = x - 2，并求商和余数。

第一章多项式一 单选题1.在数域P 的一元多项式环P []x 中，能整除任意多项式的多项式是（ B ）.A. 不可约多项式； B ． 零次多项式；C ． 零多项式；D ． 本原多项式．2．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）.A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么()[]h x P x ∀∈，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f3．设f (x )，g (x )，p (x )∈P [x ], 且p (x )在P 上不可约，如果)()()(x g x f x p ，则下列命题成立的是( C )．A ．)()(x f x p 且)()(x g x p ；B ．)()(x f x p 但p (x )g (x )；C ．)()(x f x p 或)()(x g x p ；D ．p (x ) f (x ) 且p (x ) g (x )．4．设)(x p 是不可约多项式，][(x P x f ∈∀，则以下命题正确的是（ D ）．A ．)(x p 不能整除)(x f ；B ． ()1)(),(=x f x p ；C ．)()(x f x p ；D ． )()(x f x p 或()1)(),(=x f x p5. 若()()(),1f x g x =且()()()f x g x h x ，则（ D ）. A. ()()f x h x 且()()f x g x ；B. ()()f x h x 或()()f x g x ；C. ()()f x g x ；D. ()()f x h x ． 6．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则k=（ B ）．A ．1 ；B ． 2 ；C ． 3 ；D ．4 ．7.艾森斯坦因判别法是判断一个多项式在有理数域上不可约的（ C ）.A.必要非充分条件；B.必要且充分条件；C.充分非必要条件；D.既非充分条件又非必要条件． 8．设q p是整系数多项式01()n n f x a a x a x =+++的有理根，且(,)1q p =，则下列说法正确的是（ C ）A.|n p a ，|n q a ；B.0|p a ，0|q a ；C.|n p a ，0|q a ；D. 0|p a ，|n q a ；9.下列命题错误的是( C ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上3次多项式一定可约C.在复数域上次数大于0的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根10.下面论述中, 错误的是( D ) .A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=.二. 填空题1．设,))((,))((m x g n x f =∂=∂ 则≤+∂))()((x g x f ，=∂))()((x g x f 。

第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

七年级数学上册《多项式》同步练习题(附答案解析)课前练习1. 像ab ，a 2，－m ，12x 这些式子都是数或字母的积，这样的式子叫做_______．单独的一个数或一个字母也是__________．单项式中的数字因数叫做这个单项式的________．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的_______．2. 1.3x ＋5y ＋2z ，212ab r π-，x 2+2x −18都可以看成几个单项式的和，像这样几个单项式的和，叫做________．其中，每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的_______．例如：x 2+2x −18的项分别为________，常数项是_________，最高次项的次数是_______，因此x 2+2x −18是___次___项式．3. 单项式和多项式统称为__________．4. 多项式xy 2－9xy ＋5x 2y －25的二次项系数是_____________．5. 多项式4x 2y ﹣5x 3y 2＋7xy 3﹣ 67 的次数是________，最高次项是________，常数项是________．6. 一个关于字母x 的二次三项式的二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为7，则这个二次三项式为___．7. 多项式(x +3)a y b +12ab 2−5是关于a 、b 的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x ＝______，y ＝ ___．课前练习参考答案1. ①. 单项式 ②. 单项式 ③. 系数 ④. 次数2. ①. 多项式 ②. 项 ③. 常数项 ④. 次数 ⑤. 2x ，2x ，-18， ⑥. -18，2 ⑦. 2x ⑧. 二 ⑨. 三3.整式【解析】根据整式的定义即可解答．【详解】单项式和多项式统称为整式．故答案是：整式．【点睛】本题考查了整式的定义，理解定义是关键．4. -95. ①. 5 ②. ﹣5x 3y 2③. ﹣676. 4x 2+x +77. ①. -5 ②. 3课堂练习1．下列整式中，单项式是________________；多项式是 ________________．a,25x −by 3,−13x 2y,2πr,x 2+xy +y 2,2x −1. 2．在代数式12x ﹣y ，5a ，x 2﹣y ＋23，1π，xyz ，−5y ，x+y+z 3中，有（ ）A ．5个整式B ．4个单项式，3个多项式C ．6个整式，4个单项式D ．6个整式，单项式与多项式的个数相同 3．在整式：3x −2y ，−8b 9，b−3y 36，0.2，5mn −n −7，6+a 2−b 中，有_____个单项式，_____个多项式，多项式分别是_______.4．−2xy 23+3xy −4是_______次_______项式．5．下列说法正确的是（ ）A ．−3xy 5系数是-3B ．x 2+x-1的常数项为1C ．22ab 3的次数是6次D ．2x-5x 2+7是二次三项式 6．多项式3232486xy x y x y y ----是____次_____项式，最高次项是______，常数项是_______．7．把多项式7x －12x 2+9按字母x 做降幂排列为___．8．把多项式442239235x y xy x y -+-按y 的降幂排列：______9．已知多项式x 2−3xy 2−4的次数是a ，二次项系数是b ，那么a +b 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．若A 是一个五次多项式，B 也是一个五次多项式，则A +B 一定是（ ）A ．五次多项式B ．不高于五次的整式C ．不高于五次的多项式D ．十次多项式11．四次三项式2x ＋5x 2yz －3y 2中，二次项的系数为______．12．多项式−2x −3x 3+4x 2+1，按x 的升幂排列为__________________．13．指出下列代数式中的单项式、多项式和整式．2πx 2， 1x ， ﹣5，a ，π2， 0，n+m 2， 1﹣1a ， 3ab ﹣2a ﹣1．课堂练习参考答案1．a,−13x 2y,2πr ； 25x −by 3,x 2+xy +y 2,2x −1【解析】单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式.多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案.【详解】根据单项式与多项式的定义可知：单项式有：a,−13x 2y,2πr ，多项式有：25x −by 3,x 2+xy +y 2,2x −1，故填a,−13x 2y,2πr ；25x −by 3,x 2+xy +y 2,2x −1.【点睛】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义.2．D【分析】根据整式、单项式、多项式的概念即可判断．【详解】解：12x ﹣y ，5a ，x 2﹣y ＋23，1π，xyz ，x+y+z 3是整式， 其中式12x ﹣y ，x 2﹣y ＋23，x+y+z 3是多项式， 5a ，1π，xyz 是单项式，故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的概念及单项式与多项式，熟练掌握整式及单项式、多项式的概念是解题的关键．3．2 4 3x −2y 、b−3y 36、5mn −n −7、6+a 2−b【分析】根据单项式与多项式的概念即可求出答案．【详解】解：单项式有2个：−8b 9，0.2，，多项式有4个：3x −2y ，b−3y 36，5mn −n −76+a 2−b【点睛】本题考查单项式与多项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式之间的联系，本题属于基础题型．4．三三【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．【详解】解：−2xy23+3xy−4是三次三项式，故答案为：三，三．【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．5．D【分析】根据单项式和多项式的相关概念逐一求解即可得到答案．【详解】解：A．−3xy5的系数是−35，故本选项错误；B．x2+x−1的常数项是−1，故本选项错误；C．22ab3的次数是4次，故本选项错误；D．2x−5x2+7的次数是二次三项式，故本选项正确．故选：D【点睛】本题考查了单项式、多项式的相关基本概念等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．五五 -x3y2 -6【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】解：多项式xy3-8x2y-x3y2-y4-6是五次五项式，最高次项是：-x3y2，常数项是-6．故答案为：五，五，-x3y2，-6．【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．7．−12x2+7x+9【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列．【详解】解：多项式7x－12x2+9的项为7x，-12 x2，9，按字母x降幂排列为−12x2+7x+9，故答案为：−12x2+7x+9．【点睛】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．8．423242539y x y xy x --++【分析】多项式的项的概念和降幂排列的概念，可知多项式的项为：9x 4，−2y 4，+3xy 2，−5x 2y 3将各项按y 的指数由大到小排列为−2y 4，−5x 2y 3，+3xy 2，9x 4．【详解】解：把多项式442239235x y xy x y -+-，按y 的指数降幂排列后为423242539y x y xy x --++． 故答案是423242539y x y xy x --++．【点睛】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．（1）多项式中的每个单项式叫做多项式的项；（2）一个多项式的各项按照某个字母指数从大到小或者从小到大的顺序排列，叫做降幂或升幂排列．在解题时要注意灵活运用．9．A【分析】根据多项式的有关定义得到a 、b 的值，然后计算它们的和即可．【详解】解：根据题意得a=3，b=1，所以a+b=3+1=4．故选：A ．【点睛】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．10．B【解析】几个多项式相加后所得的多项式可能增加项数，但不会增加次数．【详解】A 是五次多项式，B 也是五次多项式，∵几个多项式相加后所得的多项式可能增加项数，但不会增加次数，故A+B 的次数不高于五次．故选：B ．【点睛】本题考查多项式的知识，难度不大，掌握多项式相加的特点是关键．11．-3【分析】先把多项式按降幂排列，找出二次项，再确定系数即可．【详解】解：四次三项式2x ＋5x 2yz －3y 2中进行降幂排列5x 2yz －3y 2＋2x ，二次项为－3y 2，二次项的系数为-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查多项式中二次项系数问题，掌握多项式的定义，项，项数，某项系数，常数项的区别与联系是解题关键．12．2312+43x x x--【分析】按照x的指数从小到大的顺序把各项重新排列即可．【详解】解：多项式−2x−3x3+4x2+1，按x的升幂排列为231243x x x-+-．故答案为：1-2x+4x2-3x3．【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是解题关键．13．2πx2是单项式，是整式；1x 是分式；﹣5是单项式，是整式；a是单项式，是整式；π2是单项式，是整式；0是单项式，是整式；n+m2是多项式，是整式；1﹣1a是分式；3ab﹣2a﹣1是多项式，是整式．【分析】根据整式，单项式，多项式的概念进行分类即可．单项式是字母和数的乘积，多项式是若干个单项式的和，单项式和多项式统称为整式．【详解】解：2πx2是单项式，是整式；1x是分式；﹣5是单项式，是整式；a是单项式，是整式；π2是单项式，是整式；0是单项式，是整式；n+m2是多项式，是整式；1﹣1a是分式；3ab﹣2a﹣1是多项式，是整式．【点睛】主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．课后练习1．在下列说法中，正确的是（）A．多项式ax2+bx+c是二次多项式B．四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式C．−ab2，−x都是单项式，也都是整式D．−4a2b，3 ab，5是多项式2435a b ab-+-中的项2．多项式x2﹣3xy2﹣4的次数和常数项分别是（）A．2和4 B．2和﹣4 C．3和4 D．3和﹣43．已知x m−1+3x−1是关于x的三次三项式，那么m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．将多项式6a2b+3b3−2ab2−a3按字母b的降幂排列正确的是（）A．−a3+3b3−2ab2+6a2b B．3b3−2ab2+6a2b−a3C．3b3−a3+6a2b−2ab2D．−a3+6a2b−2ab2+3b35．在式子：2a , a3, 1x+y, −12, 1−x−5xy2,−x,6xy+1,a2−b2中，其中多项式有____个．6．多项式2x3−x2y2−3xy+x−1是______次______项式，常数项是______．7．若多项式25x3m y+1是四次多项式，m=______．8．若已知3a2−2ab3−7a n−1b2与−32π2x3y5的次数相等，则(−1)n+1=_______．9．指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①22m n+；②-x；③a+b3；④10；⑤6xy+1；⑥1x；⑦17m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩2x+y单项式：____________________________；多项式：________________________；整式：________________________；10．已知多项式3x3−y3−5x2y−x2+1．（1）求次数为3的项的系数和．（2）当x=−1，y=−2时，求该多项式的值．11．已知整式(a−1)x3−2x−(a+3)．（1）若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项；（2）若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．12．已知关于x，y的多项式x4＋（m＋2）x n y﹣xy2＋3．（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？课后练习参考答案1．C【分析】直接利用单项式的次数与系数以及多项式的定义、次数与系数分别分析得出答案．【详解】解：A、多项式ax2+bx+c，当a≠0时是二次多项式，故此选项不合题意；B、多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数，故此选项不合题意；C、数与字母的积叫单项式，单项式和多项式统称整式，−ab2，−x都是单项式，也都是整式，正确，符合题意；D、−4a2b，3ab，5-是多项式2a b ab-+-中的项，故此选项不合题意．435故选C．【点睛】此题主要考查了多项式以及单项式有关定义，正确把握相关定义是解题关键．2．D【分析】根据多项式的次数和项的定义得出选项即可．【详解】解：多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是3，常数项是﹣4，故选：D．【点睛】此题主要考查多项式的次数和项的判定，解题的关键是熟知多项式的次数和项的定义．3．B【分析】式子要想是三次三项式，则x m−1的次数必须为3，可得m的值．【详解】∵x m−1+3x−1是关于x的三次三项式∴x m−1的次数为3，即m-1=3解得：m=4故选：B．【点睛】本题考查多项式的概念，注意，多项式的次数指的是组成多项式的所有单项式中次数最高的那个单项式的次数．4．B【分析】按照字母b的次数由高到低进行排列得到答案．【详解】解：根据题意，6a2b+3b3−2ab2−a3按字母b的降幂排列正确的是3b3−2ab2+6a2b−a3；故选：B．【点睛】本题考查了多项式：几个单项式的和叫多项式．多项式中每个单项式都是多项式的项，这些单项式的最高次数，就是这个多项式的次数．5．3【分析】几个单项式的和为多项式，根据这个定义判定.【详解】2a ，1x y，分母有字母，不是单项式，也不是多项式；a 3，−12，−x，是单项式，不是多项式； 1−x−5xy2,6xy+1,a2−b2都是单项式相加得到，是多项式故答案为：3【点睛】本题考查多项式的概念，在判定中需要注意，当分母中包含字母时，这个式子就既不是单项式也不是多项式了.6．四五 -1【分析】根据多项式的次数、项数判断即可．【详解】解：多项式2x3−x2y2−3xy+x−1最高次项是四次，一共有五项，常数项是-1．故答案为：四，五，-1．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，解题关键是熟记多项式的相关概念，注意：每一项都包括它的符号．7．1【分析】由多项式25x3m y+1是四次多项式，可得3m+1=4,解方程可得答案．【详解】解：∵多项式25x3m y+1是四次多项式，∴3m+1=4,∴3m=3,∴m=1.故答案为：1.【点睛】本题考查的是多项式的次数，掌握多项式的次数的概念是解题的关键．8．1【分析】先根据多项式与单项式的次数的定义求出n的值，再代入计算有理数的乘方即可得．【详解】单项式−32π2x3y5的次数为3+5=8，∵3a2−2ab3−7a n−1b2与−32π2x3y5的次数相等，∴n−1+2=8，解得n=7，则(−1)n+1=(−1)7+1=(−1)8=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式与单项式的次数、有理数的乘方运算，熟练掌握多项式与单项式的次数的概念是解题关键．9．②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨．【分析】1x ，2x+y的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类．【详解】解：单项式有：-x，10，17m2n，a7；多项式有：22m n+，a+b3，6xy+1，2x2-x-5；整式有：22m n+，-x，a+b3，10，6xy+1，17m2n，2x2-x-5，a7．【点睛】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．10．（1）3；（2）15【分析】（1）先得到次数为3的项，再得到它们的系数，再相加；（2）将x和y值代入计算即可．【详解】解：（1）多项式3x3−y3−5x2y−x2+1中，次数为3的项是3x3，−y3和−5x2y，系数分别是3，-1，-5，∴和为3-1-5=-3；（2）当x=−1，y=−2时，3x3−y3−5x2y−x2+1=15．【点睛】本题考查了多项式的次数和系数，有理数的加法，代数式求值，重点掌握多项式的相关概念是解题的关键．11．（1）1a=，常数项为-4；（2）a=−3，最高次项为−4x3【分析】（1）已知多项式是一次式，则x的最高次数是1，由此可得a-1=0，据此可得a的值，求出常数项−(a+3)的值即可；（2）根据多项式是三次二项式，结合多项式的概念可得到a-1≠0且a+3=0，求解的a的值，再求出(a−1)x3即可解答此题．【详解】解：（1）若它是关于x的一次式，则a−1=0，∴1a=，常数项为−(a+3)=−4；（2）若它是关于x的三次二项式，则a−1≠0，a≠1，a+3=0，∴a=−3，所以最高次项为−4x3．【点睛】本题考查多项式的知识，需要根据多项式次数和项数的定义来解答．12．（1）n＝4，m≠﹣2；（2）m＝﹣2，n为任意实数【分析】（1）根据多项式是五次四项式可知n＋1＝5，m＋2≠0，从而可求得m、n的取值；（2）根据多项式是四次三项式可知：m＋2＝0，n为任意实数．【详解】解：（1）∵多项式是五次四项式，∴n＋1＝5，m＋2≠0，∴n＝4，m≠﹣2；（2）∵多项式是四次三项式，∴m＋2＝0，n为任意实数，∴m＝﹣2，n为任意实数．【点睛】本题主要考查的是多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．第11页共11页。

多项式练习题及答案1. 求解多项式的和与差(1) 已知多项式f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的和与差。

解答：f(x)与g(x)的和可以表示为：(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相加得到： (4x^3 - 2x^2 +5x + 2)f(x)与g(x)的差可以表示为：(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相减得到：(2x^3 - 2x^2 + 10x - 16)所以，f(x)与g(x)的和为：4x^3 - 2x^2 + 5x + 2，f(x)与g(x)的差为：2x^3 - 2x^2 + 10x - 16。

2. 求解多项式的乘积(2) 已知多项式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的乘积。

解答：f(x)与g(x)的乘积可以表示为：(f * g)(x) = f(x) * g(x) = (2x^2 - 3x + 1) * (x^3 - 5x + 9)按照多项式乘法分配律展开式，得到：(f * g)(x) = 2x^2 * (x^3 - 5x + 9) - 3x * (x^3 - 5x + 9) + 1 * (x^3 - 5x + 9)化简得：(f * g)(x) = 2x^5 - 10x^3 + 18x^2 - 3x^4 + 15x^2 - 27x + x^3 - 5x + 9合并同类项得：(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 10x^3 + x^3 + 18x^2 + 15x^2 - 27x - 5x + 9(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9所以，f(x)与g(x)的乘积为2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9。

多项式的练习题在代数学中，多项式是由各种项的系数和幂次组成的代数表达式。

它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将提供一些关于多项式的练习题，以帮助读者加深对多项式的理解和运用。

练习题1：多项式的展开与合并1. 将下列多项式展开，并合并同类项：a) (3x^2 + 2x - 5) + (4x^2 - 3x + 7)b) (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - 2x + 3)c) (2x + 3)(x - 1)d) (3x^2 - x + 2)(2x + 1)练习题2：多项式的乘法与除法2. 计算下列多项式的乘法与除法：a) (4x^3 - 2x^2 + 3x + 1)(x^2 - 2x + 3)b) (2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1) ÷ (x - 1)c) (3x^3 + 5x^2 + 2x - 1) ÷ (x + 2)d) (x^4 - 4x^2 + 4) ÷ (x^2 - 2x + 1)练习题3：多项式的因式分解3. 将下列多项式完全因式分解：a) x^2 - 9b) x^2 - 5x + 6c) x^3 - 8d) x^4 - 16练习题4：多项式的求值4. 计算下列多项式在给定值处的值：a) 3x^2 - 2x + 1, 当 x = 2b) 2x^3 + 3x^2 - 4, 当 x = -1c) x^4 - x^3 + x^2 - x + 1, 当 x = 0d) 4x^3 - 5x^2 + 2, 当 x = 1练习题5：多项式的特殊性质5. 判断下列多项式是否具有特殊的性质，并给出理由：a) x^4 + 6x^2 + 9b) x^3 - xc) x^5 + x^3 + xd) x^2 - 2x + 1练习题6：多项式方程的解6. 解下列多项式方程：a) x^2 + 4x + 3 = 0b) x^3 - 2x^2 + x = 0c) 2x^4 - 16x^2 + 32 = 0d) x^4 - 10x^2 + 25 = 0练习题7：多项式函数的性质7. 根据给定的多项式函数，回答下列问题：a) 多项式函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 的次数、首项系数和常数项分别是多少？b) 哪些 x 值使得多项式函数 f(x) = 2x^4 - 10x^2 + 5x + 3 的值小于等于零？c) 多项式函数 f(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1) 的图像在 x 轴上有几个零点？d) 多项式函数 f(x) = x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 1 是否为奇函数或偶函数？练习题8：多项式的应用问题8. 解决下列应用问题：a) 一多项式函数 f(x) 的图像交 x 轴于 x = -2、x = 1 和 x = 4 三点，且 f(3) = 5。

第一章 多项式练习题参考答案一、填空题1..13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f 则)(x f 被)(x g 除所得的商式为22x x --,余式为73x --.2．(),(),(),()[],()()()()2,f x g x u x v x P x u x f x v x g x ∈+=若则((),())f x g x = 1 ((),())u x v x = 1 ．3.10()[]0,()|(),((),())n n n f x a x a x a P x a f x g x f x g x =+++∈≠= 且1()n f x a . 4．1,42,0),3)(1(,232-++-+x x x x x 中是本原多项式的为22,(1)(3),x x x +-+ 31x -.5. 多项式200120002322002()4(54)21(8112)f x x x x x x ⎡⎤=----+⎣⎦的所有系数之和＝ 1 （取1x =得到），常数项＝20022-（取0x =得到）.6. 能被任一多项式整除的式项式是 零多项式 ；能整除任意一个多项式的多项式一定是 零次多项式 .7.多项式()f x 除以(0)ax b a -≠的余式为()b f a. 8. 设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x d -+-=-+-+-+，则,,,abc d的值为 2，9，23，13 . 9.5432()41048f x x x x x x =++--+在有理数上的标准分解式是23(1)(2)x x -+. 10. 242322x x x mx px +++-+，则m = -6 ，p = 3 .二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由)1．若),()()()()(x d x g x v x f x u =+则)(x d 必为)(x f 与)(x g 的最大公因式. 错.如()1,()1,()1,()f x x g x x u x x v x x =-=+=+=-，则()1d x x =--，但)(x f 与)(x g 互素.2．若)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约，且)]()([|)(x g x f x p +，则)(|)(x f x p 且).(|)(x g x p对.由)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约可得)(|)(x f x p 或).(|)(x g x p 若)(|)(x f x p ，又)]()([|)(x g x f x p +，因此()|[()()]()p x f x g x f x +-，即).(|)(x g x p 3．设)(),(x f x p 为P 上的多项式，且)(x p 不可约.若)(x p 为)('x f 的k 重因式,则)(x p 必为)(x f 的1+k 重因式．错.如25()(2)5f x x =++，22x +是)('x f 在Q 上的4重因式，但22x +不是)(x f 的因式.4．有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则)(x f 有有理根.错.如()f x =4224(2)(2)x x x -=+-在Q 上可约，但)(x f 没有有理根.5.若q p是整系数多项式()f x 的根，,p q 为互素的整数，则()(1)p q f -. 对. 由q p是整系数多项式()f x 的根可得px q -为()f x 的因式，即 ()()()f x px q g x =-，且()g x 是整系数的，取1x =可得()(1)p q f -.6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约. 错.一次实系数多项式有实根但不可约.7. 若()()f x h x 且()()g x h x ，则()()()f x g x h x .错.缺(),()f x g x 互素.8. 若()|()g x f x 则()(),()1f x g x =.错.如231|1x x --/，但23(1,1)1x x x --=- 9. 数域P 上的任意一个不可约多项式()p x 在复数域内没有重根. 正确.10. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式.与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题1．设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+解：利用辗转相除法得2112122123()()()()()(1),()()()()()(1)1,()()()(1)().f xg x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+-因此((),()) 1.f x g x x =-又21212212()()()()()(()()())()()()(1()()).r x g x r x q x g x f x g x q x q x q x f x q x q x =-=--=-++2212((),())()()()(1()())()f x g x r x q x f x q x q x g x =-=-+.所以2212()()1,()1()()1(1)(1).u x q x x v x q x q x x x x ==+=--=---+=-2．设234)(235+-+-=x x x x x f(1)判断)(x f 在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求)(x f 在R 上的标准分解式.解:（1）42()538 3.f x x x x '=-+-运用辗转相除法可得：2((),())1f x f x x x '=-+. 21x x -+为)(x f 在R 上二重因式.(2)由(1)可得)(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.解法2: )(x f 的可能有理根为1,2±±,经检验2-为)(x f 的有理根,由综合除法可得210143224642123210-------- 因此有43222()(2321)(2)(1)(2)f x x x x x x x x x =-+-++=-++.21x x -+为)(x f 在R 上二重因式. )(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.3.已知32()638f x x x px =+++，试确定p 的值，使()f x 有重根，并求其根. 解:若()f x 有重根,则23222()()()(2)(2)f x x a x b x a b x a ab x a b =--=-+++-. 因此有2226,23,8.a b a ab p a b +=-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得2,2,4.a b p =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或1,8,5.a b p =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩当4p =时2-为()f x 的3重根;当5p =-时1为()f x 的2重根,-8为单根.解法2:若()f x 有重根,则((),'())1f x f x ≠.22'()31233(4)f x x x p x x p =++=++.21()'()(2)(28)(82)3(4)(2)(28)(1),f x f x x p x p x x p x p x =++-+-=++++-- 1'()(1)(5)(5)3f x x x p =-+++. 当4p =时,3()(2)f x x =+, 2-为()f x 的3重根; 当5p =-时, ((),'())f x f x 1x =-,1为()f x 的2重根,此时2()(1)(8)f x x x =-+,-8为单根.4.已知1i -是多项式4324522x x x x -+--的一个根，求其所有的根. 解:由实系数多项式虚根成对性, 1i +也是4324522x x x x -+--的根.43222()4522(22)(21)f x x x x x x x x x =-+--=-+--.因此()f x 的所有根为1i -,1i +,12,12+-.5.当,a b 满足什么条件时，多项式4()4f x x ax b =++有重根？ 解:显然当0a b ==时,0为()f x 的四重根.当0a ≠时,33'()444()f x x a x a =+=+.()'()(3)4x f x f x ax b =++ 2322334444'()(3)()4392727b b b f x ax b x x a a a a a=+-++-. 当3427b a =时,((),'())3b f x f x x a =+,3b a -为()f x 的二重根.显然0a b ==也满足3427b a =.因此当3427b a =时()f x 有重根.四、证明题1．设2≥k 为正整数,证明:()|()()|()k k f x g x f x g x ⇔.证明:当()|()f x g x 时，有()()(),g x f x q x =因此()()(),k k k g x f x qx =即有()|()k k f x g x . 反之设1212()()()()s r r r s f x p x p x p x =1212()()()()s m m m s g x p x p x p x =其中12(),(),,()s p x p x p x 是互不相同的不可约多项式,0,0(1,2,,)i i r m i s ≥≥= .由()|()k k f x g x 可得(1,2,i i k r k m i s ≤=,即(1,2,,)i i r m i s ≤= .因此有()|()f x g x. 2．设)(x f 是整系数多项式,a 为整数,证明:).(|)5()5(|)5(a f a f a -⇔- 证明:若(5)|(5)a f -，令()()()f x x a q x r =-+，其中()q x 为整系数多项式，r 为整数.(5)(5)(5)f a q r =-+.由(5)|(5)a f -可得0r =.因此有()()().()0,(5)|()f x x a q x f a a f a =-=-.类似可证当(5)|()(5)|(5).a f a a f -⇒-3.已知(),(),()f x g x h x 是数域P 上的多项式，,,,,0,0a b c P a b a c ∈≠≠≠，且22()()()()()()()()()()()()x a f x x b g x x c h x x a f x x b g x x c h x +++=+⎧⎨-+-=+⎩则22(),()x c f x x c g x ++.证明:两式相加得:22(()())2()()x f x g x x c g x +=+.由0c ≠得2(,)1x x c +=.因此有2()()x c f x g x ++.两式相减有2()2()a f x b g x +=,,因此有22()2()x c a f x b g x ++.由2()()x c f x g x ++及22()2()x c af x bg x ++可得2(22)()x c a b f x +-.又a b ≠,因此有2()x c f x +.类似有2()x c g x +.4.设0c ≠，证明：若()()f x f x c =-，则()f x 只能是常数. 证明:反证法证明.假设()f x 不是常数. (())0f x n ∂=>.在复数域上考虑, ()f x 至少有一个复根α.由()()f x f x c =-可得0()()(())(),f f c f c c f kc k N αααα==-=--==-=∈ . 即,,2,,,c c kc αααα--- 都是()f x 的根,与()f x 至多有n 个根相矛盾.因此()f x 为常数.。