高等代数第一章答案(多项式)

《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。

(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。

(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。

(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。

(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。

(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。

(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。

(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。

(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。

(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。

(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。

(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。

(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。

(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。

(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。

(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。

(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。

(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。

第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

【最新整理，下载后即可编辑】高等代数习题解答第一章 多项式补充题1．当,,a b c取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？提示：比较系数得6136,,555a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明：()()()0f x g x h x ===．证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法．由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为13的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设q (x ) =13x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即x 3-3x 2 -x -1 = (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-,1123a b -=-++,1a c -=+解得79a =-,269b =-,29c =-，故得17(),39q x x =- 262().99r x x =--解法二 带余除法．3 -2 1 1 -3 -1 -1 1379-1 23- 1373-43- -173-14979- 269- 29-得17(),39q x x =- 262().99r x x =--2）2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+ 262().99r x x =--2．,,m p q 适合什么条件时，有1）231;x mx x px q +-++ 2）2421.x mx x px q ++++ 1）解21x mx +-除3x px q++得余式为：2()(1)()r x p m x q m =+++-，令()0r x =，即210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩故231x mx x px q +-++的充要条件是2;10.m q p m =⎧⎨++=⎩2）解21x mx ++除42x px q++得余式为：22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，令()0r x =，即22(2)0;10.m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩解得2421x mx x px q ++++的充要条件是0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ： 1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+2）32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+1）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -3272 -6 13 -39 109 -327 所以432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-2）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：()f x1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成 201020()()c c x x c x x +-+-+的形式：1）50(),1;f x x x == 2）420()23,2;f x x x x =-+=-3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=-注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式，则0c 就是()f x 被x x -除所得的余数，1c 就是()f x 被x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c1）解用综合除法进行计算1 1 0 0 0 0 0+ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1+ 1 2 3 41 2 3 4 51 + 1 3 61 3 6 101 + 1 41 4 101 + 11 5所以5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x=+-+-+-+-+-2）3）略5．求()f x与()g x的最大公因式：1）43232()341,()1;f x x x x xg x x x x=+---=+--2）4332()41,()31;f x x xg x x x=-+=-+3）42432()101,()6 1.f x x xg x x x=-+=-+++1）解用辗转相除法()g x()f x2()q x12-141 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -11 1 3212 1 1 -1 -112-32- -1 1()r x-2 -3 -13()q x834312- 34- 14- -2 -22()r x34-34--1 -1-1 -13()r x所以((),()) 1.f x g x x =+2）((),()) 1.f x g x = 3）2((),()) 1.f x g x x =--6．求(),()u x v x 使()()()()((),()):u x f x v x g x f x g x += 1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--． 1）解 用辗转相除法()g x ()f x2()q x1 1 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -21 1 0 -2 0 1 1 -1 -2 -2 1 1 -2 -21()r x1 0 -2 03()q x1 01 0 -2 0 1 0 -22()r x1 0 -23()r x由以上计算得11()()()(),f x q x g x r x =+ 212()()()(),g x q x r x r x =+ 132()()(),r x q x r x =因此22((),())()2f x g x r x x ==-，且2((),())()f x g x r x =21()()()g x q x r x =-21()()[()()()]g x q x f x q x g x =-- 212()()[1()()]()q x f x q x q x g x =-++所以212()()1,()1()()2u x q x x v x q x q x x =-=--=+=+．2）((),())1f x g x x =-，21122(),()13333u x x v x x x =-+=--． 3）((),())1f x g x =，32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．7．设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 略．8．证明：如果()(),()()d x f x d x g x 且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由于()(),()()d x f x d x g x ，所以()d x 为()f x 与()g x 的一个公因式．任取()f x 与()g x 的一个公因式()h x ，由已知()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，所以()()h x d x ．因此，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．9．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，（()h x 的首项系数为 1）． 证明 因为存在多项式()u x 和()v x 使 ((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+，这表明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合，又因为 ((),())(),((),())()f x g x f x f x g x g x ， 从而((),())()()(),((),())()()()f x g x h x f x h x f x g x h x g x h x ，故由第8题结论，((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式．注意到((),())()f x g x h x 的首项系数为1，于是(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =．10．如果(),()f x g x 不全为零，证明：()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．证明 存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，因为(),()f x g x 不全为零，所以((),())0f x g x ≠，故由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．11．证明：如果(),()f x g x 不全为零，且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=，那么((),())1u x v x =．证明 因为(),()f x g x 不全为零，故 ((),())0f x g x ≠，从而由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以((),())1u x v x =．12．证明：如果((),())1f x g x = ，((),())1f x h x =，那么((),()())1f x g x h x =． 证法一 用反证法．假设()((),()())1d x f x g x h x =≠，则(())0d x ∂>，从而()d x 有不可约因式()p x ，于是()(),()()()p x f x p x g x h x ，但因为((),())1f x g x =，所以()p x 不整除()g x ，所以()()p x h x ，这与((),())1f x h x =矛盾．因此((),()())1f x g x h x =．证法二 由题设知，存在多项式1122(),(),(),()u x v x u x v x ，使得11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=，两式相乘得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=，所以((),()())1f x g x h x =．13．设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且((),())1(1,2,,;1,2,,).i j f x g x i m j n ===求证：1212(()()(),()()()) 1.m n f x f x f x g x g x g x =证法一 反复应用第12题的结果 证法二 反证法14．证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=． 证明 由于((),())1f x g x =，所以存在多项式()u x 和()v x 使 ()()()()1u x f x v x g x +=，由此可得()()()()()()()()1,u x f x v x f x v x f x v x g x -++= ()()()()()()()()1,u x f x u x g x u x g x v x g x +-+=即[][]()()()()()()1,u x v x f x v x f x g x -++=[][]()()()()()()1,v x u x g x u x f x g x -++= 于是((),()())1f x f x g x +=，((),()())1g x f x g x +=，应用第12题的结论可得(()(),()())1f x g x f x g x +=．注 也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：32432()221;()22 1.f x x x x g x x x x x =+++=++++提示 用辗转相除法求出2((),()) 1.f x g x x x =++于是得两多项式的公共根为1.2-± 16．判别下列多项式有无重因式： 1）5432()57248f x x x x x x =-+-+-； 2）42()443f x x x x =+--1）解 由于432'()5202144f x x x x x =-+-+，用辗转相除法可求得2((),'())(2)f x f x x =-，故()f x 有重因式，且2x -是它的一个 3 重因式．2）解 由于3'()484f x x x =+-，用辗转相除法可求得((),'())1f x f x =，故()f x 无重因式．17．求t 值使32()31f x x x tx =-+-有重根． 解2'()36f x x x t =-+．先用'()f x 除()f x 得余式 1263()33t t r x x --=+．当3t =时，1()0r x =．此时'()()f x f x ，所以21((),'())'()(1)3f x f x f x x ==-，所以1是()f x 的3重根．当3t ≠时，1()0r x ≠．再用1()r x 除'()f x 得余式215()4r x t =+．故当154t =-时，2()0r x =．此时，121((),'())()92f x f x r x x =-=+，所以12-是()f x 的2重根．当3t ≠且154t ≠-时，2()0r x ≠，则((),'())1f x f x =，此时()f x 无重根．综上，当3t =时，()f x 有3重根1；当154t =-时，()f x 有2重根12-．18．求多项式3x px q ++有重根的条件． 解 略．19．如果242(1)1x Ax Bx -++ ，求,A B ．解法一 设42()1f x Ax Bx =++，则3'()42f x Ax Bx =+．因为242(1)1x Ax Bx -++，所以1是()f x 的重根，从而1也是'()f x 的根．于是(1)0f =且'(1)0f =，即10;420.A B A B ++=⎧⎨+=⎩解得1,2A B ==-．解法二 用2(1)x -除421Ax Bx ++得余式为(42)(31)A B x A B ++--+，因为242(1)1x Ax Bx -++，所以(42)(31)0A B x A B ++--+=，故420;310.A B A B +=⎧⎨--+=⎩ 解得1,2A B ==-．20．证明：212!!nx x x n ++++没有重根．证法一 设2()12!!n x x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 因为()'()!nx f x f x n -=，所以((),'())((),)1!nx f x f x f x n ==．于是212!!nx x x n ++++没有重根． 证法二 设2()12!!n x x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 假设()f x 有重根α，则()0f α=且'()0f α=，从而0!nn α=，得0α=，但0α=不是()f x 的根，矛盾．所以212!!nx x x n ++++没有重根． 21．略． 22．证明：x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．证明 （必要性）设0x 是()f x 的k 重根，从而0x 是'()f x 的1k -重根，是''()f x 的2k -重根，…，是(1)()k f x -的单根，不是()()k f x 的根，于是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．（充分性）设(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠，则0x 是(1)()k f x -的单根，是(2)()k f x -的2重根，…，是()f x 的k 重根．23．举例说明断语“如果α是'()f x 的m 重根，那么α是()f x 的m +1重根”是不对的．解 取1()()1m f x x α+=-+，则()'()1()m f x m x α=+-．α是'()f x 的m 重根，但α不是()f x 的m +1重根．注：也可以取具体的，如0,1m α==．24．证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -． 证明 略．25．证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么12(1)(),(1)()x f x x f x --．证明2121()()x x x x ωω++=--，其中12ωω==．由于23312(1)()()x x f x xf x +++，故存在多项式()h x 使得33212()()(1)()f x xf x x x h x +=++，因此112122(1)(1)0;(1)(1)0.f f f f ωω+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而12(1)(),(1)()x f x x f x --．26．求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解． 解 多项式1n x -的n 个复根为 22cossin ,0,1,2,,1kk k i k n n nππω=+=-，所以1n x -在复数范围内的分解式为1211(1)()()()n n x x x x x ωωω--=----．在实数范围内，当n 为奇数时：222112211221(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x ωωωωωω---+-=--++-++-++，当n 为偶数时：222112222221(1)(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x x ωωωωωω---+-=-+-++-++-++．27．求下列多项式的有理根： 1）3261514x x x -+-； 2）424751x x x ---；3）5432614113x x x x x +----．1）解 多项式可能的有理根是1,2,7,14±±±±． (1)40f =-≠，(1)360f -=-≠．由于44444,,,,1(2)171(7)1141(14)-------------都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2．用综合除法判别：2 1 -6 15 -14 + 2 -8 14 2 1 -4 7 0 + 2 -4 1 -2 3≠0 所以2是多项式的有理根（单根）．注：一般要求指出有理根的重数．计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得(2)0f =，说明2是()f x 的有理根，再由'(2)0f ≠知．2是单根．用综合除法一般比较简单．2）答12-（2重根）．3）答 1-（4重根），3（单根）． 28．下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）21x -；2）4328122x x x -++； 3）631x x ++；4）1p x px ++，p 为奇素数； 5）441x kx ++，k 为整数． 1）解21x -可能的有理根是1±，直接检验知，都不是它的根，故21x -不可约．2）解 用艾森斯坦判别法，取2p =． 3）解 令1x y =+，则原多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++，取3p =，则由艾森斯坦判别法知多项式65432615211893y y y y y y ++++++不可约，从而多项式631x x ++也不可约．4）提示：令1x y =-，取素数p ． 5）提示：令1x y =+，取2p =．。

第一章 多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r .1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f9731929269791437134373132131232223232----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f17525422225200222223232342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++-+32|1m x m q x p m mx m x m qx p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+)()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2）q px x mx x ++++242|1由带余除法可得)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：运用综合除法可得327109391362327117083918605023---------商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:ii ii i i i 892521892421011121+----+-------商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-. 4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1）1,)(05==x x x f ；2）;2,32)(024-=+-=x x x x f3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析：假设)(x f 为n 次多项式，令])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n nn x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得.5110141110416311563143211143211111111111100000115)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x2）仿上可得812226122412210412112082422128442302012-----------------432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f . 3）因为i iii i i i i i i i i i ii ii i i 2111510157104141173121-----------+-------+---- .)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i ix x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一：利用因式分解),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g因此最大公因式为1+x .解法二：运用辗转相除法得)(3438)(01122132)(1434343)(41432112321212314121)(3122123423422223232x q x x q x x x x x x x x r x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-= 因此最大公因式为1+x .2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）2564411627)(125627)(2565391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q .1))(),((=x g x f3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=，),()22)((241)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--= ,)()122(22)(24122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)()(1022)(222422)(222221)(3133123423422323242342x q x x q x x xx x r x x x x x x x x x x r xx x x x x x x x x x x x q ==--=---+---+-=--+----++= 因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有 )()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..2)()(1)(,1)()(212+=+=--=-=x x q x q x v x x q x u2）;452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(96)(20999966936)(810249516241)(32422324523131)(3122123423422223232x q x x q x x x xx x x x r xx x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=+-+-+-+--=+--++--+-=+--+---++--+-= 因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..13232)3131(21)()(1)(,3131)()(2212--=+---=--=+-==x x x x x q x q x v x x q x u 3）.1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(32)(3331431441)(21211)(121222342342222x q x x x r x x x x x x x x x x x x r x x xx x x x x q =--=++-++---++--=-----+= 因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..23)1)(3(1)()(1)(,1)()(232212--+=+-+=+=--=-=x x x x x x q x q x v x x q x u7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式，求u t ,的值.解：运用带余除法有),()()2()1(1)(22)1()(12323x r x g u x t x t u tx x u x x t x x f +=+--++⋅++=++++= 由题意可得，)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步),(])1(211)[()(221x r t t x t x r x g ++-++= ])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即⎩⎨⎧=--+=-++-+,0)]2()1[(,0)2()1()1(222t t u t t u t t 解得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧±==⎩⎨⎧-==.2111,117;2111,117;231,0;4,0i t i u i t i u i t u t u 8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）. 证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是 )()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，那么1))(),((=x v x u .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+有.1))(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u 于是1))(),((=x v x u .12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ； )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明：由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==，反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得.,,2,1))()()(),((21m i x g x g x g x f n i ==再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根：.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f解法一：利用因式分解可得);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式： 1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二：试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2).344)(24--+=x x x x f解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式. 17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=),12(33)(')3131(13)(23+-+-=-+-=x t x f x tx x x x f .415)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f当,033=-t 即3=t 时),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，因此1为)(x f 的三重根. 当0415=+t ，即415-=t 时，21))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根.解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.1,2,3222b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，21-为)(x f 的二重根.18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时，0为)(x f 的三重根.当0≠p 时， p x x f +=23)('，q x px xf q px x x f ++=++=32)('31)(3，)427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ，余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,1.031,042B A B A A B 解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++.2,1.024,01B A B A B A 解法三：利用待定系数法.令Dx D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则,)!1(!21)('12-++++=-n x x x x f n因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n.所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是)()()](')('[2)(a f x f a f x f ax x g +-+-=的一个3+k 重根. 证明：)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是)(2)()()()](')('[2)(3x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ，2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二：由)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f nk .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+=1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.12++x x 的两个根为231,23121ii --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是,0)()1()()(,0)()1()()(2223222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f if f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n nεεεεεε .当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为].1)([]1)(][1)()[1)(1(11212222212++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε27.求下列多项式的有理根. 1);1415623-+-x x x解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得074114821415612-----即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.2);157424---x x x解：多项式可能的有理根为.41,21,1±±±444222026242113121570421------------因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根.3).3111462345----+x x x x x解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得1213630351133511038601138601311146111--------------故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约？ 1);12+x解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约. 3）;136++x x 解：令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.4）p px x p ,1++为奇素数；解：令1-=y x ，由p 为奇数可得1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p).()(1222211y g p y p C y C y C yC y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C kp 均为整数，且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p，分子中有因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有kpC p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约. 5）k kx x ,144++为整数. 解：令,1+=y x 则有).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.。

第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。

解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。

2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。

解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。

时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。

综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。

2(X — X。

)~ + …+ C n(X — X。

)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。