例谈巧取倒数妙求特殊分式的值、比较大小
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例３ 已知。，ｂ，ｃ，ｄ都是正实数，且÷ ＜号，则 ＝
一
与 ０ 的大 小 关 系是 （ ）．
Ａ． ＞ ０
Ｂ． １ ＞ ０
Ｃ． ＜０
Ｄ． ≤ ０
解 ‘．‘ ＝詈＋ｌ， ＝号＋ｌ，
· ． ．
一
＝ （詈＋ ）一（号＋ ），
．
旦 一
一
一
‘ ｂ ｄ —— ｂ ｄ ’
数的知识，得到： ＝３，半 ＝４， ＝５，再将三个等式
ａ ｏ
ｏ ｃ
ｃ 十
１
１
１
１
１
左边拆分可得 ：÷ ＋ ＝３……①， ＋÷ ＝４……② ， ＋
０
ａ
Ｃ
ｏ
ａ
１
１
１
１
１
—
＝ ５……③，由① ＋② ４－③得 ：
＋÷ ＋
＝６．根据之前
结论 ，再 次利用倒数法先求 出所求 式子值 的倒 数 ，从而求 出 原分式 的值．
帮 ●
解 题 技 巧 与 方 法
．
．
●．＿Ｉ， ●
●
浚
黎镳 翁
次
◎ 张 前 （安 徽 省 合 肥 市 庐 江 县 沙 溪初 级 中 学 ，安 徽 合 肥 ２３００００）
【摘 要】通过计 算求值 、比较大 小，是初 中数 学 中的常见 题型 ，也是学 生学 习必须具备 的基本技 能 ，其 中有 些难度 较 大 的特殊分 式的求值 问题、比较 大小 问题 ，若 直接 求 解 ，往 往无从 下笔 ，如果 变换 思路 ，根 据题 目条 件或 所 求结 论 ，倒 过来求解 ，则立 即奏效 ，变难为易 ，此为例数法．
例２ 已知ｎ，６，ｃ为实数，且 Ｄ ＿＝÷， ｃ ＿＝÷，
÷，求 承 ｃａ ＝
的明值 但
分 析 发现本题所 求 的式 子无 法再 化简 ，也 不 能直 接 把 已知条件 代人 ，而根据条 件直 接求 出 ａ，ｂ，ｃ的值 ，再带 人 求值 的方法显然是不可取 的 ，因此 ，只能将 已知条 件和待 求 式进行 变形转化寻找突破 口．我们来 采用倒数 法进行 求解． 由已知条件 显然 有 ａ，ｂ，Ｃ都不 为 ０，将 三个 已知 条件利用倒
ｃ Ⅱ ＋ｂ ｅ＋ｄ
ａ ＋ｈ ｃ＋ｄ
ｂ＜ ‘ 一 ·
‘丁
一丁
＜ｕ，‘‘‘丁
＜
‘
· ．
。，６，ｃ，ｄ都 是 正 实 数 ，．·．
＞ ，
· ． ．
一
＞０ ． ＞０，故选 Ａ．
综 上所 述 ，解 题 的关键 在 于认 真 审题 。分析 相关 式 子
（已知 的或 待求的）在整体上 的结构特点 ，选择恰 当的技 巧 ， 有时候需要几种技 巧融 为一 体 ，共 同发挥作 用．这 样变难 为
【关 键词】倒 数法；特殊分 式求值 ；比较大小
倒数法分式求值 的基本思路是 ：涉及 的分子 是单 项式 ， 分母是多项式 的求值 问题时 ，直 接求解往 往有 困难 ，可考虑 它的倒数 ，将 分式的分子和分母 颠倒位置 ，再利 用分式 的加 减法综合题 目条 件求 解 ；而倒 数法 比较特 殊分 式 大小 的基 本思路是 ：涉及的分子是单项式 ，分母 是多项式 的 比较 大小 问题时 ，直接 比较或用作差法 比较往往很 困难 ，此时考 虑它 们的倒数 ，将分式 的分子和分母颠 倒位 置 ，再利 用分式 的加 减法综合题 目条件 ，从而得 出所求结论 ；下面来举例进行分析．
１
，
１ 、２
１
÷ ＋１＝ｌ ＋ ｌ一１，将 ＋ ＝８整体代入，求出待求式
＼
，
子 的值 ．
点 拨 本 题 中 ，通 过 方 程 ，以 学 生 的 已 有 知 识 无 法 解 出
的值 ，故 采用 倒数法 ，先 求已知条件的倒数 ，再求所求 式子
的倒数 ，使 问题 的解答 得 以简化 ，体 现 了转 化思 想 ，而公 式
ａ
４ １
１
１ ２
，
数为： ＝０ ＋ ＝ －Ｉ－ １—２，将０＋ ＝３整体带
ａ
ａ ＼
ａ Ｉ
ａ
入 ，解 出所求式子 的值 ．这就是我 们在数学 学 习品质之 中所
提倡 的“反思与解 释 ”，也是 数学 理 性 精神 之 中 的“理性 反
思 ”—— 在反思 中求变 、变 中有不变 、变中找不变．
所得值的倒数为所求式 的值． 规律总结 ：不要 一味地想 到解方程求 未知数 的值 ，要用
整体 思想 看条件 和结 论．本题 的巧 妙之处 在 于不是 从 已知 条件 和要 求的形式人手 ，而是从 它们 的倒 数人手 ，大 幅度地 降低 了解 题的难度 ，很巧妙地得 到了分式的值．
二、巧妙变形 。比较大小 ：变形 已知 条件或待 求式 。比较 分 式 的 大 小
一 、 巧 变 形 ，妙 求值 ：变 形 已知 条 件 或 待 求 式 。求 特 殊 分 式 的 值
求 事 的值 例 １ 已知 ＝ ＝了１ ，
分析 将 已知等式 两边 同时取倒 数得 ： 二 ＝５，
．
４
２ ，
整理得 ： ＋ ＝８，而待 求式 子 的倒 数 为 ± ＝ ＋
．
一
‘ ‘ 口６＋６ｃ＋ｃｎ 一 ６。
反思 若直接给 出 ，Ｔ１
，
每两 个的和 ，上述 方法是
否 依 然 成 立 ？
变式
已知
１
＋
＝
吉， ＋÷＝古，÷＋÷＝古．
ａ
求
的 值 ．
解析 当然 成立．由已知 的三 个 等 式 相 加 得 到 上 ＋
＋ ÷： ．再将所求式的倒数形式表示出来进行求值，
变形 本身也是转化思想 的体 现 ；同时也体 现了整体 思想．
反思 若给 出的 已知条件 是一 元 二次 方程 ，求 分式 的
值 ，所用 的方法 是否依然可行？
变式 已知 ｎ 一３ａ＋１＝０，求 的值．
口 ＋ ｌ
解 析 当然可行．由题 意 得 ：ａ≠０．先 将 已知等 式移 项
后 两 边 同 时 除 以 ａ，整 理 可 得 ：ａ＋ ＝３，而 所 求 式 子 的 倒
解‘．‘ ＝÷， ＝｝， ＝÷，
‘ ．．
０，ｂ： 都否为０， · ． 源自 ＿３’警 －４， －５，
÷ ＋ ‘
．．
＝３，
①
＋÷ ＝４，
②
一 ＋ ——：＝５．
③（３Ｊ
①＋②＋③得：２（１ ＋ １＋÷）＝１２，
１ １ １ ， ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ ，
‘ · ’
了 ６，‘’·— 一 ６，
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与 ０ 的大 小 关 系是 （ ）．
Ａ． ＞ ０
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左边拆分可得 ：÷ ＋ ＝３……①， ＋÷ ＝４……② ， ＋
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＝６．根据之前
结论 ，再 次利用倒数法先求 出所求 式子值 的倒 数 ，从而求 出 原分式 的值．
帮 ●
解 题 技 巧 与 方 法
．
．
●．＿Ｉ， ●
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浚
黎镳 翁
次
◎ 张 前 （安 徽 省 合 肥 市 庐 江 县 沙 溪初 级 中 学 ，安 徽 合 肥 ２３００００）
【摘 要】通过计 算求值 、比较大 小，是初 中数 学 中的常见 题型 ，也是学 生学 习必须具备 的基本技 能 ，其 中有 些难度 较 大 的特殊分 式的求值 问题、比较 大小 问题 ，若 直接 求 解 ，往 往无从 下笔 ，如果 变换 思路 ，根 据题 目条 件或 所 求结 论 ，倒 过来求解 ，则立 即奏效 ，变难为易 ，此为例数法．
例２ 已知ｎ，６，ｃ为实数，且 Ｄ ＿＝÷， ｃ ＿＝÷，
÷，求 承 ｃａ ＝
的明值 但
分 析 发现本题所 求 的式 子无 法再 化简 ，也 不 能直 接 把 已知条件 代人 ，而根据条 件直 接求 出 ａ，ｂ，ｃ的值 ，再带 人 求值 的方法显然是不可取 的 ，因此 ，只能将 已知条 件和待 求 式进行 变形转化寻找突破 口．我们来 采用倒数 法进行 求解． 由已知条件 显然 有 ａ，ｂ，Ｃ都不 为 ０，将 三个 已知 条件利用倒
ｃ Ⅱ ＋ｂ ｅ＋ｄ
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‘丁
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综 上所 述 ，解 题 的关键 在 于认 真 审题 。分析 相关 式 子
（已知 的或 待求的）在整体上 的结构特点 ，选择恰 当的技 巧 ， 有时候需要几种技 巧融 为一 体 ，共 同发挥作 用．这 样变难 为
【关 键词】倒 数法；特殊分 式求值 ；比较大小
倒数法分式求值 的基本思路是 ：涉及 的分子 是单 项式 ， 分母是多项式 的求值 问题时 ，直 接求解往 往有 困难 ，可考虑 它的倒数 ，将 分式的分子和分母 颠倒位置 ，再利 用分式 的加 减法综合题 目条 件求 解 ；而倒 数法 比较特 殊分 式 大小 的基 本思路是 ：涉及的分子是单项式 ，分母 是多项式 的 比较 大小 问题时 ，直接 比较或用作差法 比较往往很 困难 ，此时考 虑它 们的倒数 ，将分式 的分子和分母颠 倒位 置 ，再利 用分式 的加 减法综合题 目条件 ，从而得 出所求结论 ；下面来举例进行分析．
１
，
１ 、２
１
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点 拨 本 题 中 ，通 过 方 程 ，以 学 生 的 已 有 知 识 无 法 解 出
的值 ，故 采用 倒数法 ，先 求已知条件的倒数 ，再求所求 式子
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所得值的倒数为所求式 的值． 规律总结 ：不要 一味地想 到解方程求 未知数 的值 ，要用
整体 思想 看条件 和结 论．本题 的巧 妙之处 在 于不是 从 已知 条件 和要 求的形式人手 ，而是从 它们 的倒 数人手 ，大 幅度地 降低 了解 题的难度 ，很巧妙地得 到了分式的值．
二、巧妙变形 。比较大小 ：变形 已知 条件或待 求式 。比较 分 式 的 大 小
一 、 巧 变 形 ，妙 求值 ：变 形 已知 条 件 或 待 求 式 。求 特 殊 分 式 的 值
求 事 的值 例 １ 已知 ＝ ＝了１ ，
分析 将 已知等式 两边 同时取倒 数得 ： 二 ＝５，
．
４
２ ，
整理得 ： ＋ ＝８，而待 求式 子 的倒 数 为 ± ＝ ＋
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一
‘ ‘ 口６＋６ｃ＋ｃｎ 一 ６。
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变式
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１
＋
＝
吉， ＋÷＝古，÷＋÷＝古．
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求
的 值 ．
解析 当然 成立．由已知 的三 个 等 式 相 加 得 到 上 ＋
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变形 本身也是转化思想 的体 现 ；同时也体 现了整体 思想．
反思 若给 出的 已知条件 是一 元 二次 方程 ，求 分式 的
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变式 已知 ｎ 一３ａ＋１＝０，求 的值．
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解 析 当然可行．由题 意 得 ：ａ≠０．先 将 已知等 式移 项
后 两 边 同 时 除 以 ａ，整 理 可 得 ：ａ＋ ＝３，而 所 求 式 子 的 倒
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①＋②＋③得：２（１ ＋ １＋÷）＝１２，
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