2020版高考数学习题：第五篇 数列(必修5) 第2节 等差数列
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第2节等差数列
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·广西三校联考)已知等差数列{a n}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( C )
(A)19 (B)20 (C)21 (D)22
解析:设等差数列{a n}的公差为d,d==2,
则a7=a3+4d=13+8=21,故选C.
2.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d 等于( C )
(A)1 (B)(C)2 (D)3
解析:由等差数列的性质知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2.
3.(2018·洛阳模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a7+a12=24,
则S13等于( C )
(A)52 (B)78 (C)104 (D)208
解析:依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C.
4.(2018·合肥市第二次教学质量检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( B )
(A)174斤(B)184斤(C)191斤(D)201斤
解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小所得的绵数.
由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项和为996. 所以8a1+×17=996,得a1=65.
所以a8=65+7×17=184.故选B.
5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-11,a5+a9=-2,则当S n取最小值时,n等于( C )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
由
得
解得
所以a n=-15+2n.
由a n=-15+2n≤0,解得n≤.
又n为正整数,
所以当S n取最小值时,n=7.故选C.
6.已知在等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( D )
(A)S5>S6(B)S5<S6
(C)S6=0 (D)S5=S6
解析:因为d<0,|a3|=|a9|,
所以a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.
所以a6=0,a5>0,a7<0.
所以S5=S6.故选D.
7.(2017·江西南昌市二模)《九章算术》卷第六《均输》中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问题中的中间两节容量和是( C )
(A)1升(B)2升(C)2升(D)3升
解析:由题设可知容量成等差数列,设其公差为d,
且
即
解之得
所以a5+a6=2a1+9d==2.故选C.
8.正项数列{a n}满足a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=
.
解析:由2=+(n∈N*,n≥2),
可得数列{}是等差数列,公差d=-=3,
首项=1,
所以=1+3(n-1)=3n-2,
所以a n=,
所以a7=.
答案:
9.已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=
,S n= .
解析:设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,
所以d=a1=,
故a2=a1+d=1,S n=na1+d=.
答案:1
能力提升(时间:15分钟)
10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使S n>0成立的最小正整数n为( C )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:在等差数列{a n}中,因为a4<0,a5>|a4|,所以
a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5) >0.
所以使S n>0成立的最小正整数n为8,故选C.
11.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,其中m∈N*且m≥2.则数列{}的前n项和的最大值为( D )
(A)(B)(C) (D)
解析:因为S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,
所以a m=S m-S m-1=0-13=-13,a m+1=S m+1-S m=-15-0=-15,
因为数列{a n}为等差数列,设其公差为d,
所以d=a m+1-a m=-15-(-13)=-2,
所以
解得a1=13.
所以a n=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,
当a n≥0时,n≤7.5,
当a n+1≤0时,n≥6.5,
所以数列{}的前6项为正数,
因为=
=(-),
所以数列{}的前n项和的最大值为×(-+-+-+…+
1-)=×(1-)=.故选D.
12.已知在等差数列{a n}中,S n=33,S2n=44,则这个数列的前3n项和S3n 为.
解析:由等差数列前n项和的性质可知S n,S2n-S n,S3n-S2n也成等差数列. 所以2(S2n-S n)=S n+(S3n-S2n)
即S3n=3S2n-3S n=33.
答案:33
13.已知数列{a n}满足a1=1,a n=(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n=(n∈N*).
(1)求证:数列{b n}为等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式.
(1)证明:因为b n=,且a n=,
所以b n+1===,
所以b n+1-b n=-=2.
又因为b1==1,
所以数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+(n-1)×2=2n-1,
又b n=,所以a n==.
所以数列{a n}的通项公式为a n=.
14.已知数列{a n}满足,a n+1+a n=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{a n}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2时,求数列{a n}的前2n项和S2n.
解:(1)因为数列{a n}是等差数列,
所以a n=a1+(n-1)d,a n+1=a1+nd.
由a n+1+a n=4n-3,
得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,
所以2dn+(2a1-d)=4n-3,
即2d=4,2a1-d=-3,
解得d=2,a1=-.
(2)由题意知,S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)
=1+9+…+(8n-7)
=4n2-3n.。
